人教版数学高一学案数乘向量
(教案)向量的数乘运算Word版含解析
6.2.3向量的数乘运算课标解读课标要求核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点)3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养.2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力.3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少?答案设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?答案-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个①向量记法λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向②相同λ<0λa的方向与a的方向③相反几何意义λa中的实数λ是向量a的系数λ>0λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ<0λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到特别提醒当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.思考1:实数与向量能否进行加减运算?提示不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa +μa; (3)λ(a+b )=λa +λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b. 思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示在形式上类似. 4.共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b =λa. 思考4:λ与向量a,b 的方向有什么关系?提示若λ>0,则a 与b 同向;若λ<0,则a 与b 反向.探究一向量的线性运算例1(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9(a +13b);②12[3a +2b -(a +12b)]-2(12a +38b); ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n 满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b 表示向量m,n. 解析(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=12(2a +32b)-a-34b=a+34b-a-34b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n ①,b=m-3n ②, 则①×3+②×2得3a+2b=11m, 即m=311a+211b. ①-②×3得a-3b=11n,即n=111a-311b. 思维突破向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=16×(4a+16b-16a+8b)=16×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb.探究二共线向量定理及其应用例2设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b 与a+kb 共线. 解析(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b, CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A 、B 、D 三点共线. (2)∵ka+b 与a+kb 共线, ∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb), 即ka+b =λa +λk b,∴(k-λ)a =(λk -1)b. ∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1. 思维突破用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b =λa(a 、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在线段BD 上,且有BN=13BD,求证:M,N,C 三点共线.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+13(b-a)=16a+13b,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b=3×(16a +13b)=3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M,∴M,N,C 三点共线.探究三向量线性运算的应用例3(易错题)已知点E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b.在△EFP 中,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12·a-12b =-12(a+b).易错点拨在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1已知四边形ABCD 是一个梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析解法一:如图,连接CN, 易知AN 与DC 垂直且相等, 所以四边形ANCD 是平行四边形. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,又因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+14a. 解法二:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以a+BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)+(-b)=0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, 又因为在四边形ADMN 中有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以b+14a+MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)=0, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b. 3-2设O 为△ABC 内任意一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若D,E 分别是BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求S△ABC S △AOC的值.解析(1)证明:如图,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14×S △ABC =13S △ABC ,∴S△ABC S △AOC=3.1.已知非零向量a,b 满足a=4b,则() A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反答案C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与b 的方向相同, ∴a 与b 的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是() A.a=2e,b=-2e B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 2答案ABCA 中,b=-a,则a,b 共线;B 中,b=-2a,则a,b 共线;C 中,a=4b,则a,b 共线;D 中,a,b 不共线.3.已知向量a=e 1+λe 2,b=2e 1,λ∈R,且λ≠0,若a ∥b,则() A.e 1=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或e 1=0或e 2=0 答案D4.已知x,y 是实数,向量a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=. 答案12;12解析由已知得{x +y -1=0,x -y =0,解得x=y=12.5.已知两个非零向量e 1、e 2不共线,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2.求证:A 、B 、D 三点共线.