上海市春季高考数学试题

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2021年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = ． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -= ．3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为． 6．（4分）若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = ． 7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = ． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是．10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 .11．（5分）已知椭圆221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ．（1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC∆的三个内角，a、b、c是其三条边，2a=，1 cos4C=-．（1）若sin2sinA B=，求b、c；（2）若4cos()45Aπ-=，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足||||20-=PA PB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现||||30-=QA QBQC QD-=千米，||||10千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1︒）20．（16分）已知函数()f x x =．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则10a = 21 ．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则101939221a a d =+=+⨯=．故答案为：21．【评注】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．（4分）已知13z i =-，则||z i -【解析】13z i =-，∴1312z i i i i-=+-=+，则|||12|zi i -=+=．【评注】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3．（4分）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4π ．【解析】圆柱的底面半径为1r =，高为2h =，所以圆柱的侧面积为22124S rh πππ==⨯⨯=侧．故答案为：4π．【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 4．（4分）不等式2512x x +<-的解集为 (7,2)- ．【解析】252571100222x x x x x x +++<⇒-<⇒<---，解得，72x -<<．故答案为：(7,2)-．【评注】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 5．（4分）直线2x =-10y -+=的夹角为 6π．【解析】直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π10y -+=3π，故直线2x =-10y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．【评注】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 6．（4分）若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，则1122a b a b = 0 ．【解析】对于方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，有111111222222,,x y a b c b ac D D D a b c b a c ===，根据题意，方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解，所以0D =，即11220a b D a b ==，故答案为：0．【评注】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．（5分）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为 64 ．【解析】由题意，32nn C C >，且34n n C C >，所以6n =，所以令1x =，6(1)x +的系数和为6264=．故答案为：64．【评注】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 8．（5分）已知函数()3(0)31x xaf x a =+>+的最小值为5，则a = 9 ．【解析】()33112153131x xx x a a f x a =+=++--=++，所以9a =，经检验，32x =时等号成立．故答案为：9．【评注】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题． 9．（5分）在无穷等比数列{}n a 中，1lim()4n n a a →∞-=，则2a 的取值范围是 (4,0)(0,4)- ．【解析】无穷等比数列{}n a ，∴公比(1,0)(0,1)q ∈-，∴lim 0n n a →∞=，∴11lim()4n n a a a →∞-==，214(4,0)(0,4)a a q q ∴==∈-．故答案为：(4,0)(0,4)-．【评注】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题． 10．（5分）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 23种 .【解析】由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB 、DB 、EB 的组合不符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323C C C C +++-=+++-=（种）．故答案为：23种．【评注】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．（5分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点为1F 、2F ，以O 为顶点，2F 为焦点作抛物线交椭圆于P ，且1245PF F ∠=︒，则抛物线的准线方程是 1x =-【解析】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则抛物线24y cx =，直线1:PF y x c =+，联立方程组24y cxy x c ⎧=⎨=+⎩，解得x c =，2y c =，所以点P 的坐标为(,2)c c ，所以212PF F F ⊥，又22112,PF F F c PF ===所以所以12(222PF PF c a +=+==，则1c =，所以抛物线的准线方程为：1x c =-=故答案为：1x =【评注】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．（5分）已知0θ>，存在实数ϕ，使得对任意*n N ∈，cos()n θϕ+<，则θ的最小值是 25π．【解析】在单位圆中分析，由题意可得n θϕ+的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx BOx π∠=∠=，所以3AOB πθ>∠=，因为对任意*n N ∈都成立，所以2*N πθ∈，即2kπθ=，*k N ∈，同时3πθ>，所以θ的最小值为25π．故答案为：25π．【评注】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）下列函数中，在定义域内存在反函数的是( ) A ．2()f x x =B ．()sin f x x =C ．()2x f x =D ．()1f x =【解析】选项A ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，A 错误，选项B ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数不存在反函数，B 错误，选项C ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C 正确，选项D ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D 错误，故选：C ．【评注】本题考查了反函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的理解，属于基础题． 14．（5分）已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，则下列关系中，正确的是( ) A ．A B ⊆B ．RRA B ⊆C ．A B =∅D ．A B R =【解析】已知集合{|1,}A x x x R =>-∈，2{|20,}B x x x x R =--∈，解得{|2B x x =或1,}x x R -∈，{|1,}RA x x x R =-∈，{|12}RB x x =-<<；则A B R =，{|2}A B x x =，故选：D ．【评注】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．（5分）已知函数()y f x =的定义域为R ，下列是()f x 无最大值的充分条件是( ) A ．