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2010年中考试题集锦---菱形

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初中数学 菱形练习题(含答案)

初中数学 菱形练习题(含答案)

第五章四边形
：
已知：如图①，▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O. 求证：四边形AECF是菱形.
图①图②
第1题图
某同学写出了如图②所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的.请你解答下列问题：
(1)能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；
(2)请你给出本题的正确证明过程.
参考答案
中考试题中的核心素养
1. (1)解：能；该同学错在并未证明AC 和EF 是互相平分的，EF 垂直平分AC ，但未证明AC 垂直平分EF ，需要通过证明得出；
(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC .
∴∠F AC ＝∠ECA .
∵EF 是AC 的垂直平分线，
∴OA ＝OC .
∵在△AOF 与△COE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠F AO ＝∠ECO ，OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，
∴△AOF ≌△COE (ASA).
∴EO ＝FO .
∴AC 垂直平分EF .
∴EF 与AC 互相垂直平分．
∴四边形AECF 是菱形．。

中考试题精选《菱形的性质》(含答案)

中考试题精选《菱形的性质》(含答案)

中考试题精选《菱形的性质》（2013.3.21），则△ABC的周长等于（）2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）4．（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，5．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥B*6．（2012•恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则B8．（2012•本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D10．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面，则这个菱形的周长为_________．14．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标_________．15．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是_________．16．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．17．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．*18．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．19．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．20．（2012•西藏）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD 交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．21．（2012•南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．22．（2012•江西）如图，已知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．23．（2012•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．*24．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC 延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．*25．（2012•葫芦岛）如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：_________；（2）如图2，点P不是AC的中点，①求证：PF=PD．②若∠ABC=40°，直接写出∠DPF的度数．26．（2011•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF．27．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．28．（2010•扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论．29．（2010•清远）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF．求证：△ABE≌△DBF．30．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．《菱形的性质》练习题参考答案与试题解析CG BG=AB AB BE=AB=AB BAC=BAO=∠BAD=×CO=BO==5cm=×cm，∴==，解得×，×=××××．故选AB=×BO==4=9.A10．B11.C12.C13.2014．（8，0）或（，0）．OA=AC=OD=BD=OE=AD=OA=3：OP=，∴，）或（，）或（，x=×．故答案为：．16．OH=．AO AB．故答案为：．OB=BC BC=4，﹣×．BF=CF=BC中，∵中，∵中，中∵∠，，BEBE，∴=∴菱形的边长为×BE=。

2010年全国中考数学试题汇编专题三十四·矩形、菱形、正方形.doc

2010年全国中考数学试题汇编专题三十四·矩形、菱形、正方形.doc
连接 AH ，则与 ∠ BEG 相等的角的个数为 A.4 B. 3 C.2 ( D.1 )
（第 10 题） 【答案】B 24． （2010 湖北襄樊）下列命题中，真命题有（ ） （1）邻补角的平分线互相垂直 （2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形 （3）四边形的外角和等于 360° （4）矩形的两条对角线相等 A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 25． （2010 湖北襄樊）菱形的周长为 8cm，高为 1cm，则菱形两邻角度数比为（ ） A ．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【答案】C 26． （2010 四川泸州）如图 1，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 CD 上一点，若△AFB 经过 逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为（ ）
= 90� ，如果添加
） ．
31． （2010 四川自贡）边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB ′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝” （如图所示阴影部分） ，则这个风筝的面积是（ A．2－ C．2－ 3 3 3 4 B． 2 3 3 ） 。
D．2
【答案】A 32． （2010 山东荷泽）如图，矩形纸片 ABCD 中， AB＝4，AD＝3，折叠纸片使 AD 边与对 角线 BD 重合，折痕为 DG，记与点 A 重合点为 A ＇ ，则△A＇ BG 的面积与该矩形的面积 比为 1 1 1 1 A． B． C． D． 12 9 8 6
【答案】D 36． （2010 广东茂名）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方
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形 AB ' C ' D ' ，边 B ' C ' 与 DC 交于点 O，则四边形 AB 'OD 的周长 . .是 A． 2 2 B． 3 C．

菱形中考题(含答案)

菱形中考题(含答案)

菱形中考题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E 在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=_________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= _________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

