第八讲 图论中的匹配与逻辑推理问题
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路图论是数学中一个重要的分支，研究图的性质和结构，以及解决与图相关的问题。
其中，二分图匹配问题是图论中的经典问题之一。
本文将介绍二分图匹配问题的定义、特性，并讨论相关的算法设计思路。
一、二分图匹配问题的定义二分图是一种特殊的图结构，其中的顶点可以分为两个互不相交的集合，且每条边都只连接两个集合之间的顶点。
对于一个二分图，如果存在一种边的划分方式，使得每个顶点都与边集中的一条边相连，那么我们称这个边集为二分图的一个匹配。
二分图匹配问题的目标是寻找出一个匹配，使得匹配的边数最大。
这个问题在实际应用中有许多场景，比如婚姻匹配、求职配对等。
为了解决这个问题，人们提出了多种算法，下面将介绍其中两个常用的算法。
二、匈牙利算法匈牙利算法是用于求解二分图最大匹配的一种经典算法，它基于深度优先搜索的思想。
算法的基本思路是从一个没有匹配边的顶点开始，逐个尝试与其相连的顶点进行匹配，如果能成功匹配则将边加入匹配集合中，如果不能成功匹配则继续尝试下一个顶点。
当所有的顶点都尝试过后，即得到一个最大匹配。
以下是匈牙利算法的伪代码：1. 初始化匹配集合为空2. 从一个未匹配的顶点开始，对其进行深度优先搜索3. 如果找到了增广路径，则更新匹配集合4. 重复步骤2和3，直到无法找到增广路径5. 返回最大匹配匈牙利算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V表示顶点数，E表示边数。
虽然算法的时间复杂度较高，但它在实际应用中仍然具有一定的效率和适用性。
三、Hopcroft-Karp算法Hopcroft-Karp算法是用于求解二分图最大匹配的另一种算法，它是对匈牙利算法的改进和优化。
Hopcroft-Karp算法的核心思想是通过多次的广度优先搜索来寻找增广路径，从而提高算法的效率。
以下是Hopcroft-Karp算法的伪代码：1. 初始化匹配集合为空2. 初始化标记集合为空3. 利用广度优先搜索寻找增广路径4. 如果找到增广路径，则更新匹配集合5. 重复步骤3和4，直到无法找到增广路径6. 返回最大匹配Hopcroft-Karp算法的时间复杂度为O(E*sqrt(V))，相比于匈牙利算法有较大的优势。
图论的配对问题课件
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5,x3}；V2 ={y3,y5}；
M=ME(P)={(x1,y1 ),(x2,y图3论),(的x配3对,y问2题),( x5,y5)}
（2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； 解 （（y34∈） ）N在 若(VXN1中()V-V找1)2=一V2个则非停饱止和，点否x则0，任V选1=一{x点0}，V2={}
图论 的配对问题
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论的重要 内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题” 中有重要作用。 假定有一个男生有穷集合，其中每个男生认识一些女 生，在什么条件下每个男生都可以和他认识的女生配对？
类似的工作分配问题：现有n个人，m份工作，每个人 有其擅长的工作。在什么条件下每个人都可以得到一份 他擅长的工作？如何分配？
V1={x2},V2=空集
N(V1)={y2, y3}
图论 的配对问题
解 （∪条（5）从{2）z若}x0】y，到已yV饱的2和=可V，增2∪M广{中道y}必路；有P转，(y（,对z)4之；）进作】行【，增否V广1则=；V【1转求一
x1
x2
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x4
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y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)} V1={x2},V2=空集 V1=V1∪{x5}={x2,x5}； V2=V2∪ {y3} ={y3}
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
图论中的匹配理论和网络流问题
时间复杂度：最大匹配算法的时间复杂度 较高，为指数级别，因此在实际应用中受 到限制。
应用场景：最大匹配算法在计算机科学、 运筹学、经济学等领域有广泛的应用， 例如在解决指派问题、工作调度问题等 方面。
匹配的应用场景