()f x 为偶函数且关于点(1,1)对称 B ．()f x 为偶函数且关于直线1x =对称C ．()f x 为奇函数且关于点(1,1)对称D ．()f x 为奇函数且关于直线1x =对称【解析】根据题意，依次判断选项：对于A ，()cos12xf x π=+，()f x 为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A 错误，对于B ，()cos()f x x π=，()f x 为偶函数且关于直线1x =对称，存在最大值，B 错误，对于C ，假设()f x 有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(,)a M ， ()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，则()f x 的图象存在最低点(,)a M --，又由()f x 的图象关于点(1,1)对称，则(,)a M --关于点(1,1)对称的点为(2,2)a M ++，与最大值为M 相矛盾，则此时()f x 无最大值，C 正确，对于D ，()sin2xf x π=，()f x 为奇函数且关于直线1x =对称，D 错误，故选：C ．【评注】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，则以下结论：①存在ABC ∆，使得0AB CE ⋅=；②存在ABC ∆，使得//()CE CB CA +；它们的成立情况是( ) A ．①成立，②成立 B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【解析】不妨设(2,2)A x y ，(1,0)B -，(1,0)C ，(0,0)D ，(,)E x y ，①(12,2)AB x y =---，(1,)CE x y =-，若0AB CE ⋅=，则2(12)(1)20x x y -+--=，即2(12)(1)2x x y -+-=，满足条件的(,)x y 存在，例如，满足上式，所以①成立； ②F 为AB 中点，()2CB CA CF +=，CF 与AD 的交点即为重心G ，因为G 为AD 的三等分点，E 为AD 中点，所以CE 与CG 不共线，即②不成立．故选：B ．【评注】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱锥P ABCD -，底面为正方形ABCD ，边长为4，E 为AB 中点，PE ⊥平面ABCD ．（1）若PAB ∆为等边三角形，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若CD 的中点为F ，PF 与平面ABCD 所成角为45︒，求PC 与AD 所成角的大小．【解析】（1）PAB ∆为等边三角形，且E 为AB 中点，4AB =，PE ∴=，又PE ⊥平面ABCD ，∴四棱锥P ABCD -的体积211433ABCD V PE S =⋅=⨯=正方形．（2）PE ⊥平面ABCD ，PFE ∴∠为PF 与平面ABCD 所成角为45︒，即45PFE ∠=︒，PEF ∴∆为等腰直角三角形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，4PE FE ∴==，PB ∴== //AD BC ，PCB ∴∠或其补角即为PC 与AD 所成角，PE ⊥平面ABCD ，PE BC ∴⊥，又BC AB ⊥，PE AB E =，PE 、AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，在Rt PBC ∆中，tan PB PCB BC ∠==，故PC 与AD 所成角的大小为【评注】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 18．（14分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，a 、b 、c 是其三条边，2a =，1cos 4C =-．（1）若sin 2sin A B =，求b 、c ；（2）若4cos()45A π-=，求c ．【解析】（1）因为sin 2sin A B =，可得2a b =，又2a =，可得1b =，由于222222211cos 22214a b c c C ab +-+-===-⨯⨯，可得c =（2）因为4cos()sin )45A A A π-=+=，可得cos sin A A +=，又22cos sin 1A A +=，可解得cos A =，sin A =，或sin A =cos A因为1cos 4C =-，可得sin C tan C =，可得C 为钝角，若sin A =cos A =tan 7A =，可得tan tan tan tan()0tan tan 1A C B A C A C +=-+==<-，可得B 为钝角，这与C 为钝角矛盾，舍去，所以sin 10A =，由正弦定理2sin sin cA C=，可得c = 【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足||||20PA PB -=千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60︒处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现||||30QA QB -=千米，||||10QC QD -=千米，求||OQ （精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1︒）【解析】（1）由题意可得10a =，20c =，所以2300b =，所以双曲线的标准方程为221100300x y -=，直线:OP y =，联立双曲线方程，可得x =，y P 的坐标为．（2）①||||30QA QB -=，则15a =，20c =，所以2175b =，双曲线方程为221225175x y -=；②||||10QC QD -=，则5a =，15c =，所以2200b =，所以双曲线方程为22125200y x -=，两双曲线方程联立，得Q ，所以||19OQ ≈米，Q 点位置北偏东66︒．【评注】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()f x x =．（1）若1a =，求函数的定义域；（2）若0a ≠，若()f ax a =有2个不同实数根，求a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()f x x =，由|1|10x +-，得|1|1x +，解得2x -或0x ．∴函数的定义域为(,2][0,)-∞-+∞；（2）()f ax ax =，()f ax a ax a =⇔=+，设0ax a t +=，∴t =有两个不同实数根，整理得2a t t =-，0t ， 211()24a t ∴=--+，0t ，当且仅当104a <时，方程有2个不同实数根，又0a ≠，a ∴的取值范围是1(0,)4；（3）当x a -时，211())24f x x x ===-+，在1[,)4+∞上单调递减，此时需要满足14a-，即14a -，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-时，()f x x x ==，在(,2]a -∞-上递减， 104a -<，20a a ∴->->，即当14a -时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减．综上，当1(,]4a ∈-∞-时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减．【评注】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}n a 满足0n a ，对任意2n ，n a 和1n a +中存在一项使其为另一项与1n a -的等差中项．（1）已知15a =，23a =，42a =，求3a 的所有可能取值；（2）已知1470a a a ===，2a 、5a 、8a 为正数，求证：2a 、5a 、8a 成等比数列，并求出公比q ；（3）已知数列中恰有3项为0，即0r s t a a a ===，2r s t <<<，且11a =，22a =，求111r s t a a a +++++的最大值．【解析】（1）由题意，112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，2312a a a ∴=+解得31a =，3212a a a =+解得34a =，经检验，31a =，（2）证明：1470a a a ===，322a a ∴=，或232a a =，经检验，232aa =； ∴32524a a a ==，或2512aa a =-=-（舍)，∴254a a =； ∴52628a a a ==，或2654aa a =-=-（舍)，∴268a a =； ∴628216a a a ==，或2868aa a =-=-（舍)，∴2816a a =；综上，2a 、5a 、8a 成等比数列，公比为14；（3）由112n n n a a a +-=+或112n n n a a a +-=+，可知2111n n n n a a a a +++-=-或21112n n n n a a a a +++-=--，由第（2）问可知，0r a =，则212r r a a --=，即121r r r a a a ----=-，0r a ∴=，则3111221111111()()1()(),*222222i r i i r r r r a a a a a a i N --+---==--=-⋅-⋅⋅-=-⋅-∈，∴11()4r max a +=，同理，2*1111111()1()(),22224j s r j j s r r a a a j N ---++=-⋅-⋅⋅-=-⋅-⋅∈，∴11()16s max a +=，同理，11()64t max a +=，111r s t a a a +++∴++的最大值2164．【评注】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查了学生计算能力，属于难题．。

