将军饮马专题

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中考数学专题《将军饮马模型》

是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( B )
A.(0，4 ) B.(0，5 ) C.(0,2) D.(0，10 )
3
3
3
河边
y
A
C
E E
Bห้องสมุดไป่ตู้
DO
D´ x
针对训练
将军饮马---两定一动
知识点二
如图:已知⊙O的直径CD为2,︵AC的度数为60º,点B是A︵C的中点,在直
径CD上作出点P,使BP＋AP的值最小,则BP＋AP的最小值为__2___
图形特征：两定一动；适用模型：将军饮马；
基本策略：同侧化异侧、折线化直线；
基本方法：N个动点N条河,N次对称跑不脱；
基本原理：两点之间线段最短；
P
A´ PA+PB=_P_A_´_+_P_B_=_A_´_B_.
典例精讲
将军饮马---两定一动
知识点二
【例2】如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E
O 河流 C
N
A2
将军沿A-B-C-A走路程最短
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点三
【例3-1】如图,点A(a,3)B(b,1)都在双曲线 y = 3 上,点C,D分别 x
是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为( B )
A.5 2 B.6 2 C.2 10 +2 2 D.8 2
河边
A＇ y A
D
B
D
草地
O CC
x
B＇
典例精讲
将军遛马---两定两动
知识点二
【例3-2】如图,∠AOB=45º,点P是∠AOB内一点且OP= 2 ,若点M、N

专题14 将军饮马问题(解析版)

专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。

模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。

模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。

专题09 最值模型-将军饮马(解析版)

专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A’是A关于直线m的对称点。

例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ+的最小值为______．2【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．mABPmAB mABPmAB【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，22EC =∴PQ +QC 22【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，3BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，43BC =⊥3tan 43AB ACB BC ∠==，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥1232BF BC ==⊥243B B BF '== ⊥23BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形， ⊥2222(43)(23)6B E BB BE ''=-=-，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】8 5【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，由折叠的性质知CE是⊥DCM的平分线，⊥点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，⊥MN+NP=MN+NP′≤MF，⊥MN+NP的最小值为MF的长，连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，⊥AD=CD=2，DE=1，⊥CE22125⊥12CE×DO=12CD×DE，⊥DO25⊥EO5⊥MF⊥CD，⊥EDC=90°，⊥DE⊥MF，⊥⊥EDO=⊥GMO，⊥CE为线段DM的垂直平分线，⊥DO=OM，⊥DOE=⊥MOG=90°，⊥⊥DOE⊥⊥MOG，⊥DE=GM，⊥四边形DEMG为平行四边形，⊥⊥MOG=90°，⊥四边形DEMG为菱形，⊥EG=2OE25GM= DE=1，⊥CG35，⊥DE⊥MF，即DE⊥GF，⊥⊥CFG⊥⊥CDE，⊥FG CG DE CE =，即35515FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85．【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．【答案】（1）PB '，P B ''，AB '；（2）25；（3）17；（4）23【分析】（1）根据对称性即可求解；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ，则ED 是EF FB +的最小值；（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；（4）分析知：当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小，再根据特殊角计算长度即可；【详解】解：（1）根据对称性知：'''''',,PB PB P B P B AP PB AP PB AB ==+=+=，故答案为：PB '，P B ''，AB '；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ⊥ED 是EF FB +的最小值又⊥正方形的边长为4，E 是AB 中点⊥222425ED =+= ⊥EF FB +的最小值是25；（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为'AC的长度： ⊥'43,8,11AE A E cm BF cm BC cm EB cm =====， ⊥'15A B cm =⊥''222215817AC AB BC cm =+=+=（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆ ⊥'''2,30A B AB A BD ==∠=︒ 当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小⊥''''////,AB A B CD AB A B CD == ⊥四边形''A B CD 是矩形，''30B AC ∠=︒⊥''2343,33B C AC == ⊥''23AC B C += 【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。

专题02 将军饮马(解析版)

