第四讲 椭球面上几种曲率半径讲解材料
椭球面的几何特征与测量计算
r N cos B
平 行 圈 弧 长 ：Y N cos B L2 L1
对于经度差相同，纬度差不同的 平行圈，弧长是不同的。
N
r
PB
E O
K
六 梯形图幅的面积
针对小比例尺1：5000的地形图 实质是两条子午圈和两条平行圈所包围的椭球面面积
AD
B C
AB MdB 面积
BC N cos Bdl dP MN cos BdBdl
卯酉圈曲率半径与椭球面上一点的子午圈相垂直的法截线称为该点的卯酉圈赤道平行圈不包含法线的平面与椭球面的截线称为斜截线平行圈就是一条重梅尼埃定理假若通过曲面上一点引两条截线一为法截线一为斜截线且在该点上这两条截线具有同一公切线则斜截线的曲率半径等于法截线曲率半径乘以两截线平面间夹角的余弦
7.2 椭球面上法截线曲率半径
4
e2
N
2 m
s2 cos2
Bm
sin 2 A1
s 两点间的法截线长度； A=Bm=45º
Bm 两端点的平均纬度； s
Δ
Nm
Bm处
的
卯
酉
圈
曲
率
半
径
；
100km
0.042"
A1 正法截线的大地方位角。
A
60
0.015
30
0.004
B
三角形不闭合
大地线
C
九 大地线及其几何特征
密切
1.A 900或或182070 2.大正地反线法与 法 截截线线重重合 合
3. 0
大地线和法截线的长度相差甚微，一般不加以区分
十 大地线的解析特征——大地线微分方程 克莱劳方程
卯酉圈曲率半径ppt课件
4.3.1 大地主题解算的一般说明
1．以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在 地球椭球面上进行积分运算。
大地线微分方程
dB cos A dS M dL sin A dS N cos B
dA cos B sin B dS N
44
2．以白塞尔大地投影为基础
白塞尔大地主题解算的步骤： 1) 按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现
48
4.3.3 高斯平均引数正算
首先把勒让德级数在P1点展开改在大地线长度中点M 展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；
其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助 迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。
49
4.3.4 高斯平均引数反算
46
5．依据大地线外的其他线为基础。 连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然
还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线 等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切 量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以 对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行 解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上 归化至大地线的改正。
设P为大地线上任意一点，其经度 为Ｌ，纬度为Ｂ，大地线方位角为 Ａ。当大地线增加dＳ到P1点时，则 上述各量相应变化dL，dB及dA。
所谓大地线微分方程，即表示dL、 dB和dA与dS的关系。
dS在子午圈上的分量 p2 p1 MdB dS在平行圈上的分量 p p2 rdL N cos BdL
23
31
二、标高差改正 h
标高差改正的计算公式
32
三、截面差改正 s
在椭球面上，纬度不同的 两点由于其法线不共面， 所以在对向观测时相对法 截弧不重合，应当用两点 间的大地线代替相对法裁 弧。这样将法裁弧方向化 为大地线方向应加的改正 叫截面差改正。
子午圈的曲率半径
r N cosB
xra NhomakorabeacosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
椭圆曲率半径的四种求法
中学生数理化·教与学2009.12科学思想方法椭圆曲率半径的四种求法◆广西柳州铁一中 温黎明要分析沿曲线运动的质点在曲线上某点的运动情况,往往要先弄清曲线在这一点切线的方向及曲折程度,切线方向可由斜率反映出来,弯曲程度可用极限圆曲率半径反映出来.如果在曲线上某点附近取极短的一段,只要取得足够短,那么,这一小段就可以看成一段很短的圆弧,此圆弧所在的圆叫做曲线在该点的极限圆,极限圆的半径叫曲线在该点的曲率半径.求曲线曲率半径通常用到的依据是向心加速度公式:an =ν2ρ,得ρ=ν2an.故求曲率半径所要解决的问题是:质点经过该位置时速度和在该点法线方向的加速度.对于任意曲线,关键在于如何构建一个合理的模型,使其合运动来满足曲线方程.下面就以求椭圆端点的曲率半径为例,来说明如何构造物理模型.如图1,质点运动的椭圆轨道方程为x2a2+y2b2=1,试用物理的方法求出A(a,0)和B(0,b)两点处的曲率半径.构造模型:将质点的椭圆运动看成两个互相垂直的同频率简谐振动的叠加.解法一:设质点的两个分运动为:x=a s i nωt,y=b c o sωt.它们的合运动的轨道方程就是题中给出的椭圆方程.求速度 νx=aωc o sωt,νy=-bωs i nωt.求加速度 ax=-aω2s i nωt,ay=-bω2c o sωt.