2020年上海市春季高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2020年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = ． 2．（4分）不等式13x>的解集为． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为．4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = ． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = ． 7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l 的距离为．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = ． 10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有种．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为．12．（5分）已知()f x =其反函数为1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n n n n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．514．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123n n n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( )A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ．（1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =．（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2A =-，}m ，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．2020年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分) 1．（4分）集合{1,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则a = 3 ．【解析】3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3．【评注】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 2．（4分）不等式13x >的解集为 1(0,)3．【解析】由13x >得130x x ->，则(13)0x x ->，即(31)0x x -<，解得103x <<，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．【评注】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 3．（4分）函数tan 2y x =的最小正周期为 2π．【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π，故答案为：2π．【评注】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．（4分）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为 2 ．【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈．复数z 满足26z z i +=+，36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =-．则z 的实部为2．故答案为：2．【评注】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．（4分）已知3sin22sin x x =，(0,)x π∈，则x = 1arccos 3．【解析】3sin22sin x x =，6sin cos 2sin x x x =，(0,)x π∈，sin 0x ∴≠，1cos 3x ∴=，故1arccos 3x =．故答案为：1arccos 3．【评注】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键． 6．（4分）若函数133x x y a =+为偶函数，则a = 1 ．【解析】根据题意，函数133x x y a =+为偶函数，则()()f x f x -=，即()()113333x xx xa a --+=+，变形可得：(33)(33)x x x x a ---=-，必有1a =；故答案为：1．【评注】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．（5分）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则1l 与2l【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则1l 与2l 的距离为d =．【评注】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题．8．（5分）已知二项式5(2x +，则展开式中3x 的系数为 10 ．【解析】41435(2)10C x x =，所以展开式中3x 的系数为10．故答案为：10．【评注】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题．9．（5分）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB = 194．【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴21111119()()(4)22224AD AB AB AC AB AB AB AC =+=+=⨯+=．故答案为：194．【评注】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）已知{3,2,1,0,1,2,3}A =---，a 、b A ∈，则||||a b <的情况有 18 种．【解析】当3a =-，0种，当2a =-，2种，当1a =-，4种；当0a =，6种，当1a =，4种；当2a =，2种，当3a =，0种，故共有：2464218++++=．故答案为：18．【评注】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目．11．（5分）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=，（1n =，2，3)，112||||1n n n n A A A A n +++⋅=+（1n =，2，3)，则15||A A 的最小值为．【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==，设1(0,0)A ，如图，求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴．【评注】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）已知()f x =1()f x -，若1()()f x a f x a --=+有实数根，则a 的取值范围为 3[,)4+∞ ．【解析】因为1()y f x a -=-与()y f x a =+互为反函数，若1()y f x a -=-与()y f x a =+有实数根，则()y f x a =+与y x =有交点，x ，即221331()244a x x x =-+=-+，故答案为：3[,)4+∞．【评注】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．（5分）计算：1135lim (35n nn n n --→∞+=+ )A ．3B ．53C ．35D ．5【解析】111133()5355limlim 5335()15n n nn n n n n ---→∞→∞-++==++．故选：D ．【评注】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题． 14．（5分）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=，∴“αβ=“是“22sin cos 1αβ+=“的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=，∴“αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件，∴“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．【评注】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，22sin cos 1αα+=，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．15．（5分）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD =，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【解析】2AB ，2CD ∴，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，设(,)A m t ，(,)D t n ，所以(,)P m n ，因为2212m t +=，2212t n +=，消去t 可得：22212m n -=，故选：B ．