高考数学专题课：几何概率模型秒杀
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
专题67 几何概型的方法破析-高考数学80个热点难点吃透大全
专题67 几何概型的方法破析考纲要求:(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.基础知识回顾:一、几何概型1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．特点：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．二、几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度应用举例:类型一、与长度角度有关的几何概型例1、甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，“C为弧AB的中点”)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜．然后继续游戏，你觉得此时游戏还公平吗？答案：________，因为P甲________P乙(填“<”，“>”或“＝”)．【答案】不公平例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上期中】已知，是上的两个随机数，则到点的距离大于其到直线x=-1的距离的概率为（）A. B. C. D.【答案】A例3【2018届广西桂林市第十八中学高三上第三次月考】若在上任取实数，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，∴的概率为故选：A.点评：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)．类型二、与体积有关的几何概型例4、在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A1-ABC内的概率是________．【答案】【解析】由题意可知，为几何概型的体积比，不妨设正方体的棱长为1，所以概率.填.例5、一个球形容器的半径为，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取水含有感冒病毒的概率为（）A. B. C. D.【答案】C例6【2018届河南省师范大学附属中学高三8月】在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（）A. B. C. D.【答案】C类型三、与面积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题．例7【2017届黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高三第三次模拟】如图，四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也为正方形，连接，，则向多边形中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A(2)与线性规划知识交汇命题的问题．例8【2017届黑龙江省齐齐哈尔市高三上第一次模拟】已知点满足则其满足“”的槪率为（）A. B. C. D.【答案】B(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题． 例9、已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0.现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析：由题意知点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝ABC P 三角形三角形S S BC ＝12.(4)与定积分交汇命题问题．例10【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设是由轴，直线 和曲线围成的曲边三角形区域，集合 ，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是( )A.B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有，解可得，，故选D．点评：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.方法、规律归纳:1、与长度角度有关的几何概型的公式：P(A)＝构成事件A的区域长度角度试验全部结果所构成的区域长度角度2、与体积有关的几何概型的公式：P(A)＝构成事件A的区域体积试验全部结果所构成的区域体积.实战演练:1.【2018届衡水11月联考】如图所示是油罐车的轴截面图形，在此图形中任取一点，则此点取自中间矩形部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A2.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】在区间上随机取一个的值，执行如下的程序框图，则输出的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由条件知，当0≤x≤6，2x﹣1≥3，解得2≤x≤6；当6＜x≤8时，，无解，∴输出的y≥3的概率为.3.【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B4.【2017届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】在区间上任取两个实数，则函数在区间没有零点的概率为（）A. B. C. D.【答案】D5.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】A6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设水深为尺，则，解得，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率,故选B.7.点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C8.【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】设是圆上任意一点，定点，则的概率是__________．【答案】【解析】由得 ,因此的概率是9．【2018届江苏省南通中学高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______.【答案】【解析】函数有意义，则：，求解对数不等式可得：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：.10．【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上学期第二次月考】记抛物线与圆所围成的封闭图形为区域则从圆中随机选取一点恰好的概率为______________.【答案】11．【2017届广西省高三上诊断性联考】若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________．【答案】【解析】由已知可得所求的概率为 .12．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为__________．【答案】134。