专题02 将军饮马和最小【例1】如图，抛物线215222y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，与y 轴相交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；【解答】解：（1）当0x =时，则52y =， 5(0,)2C ∴，当0y =时，2152022x x -++=，化简，得2450x x --=，解得，1x =-或5x =，(1,0)A ∴-，(5,0)B ；（2）如图，连接BC ，交对称轴于点P ，连接AP ．点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，AP PB ∴=，要使PA PC +的值最小，则应使PB PC +的值最小，BC ∴与对称轴的交点，使得PA PC +的值最小．设BC 的解析式为y kx b =+．将(5,0)B ，5(0,)2C 代入y kx b =+，得5250b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，∴1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为1522y x =-+ 抛物线的对称轴为直线22122x ==-⨯ 当2x =时，1532222y =-⨯+=， 3(2,)2P ∴；【变式训练1】已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠交x 轴于点(6,0)A 和点(1,0)B -，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标；【解答】解：（1）抛物线26y ax bx =++经过点(6,0)A ，(1,0)B -，∴6036660a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴15a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2254956()24y x x x =-++=--+， ∴抛物线的解析式为256y x x =-++，顶点坐标为5(2，49)4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为256y x x =-++，(0,6)C ∴，6OC ∴=， (6,0)A ，6OA ∴=，OA OC ∴=，45OAC ∴∠=︒， PD 平行于x 轴，PE 平行于y 轴，90DPE ∴∠=︒，45PDE DAO ∠=∠=︒，45PED ∴∠=︒，PDE PED ∴∠=∠，PD PE ∴=，2PD PE PE ∴+=，∴当PE 的长度最大时，PE PD +取最大值，(6,0)A ，(0,6)C ，∴直线AC 的解析式为6y x =-+，设(E t ，6)(06)t t -+<<，则2(,56)P t t t -++，22256(6)6(3)9PE t t t t t t ∴=-++--+=-+=--+，当3t =时，PE 最大，此时，25612t t -++=，(3,12)P ∴；【变式训练2】如图，抛物线23y ax bx =+-经过点(2,3)A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P ，使PB PC +的值最小，求点P 的坐标；【解答】解：（1）令0x =，则3y =-，3OC ∴=，3OC OB =，1OB ∴=，(1,0)B ∴-，(2,3)A -，(1,0)B -在抛物线23y ax bx =+-上，∴423330a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， ∴12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--；（2）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =--，∴抛物线的对称轴直线为1x =，由（1）知，(0,3)C -，(2,3)A -，∴点A ，C 关于抛物线对称轴直线1x =对称，∴直线AB 与对称轴直线1x =的交点为点P ，设直线AB 的解析式为y kx c =+，点(2,3)A -，(1,0)B -在直线AB 上，∴023k c k c -+=⎧⎨+=-⎩， ∴11k c =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =--，令1x =，则2y =-，(1,2)P ∴-；【变式训练3】如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点E 为x 轴上一点，且AE CE =，求点E 的坐标；（3）设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，对于直线122y x =-，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =-，∴点(4,0)A ，点(0,2)C -，将(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -代入抛物线解析式得：164002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-+-；（2）如图2，由点E 在x 轴上，可设点E 的坐标为(,0)e ，则4AE e =-，在Rt COE ∆中，根据勾股定理得：222222CE OC OE e =+=+，AE CE =，222(4)2e e ∴-=+，解得：32e =，则点E 的坐标为3(2，0)；（3）存在．如图3，取点B 关于y 轴的对称点B '，则点B '的坐标为(1,0)-，连接B D '，直线B D '与y 轴的交点G 即为所求的点．22151592()22228y x x x =-+-=--+， ∴顶点5(2D ，9)8，设直线B D '的解析式为(0)y kx d k =+≠，则05928k d k d -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：928928k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线B D '的解析式为992828y x =+，当0x =时，928y =， ∴点G 的坐标为9(0,)28．【例2】如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -代入2y ax bx c =++得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线的关系式为223y x x ==--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=，点M 在对称轴1x =上，且ACM ∆的周长最短，MC MA ∴+最小，点A 、点B 关于直线1x =对称，∴连接BC 交直线1x =于点M ，此时MC MA +最小，设直BC 的关系式为y x b =+，(3,0)B ，(0,3)C -，∴303b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当1x =时，132y =-=-，∴点(1,2)M -，∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【变式训练1】如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．