初三数学菱形的练习题及答案

初三数学菱形的练习题及答案

初三数学菱形的练习题及答案菱形是初中数学中常见的图形之一，通过练习菱形的题目，学生可以巩固对菱形及其性质的认识，培养解决几何问题的能力。

本文将提供一些初三数学菱形的练习题及答案，帮助学生更好地理解和应用相关知识。

练习题一：根据给定条件，求菱形的周长和面积。

1.已知菱形的对角线长度分别为8cm和12cm，求菱形的周长和面积。

解答：求菱形的周长，需要知道菱形的所有边长。

根据菱形的性质，对角线相交于其垂直平分点，且对角线相等。

设菱形的一个对角线长度为d1=8cm，另一个对角线长度为d2=12cm。

根据性质可知，菱形的边长等于对角线长度的一半。

菱形的周长=4×菱形的边长=4×(d1/2)=4×(8/2)=4×4=16cm菱形的面积= (d1×d2)/2=(8×12)/2=96/2=48cm²所以，该菱形的周长为16cm，面积为48cm²。

练习题二：根据给定条件，判断是否为菱形。

2.在平面直角坐标系中，已知四个点的坐标依次为A(3, 0)、B(0, 2)、C(-3, 0)和D(0, -2)，判断四边形ABCD是否为菱形。

解答：要判断四边形ABCD是否为菱形，需要验证以下两个条件：- 对角线互相垂直；- 对角线相等。

首先计算对角线的长度：AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((-3 - 3)² + (0 - 0)²)= √((-6)²)= √36= 6BD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((0 - 0)² + (-2 - 2)²)= √((0)² + (-4)²)= √(0 + 16)= √16= 4由上述计算可知，AC=6，BD=4。

接下来验证两个条件：- 对角线互相垂直：计算斜率k1、k2，若k1*k2=-1则两对角线互相垂直。

专题01 菱形(解析版)

专题01 菱形(解析版)

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题01 菱形【典例1】如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．【点拨】连接AC ，根据菱形的性质可得AC 平分∠DAE ，CD=BC ，再根据角平分线的性质可得CE=FC ，然后利用HL 证明Rt △CDF ≌Rt △CBE ，即可得出DF=BE ．【解析】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD=BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，⎩⎨⎧==CECF CB CD ， ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF=BE ．典例解读【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．【典例2】如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．【点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．【典例3】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP 有最小值是解题的关键．【典例4】如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．【典例5】如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【点拨】（1）由题意得到AD=CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E 的速度求出E 运动的时间即可．【解析】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，在△ADE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD DFC AED DCF EAD ，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s ）．故答案为：6s ．【总结】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.【典例6】如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，CE 平分∠ACD ，交AD 于点G ，交AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ． 求证：四边形AEFG 是菱形．【点拨】由角平分线性质易知AE ＝EF ，欲证四边形AEFG 是菱形，只要再证四边形AEFG 是平行四边形或AG ＝GF ＝AE 即可．【解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．【典例7】如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．教材知识链接【教材知识必背】一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.精准变式题【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD 的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式3】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形【变式4】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．【变式5】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB 的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形【变式6】如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．综合提升变式练1．下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D；2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D ．3.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形【答案】B ；4. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.5．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.6. 如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则∠CPB 的度数是（ ）A.108°B.72°C.90°D.100°【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=21∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ， ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴PA=PD ，∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B ．7．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16.8．已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm ．【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=.9．如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为 .【答案】1：3；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ， ∴BE=22AE AB -=1（cm ）， ∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22OA AB -=3（cm ）， ∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．10. 已知菱形ABCD 两对角线AC ＝ 8cm , BD ＝ 6cm , 则菱形的高为________.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 11. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．【答案】512.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=21BD=3，OA=OC=21AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴BC=2243+=5，∵OE ⊥BC ，∴21OE •BC=21OB •OC ，∴OE=543⨯=512． 故答案为512． 12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.13. 如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．【解析】（1）证明：∵在▱ABCD 中，AB=CD ，∴BC=AD ，∠ABC=∠CDA ．又∵BE=EC=21BC ，AF=DF=21AD ， ∴BE=DF ． ∴△ABE ≌△CDF ．（2）解：∵四边形AECF 为菱形时，∴AE=EC ．又∵点E 是边BC 的中点，∴BE=EC ，即BE=AE ．又BC=2AB=4，∴AB=21BC=BE ， ∴AB=BE=AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高可由勾股定理算得为3，∴菱形AECF 的面积为23．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF∴AE ＝DF ，DE ＝CF ，∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60°在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜2 ∴2233(3)(2)44S ≤< ∴33 3.4S ≤< 15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB ，CD 的中点，连接DE 、BF 、BD ．若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE ＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE ＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．16.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=21AC ， ∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴DF=21AC ， ∴BD=DF ；（2）证明：∵BD=DF ，∴四边形BGFD 是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。