高中数学66个秒杀技巧模型
高中数学66个秒杀技巧模型1. 引言高中数学是学习的重点科目之一，也是让许多学生头疼的科目之一。
然而，只要掌握一些有效的解题技巧和方法，高中数学也变得简单起来。
本文将介绍66个高中数学秒杀技巧模型，帮助学生更轻松地解决各类数学问题。
2. 代数2.1. 分式的化简•将分式的分母乘以公因式，可以使分式化简为更简洁的形式。
•利用因式分解的思想，将分式的分子和分母进行因式分解，可以更简洁地表达分式。
2.2. 解方程•利用消元法解决多元一次方程组。
•利用配方法解决二次方程。
•对系数进行因式分解，找到方程的解。
2.3. 对数运算•根据对数的定义，将复杂的指数问题转化为简单的对数问题。
3. 几何3.1. 角的性质•利用同位角的性质，在同位角中构造等式方程来解决问题。
•利用角的平分线性质，将问题转化为求解三角形的边长、角度等问题。
3.2. 圆的性质•根据圆的定义，利用相应的定理来解决问题。
3.3. 三角函数•利用三角函数的周期性质，确定函数在特定区间的取值范围。
•利用正余弦函数的定义和性质，解决各类三角函数题目。
4. 概率与统计4.1. 排列与组合•利用排列与组合的定义和性质，解决排列组合问题。
4.2. 概率计算•利用概率的基本性质，计算事件的可能性。
4.3. 统计分析•利用统计分析的方法，进行数据的收集、整理和总结。
5. 数学建模5.1. 单位换算•利用单位换算的关系，将不同单位的数值进行换算。
5.2. 图论•利用图论的知识，解决各类网络问题。
5.3. 线性规划•利用线性规划模型，解决线性优化问题。
6. 总结本文介绍了66个高中数学秒杀技巧模型，涵盖了代数、几何、概率与统计和数学建模等不同方面的内容。
通过掌握这些技巧，学生在高中数学学习中将更加得心应手。
然而，除了掌握这些技巧，还需要多做题，多积累经验，才能真正在高中数学中游刃有余。
希望本文对于学生们的学习有所帮助。
高考数学 考点一遍过 专题52 几何概型 理-人教版高三全册数学试题
专题52 几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式() P AA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个X围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率()n Mf AN作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A的概率.典例1某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A．12B．13C．23D．35【答案】A故所求概率为201402=,选A ． 典例2 在区间[]0,2上随机抽取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 A ．34B ．23 C ．13D ．14【答案】A【解析】区间[]0,2的长度为2, 由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭可得302x ≤≤, 所以所求事件的概率为P =33224-=.1．公共汽车在7:00到7:20内随机到达某站,李老师从家里赶往学校上班,7:15到达该站,则她能等到公共汽车的概率为A ．13B ．23 C ．14D ．342．在长度为10的线段AB 上任取一点C (不同于A ,B ),则以AC ,BC 为半径的圆的面积之和小于58π的概率为A ．B ．C ．D ．考向二 与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 在如图所示的扇形AOB中,∠AOB=,半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为A．B．C．D．【答案】A则所求概率P=1-SS=1-,故选A．典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x2图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________.【答案】3．圆O 内有一内接正三角形,向圆O 内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为 A 33B ．3C ．33．34．已知1Ω是集合()22{,|1}x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){,|1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机地投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为________.考向三 与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A．512B．23C．127D．425【答案】C5．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食落在圆锥外面”的概率是A．π14B．π12C．π4D．π112-考向四随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()AP A=随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()随机取点构的成事全部件的区结果构成的区域面积域面积AP A=列等式求解.典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶3,若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为(3≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C6．如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m 的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为A ．83 m 2 B ．2 m 2C ．38m 2 D ．3 m 21．在[]0,π内任取一个实数x ，则1sin 2x ≤的概率为 A ．2 3B ．1 2C ．13D ．1 42．若任取[]0,1、x y ∈,则点(),P x y 满足y x >的概率为A ．23B ．13 C ．12D ．343．在区间[]0,4上随机地选择一个数,p 则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为A ．13B ．23 C ．12D ．144．在直角坐标系中,任取n 个满足x 2+y 2≤1的点(x ,y ),其中满足|x|+|y|≤1的点有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4m n B ．4nmC ．2m n D ．2nm5．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为 A ．127B ．116C ．