在点A处,y=0,x=a;νy =-bω;ax=-aω2,ay=0.由ρ=ν2an解得ρA=b2a.同理可得B点曲率半径ρA =a2b.点评:椭圆的参数方法可以写为x=a s i nωt,y=b c o sωt,此方法将复杂的椭圆运动利用数学中的参数方法,巧妙地分解为两个基本的同频率的简谐振动,将本来没有实际物理意义的参数方程赋予新的物理意义,这样,就简化为讨论两个基本的同121中学生数理化·教与学 2009.12科学思想方法频率的简谐振动问题.利用这个思想,我们可以将任何一个复杂的运动,利用它的参数方程来进行适当的运动分解.从而化复杂为简单,化抽象为具体,这将为我们讨论复杂运动带来很多便利.半径为b 的圆柱面被两平面相截,其中一个平面与圆柱面轴线垂直,第二个平面与第一个平面交角为θ,且满足c o s θ=ba .两平面的交线与圆柱面相切.如图1所示,可得第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b 的圆,第二个平面与圆柱的交线是一个半长轴为a 、半短轴为b 的椭圆.构造模型:将椭圆按上述方法投影成一个圆.解法二:设质点在半径为b 的圆周上作速率为ν的匀速圆周运动,则质点在椭圆上的投影必然沿椭圆轨道运动,轨迹方程就是题中给出的椭圆方程.如图2,点A 速度为ν,法向加速度为ν2b ,点A 的投影A ′的速度和法向加速度为νA ′=νc o s θ=ab ν,(a A ′)n =(a A )n =ν2b .由此可得A ′处的椭圆曲率半径ρA ′=ν2A ′(a A ′)n =a 2b.同理可得B ′处的椭圆曲率半径ρB ′=ν2B ′(a B ′)n =b2b.点评:此方法利用投影的思想,把一个复杂的椭圆运动简化,这是物理学中的一个重要思想.行星绕太阳的运动轨迹为椭圆,同样,我们可以用万有引力的方法来求解.构造模型:设质量为m 的质点在万有引力的作用下绕质量为M 的质点做椭圆运动,轨道的半长轴为a ,半短轴为b ,质量为M 的质点处在椭圆的一个焦点上,如图3.解法三:略.可见,物理模型的建立在物理学习中十分重要.掌握一些物理模型的特点和研究方法,学会将研究对象简化成理想模型、将新的物理情景抽象成我们熟知的物理模型并加以解决,并且于实际情景中构建新的物理模型,这需要大家不断探索和总结.122。
第四章 地球椭球及其数学计算讲解
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
三角函数级数展开
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
弧度和度的定义
角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示 角度制：规定周角的360分之一为1度的角 弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度
周长=2 R
180
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
4.4 地球椭球上的曲率半径
卯酉圈
过椭球面上任意一点P可作一条垂直 于椭球面的法线PF，包含这条法线的 平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线
过椭球面上一点的法线，可作无限个 法截面，其中与子午面垂直的法截面 称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线 称为卯酉圈
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
Bu
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间 的差异很小，经过计算，当B=45°时：
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'
Bu
(B )max 11.8'
第四章 地球椭球及其数学计算 第四节 地球椭球上的曲率半径
1 1 e2
1
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系
曲率半径
6、公式推导
(3) 任意方向法截线曲率半径
对法截线方程求二阶导数代入曲率半径公式可得
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
公式说明
RA与L无关 RA与所在的纬度B、法截线方位角A有关 N为P点沿法线方向至椭球短轴的距离PK A为法截线方位角；e’为第二偏心率
第四讲 椭球面上几种曲率半径
(1) 形成
当A=0º 或180º 时，子午圈曲率半径，用M表示
二.子午圈曲率半径
(2) 公式
将A=0º 代入任意方向法截线曲率半径公式
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
得
M R0
N 1 e 2 cos2 B
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）
2 2 W 1 e s i n B 2 2 V 1 e' cos B
W、V
W 1 2 V 1 e
M
a (1 e 2 ) c M 3 2 2 (1 e )
说明
在赤道上，M小于赤道半径。 M随纬度的升高而增大，其值 介于a(1-e2)和c之间
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P XP
ZP B
P2’
O
K
Y
P点在O-XYZ中的坐标
X