中考二次函数分类讨论存在性问题---菱形

中考二次函数分类讨论存在性问题---菱形

1．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）根据图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集：x＜1或x＞3（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：（2，﹣1）【分析】（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．代入抛物线的解析式列方程组，解出即可求b、c的值；（2）由图象得：即y＞0时，x＜1或x＞3；（3）如图，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．【解答】解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．把A、B两点的坐标代入得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）由图象得：不等式x2+bx+c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3；（3）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE＝AB＝BD＝DE＝2，此时不合题意，如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D 是抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1），故答案是：（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质．解（1）题时，把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值，解（2）时运用数形结合的思想是关键，解（3）时，正确画图是关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB 的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），把B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y＝﹣x2+2x+6；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝（﹣t2+3t）；点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，即可求解；（3）OM所在直线方程为：y＝x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m＝，则H （9，0）．①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），把点B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y＝﹣x2+2x+6，此时，顶点坐标为（2，8），A（﹣2，0）；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝（﹣t2+3t），∴当t＝3时，d最大，则M（3，），点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，AM＝＝；∴点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；（3）OM所在直线方程为：y＝x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m＝，（m＝0舍去），则H（9，0），△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，此时，直线BO1的k值为，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，直线B1H的k也为，则B1H所在的直线方程为：y＝x﹣9，①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．故：存在，此时，点B1的横坐标为18．【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．3．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），则：过BE的直线为：y＝x+1；（2）设：P横坐标为m，则P（m，﹣m2++4），H（m，m+1），则：PH＝﹣m2++4﹣（m+1）＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，PH取得最大值，此时△PEB的面积也取得最大值；构造与y轴夹角为45度的直线OR，如图所示，过点G作OR的垂线交OR于点R，则：RG＝，则：PF+FG+OG＝PF+FG+GR，当F、G、R三点共线时，FG+GR有最小值，即可求解；（3）存在．当四边形为菱形，分在MNQ1S1的位置时、在MNQ2S2的位置时、在MNQ3S3的位置时三种情况分别求解．【解答】解：（1）由题意得：A（0，4）、B（﹣2，0）、D（3，）、C（8，0）、E（6，4），则：过BE的直线为：y＝x+1；（2）延长PF交BE于点H，设：P横坐标为m，则P（m，﹣m2++4），H（m，m+1），则：PH＝﹣m2++4﹣（m+1）＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，PH取得最大值，此时△PEB的面积也取得最大值，此时，P（2，6）、F（2，4），PF＝2，构造与y轴夹角为45度的直线OR，如图所示，过点G作OR的垂线交OR于点R，则：RG＝，∴PF+FG+OG＝PF+FG+GR，当F、G、R三点共线时，FG+GR有最小值，在Rt△AGF中，AF＝AG＝2，则：GF＝2，在Rt△ROG中，RO＝RG，OG＝2，则：RG＝，FG+GR＝2+＝3，故：PF+FG+OG的最小值2+3；（3）存在．如图所示：△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，在Rt△G1AM中，AG1＝2，∠AG1M＝30°，则：AM＝1，∴M（﹣1，4），点D向上平移个单位长度后能与点N重合，则：N（3，7），则：MN＝＝5，当四边形为菱形，在MNQ1S1的位置时，MS1＝MN＝5，则点S1（﹣1，﹣1），当四边形为菱形，在MNQ2S2的位置时，MS2＝MN＝5，则点S2（﹣1，9），当四边形为菱形，在MNQ3S3的位置时，点S3与点M关于对称轴对称，则点S3（7，4），故：所求点S的坐标为：（﹣1，﹣1），（﹣1，9），（7，4）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来求解．4．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y＝x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x＝上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标．【分析】（1）已知抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D 的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线CD与抛物线的函数值的差，可将x＝t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为s的表达式，由此可求出s、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出m取最大值时，点M的坐标．