38D ．8276．如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,以A 为圆心、1为半径作圆弧DE ,点E 在线段AB 上,在圆弧DE 上任取一点P ,则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是A ．1 4B ．13C ．25D ．357．已知函数()2,01(e 1,1e x x f x x x⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为自然对数的底数)的图象与直线e 、x x =轴围成的区域为E ,直线e 1、x y ==与x 轴、y 轴围成的区域为F ,在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为A ．43e B ．23e C ．23D ．2e8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．3π 10B ．3π 20C ．3π110-D ．3π120- 9．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于18米的概率为__________. 10．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一天内随机到达,若两船同时到达则有一艘必须等待,试求这两艘轮船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.12．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.13．已知函数()22(,f x ax bx a a b =-+∈R ).(1)若a 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,求方程()0f x =有实根的概率;(2)若b 从区间[]0,2中任取一个数,a 从区间[]0,3中任取一个数,求方程()0f x =没有实根的概率.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．343．（2017某某）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．4．（2016某某理科）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 .1．【答案】 C2．【答案】C【解析】设AC =x ,则BC =10-x ,0<x <10,由题意πx 2+π(10-x )2<58π,得x 2-10x +21<0,得3<x <7, 故所求的概率为.3．【答案】C4．【答案】2π【解析】易知1Ω的面积1πS =,2 Ω的面积22S =, 根据几何概型可得所求事件的概率为P=2.π5．【答案】D【解析】由题意可知,正方体的体积V =8,圆锥的体积V 1=212ππ1233⨯⨯⨯=,所以“鱼食落在圆锥外面”的概率是P=1π112V V V -=-. 6．【答案】A变式拓展【解析】由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到正方形不规则图形S S =3751000,所以该不规则图形的面积大约为1000375=83(m 2).1．【答案】C【解析】若1sin 2x ≤,则在[]0,π内π5π0π66或x x ≤≤≤≤， 所以所求概率为π216π03P ⨯==-.选C ．2．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式可知P =11112112⨯⨯=⨯.故选C ．3．【答案】A【解析】因为方程2380x px p -+-=有两个正根,所以()243800,380p p p p ∆⎧=--≥⎪>⎨⎪->⎩所以8p ≥或 84,3p <≤ 又因为[]0,4,p ∈所以所求概率为841343P -==. 4．【答案】D5．【答案】D【解析】依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为(626-)3=827,故选D.6．【答案】B【解析】连接AC,交圆弧DE于点M.在Rt△ABC中,AB3BC=1,所以tan∠BAC=3BCAB=即∠BAC=π6.要使直线AP与线段BC有公共点,则点P必须在圆弧EM上,于是所求概率为P=π16π32=.故选B．7．【答案】A【解析】由题意，区域F的面积为e;区域E的面积S=1e2011d dx x xx+⎰⎰=31e0114|ln|33x x+=,所以在区域F内任取一点,则该点落在区域E内的概率为43e.8．【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径r=8151732+-=，所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率P =18159π3π211208152⨯⨯-=-⨯⨯. 9．【答案】3410．【答案】【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4,而棱长为4的正方体的体积为43,该正方体的内切球的半径为2,体积为×23,所以所求概率P =.11．【解析】设甲船到达的时间为x ,乙船到达的时间为y ,则0≤x <24,0≤y <24.若有一艘在停靠泊位时必须等待,则|y-x|<6,如图中阴影部分所示,所以所求概率为1-=1-=.12．【解析】（1）用，x y 分别表示小陈、小李到班的时间，则][10,3010,30，x y ⎡⎤∈∈⎣⎦，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD ，如图所示．（2）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y -≥，对应区域为△BEF ，则所求概率为1151592202032△BEF ABCDS P S ⨯⨯===⨯．“b a ≥或0a =”.于是此时,a b 的取值情况为()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,2,3,1,1,2,2,3,3,即A 包含的基本事件数为10．故 “方程()0f x =有实根”的概率为()105168P A ==． （2）从区间[]0,2中任取一个数,b 从区间[]0,3中任取一个数,a 则试验的全部结果构成区域(){,|03,02}a b a b ≤≤≤≤, 这是一个长方形区域,其面积为236⨯=,设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为(){,|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤>，其面积为162242-⨯⨯=．由几何概型的概率计算公式可得“方程()0f x =没有实根”的概率为()4263P B ==．1．【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 2．【答案】B【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B ． 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．直通高考4．【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即3d =<，解得3344k -<<，而[1,1]k ，所以所求概率P =33224=.。