X P PP2 N cos B YP 0 2 Z P PP1 N (1 e ) si nB
P1’
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
N
PK N a W
曲率半径-
曲率半径曲率半径，也称为半径或曲率半径，是指曲线或曲面在某一点处曲率圆的半径大小。
曲率圆是指在曲线或曲面上的某一点处，与其切线相切并且曲率最大的圆。
曲率半径的大小决定了曲线或曲面的弯曲程度，曲率半径越小，则曲线或曲面越弯曲。
下面我们将详细探讨曲率半径的相关知识。
一、平面曲线上的曲率半径在平面曲线上，曲率半径的计算公式为：r = [(1 + (dy/dx)^2)^(3/2)] / |d^2y/dx^2|其中，dy/dx表示曲线在该点处的斜率（切角），d^2y/dx^2表示曲线在该点处的加速度。
由此可见，曲率半径的计算需要用到曲线的一阶导数（dy/dx）和二阶导数（d^2y/dx^2），因此需要对曲线进行微积分。
二、空间曲面上的曲率半径在空间曲面上，曲率半径的计算公式稍微复杂一些，可以分为几种情况。
1.参数式曲面上某一点P处的曲率半径为：r = [E(u)v'^2 + 2F(u)v'u' + G(u)u'^2]^(-1/2)其中，E、F、G为曲面的第一基本形式系数，u'和v'为曲面上u和v方向的单位法向量，u''和v''为曲面上u和v方向的单位切向量。
E、 F、 G 的计算公式为：E = |r_u|^2,F = r_u•r_v,G = |r_v|^2其中，r_u和r_v分别为曲面上u、v两个参数方向的切向量。
2.一般曲面方程的曲率半径计算需要求出曲面上某一点处的二阶偏导数来计算。
在曲面上，一个点P的曲率半径r和法向量n以及曲面上所有过该点的切平面交曲面得到的圆的半径ρ之间有下列关系：r = 1/ρ其中，圆的半径ρ可以通过下列公式计算得到：ρ = |n •∂^2r/∂u^2 ∧∂r/∂u + 2n •∂^2r/∂u∂v ∧ (∂r/∂u ×∂r/∂v) + n •∂^2r/∂v^2 ∧∂r/∂v| / (|∂r/∂u ×∂r/∂v|^2)^(1/2)其中，“∧”表示向量积， | | 表示向量的模长。
椭球面知识点总结
椭球面知识点总结一、基本概念1.椭球面的定义椭球面是指以一个椭圆绕着其长轴旋转一周所形成的曲面。
它可以用一个方程来表示，在三维笛卡尔坐标系中，椭球面的方程可以写为：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1其中，a、b、c分别代表在x、y、z轴上的半轴长度。
2.椭球面的参数方程椭球面也可以通过参数方程来表示，参数方程的形式为：x = a*cos(u)*sin(v)y = b*sin(u)*sin(v)z = c*cos(v)其中，u和v分别是参数，0≤u≤2π，0≤v≤π。
3.椭球面的性质椭球面是一个闭曲面，它在每一点处的曲率是不同的，除了在两个半轴的端点处，椭球面的主曲率在其他点处都不相等。
二、性质1.椭球面的焦点椭球面有两个焦点，这两个焦点的距离等于长轴的长度。
当我们在空间中绘制一个椭球面时，可以通过这两个焦点来确定椭球面的位置和形状。
2.椭球面的直径椭球面的直径是椭球面上两点之间的最大距离，它是长轴的长度。
3.椭球面的离心率椭球面的离心率是一个衡量椭球形状的参数，它定义为焦点距离的一半除以长轴的长度。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭球退化为一个点，当离心率为1时，椭球变成一个长方体。
4.椭球面的体积椭球面的体积可以通过积分的方法来求解，其体积的表达式为:V = 4/3 * π * a * b * c5.椭球面的曲率在任意一点处，椭球面的曲率可以通过一组数来表示。
根据椭球面的参数方程，可以求出其曲率在不同点处的值，从而得到整个椭球面上曲率的分布情况。
6.椭球面的法向量椭球面上任意点处的法向量可以通过梯度的方法来求解。
可以求得椭球面上每一点处的法向量分量，从而得到整个椭球面的法向量分布情况。
三、应用1.几何学中的应用椭球面在几何学中有着广泛的应用，它可以用来描述三维空间中的曲面。
在绘图和建模中，椭球面的形状和性质对于设计和制造具有曲面的产品是非常重要的。
2.物理学中的应用椭球面在物理学中也有着重要的应用，例如地球的形状就接近一个椭球面，而行星的轨道也可以用椭球面来描述。
椭球面上的测量计算
控制LO测GO量
三、任意法截弧的曲率半径
❖ 子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800； ❖ 卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，
这两个法截弧在P点上是正交的。
控制LO测GO量
❖ 根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意 方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：
1 cos2 A sin2 A
R MN
上式即平均曲率半径的计算公式，表明，曲面任意一点的平均 曲率半径点是该点上主曲率半径的几何平均值。
控制LO测GO量
五、M、N、R的关系
❖ 椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取， 其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系： N>R>M
❖ 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：
