上海市春季高考数学试题

上海市春季高考数学试题

2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)

一、填空题（本大题满分48分）

1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________. 3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。若

105=∠A ，

45=∠B ，22=b ，

则=c __________.

4．过抛物线x y 42

=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、

AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3

+=x

x f ，则方程4)(1

=-x f 的解=

x __________.

6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若

VAE ∆的面积是4

1，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________

7．在数列}{n

a 中，31

=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1

-n n

a a 在直线03=--y x 上，则=+∞

→2

)

1(lim n a n

n _____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.

A B

C

V E 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

（1） （2） （3）

（4） （5） 9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）.

10．若平移椭圆369)3(42

2

=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别

只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________.

11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第

_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2. 12．在等差数列}{n a 中，当s

r a a =)(s r ≠时，}{n

a

必定是常数数列。然而在等比数列}{n

a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s

r a a =时，非常数数 列}{n

a 的一个例子是____________. 二、填空题（本大题满分16分）

13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）

（A ）x y π2

sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tg y 2

π

= （D ）x x y ππcos sin = 14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件

15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若

第0行 1

第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1

第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……

)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则

ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④ 16．若21++=a

a p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ） （A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p

三、解答题（本大题满分86分）

17. 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点

)1,cos (-x Q ，

其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.

18.已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程

5222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.

19. 某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型

公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？

20.已知函数()a x x f -=，()122

++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等。（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；（3）若n 为正整

数，证明：()()

4)54(10<⋅n

g n f .

21.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .

(1) 求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线1:2

2

2

=-y a

x

C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；

(3)对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称