高数变化率问题

表示雨滴的体积， 表示雨滴的半径， 表示雨滴的表面积． 解 设 V 表示雨滴的体积， r 表示雨滴的半径， S 表示雨滴的表面积．
4 2 则 S = 4π r ， V = π r 3 ， 3 dV 2 dr (1) ∴ = 4π r dt dt 已知蒸发速率 − dV 为常数） ( 2) = kS （k 为常数） dt dr 2 dr ( 由 (1)、2) 得 4π r = − kS 即 = −k dt dt
5
x2Leabharlann sdx 又 = −2 dt
ds 4 所以， 所以， = － dt 3
d ( x + s ) dx ds 10 影顶速度为： 影顶速度为： = + =− dt dt dt 3
例2 雨滴 (假定为球状 )在下落过程中，由于水 分的不断蒸发而减小， 在下落过程中， 分的不断蒸发而减小，
于表面积， 径的变化率． 已知水分蒸发速率正比 于表面积，试求雨滴半 径的变化率．
§4.5 相关变化率 4.5
若两个变量之间具有某种关系， 并且两个变量又是 若两个变量之间具有某种关系，
的函数． 另一变量 t 的函数．
F ( x , y ) = 0 并且
若已知变化率
x = x( t ) (t y = y( t )
dx dy ， 去推导另一个变量的变化率 dt ， dt
解 设梯子下端离墙的距离 为 x，
梯子上端到地面的高度 为 y，
梯子与墙的夹角为 θ ．
y
θ
5m
dx π 已知 = 0.5，x0 = 3， 0 = ． θ dt 3
x
0.5 m / s
(1) 由题意
x 2 + y 2 = 52
dx dy 求导： 两边对 t 求导： 2 x + 2 y = 0 dt dt dy x dx 即有 =− dt y dt dx 代入上式， 由 x = 3，得 y = 4， 及 = 0.5 代入上式， dt dy 3 3 得 = − ⋅ 0.5 = − m / s dt 4 8 dy 3 从而 = m / s， dt 8 3 即梯子上端向下滑落的 速率为 m / s ． 8
即梯子与墙的夹角为
π
3
时，
该夹角的增加率为 0.2 弧度 / s ．
从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油， 例4 从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐 扩散成油层。设在扩散的过程中， 扩散成油层。设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚 度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变。 度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变。
成正比， 已知其厚度 h 的减少率与 h 3 成正比，证明 成反比。 其半径 r 的增加率与 r 3 成反比。
证明： 证明：
在等式 V = π r 2 h
两边同时对 t 求导， 求导，
有2rh
dr dh + r2 =0 dt dt dr r dh krh2 =− = dt 2h dt 2
dh 由题意知， 由题意知， = − kh 3 , 代入，得 代入， dt V dr krh2 kV 2 1 1 2 又 V = πr h， h = K 3 = = 2 2 3 = πr dt 2 2π r r
(2)
x 由题意 sin θ = ， 5
求导： 两边对 t 求导：
d θ 1 dx cosθ = dt 5 dt
dθ 1 dx ∴ = dt 5 cosθ dt
dx 将 θ = ， = 0.5 m / s 代入上式得 3 dt dθ 1 = × 2 × 0.5 = 0.2 弧度 / s dt 5
π
故雨滴的减小速率为 k ．
米的梯子斜靠在墙上， 例 3一长为 5 米的梯子斜靠在墙上， 如果梯子下端以 0.5 米 / 秒 的速率滑离墙壁， 的速率滑离墙壁，试求 (1) 梯子下端离墙 3 米时，梯子上端向下滑 落的速率； 米时， 落的速率；
( 2) 梯子与墙的夹角为
π
3
时，该夹角的增加率． 该夹角的增加率．
我们称之为相关变化率问题．
米的人， 例1 一个身高 2 米的人，向一个高为 求此时人身影的长度之 运动速度。 运动速度。
5 米的灯柱走去， 米的灯柱走去， 为 2m / s. 顶的
米时， 当他走到离灯柱 2.8 米时，该人的瞬时速度
瞬时伸长率， 瞬时伸长率，并求身影
解：如图所示
2 s = 5 s+ x 2 s= x 3 ds 2 dx = dt 3 dt