【评注】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 16．（5分）数列{}n a 各项均为实数，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，且行列式123nn n n a a c a a +++=为定值，则下列选项中不可能的是( ) A ．11a =，1c =B ．12a =，2c =C ．11a =-，4c =D ．12a =，0c =【解析】行列式131223nn n n n n n n aa a a a a c a a ++++++=-=，对任意*n N ∈满足3n n a a +=，∴2122123n n n n n n a a a ca a a c +++++⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，作差整理得：1n n a a +=（常数列，0c =），或120n n n a a a ++++=，当120n n n a a a ++++=，则12n n n a a a +++=-及212n n na a a c ++=-， ∴方程220n nx a x a c ++-=有两根1n a +，2n a +，∴△2224()430n n n a a c c a =--=->，因为B 错，故选：B ．【评注】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分)17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD ．（1）若5PC =，求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60︒，求PD 的长．【解析】（1）PD ⊥平面ABCD ，PD DC ∴⊥．3CD =，5PC ∴=，4PD ∴=，2134123P ABCD V -∴=⨯⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为12．（2）ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，BC PD ∴⊥，BC CD ⊥，又PD CD D =，BC ∴⊥平面PCD ， BC PC ∴⊥，异面直线AD 与PB 所成角为60︒，//BC AD ，∴在Rt PBC ∆中，60PBC ∠=︒，3BC =，故PC =Rt PDC ∆中，3CD =，PD ∴=【评注】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．18．（14分）已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =．（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值．【解析】（1）数列{}n a 为公差为d 的等差数列，1070S =，11a =，可得110109702d +⨯⨯=，解得43d =，则4411(1)333n a n n =+-=-；（2）数列{}n a 为公比为q 的等比数列，418a =，11a =，可得318q =，即12q =，则11()2n n a -=，111()122()1212nn n S --==--，100n nS a >，即为11112()100()22n n --->，即2101n >，可得7n ，即n 的最小值为7．【评注】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（14分）有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1ω，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ω，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离．（1）若60t =，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点2ω建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点1(120,0)ω，2(60,0)ω，60(10)f 表示与(10,0)B 距离最近的投放点（即2ω）的距离，所以60(10)|6010|50f =-=，同理分析，60(80)|6080|20f =-=，60(95)|12095|25f =-=，由题意得，60(){|60|,|120|}min f x x x =--，则当|60||120|x x --，即90x 时，60()|60|f x x =-；当|60||120|x x ->-，即90x >时，60()|120|f x x =-；综上60|60|,90()|120|,90x x f x x x -⎧=⎨->⎩；（2）由题意得(){||,|120|}t min f x t x x =--，所以||,0.5(120)()|120|,0.5(120)t t x x t f x x x t -+⎧=⎨->+⎩，则()t f x 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以222113(120)603600244S t t t t =+-=-+，由题意，(60)S S <，即2360360027004t t -+<，解得2060t <<，即垃圾投放点2ω建在(20,0)与(60,0)之间时，比建在中点时更加便利．【评注】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题．20．（16分）已知抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．（1）若点M，求M 与焦点的距离；（2）若1t =-，(1,1)P ，(1,1)Q -，求证：A B y y ⋅为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：抛物线2y x =上的动点00(),M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t =于A 、B 两点．点M，∴点M的横坐标22M x ==，2y x =，12p ∴=， M ∴与焦点的距离为192244M p MF x =+=+=．（2）证明：设200(,)M y y ，直线0201:1(1)1y PM y x y --=--，当1x =-时，0011A y y y -=+，直线0201:1(1)1y QM y x y ++=--，1x =-时，0011By y y --=-，1A B y y ∴=-，A B y y ∴⋅为常数1-．（3）解：设200(,)M y y ，(,)A A t y ，直线200020:()A y y MA y y x y y t--=--，联立2y x =，得22220000000A A y t y t y y y y y y y y ---+-=--，2000p A y t y y y y -∴+=-，即00A P Ay y t y y y -=-，同理得00B Q By y t y y y -=-，1A B y y ⋅=，2200200()()1A B P Q A B y ty y y t y y y y y y -++∴=-++，要使P Q y y 为常数，即1t =，此时P Q y y 为常数1，∴存在1t =，使得1A B y y ⋅=且P Q y y ⋅为常数1．【评注】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）已知非空集合A R ⊆，函数()y f x =的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，则称函数()f x 具有A 性质．（1）当{1}A =-，判断()f x x =-、()2g x x =是否具有A 性质；（2）当(0,1)A =，1()f x x x=+，[,)x a ∈+∞，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2,}A m =-，m Z ∈，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值．【解析】（1）()f x x =-为减函数，()(1)f x f x ∴<-，()f x x ∴=-具有A 性质；()2g x x =为增函数，()(1)g x g x ∴>-，()2g x x ∴=不具有A 性质；（2）依题意，对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，∴1()()f x x x a x=+为增函数（不可能为常值函数），由双勾函数的图象及性质可得1a ，当1a 时，函数单调递增，满足对任意(0,1)t ∈，()()f x f x t +恒成立，综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞．（3）D 为整数集，具有A 性质的函数均为常值函数，当0m 时，取单调递减函数()f x x =-，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正偶数时，取()0,1,n f x n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，两个不等式恒成立，但()f x 不为常值函数；当m 为正奇数时，根据对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t +恒成立，可得()()()(1)(1)()f x m f x f x m f x f x f x m -++--，则()(1)f x f x =+，所以()f x 为常值函数，综上，m 为正奇数．【评注】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于中档题．。