计算机科学：匹配算法在计算机科学中广泛应用于图算法、数据结构等领域 物理学：在物理学中，匹配理论用于描述粒子相互作用和量子场论中的现象 经济学：匹配理论在经济学中用于研究市场均衡和劳动力市场匹配等问题 社会学：在社会学中，匹配理论用于研究婚姻匹配、教育匹配和职业匹配等现象
电力网络优化： 在网络中合理 分配电力，降 低能耗并提高 电力系统的稳
定性。
通信网络设计： 优化通信网络 的数据传输， 提高网络的吞 吐量和可靠性。
物流配送：通 过优化物流配 送网络，提高 配送效率并降 低运输成本。
网络流算法的分类
最大流算法：寻找从源点到汇点的最大流量 最小割算法：确定将源点划分为两个子集的最小割点集合 最小费用流算法：在满足容量限制和流量平衡的前提下，寻找最小费用流 最短路径算法：寻找从源点到汇点的最短路径
优化目标：最小化 总流量，使得流量 分配均匀，避免拥 堵和瓶颈
算法实现： Dijkstra算法、 Bellman-Ford算 法等
应用场景：交通网 络、通信网络、电 力网络等
多源多汇问题
定义：多个源点和 多个汇点在网络中 同时进行流量的传 输
优化目标：寻找最 优解，使得总流量 传输成本最低或传 输时间最短
最小割问题的应用：在网络流问题中，最 小割问题被广泛应用于解决流量最大化和 容量限制问题。
最小割问题的求解方法：常见的求解最小 割问题的算法有Kruskal算法和Prim算法。
最小割问题的性质：最小割问题具有NP 难解性质，即目前没有已知的多项式时 间复杂度的算法来求解最小割问题。
图论的匹配与因子分解
令H = M1ΔM。
容易知道：G[H]的每个分支或者是由M1与M中边交 替组成的偶圈，或者是由M1与M中边交替组成的路。
在每个偶圈中，M1与M中边数相等；但因|M1|>|M|， 所以，至少有一条路P，其起点和终点都是M非饱和点， 于是，它是G的一条M可扩路。这与条件矛盾。
注：贝尔热定理给我们提供了扩充G的匹配的思路。
P v0v1v2
v2k v2k 1
显然，P中M中的边比非M中的边少一条。于是作新 的匹配M1,它当中的边由P中非M中边组成。M1中边比 M中多一条，这与M是G的最大匹配矛盾。
“充分性”
若不然，设M1是G的一个最大匹配，则|M1|>|M|。
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
贝尔热在博弈论、拓扑学领域里也有杰出贡献。在 博弈领域，他引入了Nash均衡之外的另一种均衡系统。 Nash的生活被改编成电影《美丽的心灵》，获02年奥 斯卡金像奖。
贝尔热对中国的手工艺很感兴趣。他也是一位象棋 高手，还创作过小说《谁杀害了Densmore公爵》。
如果G中顶点v是G的匹配 M中某条边的端点，称它 为M饱和点，否则为M非饱和点。
M1=｛v6v7｝ M2=｛v6v7, v1v8｝ M3=｛v6v7, v1v8, v3v4｝ M1,M2,M3等都是G的匹配。
v7
v6
v5
v8
v1 v2
v4
v3
G
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
图论 的配对问题
饱和的
m1
m2
m3
m4
m5 不饱和 的
M={(f1,m3), (f2,m1) ,(f3,m2) ,(f5,m5)}
定义：若M是图G的一个匹配，若从G中一 ：若M是图G的一个匹配，若从G
个顶点到另一个顶点存在一条道路，此路 径由属于M和不属于M 径由属于M和不属于M的边交替出现组成的， 则称此路径为M 则称此路径为M-交错路。
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x3,y5),(x5,y3)}
V1={x2,x5,x3}；V2 ={y3,y5}；
M=M⊕ E(P)={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
解
（2）若X已经饱和，结束；否则转（3）； ）若X已经饱和，结束；否则转（3 （3）在X中找一个非饱和点x0，V1={x0}，V2={} ）在X中找一个非饱和点x （4）若N(V1)=V2则停止，否则任选一点 ）若N(V y∈N(V1)-V2
x1 x2 x3 x4 x5
y1
y2
y3
y4
y5
M={(x1,y1 ),(x2,y3),(x3,y2),( x5,y5)}
V1={x4}；V2 =空集 N(V1)={y3}
解
（5）若y已饱和， M中必有(y,z) ；作【 V1 =V1 ）若y 中必有(y,z) ；作【 ∪{z} ， V2 =V2∪ {y}； 转（4）】，否则【求 {y}； 转（4 ，否则【 的可增广道路P 一条从x 一条从x0到y的可增广道路P，对之进行增广； 转（2 转（2）】
第五章
匹配
具体问题描述： 有n个女士和n个男士参加舞会，每位 个女士和n 女士与其中若干位男士相识，每位男士与 其中若干位女士相识，问如何安排，使得 尽量多配对的男女舞伴相识。
图论偶图与匹配.