dS DEdx sinB sinB
（dx取负号，是因为在子午 面直角坐标系中，点的横坐 标随纬度B的增大而缩小）
控制LO测GO量
❖两式相代得
dx 1 M
dB sinB
acos2B W
dx dB
a
W
sin
Bcos W2
B
dW dB
W 1e2sin2B
dWd1e2sin2B2e2sinB cosBe2sinB cosB
克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：
X 1. 8 1 B 6 1. 4 1 6 1 s 2 8 B 0 3 i 1 . n 8 0 3 4 s 6 4 2 B i 6 0 . 0 n 8 s 6 2 B in 2 X 1 . 8 1 B 3 6 1 . 7 2 s 1 1 B c 8 i B 0 1 3 n o 0 . 9 0 s 3 4 3 s B 2 c i 5 B 3 n 0 . o 6 9 s 5 B s 9 c i B n
第四章2椭球面上几种曲率半径
任意法截弧的曲率半径的变化规律
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方
位角A有关。
• 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ • 当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ
• 主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
• 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ • 当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变
(S，A)
(L，B)
大地主题解算
Y a c o sφ s in L
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
Z a s inφ
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系
• 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处:
• 推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率， 曲率的倒数是曲率半径。
x NcosB
x=a cos u
y N(1e2)sinB 或：y b sin u
几何意义பைடு நூலகம்MdS dB
dS dx sin B
Mdx 1 dB sinB
xacosB acosB W 1e2sin2B
ddB xaW si3nB(1e2)
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由
微分几何的尤拉公式得：
T（北）
1 cos2 A sin2 A 子午线
kA
RA
M
N
A
RANco2A sM M Nsi2nA
P
R A12N cos2A1e'2cos N 2B cos2A
Q 卯酉线 D（东）
R A N ( 1 2 c2 o A s 4 c4 o A s )
曲率半径的概念
曲率半径的概念曲率半径是描述一个曲面或曲线的形状的物理量。
它指的是在一个给定点上，曲面或曲线在该点处的弯曲程度。
简单地说，曲率半径就是曲面或曲线在一个点上的半径，这个半径是构成这个曲面或曲线时所需的圆的半径。
在几何学上，曲率半径是在曲面或曲线上的法线上，经过该点，并具有相同切线方向和切线方向的垂线长度的倒数。
这个长度就是曲率半径。
因此，曲率半径是一个表示曲线或曲面在某个点上的弯曲程度的量，也是一个表示曲线或曲面在某个点上的曲率大小的量。
为了更好地理解曲率半径的概念，可以比较直线和圆的情况。
在直线上，曲率半径是无限大的，因为直线在任何一个点上都没有弯曲。
而在圆上，曲率半径等于圆的半径，因为圆的每个点都具有相同的弯曲半径和半径大小。
曲率半径在物理学和工程学中具有广泛的应用。
例如，在机械设计中，曲率半径通常用来描述机械零件的弯曲程度和曲线形状。
在光学中，折射率和曲率半径通常用来描述透镜的形状。
在物理学中，曲率半径通常用来描述曲面的形状和反射性质。
曲率半径也是计算曲线或曲面的曲率的重要参量。
曲率是描述曲面或曲线在某个点上的弯曲程度的物理量。
计算曲率的方法是通过比较曲面或曲线的小段弧长和相应段的曲率半径大小来确定。
因此，曲率半径是曲率计算的重要输入参数。
曲率半径的概念还可以应用于处理曲线或曲面的形状数据。
曲率半径可以用来表征数字三维曲面模型和图像数据的特征，例如，在医学成像和地质勘探中，曲率半径通常用来提取数据中的重要特征和构造几何模型。
在工程领域中，曲率半径的概念也是非常重要的。
当模拟各种机械结构和工作装置的强度和稳定性时，曲率半径的变化可以导致应力分布和失稳的发生。
在汽车设计和制造中，曲率半径也是非常重要的因素。
例如在车身设计中，曲率半径需要根据车身部件的弯曲程度来设置，以确保车身的结构强度和稳定性。
总之，曲率半径是一个重要的物理量，它可以用来描述曲面或曲线的形状和曲率。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
椭圆的曲率半径
椭圆的曲率半径
椭圆的曲率半径指的是：椭圆上某点附近的非常短的一段弧可以近似为圆弧，而椭圆在某点的曲率半径就是指这个圆的半径。