（1）求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由（使用图1)；【解答】解：（1）抛物线与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴x l =，则11231m n -⎧-=⎪⎪⨯⎨⎪=-⎪⎩，解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线解析式为212133y x x =--，令2121033y x x =--=，得：11x =-，23x =， (1,0)A ∴-，(3,0)B ；（2）在对称轴上存在D 使三角形形DAC 的周长最小，连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小．设BC 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B 、(0,1)C -分别代入上式得：130b k b =-⎧⎨+=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的解析式为113y x =-，当1x =时，23y =-，所以点D 的坐标为2(1,)3-；【变式训练2】如图，已知二次函数24(0)y ax x c a =-+≠的图象与坐标轴交于点(1,0)A -和点(0,5)B -．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP ∆的周长最小，请求出点P 的坐标；【解答】解：（1）将点A 、点B 的坐标代入，得405a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：15a c =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为245y x x =--；（2）二次函数解析式为245y x x =--，∴对称轴方程为：2x =，令0y =，则2450x x --=，解得：11x =-，25x =，则抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为(5,0)，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，将点B 、C 的坐标代入得：505k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：15k b =⎧⎨=-⎩，即直线BC 的解析式为：5y x =-，点P 在抛物线对称轴上，∴点P 的坐标为(2,3)-；【例3】如图，抛物线2y =+x 轴交于A ，B 两点(A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ．（1）求顶点D 的坐标及直线AC 的解析式；（2）如图，P 为直线AC 上方抛物线上的一动点，连接PC 、PA ，当PAC ∆面积最大时，过P 作PQ x ⊥轴于点Q ，M 为抛物线对称轴上的一动点，过M 作y 轴的垂线，垂足为点N ．连接PM ，NQ ，求PM MN NQ ++的最小值．【解答】解：（1）2y=+20y=-=，解得：4x=-或1，故点A、B的坐标分别为：(4,1)-、(1,0)，点C，由抛物线的表达式知，顶点3(2D-；将点A、C的坐标代入一次函数：y kx b=+得：40k bb-+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线AC的表达式为：y=+（2）设直线PQ交AC于点H，设点2(,P x x-+，则点(Hx+，则PAC∆面积2212[4)2PHC PHAS S PH OA x x∆∆=+=⨯⨯=⨯-+=+，36-<，故PAC∆面积存在最大值，此时2x=-，故点(2P-，，则点(2,0)Q-；将点P向右平移32个单位得到点1(2P'-，，作点P'关于y轴的对称点1(2P''，，连接P Q''交y轴于点N，过点N作NM垂直于函数的对称轴于点M，则点M、N为所求点，理由：连接PM、P N'，//PP MN '，32PP MN '==，故四边形PPNM 为平行四边形，故PM P C P C ='=''，则PM MN NQ P C MN NQ MN P Q ++=''++=+''为最小，PM MN NQ ∴++最小值32MN P Q =+''=【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为(8,0)C ，(0,6)B ，5CD =，抛物线215(0)4y ax x c a =-+≠过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以每秒5个单位长度的速度沿D A B C →→→的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿OC 方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，求t 的值；（4）过点D 与x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段BA 沿过点B 的直线翻折，点A 的对称点为A '，求A Q QN DN '++的最小值．【解答】解：（1）将(8,0)C ，(0,6)B 代入2154y ax x c =-+，得15648046a c c ⎧-⨯+=⎪⎨⎪=⎩，解得386a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：2315684y x x =-+；（2）如答图1，作DE x ⊥轴于点E ，(8,0)C ，(0,6)B ，8OC ∴=，6OB =． 10BC ∴=．BOC BCD DEC ∠=∠=∠， ~BOC CED ∴∆∆．∴BC BO OCCD CE DE==． 3CE ∴=，4DE =． 11OE OC CE ∴=+=．(11,4)D ∴．（3）若点M 在DA 上运动时，5DM t =，4ON t =，当~BON CDM ∆∆，则BO ONCD DM=，即6455t t =不成立，舍去；当~BON MDC ∆∆，则BO ONMD DC=，即6455t t =，解得：t = 若点M 在BC 上运动时，255CM t =-．当~BON MCD ∆∆，则BO ON MC CD =，即62555ONt =-， ∴65ON t=-．当34t <时，164ON t =-．∴61645t t=--，解得1t =，2t =．当45t <时，416ON t =-∴64165t t=--，无解；当~BON DCM ∆∆，则BO ON DC CM =，即65255ONt=-， 306ON t ∴=-；当34t <时，164ON t =-，306164t t ∴-=-，解得7t =（舍去）；当45t <时，416ON t =-，306416t t ∴-=-，解得235t =．综上所示：当t =时，~BON MDC ∆∆；t =时，~BON MCD ∆∆；235t =时，~BON DCM ∆∆；（4）如答图2，作点D 关于x 轴的对称点F ，连接QF 交x 轴于点N ，点(11,4)D ，∴点(11,4)F -．由2315684y x x =-+得对称轴为5x =，∴点(5,4)Q ．∴10QF ，BQ ==∴5105A Q QN DN BQ BA QF ''++=-++．故A Q QN DN '++5．