所以M是完美匹配。
该推论又称为结婚定理：
村里的每一个女孩恰好只认识K个男孩，且每一 个男孩恰好只认识K个女孩，那么女孩可以嫁给她 所认识的一个男孩,男孩可以娶他所认识的一个女 孩,
证明 树至多有一个完美匹配
证明：
若树T存在两个互异的完美匹配M和M’ ，则 M ⊕ M ' ≠ φ, M ⊕ M ' 的每一个顶点度为2,因此T 含圈，这与T是树矛盾。
de vj∈V2,
则称G是二部图,也称二分图或偶图. 并称V1,V2是G的互补的
结点子集.
偶图的特点每一条边都跨接在两个互补结点子集上，而结点
子集内部任意两个结点都不邻接。
完全偶图:令G=<V,E>是以V1,V2为互补的结点子集的
偶图,如果V1中的每个结点都与V2中每个结点相邻接,则
称G是完全偶图. 如果|V1|=m, |V2|=n 则G记作Km,nm×n
G, M的边是实线 M’的边是虚线
G' = (V , M ⊕ M ')
x1，x2，...，x5为5个人，y1，y2，...，y5为5项工 作，x1 能做y1，y2,y3,y4三项工作，x5只能做y2一项 工作，其他情况类似，于是人员的工作安排问题就成为 偶图的匹配问题。
偶图完全匹配
设Vl和V2是偶图G＝(V,E)的两个互补结点子集，如果存 在匹配M，使V1的所有结点都是M饱和点，则称M为从V1 到V2的完全匹配。
明,得到同样结论. 最后得G必是二部图.
¾ 匹配在无向图G＝(V，E)中，对边集E的任一子集M，如 果M中的任意两条边都不相邻，则称M为图G的一个匹配 (或对集)。所谓两条边不相邻即两条边无公共端点。
¾ G中属于 M的边称为匹配边，匹配边的两个端点互为匹 配点，匹配边的所有结点称为关于M饱和点,否则称为 非饱和点。匹配M的基数(即M中边的数目)记作|M|.
图论匹配
的工作。匹配定理是他1935年在剑桥大学做讲师时发表的 结果。Hall是一名雅致的学者，对学生特别友好，当他觉 得有必要批评学生时，他都会以一种十分温和的方式建议 他们改正。 推论：若G是k (k>0)正则偶图，则G存在完美匹配。
证明：一方面，由于G是k (k>0)正则偶图,所以k|X|=k|Y|, 于是得|X| = |Y|；
E : a, c, d, f ; F : c, e ;
问：学生能找到理想工作吗？ 解：如果令X=｛A, B, C, D, E, F, G｝,Y=｛a, b, c, d, e, f , g｝,X中顶点与Y中顶点连线当且仅当学生申请了该工作。于 是，得到反映学生和职位之间的状态图：
7
A : b, c ;
1993年，他获得组合与图论领域颁发的欧拉奖章。
5
贝尔热在博弈论、拓扑学领域里也有杰出贡献。在 博弈领域，他引入了Nash均衡之外的另一种均衡系统。 Nash的生活被改编成电影《美丽的心灵》，获02年奥 斯卡金像奖。 贝尔热对中国的手工艺很感兴趣。他也是一位象棋 高手，还创作过小说《谁杀害了Densmore公爵》。
M1=｛v6v7｝
v7
M2=｛v6v7, v1v8｝
M3=｛v6v7, v1v8, v3v4｝ M1,M2,M3等都是G的匹配。
v5
v6
v1
v8
v2
v4 G
v3
2
(2)、最大匹配 M--- 如果M是图G的包含边数最多的 匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配 饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。
匹配问题 (一)、图的匹配与贝尔热定理 (二)、偶图的匹配
1
(一)、图的匹配与贝尔热定理
匹配问题及算法
Hall’s Theorem A=(A1,A3,…,An) 存在一个相异代表系 对所有 I {1,2,..., n} 恒有 | A || I |
Girl {a,b,c,d} a: z > x > y > w b: y > w > x >z c: w > x > y >z d: x > y > z >w 不稳定 x <=> a
∵ x: a > b a: x > y x <≠> b a <≠> y
每个男孩从没有拒绝过他的女孩中,向他 最喜欢者发出求爱信号！
iI i
首先我们证明：所有Ai恰含一个元素.否则假设 A1含有x及y，但x≠y，则(A1\{x},A2,…,An)和 (A1\{y},A2,…,An}都不满足上述条件，因此存在 下标集I,J {2,3,…,n} 使得 |X|≤|I| 且 |Y|≤|J| 其中 X ( A ) ( A \ {x}) Y ( A ) ( A \ { y})