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c的顶点在直线x＝上，∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y＝（x﹣）2+m，∵点B（0，4）在此抛物线上，∴4＝（0﹣）2+m，∴m＝﹣，∴所求函数关系式为：y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+4；（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，∵A、B两点的坐标分别为（﹣3，0））、（0，4），∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；当x＝5时，y＝×52﹣×5+4＝4，当x＝2时，y＝×22﹣×2+4＝0，∴点C和点D在所求抛物线上；（3）设直线CD对应的函数关系式为y＝kx+n，则，解得：；∴y＝x﹣．∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t；则y M＝t2﹣t+4，y N＝t﹣，∴s＝y N﹣y M＝（t﹣）﹣（t2﹣t+4）＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，＝，此时y M＝×（）2﹣×+4＝．∴当t＝时，s最大此时点M的坐标为（，）．【点评】此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键．5．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求二次函数解析式；（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．【分析】（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，解得：a＝1，c＝﹣6，故：二次函数解析式为y＝x2+x﹣6；（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），MQ＝y M﹣y Q＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，即可求解；（3）①当BC边为菱形的边时，N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0）；②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，直线BD与直线MH交点即为M坐标为，即可求解．【解答】解：（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，解得：a＝1，c＝﹣6，故：二次函数解析式为y＝x2+x﹣6；（2）点C关于x轴的对称点D（0，6），点B、D坐标所在的直线方程为：y＝﹣3x+6，则：点M坐标为（m，﹣3m+6），点Q为（m，m2+m﹣6），∴MQ＝y M﹣y Q＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，在﹣6≤m≤2时，函数顶点处，取得最大值，即MQ的最大值为16；（3）①当BC边为菱形的边时，情况一：N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0），情况二：BC、MB是菱形两条邻边，且BC＝BM，则点N坐标为（2，﹣12），情况三：BC、CM为邻边时，则点N坐标为（7.2﹣3.6）；②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，则直线DB与MH的交点为M，M关于BC的对称点为N，H为BC的中点，∴H坐标为（1，﹣3），直线BD的方程为：y＝﹣3x+6，直线MH的方程为：y＝﹣x﹣，联立以上两个方程，解得：M坐标为（，﹣），同理得N坐标为（﹣，﹣），故：N坐标为（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）；．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（1，0），C（0，3），点P在抛物线y＝ax2+bx+c上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC 平分∠PMO，求t的值；（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），把（0，3）代入得到a＝﹣；（2）由题意直线AC的解析式为y＝x+3，因为P的横坐标为t，所以M（t，t+3），根据OM＝OC＝3，可得t2+（t+3）2＝9，解方程即可解决问题；（3）分两种情形①当CE为对角线时，四边形CPED为菱形，如图3，则点P 和D关于y轴对称；②当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，如图4，则PD∥y轴，CD＝PD，分别构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），把（0，3）代入得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+3．（2）如图2中，∵A（﹣4，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，∵P的横坐标为t，∴M（t，t+3），∵CM平分∠PMO，∴∠CMO＝∠CMP，∵PM∥OC，∴∠CMP＝∠MCO，∴∠CMO＝∠MCO，∴OM＝OC＝3，∴t2+（t+3）2＝9，解得t＝﹣或0（舍弃）．∴t的值为﹣．（3）设P（t，﹣t2﹣t+3），①当CE为对角线时，四边形CPED为菱形，如图3，则点P和D关于y轴对称，∴D（﹣t，﹣t2﹣t+3），把D（﹣t，﹣t2﹣t+3）代入y＝x+3得﹣t+3＝﹣t2﹣t+3，解得t1＝0（舍去），t2＝﹣2，此时PD＝4，CE＝3，此时，菱形的面积＝PD•CE＝6；②当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，如图4，则PD∥y轴，CD＝PD，∴D（t，t+3），∴PD＝﹣t2﹣t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，而CD2＝t2+（t+3﹣3）2＝t2，即CD＝﹣t，∴﹣t2﹣3t＝﹣t，解得t1＝0（舍去），t2＝﹣，∴PD＝，此时菱形的面积＝×＝．综上所述，菱形的面积是6或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F 为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B两点代入可求解析式．（2）分类讨论，以AB为边的菱形和以AB为对角线的菱形，抓住菱形边长为4和E的横坐标为3，可解F点坐标，即可求点F到二次函数图象的垂直距离．（3）构造三角形，根据两点之间线段最短，可得最短距离为AN，根据勾股定理求AN．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），∴0＝a+b+0＝25a+5b+∴a＝，b＝﹣3∴解析式y＝x2﹣3x+（2）当y＝0，则0＝x2﹣3x+∴x1＝5，x2＝1∴A（1，0），B（5，0）∴对称轴直线x＝3，顶点坐标（3，﹣2），AB＝4∵抛物线与y轴相交于点C．∴C（0，）如图1①如AB为菱形的边，则EF∥AB，EF＝AB＝4，且E的横坐标为3∴F的横坐标为7或﹣1∵AE＝AB＝4，AM＝2，EM⊥AB∴EM＝2∴F（7，2），或（﹣1，2）∴当x＝7，y＝×49﹣7×3+＝6∴点F到二次函数图象的垂直距离6﹣2②如AB为对角线，如图2∵AEBF是菱形，AF＝BF＝4∴AB⊥EF，EM＝MF＝2∴F（3，﹣2）∴点F到二次函数图象的垂直距离﹣2+2（3）当F（3，﹣2）时，点F到二次函数图象的垂直距离最小如图3，以BQ为边作等边三角形BQD，将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN 位置，连接AN，作PN⊥AB于P∵等边三角形BQD∴QD＝QB＝BD，∵将△BQF绕B逆时针旋转60°到△BDN位置∴NB＝BF＝4，∠FBN＝60°，DN＝FQ∵AQ+BQ+FQ＝AQ+QD+DN∴当AQ，QD，DN共线时AQ+BQ+FQ的和最短，即最短值为AN的长．∵AF＝BF＝4＝AB，∴∠ABF＝60°∴∠NBP＝60°且BN＝4，∴BP＝2，PN＝2∴AP＝6在Rt△ANP中，AN＝＝4∴AQ+BQ+FQ的和最短值为4．【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，菱形的性质，勾股定理等有关知识，关键是构造三角形转化BQ，和BQ的长．。

