长方体模型在立体几何中的应用

长方体模型在立体几何中的应用

江苏省太仓高级中学 陆红力

立体几何中学生最易掌握的简单几何体是长方体和正方体，其简单的几何性质和直观的几何构造已为广大高中生所熟悉,在长方体中适当添加辅助线，不仅可以构建各种线线关系、线面关系、面面关系，还可以割出像三棱锥、四棱锥、直三棱柱、长方体等，所以在遇到某些点、线、面及空间角和距离的问题时,若能联想并巧妙合理地构造出相关的长方体并加以解决,则能使很多复杂的问题变得更易理解,从而起到事半功倍的效果。

一 构造长方体 判断位置关系

例1 在空间，下列命题正确的是 （1）如果直线a ,b 分别与直线l 平行，那么a //b .

（2）如果直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a //β.

（3）如果直线a 与平面β内的两条直线b ，c 都垂直，那么a ⊥β.

（4）如果平面β内的一条直线a ⊥平面γ，那么β⊥γ.

说明：如图1，以长方形为模型，使得,,AD a BC b ==平面AC 为β，就可否定（2）；再使1,,,AB a AD b BC c ===就可否定（3）；所以正确为（1）、（4），因为（1）为平行线公理，（4）为面面垂直判定定理。

例2 已知 m ,l 是直线，α，β是平面，给出下列命题：

（1） 若l 垂直α内的两条相交直线，则l α⊥.

（2） 若//l α，则l 平行于α内的所有直线.

（3） 若,,m l αβ⊂⊂且,l m ⊥则αβ⊥.

（4） 若,l β⊂且,l α⊥则αβ⊥.

（5） 若,,m l αβ⊂⊂且//αβ，则//m l .

其中正确的是 ，（请将正确命题的序号填上）

说明：如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，选1l AB =，平面1DC β=，但1AB 不平行1DD ，易否定（2）；选平面1AC α=，平面1,,,AC AB m AD l β===，否定（3）；选平面AC α=，平面1111,,,AC AB m B C l β===，否定（5）

；因为（1）（4）分别为线面垂直、面面垂直判定定理，所以选（1）（4）.

此类问题是高考常见题型，主要考查线线、线面、面面位置关系。其解题方法是将假命题举一反例否定即可，而在长方体或正方体中这种反例很容易找到。

二 构造长方体 求解角与距离

空间角与距离的求解一直是令学生“谈虎变色”的，因为实现空间角与距离的转化是难点。借助长方体模型则有助于化解这一难点。

例3 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos α= . 说明：因为本题是填空题，所以不妨设正四棱柱为一个正方体，而在正方体中与各个面所成角都相等的直线是体对角线，如图，即1CA D ∠是所求的角α. 若令正方体的棱长为1，则11

2,3,A D AC ==故111

26cos 33A D CA D AC ∠===，即6cos .3α=特殊化思想是解决本题的捷径。 例 4 某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为,a b

的线段，则a b += .

说明 将该几何体放到长方体中（如图），看作对角线

17,AC =正视图投影为16,DC =侧视图投影为1,BC a =俯

视图投影为.AC b =因为

2222222222111112,DC BC AC DC CC BC CC DC BC AC ++=+++++=

所以22

2768,a b +=⨯-=故22

4 2.22a b a b ++≤== 因此，4,a b a b +≤+的最大值为4.

三 构造长方体 计算面积或体积

近年来的高考题中立体几何的填空题多以面积或体积的计算为主，对单纯考查记忆与计算的问题相对减少，取而代之的是灵活的试题。

例 5 在球面上有4个点,,,,S A B C 若,,SA SB SC 两两垂直，且

3,11,4,SA SB SC ===求该球的表面积。

说明 如图，因为,,SA SB SC 两两互相垂直，所以可以相交的三条线段为棱构建一个长方体，该长方体是球的内接长方体，其体对角线的长等于球的直径，设球的半径为R ，易知，222243(11)436,R =++=所以2436.S R ππ==表

本题也可作一变式：将边长为2的正三角形ABC 沿高AD 折成直二面角B AD C --，问三棱锥B ADC -的外接球的体积是多少？

当题目中含有“三个平面两两垂直且相交于同一点”或“从同一点出发的三条棱两两相互垂直”时，一般可以构建长方体，相应几何体的外接球直径就是长方体的体对角线长。

四 构造长方体 突破建系难题

对于立体几何存在性命题的求解，传统教学的纯几何方法技巧性较大、随机性较强，需要多种转化技能，而通过建立空间直角坐标系，利用空间向量把立体几何和向量代数运算有机地结合起来，就为这些问题的解决提供了通法。然而某些几何体并不是正棱锥或正棱柱，这给建立空间直角坐标系带来了困难。注意到某些几何体是由长方体切割而成，若放回到原来的长方体中，则给建立空间直角坐标系带来了便利。

例6 如图，在三棱锥A BCD -中，侧面,ABD ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且3,1,AD BD CD ===另一个侧面ABC 是正三角形。

（1）求证：;AD BC ⊥（2）在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由。

说明：（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连结,,,BH CH DH 则四边形BHCD 是正方形，且

1,AH =以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1),(1,1,0),(1,1,1),B C A BC DA =-=故0,BC DA =则.BC AD ⊥

（2）设(,,)E x y z 是线段AC 上一点，则0,1,x z y =>=平面BCD 的一个法向量为(0,1,0),(,1,)n DE x x ==要使ED 与平面BCD 成30︒角，由图可知DE 与n 的夹角为60︒，所以