高考数学秒杀干货盘点
高考数学秒杀干货内容盘点高考数学秒杀干货内容盘点板块一：函数板块秒杀干货1：已知函数奇偶性求解参数的值【策略】带一对数值秒解，比如为偶函数，则(1)(1)f f −=即可；甚至如果为奇函数，且0x =可取，则(0)0f =，计算更快。
【例题】若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.【解析】(0)0f =，则2a =秒杀干货2：“奇函数+常数”模型 【策略】()()2f f −+=常数【例题】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f −的值为（ ） 3.A0.B1.−C2.−D【解析】()()()02f a f a f a −+=⇒−=1【例题】设，已知，求的值____________ 【解析】(7)(7)5(7)272f f f −+=⇒=:秒杀干货3：函数周期性结论()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=−+=+=−+=−+=−−+=−⎧−⎨+=−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧−⎨+=−−⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=−−⎧⎨⎩+=−⎧−⎨+=−−⎩+=−⎧⎨⎩+=−−⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数注：记住结论，可以大幅度提高我们解题速度和准度，不用现场推算。
高考数学技巧全归纳概率统计与立体几何
高考数学技巧全归纳概率统计与立体几何高考数学是每个高中学生必须面对的一项考试，其中包括概率统计和立体几何这两个重要的内容。
本文将全面总结这两个部分的一些重要技巧和解题方法，帮助同学们更好地备考和应对高考数学。
一、概率统计技巧1.概率的计算方法：-事件的几何法：通过事件的几何模型来计算概率，例如通过面积比例、长度比例等方法计算概率。
-事件的频率法：通过实验、观察的次数来计算概率，例如通过频率的比例来估计概率。
-事件的古典法：通过假设所有结果等概率出现，根据有限样本空间来计算概率，适用于样本空间有限的情况。
2.条件概率与互斥事件：-条件概率的计算：根据条件概率的定义P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，通过已知条件和对应事件的交集以及相关的概率来计算条件概率。
-互斥事件：两个事件A和B是互斥事件，指的是它们的交集为空集，即A∩B=∅。
在计算互斥事件的概率时，可以将它们的概率相加，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.独立事件与乘法定理：-独立事件：两个事件A和B是独立事件，指的是它们的概率乘积等于它们分别的概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)*P(B)。
在计算独立事件的概率时，可以将它们的概率相乘。
-乘法定理：乘法定理是计算复合事件概率的重要方法，即两个事件同时发生的概率等于先发生一事件的概率，再在该事件发生的条件下发生另一事件的概率，即P(A∩B)=P(A)*P(B，A)。
乘法定理可以推广到多个事件的情况。
4.排列与组合：-排列：指的是从一组不同的元素中取出若干个按一定顺序排列成一列，称为排列。
排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为取出的个数。
-组合：指的是从一组不同的元素中取出若干个不按顺序排列的组合，称为组合。
组合的计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!*m!]。
二、立体几何技巧1.空间图形的展开：-将三维的立体图形展开成二维的平面图形，有助于理解和解决问题。
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，几何概型是一个重要的考点，也是许多同学感到困惑和容易出错的部分。
为了帮助同学们在高考中更好地应对这一考点，我们将对几何概型进行深度剖析。
一、几何概型的概念几何概型是概率论中的一个重要概念，与古典概型相对应。
在古典概型中，试验的结果是有限个等可能的基本事件；而在几何概型中，试验的结果是无限个的，且每个结果出现的可能性相等，通常借助几何图形的长度、面积或体积来计算概率。
例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机取一点，求该点到正方形某个顶点的距离小于 1/2 的概率。
这就是一个典型的几何概型问题。
二、几何概型的特点1、无限性几何概型的基本事件有无限多个。
2、等可能性每个基本事件发生的可能性相等。
3、几何度量通过计算几何图形的长度、面积或体积等几何度量来确定概率。
三、几何概型的计算公式若几何概型中的随机事件 A 对应的区域长度（面积或体积）为 m，全部结果构成的区域长度（面积或体积）为 n，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
四、常见的几何概型类型1、长度型几何概型例如，在一条线段上取一点，求该点落在某一区间内的概率。
2、面积型几何概型比如，在一个平面区域内随机投点，求点落在某个特定区域内的概率。
3、体积型几何概型像在一个立体空间内随机取点，求点落在某个体积内的概率。
五、解题步骤1、理解题意明确题目中所描述的随机试验和所求概率的事件。
2、确定几何区域找出与随机试验对应的几何图形，并确定其度量（长度、面积或体积）。
3、计算概率根据几何概型的计算公式，计算出所求事件的概率。
六、经典例题解析例 1：在区间0, 5上随机取一个数 x ，求 x 满足 2 ＜ x ＜ 4 的概率。
解：区间0, 5的长度为 5，满足 2 ＜ x ＜ 4 的区间长度为 2，所以概率 P ＝ 2 ／ 5 。
例 2：在半径为 1 的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于 1/2 的概率。
高中数学 高考数学50条秒杀型公式与方法
高中数学| 高考数学50条秒杀型公式与方法1，适用条件：[直线过焦点]，必有e c o sA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：①、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;②、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;③、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=s i n x y=si n派x相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：①，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;②、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;③、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称。
