第4章 无套利定价原理

其损益就是在2年末获得本金100元。初始成本： • 98 × 0.98=96.04
例4
• （2）从现在开始2年后到期的零息债券的当前价格为97元，其 价值被高估。存在套利机会。
• 套利策略：卖空价格高的证券，买进Fra Baidu bibliotek格低的证券。
• 卖空1份Z0x2债券，获得97元，用96.04元买进无套利定价原理中 的自融资复制组合，套利盈利为0.96元。 （1）卖空1份Z0x2债券，获得97元，在2年后支付100元； （2）在获得的97元中用96.04元，购买0.98份Z0x1 ； （3）在第1年末0.98份债券Z0x1到期，获得 100 × 0.98 =98元; （4）在第1年末再用获得的98元买入1份的债券Z1x2; （5）在2年末，零息票债券到期获得100元，用于支付卖空1份 Z0x2债券的100元。
分析与解答
• Arrow-Debreu证明：在某些条件下，随着时间而调整组 合的动态组合策略可复制出依靠静态组合无法复制的证券。 • 动态组合复制定价：把1年的持有期拆成两个半年，在半 年后就可调整组合。
分析与解答
• （1）构建一个组合：x份证券A和y份的借 贷（y>0为借出钱， y<0为借入钱），要使 得组合的损益与B完全相同，则
105 95 1 120 x y 1 110
• （2）证券B的当前价格为110元，存在套利 机会。
• 解得：x=1，y=15。因此，持有1份证券A 和借出现金15份的组合的损益与持有证券B 的损益完全相同，所以，证券B的价格等于 组合的价格，即 • 100 × 1＋1×15=115元
另外，假设借贷资金的年利率均为5.06%，半年利 率为2. 5% （半年期利率为5% ），不考虑交易成 本。 • 问题：（1）证券B的当前价格应该为多少？ （2）如果证券B的当前价格为110元，问是 否存在套利机会？如果有，如何套利？
不完全市场
• 静态组合复制构建一个组合：x份证券A和y 份的借贷（y>0为借出钱， y<0为借入钱）， 要使得组合的损益与B完全相同，则
98 × 0.1 ＋ 96 × 0.1 ＋ 93× 1.1 =121.7 • （2）债券A 的当前价格为120元，小于当前价格 121.7，债券A被低估。存在套利机会。
例3
• 套利策略：卖空价格高的证券，买进价格低的证 券。 • 卖空无套利定价原理中的复制组合，获得121.7元， 用120元买进债券A，套利盈利为1.7元。 （1）卖空0.1张的1年后到期的零息票债券； （2）卖空0.1张的2年后到期的零息票债券； （3）卖空1.1张的3年后到期的零息票债券； （4）买进1张息票率为10%，1年支付1次利息的 三年后到期的债券A。
分析与解答
• （1）债券B的当前价格应该为98元。 • （2）债券B的当前价格为97.5元，债券B的价值 被低估。债券A与B间存在套利机会。 • 套利策略：卖空价格高的证券，买进价格低的证 券。 • 即卖空债券A，获得98元，用97.5元买进B债券， 套利盈利为0.5元。1年后到期日，债券B的面值 刚好用于支付卖空债券A的面值。
二、确定条件下无套利定价原理的应用
• 1、同损益同价格
• 例2 假设两个零息债券A和B，两者都是在1年后 的同一天到期，面值都为100元。如果债券A的当 前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情 况。 • 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少？ （2）如果债券B的当前价格为97.5元，问 是否存在套利机会？如果有，如何套利？
一、套利机会
• 套利机会（Arbitrage Opportunity）是指这样的一 个机会，能以较低价格买进一项产品（商品、资 产等）的同时，马上可以以较高的价格卖出该项 产品，并且买卖交易时间（签约）和买卖交货时 间又分别完全相同，如果不考虑交易过程中的各 种费用，不考虑违约的情况。 • 例1中商业贸易的盈利过程可看成一种近似的“套 利”：信息成本、空间成本、时间成本等，还有 税收等
