求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题
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并回答下列问题： (1)指出 x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
表示的平面区域，
[分析] (1)数形结合；(2)整点是指横、纵坐标 均为整数的点．
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[解析 ]
第三十四讲
简单的线性规划
共 57 页
1
共 57 页
2
回归课本 1. 二元一次不等式表示平面的区域：直线 Ax ＋ By＋C＝0将平面划分为三部分，即点在直线上； 点在直线的上方区域；点在直线的下方区域， 若满足 B(Ax＋By＋C)＞0，则点 P(x，y)在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方；若满足 B(Ax ＋ By ＋ C) ＜ 0 ，则点 P(x ， y) 在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的下 方． 二元一次平面区域的判定方法是：“直线定界、 特殊点定域．”
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15
答案：B
x＋y≥0， 5． (全国卷Ⅰ) 若 x 、 y 满足约束条件x－y＋3≥0， 0≤x≤3，
－y 的最大值为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
则 z＝ 2x
解析：如右图，作出可行域，z＝2x－y可化为y ＝2x－z. 由图可知直线 y ＝ 2x － z 经过点 A(3 ，－ 3) 时， z 有最大值，最大值为z＝9.
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13
解析：设对甲项目投资 x 万元，对乙项目投资 y 万元，获得 总利润为 z 万元，则 z＝ 0.4x＋ 0.6y，且
x＋ y≤60， x≥2y， 3 x≥5， y≥5，
作出不等式组表示的平面区域，
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14
如图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0，并将l0向 上 平 移 ， 过 点 C 时 z 取 得 最 大 值 ， 即 zmax ＝ 0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．故选B.
共 57 页 3
2．线性规划：求线性目标函数在线性约束条件 下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题， 满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所 有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数 取得最大值或最小值的可行解叫做最优解． 3．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； 4 共 57 页 (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
点评： (1)用图解法解决线性规划问题时，分析 题目的已知条件找出约束条件和目标函数是关 键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清 头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件， 并就题目所述找到目标函数． (2) 可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧 开放的无限大的平面区域． 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点 处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一 般就是多边形的某个顶点． 特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域 5 共 57 页 的某条边平行时 (k ＝ ki) ，其最优解可能有无数
共 57 页 6
考点陪练 1. 已知点 (3,1) 和 (4 ，－ 6) 在直线 3x － 2y ＋ a ＝ 0 的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－24,7) B．(7,24) C．(－7,24) D．(－24，－7)
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7
解析： 联想“代点法”判断 Ax ＋ By ＋ C 的符号 法则．若两点在直线 3x－2y＋a＝ 0的两侧，把 点的坐标代入3x－2y＋a所得两式的符号一定相 反．把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a， 得7＋a,24＋a. 由题意知：(7＋a)(24＋a)＜0⇔－24＜a＜－7. 答案：D
(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而利用 图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当 的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的 距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离 最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解 附近寻找．这个问题我们将在后面的例题中详 细说明． 如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试法 也可．
答案：D
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点评：学习数学要在“做中学”，勤动笔，勤 动脑，这里的“动”是没有人可以替代的．
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4．某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要 2 求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 ， 且对每个项目的投资 3 不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润， 对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划 投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( A．36 万元 C． 30.4 万元 B． 31.2 万元 D．24 万元 )
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8
2 ． (2010· 石 家庄 质 检一) 已知 变量 x ，y 满足 约 束条 件
y≤x x＋y≥2 ，则目标函数 z＝2x＋ y 的最大值为( y≥3x－ 6
A．3 C． 9 B． 4 D．12
)
答案：C
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9
3 ． (2011· 名 校 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ x 2 － 2x ， 则 满 足 条 件
fx＋fy≤0 fx－fy≥0
的点(x，y)所形成区域的面积为( B． 2π D．π
)
A．4π C. 3π 2
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10
解析：不等式 f(x)＋ f(y)≤0 可转化为(x－1)2＋ (y－1)2≤2，不 等式 f(x)－ f(y)≥0 可转化为(x－ y)(x＋ y－2)≥0.于是点(x， y)所形成 1 的区域为两个 圆面，而圆面积是 2π. 4
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16
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17
类型一 二元一次不等式表示的平面区域及整 点问题 解题准备： 不等式组表示的平面区域是各个不 等式所表示的平面点集的交集，即是各个不等 式所表示的平面区域的公共部分．整点：区域 内横、纵坐标为整数的点．
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x－y＋5≥0， 【典例 1】 画出不等式组 x＋y≥0， x≤3.