中考数学压轴题菱形问题精选解析（一）

中考数学压轴题菱形问题精选解析（一）

中考数学压轴题菱形问题精选解析（一）例1 如图，菱形ABCD 的边长为12cm ，∠B ＝30°，E 为AB 上一点，且AE ＝4cm ．动点P 从B 点出发，以1cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，PE 交射线DA 于点M ，设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，△MAE 的面积为3cm 2（2）在点P 出发的同时，动点Q 从点D 出发，以1cm/s 的速度沿DC 边向点C 运动，连接MQ 、PQ ，试求△MPQ 的面积S （cm 2）与t （s ）之间的函数关系式，并求出当t 为何值时，△MPQ 的面积最大，最大值为多少？（3）连接EQ ，则在运动中，是否存在这样的t ，使得△PQE 的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t 的个数，并选择其一求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴△EAM ∽△EBP . ∵AE ＝4cm ，BE ＝8cm ，BP ＝t cm ，∴AM ＝12t cm由S △EAM ＝3cm 2、∠MAE ＝30°、AE ＝4cm ，得12×12t ×2＝3，解得t ＝6∴当t 为6s 时，△MAE 的面积为3cm 2（2）∵AD ∥BC ，∴S 梯形PCDM ＝12(12－t ＋12＋12t )×6＝72－32t∵S △MQD ＝12(12＋12t )×12t ＝18t 2＋3t ，S △PCQ ＝12(12－t )(12－t )×12＝t 2－24t ＋1444∴S ＝S 梯形PCDM －S △MQD －S △PCQ ＝－38t 2＋32t ＋36∵S ＝－38t 2＋32t ＋36＝－38(t －2)2＋752∴当t ＝2时，△MPQ 的面积最大，最大值为752（3）存在，t 的值有两个∵△PQE 的外心恰好在它的一边上，∴△PQE 为直角三角形∵∠PQE ＜∠CQE ＜90°，∴只能∠EPQ ＝90°或∠PEQ ＝90°选择求∠EPQ ＝90°时的t 值（若求∠PEQ ＝90°时的t 值，则计算相当复杂）∵BP ＝DQ ，BC ＝DC ，∴PQ ∥BD ∴PE ⊥BD ∵AC ⊥BD ，∴PE ∥AC又∵BA ＝BC ，∴BP ＝BP ＝8cm ∴当t ＝8s 时，∠EPQ ＝90°例2如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD ＝120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．（1）证明不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE ＝CF ；（2）当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．解析：（1）证明：连接AC∵菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°A CB F E D A B D QC P E M ABDQC PEM A B CE备用图ACB FED∴∠BAC＝60°，∠B＝60°∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC又△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF（2）当E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4 3 由（1）知，S△ABE＝S△ACF∴S四边形AECF＝S△ABC＝34×42＝4 3而△CEF的面积发生变化，其最大值为 3∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝43－34 AE2当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin60°，即AE＝4×32＝2 3∴S△CEF的最大值为43－34(23)2＝ 3。