货物归属于若干远洋货轮。某个具体箱区可堆放
何艘货轮的货物由各种限制确定，但每个箱区不
能全放同一艘货轮的货物。一般地,一艘货轮的 货物尽量分散在2-3块箱区为好。请设计一个算法
能让电脑自动生成每艘货轮的货物堆放箱区。
参考文献: 1.Introduction to graph theory (Douglas.B.west) binatorics:Topics,Techniques,Algorithms (Peter J.Cameron) binatorial Optimization (Christos.H.papadimitrians and Kenneth Steislitz)
六年级下册奥数第八讲-图论中的匹配与逻辑推理问题 (例题含答案)
六年级下册奥数第八讲第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？一般解这类题都归于逻辑推理类问题.我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为：V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝.V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如○中和②.日不是①.把已知条件不否定关系的两点之间画一条虚线，如○韩不是②；○加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线.现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性）由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出.这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题.图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，vp｝，V2有q个点，记为V2=｛vp+1，vp+2…，vp+q｝，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例.一般的图记为G＝（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合.大家在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象.现在的二分图是一类特殊的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点.关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配.就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C构造一个新的二分图：显然，推知B是（日3），因为B有2条虚线，而必然有1条实线，只能推出B与（日3）之间为实线.同理，（韩1）只能为C；剩下的唯一的情况留给了A为（中2）.全部问题解决了.再看最初的题目，如果你选择先判断中、日、韩和A、B、C三个代号之间的匹配关系，将会怎样呢？画一个图看，利用已知条件画出实、虚线.只能利用B不是韩国队及中国队第二，B不是第二（因此B不是中国队）这样一些条件，题目中另二句话：A不是第一名，第一名不是日本队，这种否定关系之间，没有传递性，你不能判定A是不是日本队.因此根据已知条件所画的图中只有两条虚线，之后最多只能确定日、B之间为实线.所以对这样的二分图，无法找出合理的最大匹配.这方法使问题求解走进了死胡同.那么你选择先判A、B、C和第一、第二、第三名之间的匹配关系，又会怎样呢？画一个图看.现在也只有二条虚线，仍然无法找出最大匹配，或说解不唯一，对求解问题无助.现在回过头来看，先找国别与名次之间的匹配，似乎有些“碰运气”，因为完全可以把题目改动，使先找国别与名次的匹配无法解决，例如叙述改为：中、日、韩三足球队比赛，已知结果为：第1名不是A，第2名不是韩国队也不是B，A不是日本队，中国队为B，问A、B、C，和1、2、3名与各国队如何匹配？细心读者发现，这只是把原题中A、B、C的地位与1、2、3名的地位互换而已.所以现在改动后的题目，再先抓“国别”和“名次”的匹配，就无法求解.