2022年上海市春季高考数学试卷-含答案详解

第1页，共13页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数定义域为R 的是( ) A. y =x −12B. y =x −1C. y =x 13D. y =x 122. 若a >b >c >d ，则下列不等式恒成立的是( ) A. a +d >b +cB. a +c >b +dC. ac >bdD. ad >bc3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点(包含0点，不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为( )A. 0B. 2C. 4D. 124. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项判断正确的是( )第2页，共13页A. 若S 2022>S 2021，则数列{a n }是递增数列B. 若T 2022>T 2021，则数列{a n }是递增数列C. 若数列{S n }是递增数列，则a 2022≥a 2021D. 若数列{T n }是递增数列，则a 2022≥a 2021第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知z =2+i(其中i 为虚数单位)，则z −=______． 6. 已知集合A ={−1,2}，集合B ={1,3}，则A ∩B =______． 7. 不等式x−1x<0的解集为______．8. 若tanα=3，则tan(α+π4)=______．9. 设函数f(x)=x 3的反函数为f −1(x)，则f −1(27)=______． 10. 在(x 3+1x )12的展开式中，则含1x 4项的系数为______．11. 若关于x ，y 的方程组{x +my =2mx +16y =8有无穷多解，则实数m 的值为______． 12. 已知在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，AC =3，则△ABC 的外接圆半径为数为______．13. 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为______.(用数字作答)14. 在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 15. 已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)两点均在双曲线Γ：x 2a2−y 2=1(a >0)的右支上，若x 1x 2>y 1y 2恒成立，则实数a 的取值范围为______．16. 已知函数y =f(x)为定义域为R 的奇函数，其图像关于x =1对称，且当x ∈(0,1]时，f(x)=lnx ，若将方程f(x)=x +1的正实数根从小到大依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则n →∞lim(x n+1−x n )=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。

2023年上海市春季高考数学试卷-含答案详解

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共11小题，共53.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =( )A. 12B. −12C. 1D. −12. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =( )A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±33. 已知圆M:x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l:2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当|PM|·|AB|最小时，直线AB 的方程为( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −1=0C. 2x −y +1=0D. 2x +y +1=0 4. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√555. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. y =2x +1B. y =2x +12C. y =12x +1D. y =12x +126. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A. 4B. 5C. 6D. 77. 直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ΔABP 面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C. [√2,3√2]D. [2√2,3√2]8. 下列函数是偶函数的是( ) A. y =sinxB. y =cosxC. y =x 3D. y =2x9. 根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小10. 如图，P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

2022届上海市春季高考数学试卷及答案

2022届上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z =2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 3. 不等式10x x-<的解集为 4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+=5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为 6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=7. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为 8. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为 11. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12. 已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（）A . 1y x -=B . 12y x -= C . 13y x = D . 12y x = 14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A . 0B . 2C . 4D . 1216. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 已知2i z =+，则z = 【答案】2i z =-2. 已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则AB = 【答案】AB =(1,2) 3. 不等式10x x-<的解集为【答案】(0,1)4. 已知tan 3α=，则tan()4πα+= 【答案】2-5. 已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6. 已知函数3()f x x =的反函数为1()y f x -=，则1(27)f -=【答案】37. 在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为【答案】668. 在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9. 已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710. 在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅的最小值为【答案】7811. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12. 已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-= 【答案】2二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列幂函数中，定义域为R 的是（）A . 1y x -=B . 12y x-= C . 13y x = D . 12y x = 【答案】C14. 已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A . a d b c +>+B . a c b d +>+C . ad bc >D . ac bd >【答案】B15. 如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A . 0B . 2C . 4D . 12【答案】B16. 已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A . 若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B . 若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C . 若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D . 若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18. 已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19. 如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为2254503255.142-≈m ² 20. 在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）交点为34(,)55a ，在椭圆上；（3）621. 已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(12),)t t -∞++∞；（3）证明略。

上海春季高考数学试卷

上海春季高考数学试卷选择题：1. 若函数f(x) = 2x + 5，g(x) = x^2 - 3x，则f(g(2))的值为：A. 1B. 3C. 5D. 72. 若正方形的对角线长为6根号2，则其边长是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 绝对值函数y = |x - 2|的图象与x轴交点的横坐标是：A. 0B. 1C. 2D. 34. 若sin(x) = 0.6，cos(y) = -0.8，且x与y为锐角，则tan(x+y)的值为：A. 4/3B. -4/3C. 3/4D. -3/45. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f^-1(2)的值：A. 0B. 1C. 2D. 3填空题：6. 三角形的一个内角为80°，另一个内角是50°，求第三个内角的度数是__________°。

7. 若方程2x + 3y = 12的解为x = 3，则相应的y值为__________。

8. 已知等差数列的公差为4，前5项的和为30，求这个等差数列的首项是__________。

9. 若函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 5，求f(-1)的值为__________。

10. 设直线L过点A(-1, 3)且与y轴垂直，其方程为x = ________。

应用题：11. 甲、乙两人同时从A、B两地相向出发，相遇后继续直线行驶，若甲比乙提前出发1小时，他们相遇时行驶的时间是4小时，求甲、乙的行驶速度。

12. 一个等差数列的首项是3，公差是4，求第10项的值。

13. 一条铁链长120米，两端固定在两个水平地面上，如果将铁链恰好放在地面上，形成一个正方形，正方形的面积是多少平方米？14. 某商品原价800元，商家打9折促销后售价为多少元？15. 甲、乙两地相距200公里，两车同时从两地相向出发，甲车速度为60km/h，乙车速度为80km/h，问几小时后两车相遇？。

2023年上海市普通高等学校春季招生考试试卷(数学)