2010年中考试题最新分类汇总-43.图形变换(图形的平移、旋转与轴对称)2

2010年中考试题最新分类汇总-43.图形变换(图形的平移、旋转与轴对称)2

一、选择题1．（2010枣庄）在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，BC ＝4cm ，AC ＝3cm ．把△ABC 绕点A 顺时针旋转90º后，得到△AB 1C 1（如图所示），则点B 所走过的路径长为A ．52cmB ． 5 4πcmC ． 52πcm D ．5πcm【答案】C2．（2010年广西崇左）学校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集设计方案，有正三角形、菱形、等腰梯形、正五边形等四种图案．你认为符合条件的是（ ）A ．正三角形B ．菱形C ．等腰梯形D ．正五边形 【答案】B3．（2010岳阳市）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】D4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20． 二、填空题 1．（2010甘肃定西）（2010甘肃定西）将点P （1-，3）向右平移2个单位得到点P '，则P '的坐标是___ ___． 【答案】（1，3）2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20． 三、解答题 1．（2010甘肃定西）图①、图②均为76⨯的正方形网格，点A B C 、、在格点(小正方形的顶点)上．（1）在图①中确定格点D ，并画出一个以A B C D 、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图②中确定格点E ，并画出一个以A B C E 、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形．AC 1第8题图图①图②A BC EABCEA BD ABCDC【答案】解：（1）有以下答案供参考：…………………3分（2）有以下答案供参考：…………………6分2．（2010广东清远）以直线l 为对称轴画出图4的另一半.答案：略（说明：画出半圆给2分，画出矩形给2分，画出其它过1分）3．（2010天水）如图,在△ABC 中,A (-4,1) 、B(-6,2) 、C(-2,1)(1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1; (2)将△ABC 向右平移8个单位,画出平移后的△A 2B 2C 2;(3)将△ABC 绕原点O 旋转180°,画出旋转后的△A 3B 3C 3; y 轴(4)在△A 1B 1C 1, △A 2B 2C 2, △A 3B 3C 3中, △ 与△ 成轴对称,对称轴是 ;(5) △A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2 (只填“是”或“不是”)中心对称图形. 【答案】（1）略（2）略（3）略（4）△A 2B 2C 2, △A 3B 3C 3，y 轴（5）不是 4．（2010云南西双版纳）如图９，在所给网格图（每小格均为边长是１的正方形）中完成下列各题：（１）作出△ABC 向左平移５格后的△A 1B 1C 1；（２）作出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2; （3）求出△A 1B 1C 1的面积．【答案】（１）如图（２） 如图 （3）解：S △A1B1C152121432144=⨯⨯-⨯⨯-⨯= 5．（2010枣庄）在33⨯的正方形格点图中，有格点三角形ABC 和三角形DEF ，且△ABC和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面给出的备用图中画出4个这样的△DEF ．【答案】ACB备用图（1）ACB备用图（2）ACB备用图（3）ACB备用图（4）第19题图6．（2010福建漳州）如图，在方格纸中给出了一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴．（1）在方格纸中画出该图案的另一半；（2）补充完整后的图案（不含方格纸）共有 条对称轴．【答案】（1）（2）5 7．（2010广西北海）已知，如图在小正方形组成的网格中，矩形ABCD 的顶点和点O 都在格点上，将矩形ABCD 绕点O 顺时针方向旋转90°，得到矩形A'B'C'D'(1)在网格中，画出矩形A'B'C'D'，并画现旋转过程中点A 和B 分别划过的痕迹(不用写作法)；(2)网格每个小正方形的边长为1，请求出线段AB 旋转时扫过的图形的面积(结果保留∏)【答案】(1)如图, (2) S=22341841⨯⨯-⨯⨯ππ=⨯⨯π4155=π4558．（2010云南大理）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、B 的坐标分别为A （-4,0）、B （-4,2）． （1）现将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°后得到矩形OA 1B 1C 1，请画出矩形OA 1B 1C 1；（2）画出直线BC 1，并求直线BC 1的函数关系式．【答案】 解：（1）如图:(2)连接BC 1,矩形OA 1B 1C 1是由矩形OABC 绕O点顺时针方向旋转90°得到的，所以OC=O C 1 =2，又因为点C 1在X 轴上，所以点C 1的坐标为（2，0），设直线B C 1的解析式为y=kx+b,且经过（-4，2）和（2，0）两点，可列方程组为：4220k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得：1323kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BC1的函数关系式是1233y x=-+.9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．。

2010年中考试题最新分类汇总-34.矩形、菱形、正方形3

2010年中考试题最新分类汇总-34.矩形、菱形、正方形3

一、选择题1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20． 二、填空题1．（2010甘肃定西）如图，在A B C △中，点D 、E 、F 分别在边A B 、B C 、C A 上，且D E C A ∥，D F BA ∥．下列四种说法：①四边形AED F 是平行四边形；②如果90BAC ∠= ，那么四边形AED F 是矩形； ③如果A D 平分B A C ∠，那么四边形AED F 是菱形； ④如果A D B C ⊥且A B A C =，那么四边形AED F 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）【答案】①②③④2．（2010枣庄）如图，边长为2的正方形A B C D 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交A D B C ，于E F ，，则阴影部分的面积是 ．【答案】13．（2010云南大理）如图，已知矩形ABCD 的面积为1.A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积为S 1，A 2、B 2、C 2、D 2分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1 的中点，四边形A 2B 2C 2D 2的面积记为S 2，…，依此类推，第n 个四边形AnBnCnDn的面积记为Sn，则Sn＝。