差最大【例1】如图，已知抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点(1,0)A 和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，则PBC ∆的面积最大值为； ②若点T 为对称轴直线2x =上一点，则TC TB -的最大值为．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为2212()()(1)(3)(43)3y a x x x x a x x a x x ax bx =--=--=-+=++，解得1a =，故抛物线的表达式为243y x x =-+①；（2）①如图1，过点P 作//PH y 轴交BC 于点H ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为3y x =-+，设点2(,43)P x x x -+，则点(,3)H x x -+，PBC ∆的面积2211393(343)2222PHC PHB S S PH OB x x x x x ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯-+-+-=-+， 302-<，故PBC ∆的面积有最大值，当32x =时，其最大值为278，故答案为278；②点B 关于函数对称轴的对称点为点A ，连接CA 交函数对称轴于点T ，则点T 为所求点，则TC TB TC TA AC -=-=为最大，故TC TB -的最大值为AC =【变式训练1】如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，抛物线交x 轴于C 、D 两点，已知(3,0)C - （Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使||MB MD -的值最大，请求出点M 的坐标及这个最大值．【解答】解：（Ⅰ）当0x =时，1332y x =+=，则(0,3)A ，把(0,3)A ，(3,0)C -代入212y x bx c =++得39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为215322y x x =++；（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线522b x a =-=-， C 点和D 点关于直线52x =-对称， MC MD ∴=，||MB MC BC -（当B 、C 、M 共线时，取等号）， ||MB MC ∴-的最大值为BC 的长，解方程组213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得0431x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，则(4,1)B -，BC ∴设直线BC 的解析式为y kx t =+，把(4,1)B -，(3,0)C -代入得4130k t k t -+=⎧⎨-+=⎩，解得13k t =-⎧⎨=-⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =--，当52x =-时，132y x =--=-，则此时M 点的坐标为5(2-，1)2-，∴点M 的坐标为5(2-，1)2-时，||MB MD -．【变式训练2】如图，已知抛物线上有三点(4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -．（1）求出抛物线的解析式；（2）是否存在一点D ，能使A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出D 点坐标，若没有，请说明理由．（3）在（2）问的条件，P 为抛物线上一动点，请求出||PD PB -取最大值时，点P 的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++， (4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -，∴016403a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：34a =，94b =，3c =-， ∴抛物线的解析式为239344y x x =+-；（2）存在一点(5,3)D -，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：1OB =，3OC =，4OA =，5AC ∴，AB AC ∴=，当CD 平行且等于AB 时，四边形ACDB 为菱形，5CD AB ∴==，∴点D 的坐标为(5,3)-，当点D 在第二、三象限时，以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴存在一点(5,3)D -，使得以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形．（3）设直线DB 的解析式为(0)y kx b k =+≠， (1,0)B ，(5,3)D -，∴53k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得：34k =-，34b =，∴直线DB 的解析式为3344y x =-+，当点P 与点D 、B 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系||PD PB DB -<，当点P 与点D 、B 在同一直线上时，||PD PB DB -=，∴当点P 与点D 、B 在同一直线上时，||PD PB -的值最大，即点P 为直线DB 与抛物线的交点，解方程组2334439344y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，得1110x y =⎧⎨=⎩（舍去）或22592x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点P 的坐标为9(5,)2-时，||PD PB -的值最大．【变式训练3】如图，二次函数21212y x x =-++的图象与一次函数1y x =-+的图象交于A ，B 两点，点C 是二次函数图象的顶点，P 是x 轴下方线段AB 上一点，过点P 分别作x 轴的垂线和平行线，垂足为E ，平行线交直线BC 于F ．（1）当PEF ∆面积最大时，在x 轴上找一点H ，使||BH PH -的值最大，求点H 的坐标和||BH PH -的最大值；【答案】（1）点(1,0)H ，||BH PH -；【解答】解：（1）设点(,1)P m m -+，则点(,0)E m ，联立两个函数表达式得212121y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩，解得0615x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或，即点A 、B 的坐标分别为(0,1)、(6,5)-，由抛物线的表达式知，点(2,3)C ，由B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为27y x =-+，当271y x m =-+=-+时，62m x +=，故点6(2m F +，1)m -+， PEF ∆面积1161(1)()(1)(6)2224m PE PF m m m m +=⨯=⨯--=---， 104-<，故PEF ∆面积有最大值，此时17(16)22m =+=，故点7(2P ，5)2-，当P 、B 、H 三点共线时，||BH PH -的值最大，即点H为直线AB 与x 轴的交点，故点(1,0)H ，则||BH PH -的最大值BH PH BP =-===；。