4，函数奇偶性：①、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;②、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项③，奇偶性作用不大，一般用于选择填空。
5，数列爆强定律：①，等差数列中：S奇=n a中，例如S13=13a7(13和7为下角标);②，等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；③，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；④，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²m S(n)可以迅速求q。
6，数列的终极利器，特征根方程。
首先介绍公式：对于a n+1=p an+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
高考数学概率几何解题方法
高考数学概率几何解题方法高考数学概率大题技巧第一步：利用频率分布直方图中各小矩形的意义求a的值;第二步：利用频率估计概率;第三步：求对应区间的人数;第四步：求样本空间所包含的所有基本事件;第五步：求所求事件所包含的基本事件;第六步：代入公式求解.高考概率统计题型满分心得写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对得分步骤一定要写全，如第(3)问中，只要求出[40，50)、[50，60)内的人数就各得1分;只要列出所有可能的结果就得4分.写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(3)问中所有基本事件必须列出，所求事件所包含的基本事件必须列出，不能直接求结果.(3)计算准确是保证：如第(1)问中0.022对应的小矩形有2个，若忽视了此点，结果肯定错误.高考数学答题技巧以及时间分配合理分配数学答题时间大家都知道，高考数学考试分为选择题、填空题、解答题三大部分，由于三部分所占的分数份额不同，难度不同，考生可以就自己平时的速度，将这三者的答题时间合理分配。
这三个部分，相对来说，高考数学选择题是可以通过排除法、答案代入法、任意数字代入法等方式得到答案，需要的时间也相对较少，填空题的计算过程通常不会太复杂，每个空格所占的分数也不会很高，因此，高考中要适当地将时间留给更好做数学解答题。
做题选择由简到难的方式高考考生们，想要在高考中取得高分，切记遇到难题不愿意、不甘心放弃，要懂得适当地迂回战术，遇到难题先将其略过，等到其他题目都完成以后，利用剩下的时间再慢慢研究，避免得不偿失的状况出现，还可以节省时间，分配出高考数学难题答题时间。
并且，数学解答题每写出一个步骤，所得到的分数，都远远可能高于一道数学选择题或者填空题的分数，因此，做题也要分清轻重。
养成检查的好习惯有很大一部分高考考生，都会在公布答案之后大呼遗憾，因为很多失分都是不应该的，都是不经意地疏忽造成的。
数学高中数学概率题解题技巧轻松击败难题
数学高中数学概率题解题技巧轻松击败难题概率是数学中常见的一个分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
在高中数学中，概率题目是一个常见的难点。
然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够轻松击败这些难题。
本文将为大家介绍一些高中数学概率题的解题技巧，帮助大家轻松应对并取得好成绩。
1. 理解概率基础知识在解答高中数学概率题之前，我们首先应该掌握一些基础概念和定义。
例如，我们应了解什么是试验，什么是样本空间，什么是随机事件等等。
只有对这些基础知识有清晰的理解，我们才能更好地解题。
2. 利用排列组合思想排列组合是解决概率题的常用方法之一。
通过利用组合数的知识，我们可以快速计算出概率。
例如，当我们需要计算从n个元素中取出k个元素的组合数时，我们可以使用组合数公式来计算。
这样可以快速缩小解题的范围，提高解题的效率。
3. 利用画图法在解答概率题时，我们可以使用画图法来帮助我们更好地理解和解决问题。
例如，当我们需要计算事件A和事件B同时发生的概率时，我们可以使用Venn图来表示随机事件A和事件B的交集。
通过画图，我们可以更清晰地看到问题的本质，从而更好地解决问题。
4. 利用条件概率条件概率是解决概率题的关键技巧之一。
当我们需要计算事件A在事件B发生的条件下发生的概率时，我们可以使用条件概率公式来计算。
条件概率可以帮助我们更好地理解事件之间的关系，并帮助我们更准确地计算概率。
5. 利用概率的加法和乘法原理概率的加法和乘法原理是解决概率题的重要原则。
当我们需要计算多个事件同时发生的概率时，我们可以使用乘法原理来计算。
当我们需要计算多个事件任意一个发生的概率时，我们可以使用加法原理来计算。
理解和掌握这两个原理，可以帮助我们更好地解答概率题。
总结：通过掌握上述的解题技巧，我们可以轻松击败高中数学概率题。
在解题过程中，我们首先要对概率的基础知识有充分的理解。
其次，我们要灵活运用排列组合、条件概率、画图法和概率的加法和乘法原理来解题。
高考数学爆强秒杀公式与方法
高考数学爆强秒杀公式与方法高考数学是考生们备战高考的重要一环，也是升学过程中最为重要的一门科目之一、因此，掌握一些高考数学爆强秒杀公式与方法，可以有效提高数学成绩。
在下面的文章中，我将为大家总结一些高考数学的爆强秒杀公式与方法，帮助大家更好地备考高考。
【一、几何题】1.面积定理面积定理是几何题中经常会用到的定理之一、对于平行四边形、直角三角形、等腰三角形等，可以利用面积定理来推导出相应的面积公式。
例如，平行四边形的面积公式为S=底边×高度，直角三角形的面积公式为S=底边×高度/2，等腰三角形的面积公式为S=边长×边长×根号2/42.直角三角函数直角三角函数是几何题中常用的重要工具。
对于给定直角三角形的两个边长，可以利用正弦、余弦、正切等函数来计算其他边长或角度。
需要特别注意的是，在计算时，一定要注意角度的弧度制与角度制之间的转换。
【二、函数与方程】1.二次函数性质二次函数是高考数学中非常常见的一种函数类型。
掌握二次函数性质可以帮助我们更好地解决与二次函数相关的问题。
例如，二次函数的图像为抛物线，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
此外，还可以利用二次函数的对称性质来求解最值等问题。
2.解方程的方法解方程是高考数学中的重要内容。
常见的解方程方法有因式分解法、配方法、求根公式等。
在解方程的过程中，可以根据具体情况选择合适的方法，简化运算，并快速求解方程。
【三、概率统计】1.排列组合排列组合是概率统计中的重要概念之一、掌握排列组合的公式和方法可以帮助我们解决关于选择问题的计数。
例如，全排列的计算公式为n!，组合的计算公式为C(n,r)=n!/[(n-r)!*r!]等。
2.快速计算在概率统计中，有一些常见的快速计算方法可以帮助我们迅速计算出结果。
例如，在计算二项式展开的过程中，可以利用二项式定理来直接计算结果，省去繁琐的展开过程。
另外，掌握计算平均数、方差等统计量的方法，可以在解答统计题中节省大量时间。
高考数学技巧全归纳：概率统计与立体几何
高考数学技巧全归纳：概率统计与立体几何高考数学占据着不可忽视的重要地位，考生们需要充分掌握一定数量的知识来通过考试。
本文旨在综合梳理出高考数学中概率统计和立体几何学科的常见技巧，为考生们提供一份参考资料。
首先，我们来谈谈概率统计。