但是数学要求找出一种解一般问题的方法而不是“碰运气”，而且完全可以找一个例子，使得无论取国别与名次；或国别与代号（A，B，C）；或代号与名次这三类二分图的匹配都无法求解，而必须找更广泛意义下的匹配才能解决，为此先介绍一般的三个因素一起考虑的“匹配”方法.先结合前例，将国别用三个不同点表示于上方，三个名次点表示于左下方，三个代号点表示于右下方.用实线的肯定关系和虚线的否定关系把已知条件“翻译”于图上.我们现在的目的是要寻找一个捆绑三条实线边的一条广义边，使每个国别与一个名次及一个代号捆绑在一起，使问题一次性解决，遵循的原则有以下4条：①肯定关系具有排它性（如中=第2名，则中≠第1名，中≠第3名，第2名≠日，第2名≠韩）.②肯定关系具有传递性（如已知中=第2名，一旦推知肯定关系第2名=A，那么中=A）.③任意两个类别的点之间要建立一种合理的完全匹配.（如国别和名次之间；名次与代号之间；国别与代号之间）.④如果某一点与另一类点中除一点以外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系.现在把这些原则具体操作于这个图上，就能把问题求解，请读者看图，不赘述.这类问题的思想方法上升到图论中，已经可以用一种更抽象的术语“超图”来描述，也就是顶点集合，仍用V来表示，而超图的边是一种抽象的“广义边”，把原来简单边捆绑在一起形成的一种“捆绑的边”.在这个具体例题中，就是要找出一套捆绑边，每一捆绑边，捆着一个国别，一个名次，一个代号.找出三套捆绑边，每套与别的套之间没有公共的点，也就是超图的匹配用了这种思想方法，去解决某些逻辑推理问题，变的非常快捷而准确了.再看例子，有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好只是足球、围棋和歌舞三种中的一种.已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞；喜欢足球的不是上海人；喜欢歌舞的是北京人；B不是广州人.请判断三市人的代号（指A、B、C）及爱好.现在把此逻辑推理问题，转化为图论中的“捆绑边”匹配问题，大家不难把此题的图和我们最初的例比较，它们完全“同构”.答为：B上海人，喜欢围棋；A喜欢歌舞，北京人；C喜欢足球，广州人.关于匹配问题本身，有很多问题和方法已经充分研究和圆满解决，并找到了可以利用电脑解决的很好的算法.例如从二分图的求最大匹配算法发展出称之为“交错路”的方法，直到网络上带权的最大（或最小）匹配.习题八1.小明、小强、小华三人参赛迎春杯，分别来自金城、沙市、水乡，并分获一、二、三等奖.现知：①小明不是金城选手；②小强不是沙市选手；③金城选手不是一等奖；④沙市选手得二等奖；⑤小强不是三等奖；问小华是何处选手，得几等奖？2.下面是一个一般的图，有9个点，V=｛v1，v2，…，v9｝，有16条边，E＝｛e1，e2，…，e16｝.请找一个边数最多的匹配（即找一个最大匹配）.3.有一个残缺棋盘（下图中的白格部分）.问是否可用1×2的骨牌将它完全覆盖？4.一张8×8的黑白相间国际象棋盘，任意挖去一个黑格和另一处的一个白格，剩下的62格残盘，可否用31张1×2骨牌完全覆盖？。
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路
图论中的二分图匹配问题及其算法设计思路二分图匹配问题是图论中的重要问题之一。
二分图是指一个图的顶点可以分为两个互斥的集合，并且图的边只能连接两个集合之间的顶点。
二分图匹配的目标是找到一个匹配，即找到一种对应关系，使得图中的所有顶点都能够与另一个集合中的顶点相连。
在实际应用中，二分图匹配有着广泛的应用。
比如在招聘网站中，求职者和企业可以被看作是一个二分图，通过匹配求职者和企业，可以使得求职者找到合适的工作岗位，企业找到合适的人才。
在网络流量调度中，可以将网络中的节点和链路看作一个二分图，通过匹配可以实现有效的数据传输。
那么如何解决二分图匹配问题呢？目前比较常用的算法有匈牙利算法和增广路径算法。
匈牙利算法，也称为增广路径算法，是解决二分图最大匹配问题的一种经典算法。
该算法从某一个未匹配的顶点开始，尝试去匹配其他的顶点。
如果当前顶点没有匹配的边，那么匈牙利算法会尝试寻找一个增广路径，即一条能够增加匹配数的路径。
当不存在增广路径时，匈牙利算法会返回当前匹配的结果。
增广路径算法是一个递归的过程。
首先，我们从一个未匹配的顶点开始，将其标记为已访问。
然后遍历与该顶点相连的所有边，如果边的另一个顶点没有被访问过，那么我们尝试去匹配这个顶点。
如果匹配成功，那么整个算法就结束了，返回当前的匹配结果。