12023年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意:1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试卷,满分150分.考试时间120分钟.48分）本大题共有12题,只要求直接4分,否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<,{}24B x x =-≤<,则A B = .2．计算:131lim 32n n n n +→∞+=+ .3．函数()f x =地定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内地解是 .5．已知数列{}n a 是公差不为零地等差数列,11a =. 若125a a a 、、成等比数列,则n a = .6．化简:cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上地一点,双曲线地一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线地左、右焦点. 若23PF =,则1PF = .8．已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如右图所示,则该凸多面体地体积V = .9．已知无穷数列{}n a前n项和113n nS a=-,则数列{}n a地各项和为 . 10．古代"五行"学说认为:"物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金."将五种不同属性地物质任意排成一列,设事件A表示"排列中属性相克地两种物质不相邻",则事件A出现地概率是（结果用数值表示）.11．已知12,,,na a a；12,,,nb b b（n是正整数）,令112nL b b b=+++, 223L b b=+,nb++,n nL b=. 某人用右图分析得到恒等式:1122n na b a b a b+++=112233a L c L c L+++k kc L+n nc L++,则kc=(2)k n≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B,直线1l:20,:0x l y==和3:l x+3y10-=. 设iP是il(1,2,3)i=上与A、B两点距离平方和最小地点,则△123PP P地面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得 4分,否则一律得零分. 13．已知向量(2,3),(3,)a bλ=-=,若//a b,则λ等于 [答] ( )（A）23. （B）2-. （C）92-. （D）23-.14．已知椭圆221102x ym m+=--,长轴在y轴上. 若焦距为4,则m等于 [答]（）（A）4. （B）5. （C）7. （D）8.15．已知函数()()f xg x、定义在R上,()()()h x f x g x=⋅,则"()()f xg x、均为奇函数"是"()h x为偶函数"地 [答] ( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.23（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16．已知C z ∈,且22i 1,i z --=为虚数单位,则22i z +-地最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤.12分) 已知cos ,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求2cos sin 2sin θθθ-地值. [解]412分)在平面直角坐标系xOy 中,A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴地交点,C 为AB 地中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ,求焦点F 到直线AB 地距离.[解]514分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数)2()log 21x f x =+.（1）求证:函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 地反函数.若关于x 地方程1()()fx m f x -=+在[1,2]上有解,求m 地取值范围.[证明]（1）[解]（2）614分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如下图所示）.凳面为三角形地尼龙布,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管地受力和人地舒适度等因素,设计小凳应满足:①凳子高度为30cm ,②三根细钢管相交处地节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 地正三角形,三只凳脚与地面所成地角均为45 ,确定节点O 分细钢管上下两段地比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120 地等腰三角形,腰长为24cm ,节点O 分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管地长度（精确到0.1cm ）.[解]（1）（2）716分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上地一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ,简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅ 构成地数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>= ,其中j 为方向与y 轴正方向相同地单位向量,则称{}n A 为T 点列.（1）判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1,,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,是否为T 点列,并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列,且点2A 在点1A 地右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +,判断△12k k k A A A ++地形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）,并予以证明；（3）若{}n A 为T 点列,正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+,求证: >n q m p A A j A A j ⋅⋅ .[解]（1）（2）[证明]（3）8918分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,6分,第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=地虚根,记它在直角坐标平面上地对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上,求证:z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C :222()x m y r -+=（R m r ∈、,0r >）,则存在唯一地线段s 满足:①若z P 在圆C 上,则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则z P 在圆C 上. 写出线段s 地表达式,并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系地研究,填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 地对应线段）.[证明]（1）[解]（2）（3）表一、地取值或表达式线段s与线段1s地关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1线段s与线段1s长度相等2023年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考解析及评分标准说明1.本解答列出试卷地一种或几种解法,如果考生地解法与所列解法不同,可参照解答中评分标1011准地精神进行评分.2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生地解答中出现错误而中断对该题地评阅. 当考生地解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后地解答未改变这一题地内容和难度时,可视影响程度决定后面部分地给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重地概念性错误,就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注地分数,表示考生正确做到这一步应得地该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.解析及评分标准一．（第1至12题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.1. {}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]- . 4. 712x π=. 5. 21n a n =-. 6. cos α. 7. 5.8. 1 9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32.二．（第13至16题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.题号13141516 代号CDAB三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又cos,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,sin θ∴==, …… 9分 2cos sin 2sin θθθ∴-=. …… 12分1218. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C , …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB. …… 12分19. [证明]（1）任取12x x <,则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+,1212,02121x x x x <∴<+<+ ,11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++, 12()()f x f x ∴<,即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=-> , …… 9分[解法一] 1()()m fx f x -∴=- =()()22log 21log 21xx--+ 22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, …… 11分当12x ≤≤时,222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++, m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21xxm -=++,得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭, …… 11分1322112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭, 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 地重心为H ,连结OH . 由题意可得,BH =.设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线与地面垂直,且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成地角,亦即45OBH ∠= .30,1BH OH λλ=∴=+ , 解得,0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段地比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==,AC = 设△ABC 地重心为H ,则8,BH AH ==分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3,可知12OH =. 设过点A B C 、、地细钢管分别为AA BB CC '''、、, 则560.82AA CC OA ''====≈,/14536.12BB OB '===≈, ∴对应于A B C 、、三点地三根细钢管长度分别为60.8cm , 36.1cm 和60.8cm .…… 14分21. [解]（1） 1n a n=, 1111(1)n b n n n n -∴=-=++,显然有1n n b b +>, ∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中,()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-, ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 地右上方,1210b a a ∴=->, {}n A 为T 点列,10n b b ∴≥>,()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<,则1120k k k k A A A A +++⋅<.∴ 12k k k A A A ++∠为钝角,∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+ ,0q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p pa a a a a a a a ---+-=-+-++- 12()q q p pb b b q p b --=+++≥- . ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤- . ③ …… 12分由于{}n A 为T 点列,于是1p n b b ->, ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-, …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ,即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=,解方程2220x bx b +-=,得z b =-±, …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -,将点z P 代入圆1C 地方程,等号成立,15∴ z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<,即2b c <时,解得z b =-, ∴点(),z P b -或(),z P b -,由题意可得222()b m c b r --+-=,整理后得 222c mb r m =-+-, …… 6分 ()240b c ∆=-< ,222()b m c b r ++-=, (,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为: 222c mb r m =-+-,[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<,且点(),z P b -、(),z P b --在圆C 上.…… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程地虚根,则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ,解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得,222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分以下同解法一.[解]（3）表一线段s 与线段1s 地关系、m r 地取值或表达式得分s 所在直线平行于1s 所在直线1m =,1r ≠12分s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=,1m ≠15分线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。