证明∵AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2 =12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A, ∴A 、B 、D 三点共线.数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知▱ABCD 的边BC,CD 上的中点分别为K,L,且AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =①, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ +KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,DL⃗⃗⃗⃗⃗ =12e 1-14a. 又AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得a+12e 1-14a=e 2, 解得a=②.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =③.解法二:设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n,则BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12m,DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12n. 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得④,得m=23(2e 2-e 1),n=⑤,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43e 1+23e 2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与AL 的延长线交于点E,则△DLA ≌△CLE.从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 由KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得32BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 2-e 1, 即BC⃗⃗⃗⃗⃗ =⑥. 同理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =⑦.思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案①12a ②43e 2-23e 1,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1 ③-43e 1+23e 2④{-n +12m =e 1m -12n =e 2⑤23(-2e 1+e 2)⑥43e 2-23e 1⑦-43e 1+23e 2如图所示,四边形OADB 是以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b 为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b. ∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a+23b, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a+23b-16a-56b=12a-16b.1.将112[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为() A.2a-bB.2b-a C.a-bD.b-a答案B2.在△ABC 中,如果AD,BE 分别为BC,AC 上的中线,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.23a+43bB.23a-23b C.23a-43bD.-23a+43b 答案A3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+4b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b-a,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a+b),则() A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线 C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 答案B4.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ等于() A.23B.13C.-13D.-23答案A 解法一:由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 解法二:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) C.λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) 答案A 因为P 是对角线AC 上的一点(不包括端点A 、C),所以存在λ∈(0,1),使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 6.已知向量a,b 不共线,实数x,y 满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=,y=. 答案3;-4解析因为a 与b 不共线,所以{5x =3y +27,8-y =4x,解得{x =3,y =-4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与a 反向,则a=b. 答案-32解析因为b 与a 反向,所以a =λb ,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b |=|λ|, 所以λ=-32,所以a=-32b.8.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形EFGH 为平行四边形.证明∵F,G 分别是AB,AC 的中点, ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理,EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG=EH,FG ∥EH,∴四边形EFGH 为平行四边形.9.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=() A.2B.3C.4D.5答案B 由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,M 为△ABC 的重心,故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即m=3.10.(多选题)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 可以是() A.-13B.-14C.0D.-√26答案BD 当点O 与点C 重合时,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-0)·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时x=0;当点O 与点D 重合时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 此时x=-13.因为点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),所以-13<x<0.故x 可以是-14,-√26.故选BD. 11.若对于△ABC 内部的一点O,存在实数λ使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,则△OBC 与△ABC 的面积比为. 答案1∶2解析如图所示,设D,E 分别是AB,AC 的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB 为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC 为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点O 在线段DE 上.又因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以△OBC 与△ABC 的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示下列向量:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案e 2+12e 1;14e 1-e 2解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2+12e 1.