在考试中，考生一般会考察概率概念、概率密度函数、条件概率、相关度等概率统计的基本概念和相关知识。
首先，了解概率的定义和性质是把握概率统计知识的重要前提，考生们需要学会正确应用概率的表达式计算出概率的值。
其次，考生需要掌握概率分布函数分别有什么，比如均匀分布、泊松分布、正态分布、二项分布等，并懂得如何应用它们解决具体问题，计算条件概率等。
最后，应该学会计算数据的统计特征，并学会绘制其统计直方图、核密度估计图等，理解它们之间的关系，以及利用它们来解决问题。
接下来，我们要讨论的是立体几何学科。
立体几何学也是高考数学考试的一个重要科目，考生们需要熟悉立体几何的基本概念，如直线、曲线、平面、立体、四边形、空间位置关系等。
除此之外，考生们还应该掌握诸如垂直平分线、向量、法向量、变换等概念，以及由这些概念组成的诸如投影、积分、对称、平面图形分析等立体几何技巧，从中获取解题的灵感，发挥自己的解题能力。
最后，通过理解和掌握这些技巧，考生们将获得更大的帮助。
一方面，可以帮助考生们更好地理解考题，提高准确的解题能力，另一方面，考生们可以利用这些技巧来解决实际应用中遇到的问题，让他
们在自己的学习和职业生涯中获得更多的帮助。
综上所述，本文就为考生们详细介绍了高考数学中概率统计和立体几何学科的常见技巧。
最后，希望考生们能充分利用以上知识，在考试中取得更好的成绩。
高中数学66个秒杀技巧模型
高中数学66个秒杀技巧模型
第一个部分是数统逻辑，这部分有11个秒杀模型，分别是纯虚实法、交点代入法、取最值法、双绝对值之和、二元和最值、变量相等模型、交并排除法、交并集理论、公式推测法、选择题选项法、估算法；
第二个部分是数列，有6个秒杀技巧：常备数列法、单条件法、等差等比求和、特殊值法、特征根法、等差类通项；
第三个部分是导数，这部分有10个秒杀技巧：必备不等式、三次函数因次分解、三次函数极值点、三次函数切线问题、必备复合函数、变号零点相同模型、零点比大小模型、端点效应、导向法、幸运数字法；第四部分知识是三角与向量，这部分有15个秒杀技巧：1的妙用、勾股定理、周期口诀、最值问题、射影定理、角平分定理、面积公式、特殊三角形、伪降幂公式、中点转化式、特殊值求向量、画图法、几何求模长、等和线、奔驰定理。
第五部分知识是解析几何，有11个秒杀技巧：切线模板、内外分弦、焦端点三角形、离心率模型、中点弦模型、焦点弦径模型、焦点相关面积模型、交点相关面积模型、仿射变换、平移齐次法、点线对称；
第六部分是立体几何知识，这部分有6个秒杀技巧，分别是：还原三视图、方体模型、内切球模型、外接球模型、空间余弦定理、射影面积求二面角；第七部分就是基本初等函数了，这个部分有8个秒杀技巧，分别是1/0比较法。
参数问题、知式求图、抽象具体化、对称最值、中值模型、周期对称、双括号不等式。
近些年有人统计，选择题中用到秒杀技巧的题目占选择题总数的一半以上，一共16题有10题左右能用到秒杀技巧，一共14题有8题左右会用到秒杀技巧名义工15题或者17题都是超过半数题目能用到。
所以灵活掌握各类题型的秒杀技巧，在数学考试中可以大大节约选择题做题时间，将更多时间用在后面的大题上。
【秒杀高中数学】几何概型
一、几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模
型为几何概率模型，简称为几何概型．
二、几何概型的概率公式
在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：
P(A)=
构成事件 A 的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
的正方体，该正方体的体积是 V1＝13＝1，而原正方体的体积为 V＝33＝27，故所求的概率为 P
＝V1＝ 1 . V 27
例 16：若在区间[－5,5]内任取一个实数 a，则使直线 x＋y＋a＝0 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2 有公
共点的概率为( )
第 4 页 共 12 页
A. 2
B.2
5
A. 1
B.1
C.1
D.1
13
9
4
2
第 1 页 共 12 页
解：由已知条件可得，此人射中的靶点与靶心的距离小于 2 的概率为 P＝ππ××2622＝19.答案：B
例 5：在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，则这个正方形的
面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( )
________．
解：依题意，矩形 OABC 的面积为 a×8＝8，设图中阴影部分的面积为 S，则由几何概型知识 a
可得向矩形 OABC 内随机投掷一点，落在阴影部分的概率为 P＝S，于是 3 ＝S，解得 S＝3.而
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| S＝∫a0sinxdx，所以 ∫a0sinxdx＝32，即(－cosx)
A.1
高中数学66个秒杀技巧模型
高中数学66个秒杀技巧模型引言数学是学习的重要基石，对于高中生来说，数学是一门重要而且挑战性的学科。
为了帮助高中生更好地掌握数学知识，本文总结了66个高中数学秒杀技巧模型，旨在帮助学生更有效地解决数学问题。
1. 一元二次方程的解法模型1：配方法将一元二次方程通过配方法转化为完全平方形式，再求解。
模型2：因式分解将一元二次方程通过因式分解的方式，将方程转化为两个一次方程，再求解。
2. 平行直线与垂直直线的关系模型3：平行直线的判定若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。
模型4：垂直直线的判定若两条直线的斜率的乘积等于-1，则这两条直线垂直。
3. 三角形模型5：直角三角形的性质直角三角形的两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。
模型6：相似三角形的判定若两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。
4. 指数与对数模型7：指数与幂的关系指数为负数时，可以将其转化为倒数的指数。
模型8：对数的规律log(A) + log(B) = log(A * B)。
5. 概率模型9：加法原理当两个事件互斥（即不可能同时发生）时，它们的概率可以相加。
模型10：乘法原理当两个事件相互独立时，它们的概率可以相乘。
6. 函数模型11：函数的奇偶性质若函数f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
若函数f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
模型12：函数图像的平移对于函数y = f(x)，若将其横坐标x平移h个单位，纵坐标y平移k个单位，则函数变为y = f(x-h)+k。
7. 三视图与投影模型13：立体图形的三视图通过某个立体图形的三视图，可以还原出这个立体图形的形状。
模型14：投影的性质平行投影后，相互平行的线段仍然平行。
8. 数列模型15：等差数列的通项公式对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。
模型16：等比数列的通项公式对于等比数列an，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
9. 矩阵模型17：矩阵乘法的规律(AB)C = A(BC)，即矩阵乘法满足结合律。