平面曲线的曲率就是是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K，平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度，对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径，对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
构成直角三角形
QK Ne 2
OK
Ne 2 sin B
OQ
Ne 2 cos
B
P
W
O
B
E
Q
K
S
P点的法线
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合
X ’
（两次转轴)
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’ 顺时针旋转(90°+B)，使Z’轴 与P 点的椭球面法线重合，得 坐标系P-X’’Y’’Z’’
Z
X
’
”
P
90°+B Y
Y’
B
Z ”
O
”
K
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
X
x coAs siA n 0x
YRZ(A)ysiA n coAs 0y
Z
z 0 0 1z
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
椭球大地测量学
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一系大地测量教研室
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
椭球面基本几何元素及其相互关系 (a,b,c,,e,e)
ab 1e'2 ba 1e2
ca 1e'2 ac 1e2
e'e 1e'2 ee' 1e2
e222
辅助函数 W 1e2sin2B VW1e'2
4、新坐标系P-xyz的定义
坐标原点：与P点重合； z轴：与P点法线PK重合；
Z
x
P
y
x轴：为法截线P1PP2在P
点处的切线方向；
y轴：与P点的法截面垂直，
z
P1 B
O
P2 Y 系
使坐标系P-xyz成右手
X
K
P-xyz中法截面方程
y0
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P1PP2）。
法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P1PP2 ），是
一平面曲线。
Z
2、法截线的作用 3、基本思路
P
O
P1 B
P2 Y
X
椭球面方b2
1
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
第二次转轴： P-
X’’Y’’Z’’绕Z’’轴，顺时 针旋转角A（A为P点处法截线
方位角），得坐标系P-xyz
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转换关系为
X
X
Y
RY
(90
B)Y
Z
Z
Z
X
’
”
P
Y Y’
X ’
B
Z ”
O
”
K
X co9s0 (B) 0 sin 9(0B)X 第一次转轴
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
Y 0
1
0 Y
Z sin 9(0B) 0 co9s0 (B)Z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
Z
Z ’
移轴：将原点O移至P点得 坐标系P-X'Y'Z’
P
Y ’
X ’
O
B
Y
X X XP X NcoBs X
K
YYYPY
0
移轴
Z Z ZP Z N(1e2)siB n
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P
P2’ XP
ZP
O
Y
B
P点在O-XYZ中的坐标
P1’ K
X
YXPP0PP2 NcosB ZP PP1 N(1e2)sinB
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
综合一次移轴和两次转轴得 两坐标系的关系
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
X
x XP
YRY(90B)RZ(A)yYP
Z
z ZP
X(xcoA sysiA n)siB nzcoB sNcoBs YxsiA nycoAs
Z(xcoA sysiA n)coB szsiB nN(1e2)siB n
5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤
Z
x
P
y
P1
X
z
BO
K
P2 Y
求P-xyz中的椭球面方程
求任意方向法截线方程 求任意方向法截线曲率半径
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
V 1e'2co2B s WV 1e2
W
大值 小值 1e2
N
b Oa E
小值 大值 1e2
S
参考椭球
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
重要结论
椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面
上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于Ne2。
N
PK N a W
PQ N(1e2) QK Ne2