专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)

专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。

模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。

例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。

PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。

【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小。

作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。

2.连A’B 。

3.交点P 就是要求点。

连线长A’B 就是PA+PB 最小值。

【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。

专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)

专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

将军饮马专题的教学设计

将军饮马专题的教学设计引言：将军饮马，为中国古代名将赤兔所骑马名。

将军饮马是中国古代文化中的经典形象之一，具有浓厚的历史文化底蕴。

将军饮马专题教学设计，旨在通过多种教学方式和方法，让学生了解将军饮马的意义、历史背景和文化内涵，培养学生的历史文化素养和思辨能力。

一、教学目标：1. 了解将军饮马的背景和文化内涵，理解其在古代文化中的地位和意义。

2. 培养学生的历史文化素养和对古代文化的兴趣。

3. 提高学生的综合素质，培养学生的思辨能力和创新意识。

4. 发展学生的表达能力和团队合作精神。

二、教学内容：1. 将军饮马的历史背景和文化内涵- 将军饮马的由来和起源- 将军饮马在古代文化中的地位和意义- 将军饮马的相关诗词和艺术形象2. 将军饮马的艺术表现形式- 将军饮马的绘画艺术- 将军饮马的雕塑艺术- 将军饮马的文学作品3. 将军饮马的相关活动和传统节日- 将军饮马相关的庆典活动- 将军饮马相关的传统节日三、教学过程：1. 导入：通过展示将军饮马的图片或相关视频，引发学生的兴趣和思考，激发学生对将军饮马的好奇心。

2. 学习内容的讲解：- 介绍将军饮马的历史背景和文化内涵，让学生了解将军饮马的起源和意义。

- 分析将军饮马在古代文化中的地位和影响，引导学生思考其在古代文化中的意义。

- 分享相关的诗词和艺术作品，让学生感受将军饮马的艺术表现形式。

3. 活动设计：- 组织学生进行绘画创作，要求学生以将军饮马为主题进行创作，展示他们对将军饮马的理解和想象力。

- 将学生分为小组，让他们自行选择一个将军饮马相关的传统节日，并组织他们进行调研和策划。

最后，组织一场将军饮马节庆活动。

- 让学生进行诗词创作，要求学生以将军饮马为灵感，表达他们对将军饮马的理解和感悟。

4. 总结和展示：- 组织学生分享他们的绘画作品、调研成果和诗词创作，让学生互相学习和交流。

- 总结将军饮马专题的学习，让学生回顾所学内容，并对这一专题的意义和价值进行思考。

专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)

∴ OD AD 3，即 A(3,3)
把点 A(3,3) 代入的 y k 得， k 9 x
∴反比例函数的解析式为： y 9 ． x
答：反比例函数的解析式为： y 9 ． x
（2）过点 B 作 BE AD 垂足为 E ，
∵∠B 90 ， AB BD ， BE AD
∴ AE ED 1 AD 3 ，
【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在
中，
，
是
的两条中线，是上一个动点，则下列线段的
长度等于
最小值的是（）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在
中，
，AD 是
的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于
点 P，此时
最小，为 EC 的长，故选 B.
2、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．
【答案】10 【详解】解：如图：
连接 DE 交 AC 于点 P，此时 PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形 ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、 P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．