高考数学终极冲刺之立体几何+概率统计
立体几何1.(★★★深圳24届二轮)如图,四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形,AC 是圆柱的底面直径,PC 是圆柱的母线,E 是AC 与BD 的交点.AB =AD ,∠BAD =60°,AC =8.(1)记圆柱的体积为V 1,四棱锥P -ABCD 的体积为V 2,求V 1V 2:(2)设点F 在线段AP 上,P A =4PF ,PC =4CE ,求平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值.2.(★★★济南3模)如图,在三棱台ABC -DEF 中,平面ABC ⊥平面BCFE ,AF ⊥DE ,∠ABC =∠CBF =45°,AC >AB =1.(1)求三棱台ABC -DEF 的高;(2)若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155,求BC .3.(★★★安徽培优联盟)在矩形ABCD 中,BC =2AB =2,取BC 边上一点M ,将△ABM 沿着AM 折起,折成如图所示的四棱锥S -AMCD .(1)若M 为BC 的中点,二面角S -AM -B 的大小为π3,求AS 与平面ABCD 所成角的正弦值;(2)若将△ABM 沿着AM 折起后使得SD ⊥AM ,求线段MC 的长.4.（★★★24届长沙一中）如图,已知四棱锥P -ABCD 的底面是菱形,对角线AC ,BD 交于点O ,OA =4,OB =3,OP =4,OP ⊥底面ABCD ,E ,F 分别为侧棱PB ,PD 的中点,点M 在CP 上且CM =2MP.(1)求证:A ,E ,M ,F 四点共面;(2)求直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值.5.（★★★24届仿真2）如图,在三棱台ABC -A1B 1C 1中,AB ⊥BC ,BB 1⊥AC ,平面ABB 1A 1⊥平面ABC .(1)求证:BB 1⊥平面ABC ;(2)已知BC =4,BB 1=2,AC 1与A 1C 相交于点D ,AE =2EB ,且DE ⎳平面BCC 1B 1,设平面ABC 与CC 1所成角为α,求α的值.6.(★★★武汉二调)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,P A =PB ,DA =DB =2,AB =2,PD =1,点E ,F 分别为AB 和PB 的中点.(1)证明:CF ⊥PE ;(2)若PE =1,求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值.7.(★★★苏锡常二调)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1，AB⊥BC，AB=2，BC=1．(1)求证：BC1⊥A1C；(2)求二面角B1-A1C-B的余弦值.概率统计8.(★★★深圳24届二轮)春季流感对人的健康会带来一定的影响,为了有效预防流感,很多人选择了注射流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查,发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感,另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明,流感的检测结果是有错检的可能,已知忠有流感的人其检测结果有95%呈阳性(感染),而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性(未感染).(1)估计该市流感感染率是多少?(2)根据所给数据,补充下面的列联表,并判断是否有99.9%的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关:疫苗情况流感情况合计患有流感不忠有流感打疫苗不打疫苗合计(3)将第(1)问中流感感染率当作该市居民患流感的概率,已知该市某居民的流感检测结果呈阳性,求此人真的患有流感的概率.(精确到0.001)附:K2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d,P K2>xα0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.8289.(★★★安徽培优联盟)某品牌儿童玩具一箱80件,每箱玩具在出厂前都需要经过质检,如果质检不合格,则立即更换.质检时,先从一箱玩具中任取8件检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有玩具进行检验,设每件玩具质检不合格的概率都为p 0<p <1 ,且各件玩具质检是否合格相互独立.(1)若p =12,求8件玩具中至少有一件质检不合格的概率;(2)记8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为f p ,求f p 的极大值点p 0.10.(★★★华大联盟)贵州省“美丽乡村”篮球联赛在比赛间隙进行芦笙舞、侗族大歌等非物质文化遗产展演,这项活动将体育运动与当地民族民俗文化相磁合,创造出独特的文体公共产品.为了打造更具吸引力的赛事,某平台发起了群众观赛意见反馈调查,共收回了200份调查问卷.性别关注赛事不关注赛事男8436女4040(1)通过进一步分析关注赛事群众的调查问卷得知,关注表演的女性用户有24名,现从关注赛事的群众中抽取一人,设“抽取的一人为男性”为事件A ,“抽取的一人关注表演”为事件B ,若P B ∣A ⋅P A ∣B =121,则以此次调查的数据为依据,估计从平台用户中任意抽取一名用户,该用户关注表演的概率为多少;(2)是否有99.5%的把握认为是否关注赛事与性别有关?附:K 2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d,其中n =a +b +c +d .P K 2>x α0.10.050.010.005x α2.7063.8416.6357.87911.（★★★24届仿真2）农民专业合作社是在农村家庭承包经营的基础上,同类农产品的生产经营者或同类农业生产经营服务的提供者、利用者、自愿联合、民主管理的互助性经济组织.国家给予农民专业合作社在生产、经营、销售等方面全方位的优惠政策.某地大型农民专业合作社不断探索优化生产、经营、销售等方面的科学方案,引人人工智能管理系统,合作社的市场营销研究人员调研该合作社的10个主体项目,统计分析人工智能管理的实际经济收益x (单位:万元),与市场预测的经济收益y (单位:万元)的相关数据如下表:(注:10个主体项目号分别记为i ,i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)项目号i 12345678910实际收益x i5.387.996.37 6.717.53 5.534.184.04 6.024.23预测收益y i5.438.076.576.147.95 5.564.274.15 6.044.49x i -y i0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得10i =1x 2i=353.6,10i =1y 2i=361.7,10i =1x i y i =357.3,x 2≈33.62,y 2≈34.42,x y≈34.02.(1)求该合作预测收益y 与实际收益x 的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否具有较强的线性相关关系;(2)规定:数组x i ,y i 满足x i -y i <0.1为“I 类营销误差”;满足0.1≤x i -y i <0.3为“II 类营销误差”;满足x i -y i ≥0.3为“III 类营销误差”.为进一步研究,该合作社的市场营销研究人员从“I 类营销误差”、“II 类营销误差”中随机抽取3组数据与“III 类营销误差”数据进行对比,记抽到“I 类营销误差”的数据的组数为随机变量X ,求X 的分布列与数学期望。