分析与解答
• （1）三种债券的价格与损益图：
损益:100 Z0x1: 价格：98 Z0x2: 第1年末 损益:100 当前价格 第1年末 第2年末 价格：98 第2年末
损益:100
Z1x2
• 自融资的交易策略：
（1）先在当前买入0.98份的债券Z0x1; （2）在第1年末0.98份债券Z0x1到期，获得0.98×100=98元; （3）在第1年末再用获得的98元买入1份的债券Z1x2;
• （2）债券B的价格为97.5元，将无法使用套利策略 获得盈利。 • 对于存在交易成本时的无套利定价原理总结如下： （1）存在交易成本时，无套利定价原理可能无法给 出确切的价格，但可以给出一定的价格区间； （2）存在交易成本的价格区间：先不考虑交易成本， 根据无套利定价原理计算出理论价格，然后再根据 此价格减去最小交易成本确定为下限价格，理论价 格加上最小交易成本确定为上限价格。
三、无风险套利
• 在金融理论中，套利是指一个能产生无风险盈利 交易策略。 • 在实际中，套利是指承受很低风险的盈利策略。
第二节 无套利定价原理
• 一、无套利定价原理的含义及存在的条件 • 1、无（风险）套利定价原理的含义 金融产品在市场上的合理定价就是使得市场不存 在无风险套利机会的价格。 • 无套利定价原理的基本思想：有效市场是不存在 无风险套利机会的。 • 即使套利机会存在，也是暂时的。金融市场上实 施套利行为非常方便和迅速。
分析与解答
• （1）息票率为10%，1年支付1次利息的三年后到期 的债券A的损益图：
10
0 1年末
10
2年末
110 3年末
• 构造相同损益的复制组合：
（1）买进0.1张的1年后到期的零息票债券，损益刚好100 × 0.1=10元；
（2）买进0.1张的2年后到期的零息票债券，损益刚好100 × 0.1=10元； （3）买进1.1张的3年后到期的零息票债券，损益刚好100 × 1.1=110元；
4、存在交易成本时的无套利定价原理
• 不一定给出金融产品的确切价格，可能可以给出 一个产品的价格区间，即价格的上限和下限。 • 例5 假设两个零息债券A和B，两者都是在1年后 的同一天到期，面值都为100元。并假设购买债 券不考虑交易成本和违约情况，但是假设卖空1份 债券需支付1元的费用，出售债券也需要支付1元 的费用。如果债券A的当前价格为98元。 • 问题：（1）债券B的当前价格应该为多少？ （2）如果债券B的当前价格为97.5元，问 是否存在套利机会？如果有，如何套利？
三、不确定状态下无套利定价原理应用
• 1、同损益同价格 • 例6
105 100 95 风险证券A PB 95 风险证券B 105
另外，假设不考虑交易成本。 • 问题：（1）证券B的当前价格应该为多少？100 （2）如果证券B的当前价格为99元，问是 否存在套利机会？如果有，如何套利？ 卖空A
2、静态组合复制定价
• 构造套利策略： 卖空无风险套利原理的复制组合，1份证券 A和15份现金；买进1份证券B。即：买进证 券B，卖空证券A，借出现金15元。 套利策略的盈利：-110+100+15=5元。
3、动态组合复制定价
• 例8
110.25 100 99.75 90.25 风险证券A PB 125 112. 5 109 风险证券B 1 1.0506 1.0506 1.0506 资金借贷
110 . 25 1.0506 99 . 75 x 1.0506 90 . 25 1.0506 125 y 112 . 5 109
• 方程无解。因为损益存在三种状态时，仅 依靠两种证券的组合是无法复制出任意一 种三状态的证券的。 • 不完全市场：存在一种损益形式，它无法 通过持有市场中存在的证券组合来实现。 • 完全市场：任意一种损益形式都可以通过 持有市场中存在的证券组合来实现。
2、静态组合复制定价