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2. 13.已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的取值范围.解析(1)证明:因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又λ∈R ,λ≠1,λ≠0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A,所以A,B,M 三点共线.(2)由(1)知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点B 在线段AM 上,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC 和一点O(如图),线段OA,OB,OC 的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a,b,c 表示向量EL⃗⃗⃗⃗⃗ ,FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明:线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.解析(1)因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a,OL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c),所以EL ⃗⃗⃗⃗⃗ =OL ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c-a). 同理可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+c-b), GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b-c). (2)证明:设线段EL 的中点为P 1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OL ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a+b+c). 设FM,GN 的中点分别为P 2,P 3,同理可求得OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),所以OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.。
041向量数乘运算及其几何意义(1)
高一数学041 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生 课题 2.2.3向量数乘运算及其几何意义（1）学习目标：理解向量的数乘运算及其意义，掌握向量数乘运算的运算律 学习过程 一．复习二．新课学习1、向量数乘运算：与数的乘法类似a+a+a=3a 一样a a a 3a =++实数λ与向量a →的积是一个 ，这种运算叫做向量的 。
记作 ，其长度与方向规定如下：2、向量数乘的运算律：()1a λμ→⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()()2a λμ→+= ()3a b λ→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭特别的有：()a λ→-= = ， a b λ→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭。
三．新知应用练习1、下面给四个命题：①对于实数m 和向量a ，b 恒有：m （a －b ）= m a －m b②对于实数m 、n 和向量，恒有：（m －n ）a = m a －n a③若m a =m b （m ∈R ），则有：a =b④若m a =n a（m 、n ∈R ），则m = n其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4练习2、 已知a ，b 方向相同，且｜a ｜=3, ｜b ｜=7,｜2a －b｜= ．练习3、下列各式计算正确的有（ ）(1) (－7)6a →= —42a →(2) 7(a →+b →)－8b →=7a →+15b →(3) a →－2b →+a →+2b →=2a →(4) 若a →=m →+n →, b →=4m →+4n →,则a →∥b →A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1、化简（1）826222a b c a b c a c →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）)]24()82(21[31--+（3）()()m n a b m n a b →→→→⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习4、如图，在平行四边形ABCD 中，两条对角线相交于O ，AB =a ，AD =b ，用a ，b表示向量OA ，OBB CABCACFB EDGAB 图1例3、在∆ABC 中，G 是∆ABC 的重心，证明：()=+13AG AB AC练习5、已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =三、课堂小结四、课外作业一、选择题1、 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是：（ ）A ．a 与a λ- 的方向相反B ．||||a a λ-≥C ．a 与2a λ 的方向相同 D ．||=||a a λλ-2、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）A ．12BC BA -+B ． 12BC BA --C ． 12BC BA -D ． 12BC BA +3、如图△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 边上的中线， G 是它们的交点，则下列等式中∙∙∙不正确的是（ ）A ．23BG BE =B ．12DG AG =C ．2CG FG =-D ．121332DA FC BC +=4、 点G 是ABC ∆内一点，且有0GA GB GC ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心D ．垂心5、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括A 、C ），则AP=（ ）A ．().(0,1)AB AD λλ+∈B．().AB BC λλ+∈C ．().(0,1)AB AD λλ-∈D ．().AB BC λλ-∈二、填空题6、已知向量a →，b →，且3()2(2)4()b →→→→→→→→++---+=0x a x a x a ，则→x =__________．7、四边形ABCD 中，若3AB e = ，5CD e =- ，且||||AD BC =，则四边形ABCD 是 .三、解答题8、△ABC 中，1,//4AD AB DE BC = ，且与边AC 相交于点E ，AM 为△ABC 的中线．设,,AB a AC b == 用,a b 分别表示向量,AM AE9、 已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：+++=4。
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。
【教学目标与核心素养】A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【教学过程】。
特点:首尾相接，连首尾。
2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。
3.向量减法的三角形法则。
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。
即。
的方向与的方向相同，。
类似地，，其方向与的方向相反，。
AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
人教A版(新教材)必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 学案(含答案)