表示的平面区域，
[分析] (1)数形结合；(2)整点是指横、纵坐标 均为整数的点．
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第三十四讲
简单的线性规划
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回归课本 1. 二元一次不等式表示平面的区域：直线 Ax ＋ By＋C＝0将平面划分为三部分，即点在直线上； 点在直线的上方区域；点在直线的下方区域， 若满足 B(Ax＋By＋C)＞0，则点 P(x，y)在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方；若满足 B(Ax ＋ By ＋ C) ＜ 0 ，则点 P(x ， y) 在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的下 方． 二元一次平面区域的判定方法是：“直线定界、 特殊点定域．”
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答案：B
x＋y≥0， 5． (全国卷Ⅰ) 若 x 、 y 满足约束条件x－y＋3≥0， 0≤x≤3，
－y 的最大值为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
则 z＝ 2x
解析：如右图，作出可行域，z＝2x－y可化为y ＝2x－z. 由图可知直线 y ＝ 2x － z 经过点 A(3 ，－ 3) 时， z 有最大值，最大值为z＝9.
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解析：设对甲项目投资 x 万元，对乙项目投资 y 万元，获得 总利润为 z 万元，则 z＝ 0.4x＋ 0.6y，且
x＋ y≤60， x≥2y， 3 x≥5， y≥5，
作出不等式组表示的平面区域，
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如图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0，并将l0向 上 平 移 ， 过 点 C 时 z 取 得 最 大 值 ， 即 zmax ＝ 0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．故选B.
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2．线性规划：求线性目标函数在线性约束条件 下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题， 满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所 有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数 取得最大值或最小值的可行解叫做最优解． 3．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； 4 共 57 页 (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
点评： (1)用图解法解决线性规划问题时，分析 题目的已知条件找出约束条件和目标函数是关 键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清 头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件， 并就题目所述找到目标函数． (2) 可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧 开放的无限大的平面区域． 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点 处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一 般就是多边形的某个顶点． 特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域 5 共 57 页 的某条边平行时 (k ＝ ki) ，其最优解可能有无数
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考点陪练 1. 已知点 (3,1) 和 (4 ，－ 6) 在直线 3x － 2y ＋ a ＝ 0 的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－24,7) B．(7,24) C．(－7,24) D．(－24，－7)
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解析： 联想“代点法”判断 Ax ＋ By ＋ C 的符号 法则．若两点在直线 3x－2y＋a＝ 0的两侧，把 点的坐标代入3x－2y＋a所得两式的符号一定相 反．把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a， 得7＋a,24＋a. 由题意知：(7＋a)(24＋a)＜0⇔－24＜a＜－7. 答案：D
(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而利用 图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当 的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的 距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离 最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解 附近寻找．这个问题我们将在后面的例题中详 细说明． 如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试法 也可．
答案：D
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点评：学习数学要在“做中学”，勤动笔，勤 动脑，这里的“动”是没有人可以替代的．
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4．某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要 2 求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 ， 且对每个项目的投资 3 不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润， 对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划 投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( A．36 万元 C． 30.4 万元 B． 31.2 万元 D．24 万元 )
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2 ． (2010· 石 家庄 质 检一) 已知 变量 x ，y 满足 约 束条 件
y≤x x＋y≥2 ，则目标函数 z＝2x＋ y 的最大值为( y≥3x－ 6
A．3 C． 9 B． 4 D．12
)
答案：C
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3 ． (2011· 名 校 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ x 2 － 2x ， 则 满 足 条 件
fx＋fy≤0 fx－fy≥0
的点(x，y)所形成区域的面积为( B． 2π D．π
)
A．4π C. 3π 2
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解析：不等式 f(x)＋ f(y)≤0 可转化为(x－1)2＋ (y－1)2≤2，不 等式 f(x)－ f(y)≥0 可转化为(x－ y)(x＋ y－2)≥0.于是点(x， y)所形成 1 的区域为两个 圆面，而圆面积是 2π. 4
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类型一 二元一次不等式表示的平面区域及整 点问题 解题准备： 不等式组表示的平面区域是各个不 等式所表示的平面点集的交集，即是各个不等 式所表示的平面区域的公共部分．整点：区域 内横、纵坐标为整数的点．
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x－y＋5≥0， 【典例 1】 画出不等式组 x＋y≥0， x≤3.