中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题优质课件

y
A B′
CO
Px
B
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题优质课件
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数学活动室
1.如图，正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点O，N是AO的中
点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一动点，求|PM-PN|
B A
图1
C
图2
D
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题优质课件
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小小设计家
1.如图所示,钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造一个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这样可
以节省成本。
中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题优质课件
梳理体系
"将军饮马问题”的模型
【将军饮马问题模型6】异侧两点差的最大值问题
A B′ l P B
|PA-PB|最大问题
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梳理体系
"将军饮马问题”的模型
【将军饮马问题模型5】同侧两点差的最值问题
A
B l
P （1）
|PA-PB|最大问题
A
B
P
l
（2）
|PA-PB|最小问题
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专题02 将军饮马(一)-中考数学二次函数压轴题核心考点突破

A
N
M
B
D
C
【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值．
A
N M
B
D
C
过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7．
A
N
H
M
B
D
C
【隐身的等边三角形】如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN ， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是___________．
y A
C P
A． (2, 2)
O
B．(5 ， 5) 22
D
Bx
C．(8 ， 8) 33
D． (3, 3)
【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称：
y D'
A
P
C
也可以作点 C 的对称：
O
D
Bx
y C' A
C P
O
D
Bx
【隐身的正方形】（2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90°，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，
A ． 2 13
B ． 2 10
C．3 5
D． 41
D
C
P
A
B
【分析】由 SPAB
1 3 S矩形ABCD
可作出 P
点轨迹为直线
M N（A M =B N =2），作点
B
关于
MN 的对称点 B’，
化折线 PA+PB 为 PA+PB’．

专题07 将军饮马模型(解析版)

专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。

将军饮马模型专题

将军饮马模型专题练习一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。

例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD 周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

初中数学将军饮马专题试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程为（）。

A. √(x^2 + y^2)B. x + yC. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)2. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是（）。

A. x + yB. √(x^2 + y^2)C. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)3. 下列哪个图形可以表示将军饮马问题中的将军从A地到B地的最短路程（）？A. B. C. D.4. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是（）。

A. x + yB. √(x^2 + y^2)C. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)5. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是（）。

A. x + yB. √(x^2 + y^2)C. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)二、填空题（每题5分，共25分）1. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是______。

2. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是______。

3. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是______。

中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型及典型例题课件

使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两个定点距离之和最小的点。
y A
D E OC B x
y
A
C
D
E
C′O C
B
x
数学活动室
1.一次函数 y kx b 的图象与x、y轴分别交于点A（2，0）、B
（0，4）.
学（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA的中点为C，D、P分别为AB、OB上一
以动点，求△PCD的最小值，并求取得最小值时P点坐标。
y
致
B
用
D P
O CA
x
2020年中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)中考复习课件中考ppt课件中考专题复习课件优秀课件
梳理体系
【将军饮马问题模型4】双动点双对称（四边形周长的最小值问题）
P1
M
a
A
B b
N
P2
2020年中考复习专题：中考中“将军饮马” 问题的常见模型及典型例题课件(共38张PPT)中考复习课件中考ppt课件中考专题复习课件优秀课件
数学活动室
1.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y x 4 与x轴交于点A，过点A的抛物线 y ax2 bx与直线 y x 4 交于
另一点B，且点B的横坐标为1．

中考专题系列之最值——将军饮马

中考专题系列之最值——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册

13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册一．将军饮马：线段和的最小值例1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．例2．已知x+y＝7，且x，y均为正数，则的最小值是．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A．3B．C．5D．变式2．如图，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．8变式3．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m变式4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．8变式5．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7二．选址造桥例3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．变式1．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）三．线段差最大例4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2B．3C．D．变式1．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．变式2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cmC．6cm D．2cm四．角中对称问题例5．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，求∠AOB的度数．变式2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，求则△PMN的周长．变式3．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值课后练习1．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG ⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC 上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则线段CP+EP的最小值为．5．如图，正方形ABCD的边长为6，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．6．如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l ⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+7．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．65．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为（）A．B．C．D．6．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°7．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC 上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）B．C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）9．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．6010．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC 的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．1213．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12，若点E，F是AC的三等分点，点P在正方形ABCD的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，则在此过程中PE+PF的最小值为（）A．4B．4C．6D．614．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．815．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，求∠AOB．16．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC 和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数17．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，求PM+MN的最小值18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，求△DEF的周长的最小值为．19．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为．20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N 是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，求PM+PN的最小值.21．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接BE，求△ABE周长的最小值。

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