人教A版（新教材）必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案（含答案）6.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下1|a||||a|.2aa0的方向当0时，与a的方向相同；当0时，与a的方向相反.特别地，当0时，a0.当1时，1aa.知识点二向量数乘的运算律1.1aa.2aaa.3abab.特别地，aaa，abab.2.向量的线性运算向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.知识点三向量共线定理向量aa0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.思考向量共线定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.3.若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.4.|a||a|.提示|a||||a|.一.向量的线性运算例11若a2bc，化简3a2b23bc2ab等于A.aB.bC.cD.以上都不对答案C解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.2若3xa2x2a4xab0，则x________.答案4b3a解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法1类比法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号.移项.合并同类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.2方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算ab3ab8a.解ab3ab8aa3ab3b8a2a4b8a10a4b.二.用已知向量表示其他向量例2如图，在ABCD中，E是BC 的中点，若ABa，ADb，则DE等于A.12abB.12abC.a12bD.a12b答案D解析因为E是BC的中点，所以CE12CB12AD12b，所以DEDCCEABCEa12b.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法1直接法2方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于A.13AC23ABB.53AB23ACC.23AC13ABD.23AC13AB答案D解析示意图如图所示，由题意可得ADABBDAB23BCAB23ACAB13AB23AC.三.向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.1若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证A，B，C三点共线；2若8akb与ka2b共线，求实数k的值.1证明ABOBOA3ab2aba2b，而BCOCOBa3b3ab2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共点B，A，B，C三点共线.2解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akbka2b，即8kak2b0，a与b不共线，8k0，k20，解得2，k24.反思感悟1证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC或BCAB 等即可.2利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3已知向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是________.答案A，B，D解析ABe12e2，BDBCCD5e16e27e12e22e12e22AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.三点共线的常用结论典例如图所示，在ABC 中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为A.1B.2C.3D.4答案B解析连接AO图略，O是BC的中点，AO12ABAC.又ABmAM，ACnAN，AOm2AMn2AN.又M，O，N三点共线，m2n21，则mn2.素养提升1本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OAxOByOC，且xy1.2应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.1.下列运算正确的个数是32a6a；2ab2ba3a；a2b2ba0.A.0B.1C.2D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；a2b2baa2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若ABa，ACb，则AM等于A.12abB.12abC.12abD.12ab答案C解析因为M是BC的中点，所以AM12ab.3.设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP，则A.PAPB0B.PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC0答案B解析因为BCBA2BP，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4a3b62ba________.答案10a解析4a3b62ba4a12b12b6a10a.5.设e1与e2是两个不共线向量，AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k________.答案94解析因为A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得ABBD，又AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，所以BDCDCB3e12ke2ke1e23ke12k1e2，所以3e12e23ke12k1e2，所以33k，22k1，解得k94.1.知识清单1向量的数乘及运算律.2向量共线定理.2.方法归纳数形结合.分类讨论.3.常见误区忽视零向量这一个特殊向量.。
6.2.3 向量的数乘运算 教案-2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.3 向量的数乘运算教案第一课时向量数乘运算及其性质（一）课时教学内容向量数乘运算及其性质．（二）课时教学目标借助实例分析，掌握向量的数乘运算及其性质．（三）教学重点与难点重点：向量的数乘运算、运算规则．难点：对向量数乘运算的理解．（四）教学过程设计引言：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？1．创设问题，引入新知问题1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+ (-a)，它们的长度和方向是怎样的？师生活动：教师组织学生画图尝试计算，并从形与数两个角度表达自己的计算结果．教师还可以组织学生举一些类似的例子，并探究结论．如可以借助几何画板等信息技术手段作出4a等向量，与向量a进行比较，发现它们之间的关系．让学生初步体会对的不同值，向量与a之间的关系，体会这种向量运算所蕴含的数与形的含义．最后教师引导学生类比数的乘法，给出向量数乘运算的概念．设计意图：类比数的加法运算，用向量加法运算法则，计算3个向量a（或-a）的和，用简约的方式表示计算的结果，进而提出向量数乘运算的概念，发展学生的运算素养．2．巩固向量数乘运算的概念问题2如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？师生活动：教师组织学生自己画图，分析、表达结果：b=3.5a，b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍．设计意图：通过用向量a表示结果，探讨结果的长度与方向，巩固向量数乘运算的概念．3．探究向量数乘运算的运算律问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运算律呢？请你写出来并加以验证．师生活动：学生类比数的运算律提出向量数乘运算的运算律，再借助向量数乘运算的定义，自主验证向量数乘运算的三个运算律．对于有困难的学生可以组间交流，教师指导．另外，在教师引导下，将向量的加法、减法和数乘向量统称为向量的线性运算，即定义线性运算．要给学生说明，有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这就为向量法解决几何问题奠定了基础．关于向量的线性运算的运算性质，也要让学生加以了解．设计意图：学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．4．巩固新知例1 计算：（1）(-3)×4a；（2）3(a+b)-2(a-b)-a；（3）(2a+3b-c)- (3a-2b+c)．师生活动：教师引导学生步步有据地展开运算，给出运算过程和结果．教师必要时可以提醒学生，虽然向量的数乘运算及运算律与数的运算及运算律非常类似，但也要注意区别，运算的结果是向量而不是数量．