高中解析几何秒杀公式
高中解析几何秒杀公式解析几何是数学必考的内容，高考数学中的解析几何的公式又非常多，那么考生如何秒杀高考数学解析几何的公式呢?高考数学解析几何有哪些解题技巧呢?如何秒杀高考数学圆锥曲线1.根据题设的已知条件，利用待定系数法列出二元二次方程，求出椭圆的方程，并化为标准方程。
2.直线设为斜截式y=kx+m，将直线与椭圆联立得到如图一元二次方程。
注意该式子具有普适性。
3.通常要验证判别式大于零(因为无论是该经验所给的弦长公式还是韦达定理都是在判别式大于零的情况下才有意义，若题目给出直线与椭圆相交则略去该步，多写不扣分)。
4.直接写出需要的弦长公式或韦达定理。
可以省去至少5分钟，而且不会算错。
5恒成立问题的证明可能会与导数，不等式交汇。
恒成立问题的证伪只要找到反例即可。
存在性问题通常是存在的，方法是提出无关的未知数。
6.最后别忘了写综上所述。
如何秒杀高考数学直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3.了解二元一次不等式表示平面区域。
4.了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5.了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6.掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
如何秒杀高考数学立体几何平行、垂直位置关系：1.由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
2.利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
3.三垂线定理及其逆定理在题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
空间角的计算方法：主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。
1.两条异面直线所成的角：平移法，补形法，向量法。
2.直线和平面所成的角分为作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算，和用公式计算。
50条高考数学秒杀公式方法
50条高考数学秒杀公式方法高考数学是高中阶段最重要的科目之一，也是考生们普遍感到困难的科目之一、而掌握一些高考数学的秒杀公式，不仅可以在考场上提高效率，还可以帮助考生更好地理解和解题。
下面是50条高考数学秒杀公式方法：一、二次函数1. 一般式：y=ax^2+bx+c，顶点是（-b/2a, -△/4a），对称轴是x=-b/2a；2.抛物线开口情况：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；3. 零点判别式：△=b^2-4ac，当△>0时，零点有2个；当△=0时，零点有1个；当△<0时，零点没有；4.顶点坐标：(-b/2a,c-b^2/4a)；5. 切线方程：y=kx+b，k=2a；6. 直线与抛物线交点：求解方程ax^2+bx+c=y；7.最值：y=a最大值的时候，x=-b/2a；y=a最小值的时候，x=-b/2a；二、三角函数1. 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中a,b,c为三角形的边长，A,B,C为对应的角度，R为外接圆半径；2. 余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中a,b,c为三角形的边长，C为对应的角度；3. 正弦函数的性质：-1≤sinx≤1；4. 余弦函数的性质：-1≤cosx≤1；5. 三角函数的周期性：sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx，其中k为整数；6. 诱导公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB；7. 一些特殊角的值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，sin45°=cos45°=1/√2，sin60°=√3/2，cos60°=1/2；8. 三角函数图像：y=Asin(Bx+C)+D，A为振幅，B为周期，C为横向平移量，D为纵向平移量；三、数列与数列的和1.等差数列：an=a1+(n-1)d，Sn=(a1+an)n/2；2.等比数列：an=a1*q^(n-1)，Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，其中q为公比；3. 通项和前n项和的换算：an=Sn-S(n-1)；4.等差数列前n项和的推导：n=(an-a1)/d+1，Sn=(a1+an)n/2=(a1+an)/2*n；5.等比数列前n项和的推导：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，当，q，<1时，Sn=a1/(1-q)；四、导数与微分1. 导数的定义：f'(x)=lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h；2. 基本初等函数的导数：常数函数的导数为0，x^n的导数为nx^(n-1)，sinx的导数为cosx，cosx的导数为-sinx，e^x的导数为e^x，lnx的导数为1/x；3. 乘法法则：(u·v)'=u'v+uv'；4. 除法法则：(u/v)'=(u'v-uv')/v^2；5.链式法则：[f(g(x))]'=f'(g(x))·g'(x)；6.整除法：P(x)=D(x)·G(x)+R(x)，R(x)为余数；7. 幂函数的导数：y=x^n，y'=nx^(n-1)；8. 指数函数的导数：y=a^x，y'=a^x·lna；9. 对数函数的导数：y=log_a(x)，y'=1/(x·lna)；五、空间几何1.平面方程：Ax+By+Cz+D=0；2.直线方程：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p，其中(x0,y0,z0)为直线上一点的坐标，m,n,p分别为直线在x,y,z轴上的方向比例；3.平面与平面的交线：先通过向量积求得交点的一个坐标，再带入两个平面方程解出其他两个坐标；4.立体图形的体积：长方体的体积为V=a·b·c，正方体的体积为V=a^3，圆柱的体积为V=πr^2h，圆锥的体积为V=1/3πr^2h，球体的体积为V=4/3πr^3以上是50条高考数学的秒杀公式方法，希望对你备考高考数学有所帮助！。
高考数学48条秒杀型公式与方法
1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律：(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。