第16题图FBＡ ＦＣＤＢＥ 第18题图【答案】（21）n+14．（2010岳阳市）下面给出的四个命题中，是假命题的是（ ）A ．如果a ＝3，那么|a |＝3B ．如果x 2＝4，那么x ＝2C ．如果(a －1)(a ＋2)＝0，那么a －1＝0或a ＋2＝0D ．如果四边形ABCD 是正方形，那么它是矩形【答案】B5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题 1．（2010青海）如图7，正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，O A 1交AB 于点E ，OC 1交BC 于点F.（1）求证：△AOE ≌△BOF（2）如果两个正方形的边长都为a ，那么正方形A 1B 1C 1O 绕O 点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？（1）证明：在正方形ABCD 中，AO=BO ，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°∵∠AOE+∠EOB=90°, ∠BOF+∠EOB=90° ∴∠AOE=∠BOF 在△AOE 和△BOF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BOF AOE OBOA OBF OAE ∴△AOE ≌△BOF(2)答：两个正方形重叠部分面积等于41因为△AOE ≌△BOF所以：S四边形OEBF =S△EOB+S△OBF= S△EOB+S△AOE=S△AOB=41S正方形ABCD=241a2．（2010青海）观察控究，完成证明和填空．如图9－1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图9－2，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？【答案】解：（1）证明：连接BD∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线∴EH＝12BD，EH∥12BD 2分同理得FG＝12BD，FG∥12BD∴EH＝FG，EH∥FG 3分∴四边形EFGH是平行四边形4分（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形8分（3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．10分3．（2010广东清远）如图6，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、CD上的两点，且AE=DF. 求证：△ABE≌△DBF.FDE证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=DA. 又∵∠A =60°，∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形. ∴AB=DB ，∠A=∠BDF = 60°. 又∵AE=DF ， ∴△ABE ≌△DBF .4．（2010云南西双版纳）如图10，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD ，垂足为E ，BF ⊥CD ，垂 足为F 。

2010年上海市中考数学试题(附答案)

2010年上海市中考数学试题(附答案)

11.方程 x + 6 = x 的根是____________.
12.已知函数
f(x)=
1 x 2+ 1
，那么 f ( ─ 1 ) = ___________.
13.将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移 5 个单位后，所得直线的表达式是______________.
14.若将分别写有“生活”、“城市”的 2 张卡片，随机放入“ 让 更美好”中的两个
AB AC
以 AB • AD AC2 ，则 AB=4,所以 BD=AB-AD=3
17.一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图 3 所示 当
时 0≤x≤1，y 关于 x 的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2 时，y 关于 x 的函数解析
式为_____y=100x-40___.
（0,1），则所得直线方程为 y = 2 x +1
14.若将分别写有“生活”、“城市”的 2 张卡片，随机放入“
让
更美好”中的两个
内（每个
只放 1 张卡片），则其中的文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率是
____1/2______ 【解析】“生活”、“城市”放入后有两种可能性，即为：生活让城市更美好、城市让生活更美
方向行走至点 C 处，点 B、C 都在圆 O 上.（1）求弦 BC 的长；（2）求圆 O 的半径长.
（本题参考数据：sin 67.4°=
12 13
，cos 67.4°=
5 13
，tan 67.4°=
12 5
）
北 N
A
67.4
O
B
C
S 南
图5
22.某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料

九年级- 菱形知识点典型例题及练习

九年级- 菱形知识点典型例题及练习

菱形一、菱形的性质菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称和中心对称图形.推论 对角线垂直的四边形面积=两条对角线乘积的一半（由对角线互相垂直可得）二、菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的四边形是菱形. ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线垂直且平分的四边形是菱形.⑤每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 例题分析例题1 下列命题中，正确的是（ ） A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形例题2 如图1-1-1，将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。