如果匹配失败，我们需要尝试寻找另一个增广路径，这时我们会递归地调用增广路径算法，从当前的匹配边的另一个顶点开始。
增广路径算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点数，E是边数。
在实际应用中，匈牙利算法已经被广泛应用，因为其算法简单易懂，同时具有较好的计算效率。
除了匈牙利算法，还有其他一些解决二分图匹配问题的算法，比如多项式时间的Hopcroft-Karp算法和Edmonds的算法。
这些算法在不同的应用场景中，可能有着更好的性能表现。
总结来说，二分图匹配问题在图论中具有重要的地位，它可以通过匈牙利算法等多种算法来解决。
在实际应用中，二分图匹配问题可以用于求职招聘、网络流量调度等领域。
《图论的配对问题》课件
PART 02
配对问题概述
配对问题的定义和分类
配对问题定义
在图论中，配对问题是指寻找图中的 一种特定类型的子集，即配对。配对 是指图中的一种顶点集合，其中任意 两个顶点之间都没有边相连。
配对问题分类
根据不同的标准，配对问题可以分为 多种类型，如最大匹配、完美匹配、 二分图匹配等。
匹配的计数和生成
总结词
匹配的计数是确定一个给定图中所有可能的匹配的数量，而匹配的生成则是找到一种方法来生成所有的匹配。
详细描述
匹配的计数是图论中的一个重要问题，它涉及到确定一个给定图中所有可能的匹配的数量。这通常通过使用一些 计数技巧和公式来完成，如Kempe变换和色多项式等。另一方面，匹配的生成是找到一种方法来生成所有的匹配 。这通常涉及到遍历图的所有可能边子集，并排除那些形成环或重复边的子集。
匹配和最小权重匹配等问题。
PART 03
图的匹配理论
匹配的定义和性质
总结词
匹配是图论中的基本概念，它描述了一组边，这些边在图中不相邻且不构成环。
详细描述
在图论中，匹配被定义为一种边子集，其中任意两条边在图中都不相邻，且这些 边也不构成环。也就是说，匹配中的边在图中的端点是两两不相同的。匹配的性 质包括匹配的计数、匹配的生成、最大匹配和最小匹配等。
匈牙利算法是一种经典的求解二分图最大匹配的算法，其基本思想是通
过增广路径不断扩大匹配规模。
02
回溯法
回溯法是一种通过穷举所有可能解来求解配对问题的算法，适用于小规
模问题。
03
贪心算法
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前最优的选择，从而希望导致
图论偶图与匹配
证明 树至多有一个完美匹配
证明：
若树T存在两个互异的完美匹配M和M’ ，则 M ⊕ M ' ≠ φ, M ⊕ M ' 的每一个顶点度为2,因此T 含圈，这与T是树矛盾。
5.1.1证明 k-方体有完美匹配
证明： k-方体的顶点坐标为 ( x1 , x2 ,..., xk ), xk ∈ {0,1} 取顶点 ( x1 , x2 ,..., xk −1 , 0) 和顶点 ( x1 , x2 ,..., xk −1 ,1) 之间 的边的全体构成的集合为M,显然M中顶点均不相 邻，所以 M 是一个匹配， | M |= 2k−1 ， 且k-方体的 顶点数为 2k ，M中每一个顶点均是M饱和的，所以 M是k-方体的完美匹配。
v2 v3 v1 v1 v4 v8 v7 (a) v6 v8 v7 (b) v1 v5 v4 v5 v2 v3
v6
如果将可增广路P2上的匹配边改为非匹配边， 非匹配边改为匹配边，不在P2上的匹配边保持 不变，则匹配变为M'，可以看出M'的边数比M 的边数增加1，即
M '行环和 的结果，即
M ' = M ⊕ E ( P2 )
定理5.2 (Berge,1957) 图G的匹配M是最大基数匹配当 且仅当G不含M可增广路。 证： => 如果G含有M可增广路P，可构造一个新的匹配, M ' = M ⊕ E ( P2 ) , M ' > M ,因而M就不是最大基数匹配。 <=如果M不是最大基数匹配，往明G必含有M可增广路。 令M'是G的最大基数匹配，设 G ' = (V , M ⊕ M ' ) 则G’是G的生成子图，G’的边集是M和M’中不相同的边 的并集而且可以得到 (1)G'的边集中含M'的边的数目比含M的边的数目多 (2)G’的任一结点最多关联M'的一条边或最多关联M的 一条边。
匹配问题PPT课件
• 罗斯教授的研究领域极其广泛，包括博弈论、实验经济学和市场设计。目 前的主要兴趣是市场设计。他最为著名的设计是“全国住院医生配对程序 ”。斯坦福大学经济学系目前聚集了全世界最顶级的市场设计专家。
P(w)=m3,m1,m9,m12,m8,w.