设计意图：帮助学生巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2 如图1，,师生活动：（1）让学生自主尝试本问题的解决，体会化归的思想方法；（2）教师适时渗透“给定平面内任意两个不共线的向量a，b，能否用它们表示该平面内的其他向量”的问题，培养问题意识，为平面向量基本定理的教学埋下伏笔．设计意图：巩固向量加法、减法及向量数乘运算的定义，会用两个向量表示其他向量，渗透用向量研究几何问题的意识，为后继学习平面向量基本定理奠定基础．5．课堂练习教科书第15页的练习．设计意图：考查学生向量数乘运算及其几何意义的理解情况．6．布置作业习题6.2的第8题．（五）目标检测1．设a，b为向量，计算下列各式：（1）．设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．2．把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：（1）设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．第二课时共线向量与向量数乘运算的关系教案（一）课时教学内容共线向量与向量数乘运算的关系．（二）课时教学目标掌握共线向量与向量数乘运算的关系．（三）教学重点与难点重点：共线向量与向量数乘运算的关系．难点：对共线向量与向量数乘运算的关系的理解．（四）教学过程设计1．创设情境，探讨共线向量定理问题1向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量与a （a ≠0，是实数）之间的位置关系吗？对于向量a，b及实数，（1）如果b=a（a≠0），向量a与b是否共线？（2）如果向量b与非零向量a共线，b=a成立吗？师生活动：学生独立思考的基础上，小组交流．从正反两个方面讨论共线向量的数乘运算表达．引导学生概括共线向量定理，并关注学生对定理中有关充要条件以及对的唯一性的理解．这里可以借助信息技术手段加以演示，让学生直观感知共线向量定理．最后师生共同概括出共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa．追问1：如图1，若P为AB的中点，则的关系如何？学生独立思考的基础上得到：设计意图：让学生通过探讨共线向量与向量数乘运算的关系得出共线向量定理．2．例题引领，综合运用知识例1如图2，已知任意两个非零向量a，b，试作．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．师生活动：学生自主尝试，作图、观察，得到猜想：A，B，C三点共线．教师可以运用多媒体手段辅助，让学生充分直观感知猜想的合理性．然后，教师引导学生转换命题，体会判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线．由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线．本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即考虑是否存在λ，使成立．最后，师生共同给出证明．追问2：已知不共线向量a，b，作向量终点轨迹有什么规律吗？（呢？）追问3：已知不共线向量a，b你能解释的几何意义吗？向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数．设计意图：通过操作、观察，让学生掌握利用向量共线判断三点共线的方法，提高学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理数学素养．例2已知a，b是两个不共线的向量，向量共线，求实数t 的值．师生活动：教师引导学生阅读题意，明晰题目的条件和要求的结论．学生先自主探究，然后交流解题思路，在学生充分讨论的基础上，教师适时介入，并概要地说明解决问题的关键：判断两个向量共线，首先要考虑其中一个向量不为零向量，可以采取反证法说明向量a－b不为零向量（否则a，b共线），就可以运用共线向量定理建立两个向量之间的关系，进而把这个关系转化成方程或方程组，使问题获得解决．教学中应引导学生体会：（1）数学解题的过程本来就是依据数学的概念、法则、定理、公式等进行命题转化的过程；（2）方程（组）思想是求解未知量的极好武器．设计意图：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．3．课堂小结提升问题2通过本节课的学习，我们知道了向量的数乘运算及其几何意义，那么实数与向量还能有其他运算吗？比如相加、相减、相除．你认为共线向量定理与证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系之间有什么关系？师生活动：学生思考、回答，教师总结：实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减，实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量．向量共线定理是用向量方法证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系的理论依据．设计意图：通过问题2对本节课内容进行小结，进一步加深学生对向量数乘运算的理解．4．课堂练习教科书第16页的练习．设计意图：考查学生对共线向量定理的理解情况．5．布置作业习题6.2的第9，14题．（五）目标检测设计1．已知共线，求实数t的值．设计意图：考查学生将向量共线问题转化为方程组问题求解的能力．2．已知，求证：A，B，C三点共线．设计意图：考查学生运用数乘向量运算和共线向量定理进行推理的能力．3．如图，成立，则=（）．设计意图：考查学生结合图形性质运用向量线性运算求解的能力．（六）单元小结问题（1）概述本单元平面向量加法、减法、向量数乘运算（向量的线性运算）是如何定义的．（2）结合实例分别说明向量加法、减法和向量数乘运算的几何意义，共线向量与向量数乘运算的关系．（3）说明为什么要研究平面向量加法、向量数乘运算的运算律，这些运算律的几何意义是什么．（4）概述平面向量线性运算有哪些简单应用．师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，师生辨析完善．在这个过程中，教师不仅要关注学生对基本知识的表达，更要关注学生是否善于借助举例表达对相关知识的理解，是否能察觉知识发生发展的过程中重要的数学思想方法，是否善于概括总结自己的学习收获，发展学生的数学素养．设计意图：（1）让学生回顾借助物理背景，类比数的运算定义向量加法、减法和向量数乘运算的过程．（2）让学生体会向量集几何、代数于一身的两重性，给我们研究数学问题带来极大的方便，如向量数乘运算直接刻画了一类平行向量的关系．（3）让学生体会运算律为我们进行向量的综合运算，进而解决一些相关的问题带来很大方便．（4）明确向量线性运算的背景、法则、几何意义、运算律的基础上，让学生梳理向量线性运算在解决简单的几何问题、物理问题等方面的运用，初步体会向量运算的作用．。
高一数学必修4向量数乘运算及其几何意义学案
平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数
λ使两向量相等 .把向量平行的问题
转化为寻求实数 λ使向量相等的问题及数乘
例 1 设 a、b 为向量，计算下列各式 .
1
(1)- ×3a；
3
1
(2)2( a-b)-(a+ b)；
2
(3)(2m-n) a-m b-(m-n)( a-b)(m 、n 为实数 ).
图 2-2-36
∴(3) 式成立 .
误区警示 分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法
.
很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，
而且就问题本身来说， 也受到多种条件
的交叉制约， 形成错综复杂的局面， 很难从整体上着手解决， 这时， 就从 “分割 ”入手， 把 “整
体”划分为若干个 “局部 ”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决
即( λ-2m) a+(1- mλ)b =0.
2m 0,
∴
1 m 0.
解得 λ=± 2 .
例 3 如图 2-2-37 所示，在平行四边形 ABCD 中， AD =a， AB =b，M 是 AB 的中点，点 N
是
BD
上一点，
|BN|=
1
|BD|. 求证：
M 、 N、 C 三点共线
时， λa=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，
λa 是一个向量，其
长度 | λa|=| λa|，| 其方向与 λ的符号有关，应注意 0a=0 而不是实数 0.
2.向量的数乘的几何意义 由实数与向量积的定义可以看出，
缩.
它的几何意义就是将表示向量
a 的有向线段伸长或压
向量的数乘运算课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
证明：∵ ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，
∴ ＝ － ＝e1－4e2.