2020年上海市春季高考数学试卷(含答案)

2020年上海市春季高考数学试卷2020.01一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.集合{1,3}A ，{1,2,}B a ，若A B ，则a 2.不等式13x的解集为 3.函数tan 2y x 的最小正周期为4.已知复数z 满足26i z z ，则z 的实部为5.已知3sin 22sin x x ，(0,)x ，则x6.若函数133x xy a为偶函数，则a 7.已知直线1:1l x ay ，2:1l ax y ，若1l ∥2l ，则1l 与2l 的距离为8.已知二项式5(2x ，则展开式中3x 的系数为9.三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB10.已知{3,2,1,0,1,2,3}A ，a 、b A ，则||||a b 的情况有种11.已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A（1,2,3n ），112||||1n n n n A A A A n（1,2,3n ），则15||A A 的最小值为12.已知()f x ，其反函数为1()f x ，若1()()f x a f x a 有实数根，则a 的取值范围为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.计算：1135lim 35n nn n n （） A.3 B.53C.35D.514.“ ”是“22sin cos 1 ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知椭圆2212x y ，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB CD ，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线16.数列{}n a 各项均为实数，对任意n *N 满足3n n a a ，且行列式123n n n n a a c a a 为定值，则下列选项中不可能的是（）A. 11a ，1cB. 12a ，2cC. 11a ，4c D. 12a ，0c三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD .（1）若5PC ，求四棱锥P ABCD 的体积；（2）若直线AD 与BP 的夹角为60°，求PD 的长.18.已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a .（1）若数列{}n a 为等差数列，1070S ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，418a，求满足100n n S a 时n 的最小值. 19.有一条长为120米的步行道OA ，A 是垃圾投放点1 ，若以O 为原点，OA 为x 轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)B x ，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t ，函数()t f x 表示与B 点距离最近的垃圾投放点的距离.（1）若60t ，求60(10)f 、60(80)f 、60(95)f 的值，并写出60()f x 的函数解析式；（2）若可以通过()t f x 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利. 问：垃圾投放点2 建在何处才能比建在中点时更加便利？20.已知抛物线2y x 上的动点00(,)M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点.（1）若点M M 与焦点的距离；（2）若1t ，(1,1)P ，(1,1)Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由.21.已知非空集合A R ，函数()y f x 的定义域为D ，若对任意t A 且x D ，不等式()()f x f x t 恒成立，则称函数()f x 具有A 性质.（1）当{1}A ，判断()f x x 、()2g x x 是否具有A 性质；（2）当(0,1)A ，1()f x x x，[,)x a ，若()f x 具有A 性质，求a 的取值范围；（3）当{2,}A m ，m Z ，若D 为整数集且具有A 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值.参考答案一. 填空题 1.3 2. 1(0,)33.24.25. 1arccos36.17.8.109.19410.1811.312. 3[,)4二.选择题13.D 14.A15.B16.B三.解答题17.（1）12；（2）18.（1）4133n a n，n *N ；（2）112n n a ，即2101n ，n 的最小值为7 19.（1）60(10)|6010|50f ，60(80)|6080|20f ，60(95)|12095|25f .60|60|90()|120|90x x f x x x；（2）2060t20.（1）924M p MF x；（2）1A B y y ；（3）存在1t 21.（1）()f x x 具有A 性质；()2g x x 不具有A 性质；（2）[1,)a ；（3）m 为奇数。

上海市春季高考数学试题

2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.（1）（2）（3）（4）（5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。