13
• 在匹配博弈中，我们假设参与人对于不同的匹配的偏好仅仅取决于自 己的偏好，而不是考虑别人的参与人的偏好，也就是说假设参与人是 自利的，即某男m认为匹配a比b好，当且仅当他认为u(a)比u(b)要好 。
• 所有参与人的偏好的集合记为 P:P={P(m1),P(m2),…,P(mn)};P(w1),P(w2),…,P(wp)}，则婚姻市场就 可以表示为(M,W,P)。
17
• 在传统的完全竞争的市场上，价格调整可以实现供需平衡。但在一些特殊 市场中，由于法律或者道德的原因，价格不能用来作为配置资源的手段， 资源只能以匹配或配给方式来分配。
• 而且很多时候市场非常的小，可供分配的资源也存在很大差异（比如不同 人的肾脏），不能适用完全竞争的经济学。这个时候，就需要匹配和市场 设计理论。
3
•
颁奖声明说，尽管两位获奖者独立地进行了各自的研究，但沙普
利的基本理论与罗思的实证实验相结合，产生了一个研究和改善众多 市场功能的领域。今年的经济学奖实际上授予的是一个杰出的经济工 程范例。 随后，诺贝尔经济学奖评选委员会主席佩尔·克鲁塞尔和 其他评委介绍了获奖者的研究成果。他们表示，两位获奖者在不同经 济主体如何匹配以及匹配形式的各种可能性方面进行了深入研究。
假设P(m)表示某男士在集合W{m}上的偏好，比如
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第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题
先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？
一般解这类题都归于逻辑推理类问题.
我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为：
V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝.
V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如和②.否定关系的两点之间画一条虚线，如不是②；不是①.把已知条件不加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线.
现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推理中的排它性）
由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出.
这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题.
图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，v p｝，V2有q个点，记为V2=｛v p+1，v p+2…，v p+q｝，而V1中任意一点，不会
与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例.
一般的图记为G＝（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合.大家在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象.现在的二分图是一类特殊的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点.
关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配.
就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C构造一个新的二分图：
显然，推知B是（日3），因为B有2条虚线，而必然有1条实线，只能推出B与（日3）之间为实线.同理，（韩1）只能为C；剩下的唯一的情况留给了A为（中2）.全部问题解决了.
再看最初的题目，如果你选择先判断中、日、韩和A、B、C三个代号之间的匹配关系，将会怎样呢？画一个图看，利用已知条件画出实、虚线.
只能利用B不是韩国队及中国队第二，B不是第二（因此B不是中国队）这样一些条件，题目中另二句话：A不是第一名，第一名不是日本队，这种否定关系之间，没有传递性，你不能判定A是不是日本队.因此根据已知条件所画的图中只有两条虚线，之后最多只能确定日、B之间为实线.
所以对这样的二分图，无法找出合理的最大匹配.这方法使问题求解走进了死胡同.
那么你选择先判A、B、C和第一、第二、第三名之间的匹配关系，又会怎样呢？画一个图看.
现在也只有二条虚线，仍然无法找出最大匹配，或说解不唯一，对求解问题无助.
现在回过头来看，先找国别与名次之间的匹配，似乎有些“碰运气”，因为完全可以把题目改动，使先找国别与名次的匹配无法解决，例如叙述改为：
中、日、韩三足球队比赛，已知结果为：第1名不是A，第2名不是韩国队也不是B，A不是日本队，中国队为B，问A、B、C，和1、2、3
名与各国队如何匹配？
细心读者发现，这只是把原题中A、B、C的地位与1、2、3名的地位互换而已.所以现在改动后的题目，再先抓“国别”和“名次”的匹配，就无法求解.
但是数学要求找出一种解一般问题的方法而不是“碰运气”，而且完全可以找一个例子，使得无论取国别与名次；或国别与代号（A，B，C）；或代号与名次这三类二分图的匹配都无法求解，而必须找更广泛意义下的匹配才能解决，为此先介绍一般的三个因素一起考虑的“匹配”方法.
先结合前例，将国别用三个不同点表示于上方，三个名次点表示于左下方，三个代号点表示于右下方.用实线的肯定关系和虚线的否定关系把已知条件“翻译”于图上.
我们现在的目的是要寻找一个捆绑三条实线边的一条广义边，使每个国别与一个名次及一个代号捆绑在一起，使问题一次性解决，遵循的原则有以下4条：
①肯定关系具有排它性（如中=第2名，则中≠第1名，中≠第3名，第2名≠日，第2名≠韩）.
②肯定关系具有传递性（如已知中=第2名，一旦推知肯定关系第2名=A，那么中=A）.
③任意两个类别的点之间要建立一种合理的完全匹配.（如国别和名次之间；名次与代号之间；国别与代号之间）.
④如果某一点与另一类点中除一点以外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系.