又 ＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，
∴ ＝2 ，∴ ∥ .
∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
[例2] (2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x ＋y，
＝ + +
＝ − + +
＝ − + +
＝ + +
1
1
2
2
1
1
＝ − c − +
2
2
1
1
＝ −− c
2
2
＝ − − +
随堂检测
1．判断正误
(1)若b＝λa，则a与b共线．( × )
(2)若λa＝0，则a＝0.( × )
= ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋
1
1
＝ a＋b.
3
3
变式2 本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝ ，b＝ ，
用a，b表示.
1
2
a＝ −
1
b＝
2
−
4
3
2
3
＝ a−
＝
a
b
2
4
a−
3
3
＝ − ＝
2
3
2
a+
提示：定理中a≠0不能漏掉．
• 若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；
• 若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
题型突破
典例深度剖析
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
向量的数乘运算(第1课时)(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
解：在□中， = + = + ， = − = − .
1
课堂练习
1. 任画一向量e ，分别求作向量a 4e ,b = 4e .
e
e
e
A
C
B
P
N
M
作法：在平面内任取一点A,作 AB e ,延长AB至C ,使BC 3 AB，则 AC 4e .
D.－2(a＋b)
→ 1
解析 因为 M 是 BC 的中点，所以AM＝2(a＋b).
1.化简：
1
1
1
1
3
(1)3(6 + ) − 9( + 3 )；(2)2 [(3 + 2) − ( + 2 )] − 2(2 + 8 ).
解：(1)原式= 18 + 3 − 9 − 3 = 9；
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
B
1
1
1
4
4
2
[原式＝6(2a＋8b)－3(4a－2b)＝3a＋3b－3a＋3b
＝－a＋2b．]
→
→
→
2.如图，已知 AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM等于
1
A.2(a－b)
1
B.－2(a－b)
1
C.2(a＋b)
1
例5.计算：
(1)(−3) × 4；(2)3( + ) − 2( − ) − ；(3)(2 + 3 − ) − (3 − 2 + ).
解：(1)原式= (−3 × 4) = −12；
2.2.3《向量的数乘运算及其几何意义》学案1
2．2．3向量的数乘运算及其几何意义学案学习目标：1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义；2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律；3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。
探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？ 问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？向量数乘运算的定义：____________________________________长度和方向规定如下：（1） (2) 问题2：你能说明它的几何意义吗？小露一手：教材P90 练习2、3题问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？（1）=)(a μλ（2）=+a)(μλ（3）=+)(b a λ 问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？例1．计算：（1）a 4)3(⨯- ；（2）a b a b a ---+)(2)(3 ；（3）)23()32(c b a c b a +---+ ；小露一手：教材P90 练习5题向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±.问题5：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？共线向量定理：向量)0( ≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.思考: 1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？小露一手：教材P90练习题4题33.A C EA D AB D E BC == 变式一：如图，已知，试判断、、三点的位置关系。
DE BC C E AB AD //.A 3A 3求证：，已知，变式二：如图==总结归纳：例 3.如图，已知任意两个向量,,b a 试作出.3,2,b a OC b a OB b a OA +=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？例4.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,，你能用b a ,表示ND MC MB MA ,,,吗？课堂练习：教材P90练习题6题 课后作业（1）教材P91 A 组习题9—13题（必做）；B 组习题3、4、5题（选做）A B C O OC OA OB 1λμλμ=++= 思考题：已知三点、、共线，是平日面内任意一点，若有，试求证 学习反思：2例..33是否共线与试判断，已知，如图AE AC BC DE AB AD ==D b a A B C DE。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案教案标题：向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念和性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学重点：1. 向量的数乘运算的定义和性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。
教学难点：1. 理解向量的数乘运算的几何意义；2. 运用向量的数乘运算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算工具、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、计算工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入向量的数乘运算的概念，通过实际例子说明向量的数乘运算的意义和应用；2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？有什么应用场景？二、概念讲解（10分钟）1. 教师介绍向量的数乘运算的定义和性质，包括数乘的定义、数乘的性质（分配律、结合律等）；2. 教师通过几何图形解释向量的数乘运算的几何意义。
三、计算方法（15分钟）1. 教师详细讲解向量的数乘运算的计算方法，包括向量与实数的相乘、向量的分量与实数的乘积等；2. 教师通过示例演示向量的数乘运算的具体计算步骤。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生进行课堂练习，计算给定向量的数乘运算；2. 学生互相讨论解题方法和答案，并与教师进行交流。
五、拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生思考向量的数乘运算在实际问题中的应用，如力的合成、速度的变化等；2. 学生尝试应用向量的数乘运算解决实际问题，并与教师分享解题思路和结果。
六、归纳总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调向量的数乘运算的重要性和应用；2. 学生进行笔记整理，梳理向量的数乘运算的关键点和方法。
七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业，巩固向量的数乘运算的知识；2. 教师提醒学生预习下节课的内容，做好课前准备。
教学反思：本节课通过引入实际例子、概念讲解、计算方法、练习与讨论、拓展应用等环节，全面介绍了向量的数乘运算的概念、性质和计算方法，培养了学生的计算能力和应用能力。
《向量的数乘运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.3 向量的数乘运算》教案【教材分析】实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