• 例3 假设3种零息债券的面值都为100元，它们当 前的价格分别为： （1）1年后到期的零息债券的当前价格为98元； （2）2年后到期的零息债券的当前价格为96元； （3）3年后到期的零息债券的当前价格为93元； • 并假设不考虑交易成本和违约情况。 • 问题：（1）如果有一个债券A的息票率为10%， 1年支付一次利息，期限为三年。问债券A当前价 格应该为多少？ （2）如果该债券的当前价格为120元，问 是否存在套利机会？如果有，如何套利？
3、无套利机会存在条件的定价表述
• （1）同损益同价格：如果两种证券具有相同的损 益，则两种证券具有相同的价格。 • （2）静态组合复制定价：如果一个资产组合的损 益等同于一个证券，那么这个资产组合的价格等 于该证券的价格。这个资产组合称为该证券的 “复制组合”（replicating portfolio）。 • （3）动态组合复制定价：如果一个自融资 （self-financing）交易策略最后具有和一个证券 相同的损益，那么这个证券的价格等于自融资交 易策略的价格。动态套期保值策略（dynamic hedging strategy）。
分析与解答
• （1）按照无套利定价原理，在没有交易成本时，债券B 的合理价格为98元，即债券B的理论价格。
价格下限的确定：
用理论价格减去卖空债券A的费用，即可得债券B的价格 下限：98－1=97元。当债券B的市场价格小于97元时， 应采用的策略：卖空债券A，买进债券B。
价格上限的确定：
用理论价格加上卖空债券B的费用，即可得债券B的价格 上限：98＋1=99元。当债券B的市场价格大于99元时， 应采用的策略：卖空债券B，买进债券A。 因此债券B的合理价格区间为[97，99]。
《金融工程》
第四章 无套利定价原理 主讲人：刘玉灿
南京理工大学经济管理学院
第二章 无套利定价原理
• 第一节 什么是套利 • 第二节 无套利定价原理
第一节 什么是套利
• 例1
1.5*10 生产商A 10吨 1.7*10
某公司
10吨
生产商B
图2-1 商业贸易中的“套利”行 为
• 实际上是一种赚取差价的行为。如果签订合同、 交货时间相同，近似于远期合约交易中的套利行 为。
• 例7
100 95 风险证券A 105 PB 110 风险证券B 120 1 1 资金借贷 1
假设借贷资金的年利率均为0，不考虑交易成本。 • 问题：（1）证券B的当前价格应该为多少？ （2）如果证券B的当前价格为110元，问是 否存在套利机会？如果有，如何套利？
• 存在两个相同成本的资产组合，但第 一个组合在所有的可能状态下的损益 都不低于第二个组合，而且至少存在 一种状态，在此状态下第一个组合的 损益要大于第二组合的损益。
2、无套利机会存在的条件
• （1）存在两个不同的资产组合，它们的未来损益 （payoff）相同，但成本不同。 损益可看成是现金流。 • （2）存在两个相同成本的资产组合，但第一个组 合在所有的可能状态下的损益都不低于第二个组 合，而且至少存在一种状态，在此状态下第一个 组合的损益要大于第二组合的损益。 • （3）一个组合其构建的成本为零，但在所有可能 的状态下，这个组合的损益都不小于零，而且至 少存在一种状态，在此状态下这个组合的损益要 大于零。
二、金融市场中的套利行为
• 1、专业化、电子化交易市场的存在-----信息成本 • 2、金融产品的无形化 -----空间成本 • 3、金融市场存在的卖空机制大大增加了 套利机会。 • 4、金融产品在时间和空间上的多样性使 得套利更为多样 。 – 现货市场和期货市场；同一基础资产的 期权和期货等等。
3、动态组合复制定价
• 例4 假设从现在开始1年后到期的零息债券的当 前价格为98元，从1年后开始在2年后到期的零息 债券的价格恰好为98元。并假设不考虑交易成本 和违约情况。 • 问题：（1）从现在开始2年后到期的零息债券的 价格应该为多少？ （2）如果从现在开始2年后到期的零息债 券的当前价格为97元，问是否存在套利机会？如 果有，如何套利？