现在把这些原则具体操作于这个图上，就能把问题求解，请读者看图，不赘述.
这类问题的思想方法上升到图论中，已经可以用一种更抽象的术语“超图”来描述，也就是顶点集合，仍用V来表示，而超图的边是一种抽象的“广义边”，把原来简单边捆绑在一起形成的一种“捆绑的边”.在这个具体例题中，就是要找出一套捆绑边，每一捆绑边，捆着一个国别，一个名次，一个代号.找出三套捆绑边，每套与别的套之间没有公共的点，
也就是超图的匹配用了这种思想方法，去解决某些逻辑推理问题，变的非常快捷而准确了.
再看例子，
有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好只是足球、围棋和歌舞三种中的一种.已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞；喜欢足球的不是上海人；喜欢歌舞的是北京人；B不是广州人.请判断三市人的代号（指A、B、C）及爱好.
现在把此逻辑推理问题，转化为图论中的“捆绑边”匹配问题，大家不难把此题的图和我们最初的例比较，它们完全“同构”.
答为：B上海人，喜欢围棋；A喜欢歌舞，北京人；C喜欢足球，广州人.
关于匹配问题本身，有很多问题和方法已经充分研究和圆满解决，并找到了可以利用电脑解决的很好的算法.例如从二分图的求最大匹配算法发展出称之为“交错路”的方法，直到网络上带权的最大（或最小）匹配.
习题八
1.小明、小强、小华三人参赛迎春杯，分别来自金城、沙市、水乡，并分获一、二、三等奖.现知：
①小明不是金城选手；
②小强不是沙市选手；
③金城选手不是一等奖；
④沙市选手得二等奖；
⑤小强不是三等奖；问小华是何处选手，得几等奖？
2.下面是一个一般的图，有9个点，V=｛v1，v2，…，v9｝，有16条边，E＝｛e1，e2，…，e16｝.请找一个边数最多的匹配（即找一个最大匹配）.
3.有一个残缺棋盘（下图中的白格部分）.问是否可用1×2的骨牌将它完全覆盖？
4.一张8×8的黑白相间国际象棋盘，任意挖去一个黑格和另一处的一个白格，剩下的62格残盘，可否用31张1×2骨牌完全覆盖？
习题八解答
1.作图，求捆绑的边匹配.
再把剩下的六个点，找捆绑边.
由于小明≠金城，所以小明=沙市，因而小明=沙市=三等.
最后得：
小华=金城=二等.
这样的逻辑推理又直观又快捷，比文字叙述省力又准确.
2.解：要找匹配，就是要把顶点集V分成两部分，并从边的集合E 中选取一些连结这两部分的边，使得这些边无公共端点.要找最大匹配，即要使选取的边的数目最多.由于V中有9个点，因此最大匹配最多只能由4条边构成（否则必存在有公共端点的边）.而四条边｛e1，e3，e5，e7｝确实构成匹配边的集合.本题的最大匹配边的集合不是唯一的.
还要注意，最大匹配边的集合中不能包含题图中e9，e11，e14，e16之任一.例如，设包含了e9.为了要使选出的边成为匹配，必须把以e9的顶点v2，v4为顶点之一的边都去掉，即要在下图中选取一个三条边的匹配.
这显然是不可能的.
3.答：可以覆盖，如下图.黑、白间隔染色，黑格用b i表示，白格用w i表示，每格对应成一个点，此问题转化成一个二分图寻找完全匹配问题，（具体分析略），覆盖方法为：把下标相同的b i和w i用一块骨牌覆盖（b1和w1；b2和w2等），共有九块.当然，覆盖方法也不止一种.
4.答：可以.给出一个构造性解答.把一柄三齿叉和一柄四齿叉放于棋盘上，如下页下图所示.这迷宫式的效果就是把正方形小格排成一种循环次序，使得可循着迷宫次序走过所有小格各一次而回到开始的正方形小格.
今设某黑格为A，白格为B，A、B挖去.小格的色仍黑白交替，沿着迷宫路，位于一个黑格和一个白格之间的格子个数总是偶数.设想在A、B 处各粘有一个以小方格A、B为底面的正方体骰子.然后把31张1×2骨牌紧密无间地沿着叉子通道紧靠着骰子A开始一个一个地接着排列，贴着骰子B后再越过B紧靠着B接着排，直到再贴着骰子A.
这样，31张1×2骨牌即盖满了挖去黑（A）、白（B）两格的棋盘.。