【教学目标与核心素养】 课程目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【教学过程】 一、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.aaa ()()()a a a二、预习课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、定义实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．λaλa||||||λaλaλλa a0λλa a 0λ0a0λaa bλμ()λμaλaμa()()λμaλμa()λa bλaλbb aλbλa【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y .【答案】1、－53i －5j . 2、⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .．【解析】1、原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .2、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .题型二 向量线性运算的应用例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －12c .【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .解题技巧： (用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→＝14a －b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .题型三 共线定理的应用例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.【解析】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.【解析】1、证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2、解 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题. 【教学反思】向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A 和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.《6.2.3 向量的数乘运算》导学案【学习目标】 知识目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.核心素养l aa1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本13-16页，填写。
《向量的数乘运算及其几何意义》教案(新人教A版必修4).doc
§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（新教改A版教材）教学目标：（1）掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；（2）让学生能山实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；（3）初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。
教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。
难点：正确运用法则解决几何问题。
教学过程:ctcici问定理形成运算率的形成及证明反叩可。
若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。
并且：特殊地，当实数o和一•个向量相乘时，得到的仍为一个向量，旦模为0, 即“零向量”。
（因为冬向量的方向不固定旦模为0,所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向代数形式为6。
）1.计算下列各式：应用举例（1）（—2） x —U ;（2）20+。
）一3（0-力）；（3）（人 +一万）一（人一"）0+万）.解：（1）（-2）2=（-2 X ^）a；=（-\）a = -a（2）2（0+力）一3（0一万）= 2a + 2b-3a + 3b• 9= （2«—M） + （2 方+ 3 方）= -a+5b例3作图是学生需要锻炼的能力之-，督促学生画好，其次是注意同顾和正确使用向景加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并旦能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力%1.教学资源建议：可以参阅之前.向量这一•部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
%1.教学方法与学习指导策略建议：本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则，对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。
向量的线性运算：数乘
向量的线性运算：向量的数乘教学目标：1. 理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；让学生能由实数运算律类比向量运算律，2.理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题。
3.理解两个向量共线（平行）的充要条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；重点：实数与向量积的定义及几何意义；理解两个向量共线（平行）的充要条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；难点：实数与向量积的几何意义的理解，对两个向量共线（平行）的充要条件的理解.一、创设情景，揭示课题质点从点O 出发做匀速直线运动，若经过1s 的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3s 的位移所对应的向量可用3a来表示。
●这里，3a是何种运算的结果？ 二、研探新知1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反； 当0λ= 时，0a λ= ．（请学生自己解释其几何意义）实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=（结合律）； ① （2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； ② （3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）． ③例1已知向量a 和向量b ，求作向量5.2-a 和向量2a -3b。
例2.计算：（1）3(a -b )-2(a +2b )； （2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c)【思考】：向量数乘有哪些相同点和不同点？练习：（1）计算：（1）(3)4a -⨯ ；（2）3()2()a b a b a +--- ； （3）(23)(32)a b c a b c +---+ ． （2）（教材64P ）练习1至5题例3. 如图，设M 、N 、P 是三角形ABC 三边上的点，且14BM BC = ，14CN CA = ，14AP AB = ，设,AB a AC b == ，试求,,MN MP PN 关于,a b的表达式。
数学互动课堂学案：向量的数乘
互动课堂疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数λ与a的积是一个向量，记作λa，它的长|λa｜=｜λ｜·|a|。
它的方向是这样定义的：当a≠0时.λ＞0，λa与a同向;λ＜0，λa与a 反向;当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0.（2)根据向量数乘的定义。
a与λa为共线向量,两者方向相同或相反，(a≠0，λ≠0)在此前提下，λa可以理解为把a的长度扩大（|λ|＞1）或缩小（|λ|＜1)。
由此可得向量数乘的几何意义:就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。
(3）几点说明①λa中的实数λ,叫做向量a的系数，此系数决定着λa与a的模的关系及方向相同或相反。
②向量数乘的特殊情况：当λ=0时,λa=0，而当a=0时，λa=0.③实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如λ+a,λ—a根本无意义。
2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设λ，u为实数，则（1）（λ+u）a=λa+u a,(2）λ（u a)=（λu）a，（3)λ(a+b)=λa+u b（分配律）。
疑难疏引向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ+u)a=λa+u a 和λ（a+b)=λa+u b。
但两者也有区别:中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律,而向量的数乘的结果是一个向量,满足两种分配律。
3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例1 （1）计算下列各式：①2（a +b ）—3(a —b ）；②3（a -2b +c )—（2c +b —a ）； ③52（a -b )—31(2a +4b ）+152(2a +13b ）. （2）设x 、y 是未知向量 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.21,21b y x a y x【探究】要解决(1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律。
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2.1.4 数乘向量
学习目标 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算.