若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列。

2024年上海春季高考数学试题

2024年上海春季高考数学试题
2024年上海春季高考数学试题是指将在2024年春季举行的上海市高考数学试卷。

这份试卷将由上海市教育考试院组织专家根据高中数学课程标准和高考大纲要求进行命题，用于测试上海市高中毕业生的数学知识和能力。

示例：
1.选择题
(1) 已知复数 z 满足 (1 - i)z = i，则 z = ( )
A. -1/2 + 1/2i
B. -1/2 - 1/2i
C. 1/2 + 1/2i
D. 1/2 - 1/2i
(2) 已知 {an} 是首项为 a1，公差为 -2 的等差数列，Sn 为前 n 项和，若S1,S2,S4 成等比数列，则 a1 = ( )
A. -3
B. -2
C. 3
D. 4
2.判断题
(1) 若 x > 0，则 x + 1/x ≥ 2。

(2) 已知 f(x) = x^3，则 f'(x) = 3x^2。

3.计算题
4.计算定积分∫ x^2sin(x^3) dx，其中积分上限为π/2，积分下限为 -π/2。

总结：2024年上海春季高考数学试题是一份用于测试上海市高中毕业生数学知识和能力的试卷。

这份试卷将由上海市教育考试院组织专家根据高中数学课程标准和高考大纲要求进行命题，包括选择题、判断题和计算题等多种题型。

完成这样的试题可以帮助学生了解自己对于高中数学知识的掌握情况，并且及时针对自己的不足之处进行学习。

2023年上海市春季高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数是偶函数的是( )A. y=sinxB. y=cosxC. y=x3D. y=2x2.根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小3.如图，P是正方体ABCD−A1B1C1D1边A1C1上的动点，下列哪条边与边BP始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C4.已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

2022-2023年上海市春季高考数学试卷历年真题以及预测题答案解析

2022年上海市普通高等学校春季招生真题考试数学试卷一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，考生必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.2023年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n 2+n （4+b 2）+2b 2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b 2=k 2+k 02，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立．解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +．设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．2022年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2022.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为； 4. 函数()2f x x =-的定义域为；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，6BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||23AB =||OA OB +的最小值为；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（）A. πB.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两个结论，正确的判断是（）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列；（1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>；（1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（） A. 0 B.2πC. πD. 2π2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =，若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ；（2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)；（2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。

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上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

2022年上海市春季高考数学试卷

2022届上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知2i z =+，则z =2.已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则A B =3.不等式10x x-<的解集为4.已知tan 3α=，则tan()4πα+=5.已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为6.已知函数3()f x x =的反函数为1()y fx -=，则1(27)f -=7.在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为8.在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为11.已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12.已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-=二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列幂函数中，定义域为R 的是（）A .1y x -=B .12y x -=C .13y x =D .12y x=14.已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A .a d b c+>+B .a c b d +>+C .ad bc >D .ac bd>15.如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A .0B .2C .4D .1216.已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A .若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B .若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C .若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D .若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18.已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19.如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20.在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21.已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知2i z =+，则z =【答案】2iz =-2.已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则A B = 【答案】A B = (1,2)3.不等式10x x-<的解集为【答案】(0,1)4.已知tan 3α=，则tan()4πα+=【答案】2-5.已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6.已知函数3()f x x =的反函数为1()y fx -=，则1(27)f -=【答案】37.在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为【答案】668.在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为【答案】39.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为【答案】7811.已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12.已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-=【答案】2二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列幂函数中，定义域为R 的是（）A .1y x-=B .12y x -=C .13y x =D .12y x =【答案】C14.已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A .a d b c+>+B .a c b d +>+C .ad bc>D .ac bd >【答案】B15.如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A .0B .2C .4D .12【答案】B16.已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A .若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B .若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C .若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D .若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan 2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18.已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19.如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为450255.14≈m ²20.在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）交点为34(,55a ，在椭圆上；（3）621.已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(1,)t t -∞++∞ ；（3）证明略。

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上海市春季高考数学试题2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________. 3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

若105=∠A ，45=∠B ，22=b ，则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________7．在数列}{na 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n na a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.A BCV E 。

。

（1）（2）（3）（4）（5） 9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。

若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）.10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2. 12．在等差数列}{n a 中，当sr a a =)(s r ≠时，}{na必定是常数数列。

然而在等比数列}{na 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当sr a a =时，非常数数列}{na 的一个例子是____________. 二、填空题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是（）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tg y 2π= （D ）x x y ππcos sin = 14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④ 16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是（）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18.已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程5222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. 某市2003年共有1万辆燃油型公交车。

有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20.已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等。

（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅ng n f .21.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线1:222=-y axC )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3)对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．145 10．14)2(9)3(22=+--y x11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x .18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p .212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根.19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）。

(2)记nn a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nnS S 。

于是50005.11)5.11(128>=--n nS （辆），即326575.1>n，则有,5.7≈n 因此8≥n 。

所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。

20. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面； (2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=， ∴有αcos 21111111111222A ACCB BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=.21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a 。

(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f ,当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增。

(3)设()()n g nf nc )(1054⋅=，考查数列{}nc 的变化规律：解不等式11<+nn cc ，由0>nc ，上式化为1)54(1032<⋅+n ,解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f ng nf 。

22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(。

（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得2=a 。

（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ，当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min)(||-+==t t f PQ ，当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min+-==t f PQ ；当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 上单调递增，4)1()1(||2min+-==t f PQ 。

综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ，当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min+-==t PA PQ ；当点P 的点在点'A 的右边，5>t 时，1)4(||||2min+-==t PB PQ 。