知识点一 数乘向量的定义
思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？
思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？
梳理 (1)定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，且λa 的长|λa |＝|λ||a |.
λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧
当λ＞0时，与a 同方向；
当λ＜0时，与a 反方向.
当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0.
(2)λa 中的实数λ，叫做向量a 的________.数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小.
知识点二 向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
梳理 向量数乘运算律
(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .
知识点三 向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的____________.
类型一 数乘向量概念的理解
例1 已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由： (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；
(2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的2
5；
(3)－2a 与2a 是一对相反向量；
(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；
(5)若a ，b 不共线，则λa 与b 不共线.
反思与感悟 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，当λ>0时，λa 与a 同向，模
是|a |的λ倍；当λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍；当λ＝0时，λa ＝0. 跟踪训练1 设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( ) A.a 与－λa 的方向相反 B.|－λa |≥|a | C.a 与λ2a 的方向相同 D.|－λa |＝|λ|a
类型二 向量的线性运算 例2 (1)化简：1
4.
(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .
反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
跟踪训练2 (1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a .
(2)若2⎝⎛⎭⎫y －13a －1
3
(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________.
类型三 用已知向量表示其他向量
例3 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →
C.23AC →－13
AB → D.23AC →＋13
AB → 反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练3 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →
，CE →.
1.已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c 等于( ) A.5e B.－5e C.23e D.－23e
2.在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →
等于( ) A.12
AM → B.AM → C.2AM → D.MA → 3.若3x －2(x －a )＝0，则向量x 等于( ) A.2a B.－2a C.25a D.－2
5
a
4.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
等于( )
A.BC →＋12BA →
B.－BC →＋12BA →
C.－BC →－12BA →
D.BC →－12
BA →
5.如图所示，已知AP →＝43
AB →，用OA →，OB →表示OP →
.
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的.
2.λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.
答案精析
问题导学 知识点一 思考1 向量．
思考2 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同． －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反． 梳理 (2)系数 知识点二
思考 结合律，分配律． 知识点三 线性运算 题型探究
例1 解 (1)正确.∵2>0， ∴2a 与a 同向，且|2a |＝2|a |.
(2)正确.∵5>0，∴5a 与a 同向，且|5a |＝5|a |. ∵－2<0，∴－2a 与a 反向，且|－2a |＝2|a |. (3)正确.
(4)错误.－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b .
(5)错误.若λ＝0，则0a ＝0，0与任意向量共线. 跟踪训练1 C 例2 (1)解 1
4
＝1
4(4a ＋8b －20a ＋8b ) ＝1
4(－16a ＋16b ) ＝－4a ＋4b .
(2)解 因为⎩⎪⎨⎪⎧
3x －2y ＝a ， ①
－4x ＋3y ＝b ， ②
由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ，
代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ， 即y ＝4a ＋3b .
所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .
跟踪训练2 (1)解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b . (2)29a －29b ＋19c 例3 D
跟踪训练3 解 ∵CA →＝3a ，CB →
＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →
＝2b －3a .
又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝2
3
b －a ，
∴CD →＝CA →＋AD →
＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，
CE →＝CA →＋AE →
＝3a ＋23AB →
＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .
当堂训练
1．C 2.C 3.B 4.B
5．解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →
)＝－13OA →＋43
OB →.。