设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是（ ）︒+=9031.x y A x y B 21.= ︒+=9021.x y C x y D 31.=图1-1-1图1-1-2例题3 如图1-1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD=60° ，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.例题4 如图1-1-3，已知菱形ABCD 的对角线AC=16cm ，BD=12cm ，DE 垂直BC 于点E ，求DE 的长.例题 5 如图1-1-4，在菱形ABCD 中，F E ，分别是CD BC 、上的点，且CEF BAE EAF B ∠18∠60∠∠求，，°=°==的度数.例题6 如图1-1-5，在菱形ABCD 中，作一个正∆AEF ，且AE=AB ，那么∠C 的度数是多少？例题7 已知菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，求菱形的四个内角.图1-1-3图1-1-4图1-1-5例题8 如图1-1-6，在菱形ABCD中， ABC=120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，求边长AB的最大值.1-1-6课堂练习1.下列命题中，正确的是( )A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A．168 cm2B．336 cm2C．672 cm2 D．84 cm23.在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，则，∠CDF=（）A、80°B、70°C、65°D、60°4.在凸四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD需要满足什么条件（）A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是平行四边形C.对角线AC=BDD.AD=BC5.顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A.任意四边形B.两条对角线相等的四边形C.矩形D.平行四边形6.若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为_______，边长为________，一条边上的高为_________。

2010年江苏省苏州市中考数学试题及答案

2010年江苏省苏州市中考数学试题及答案

2010年苏州市初中毕业暨升学考试试卷数 学注意事项：1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共29小题，满分130分，考试时间120分钟；2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；3．答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷和草稿纸上无效．一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．32的倒数是A ．32B ．23C ．32-D ．23-2．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≥1D ．x ≤13．据报道，2010年苏州市政府有关部门将在市区完成130万平方米老住宅小区综合整治工作．130万(即1 300 000)这个数用科学记数法可表示为 A ．1．3×104 B ．1．3×105 C ．1．3×106 D ．1．3×107 4．有一组数据：10，30，50，50，70．它们的中位数是 A ．30 B ．45 C ．50 D ．705．化简211a a a a --÷的结果是 A ．1a B ．a C ．a －1 D ．11a -125x y x y +=⎧⎨-=，A ．12.x y =-⎧⎨=⎩，B ．23.x y =-⎧⎨=⎩，C ．21.x y =⎧⎨=⎩，D ．21.x y =⎧⎨=-⎩， 7．如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AC 边上． 若BD=CD ，∠B=∠CDE ，DE=2，则AB 的长度是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．下列四个说法中，正确的是A ．一元二次方程22452x x ++=B ．一元二次方程23452x x ++=C ．一元二次方程25453x x ++=有实数根；D ．一元二次方程x 2+4x+5=a(a ≥1)有实数根．9．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE=2，则tan ∠DBE 的值是A ．12 B ．2 C 525510．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222 D ．22二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的．．．．．．．位置上．．．．11．分解因式a2－a= ▲．12．若代数式3x+7的值为－2，则x= ▲．13．一个不透明的盒子中放着编号为1到10的10张卡片(编号均为正整数)，这些卡片除了编号以外没有任何其他区别．盒中卡片已经搅匀．从中随机地抽出1张卡片，则“该卡片上的数字大于163”的概率是▲．14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是▲°．15．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的周长是▲．16．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形． O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于▲．(结果保留根号及π)．17．若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ▲．18．如图，已知A、B两点的坐标分别为()3，、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为▲．三、解答题：本大题共11小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔． 19．(本题满分5分)计算：123⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．20．(本题满分5分)先化简，再求值：2a(a+b)－(a+b) 2，其中a =b =．21．(本题满分5分)解不等式组：()20213 1.x x x ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，22．(本题满分6分)解方程：()221120x x x x ----=．23．(本题满分6分)如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD ≌△BCE ； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．24．(本题满分6分)学生小明、小华到某电脑销售公司参加社会实践活动，了解到2010年该公司经销的甲、己两种品牌电脑在第一季度三个月(即一、二、三月份)的销售数量情况．小明用直方图表示甲品牌电脑在第一季度每个月的销售量的分布情况，见图①；小华用扇形统计图表示乙品牌电脑每个月的销售量与该品牌电脑在第一季度的销售总量的比例分布情况，见图②．根据上述信息，回答下列问题：(1)这三个月中，甲品牌电脑在哪个月的销售量最大? ▲月份；(2)已知该公司这三个月中销售乙品牌电脑的总数量比销售甲品牌电脑的总数量多50台，求乙品牌电脑在二月份共销售了多少台?25．(本题满分8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．(1)在△ABC中，AB= ▲；(2)当x= ▲时，矩形PMCN的周长是14；(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．26．(本题满分8分)如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数kyx=(x＞0)的图象经过点B．(1)求k的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数kyx=(x＞0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．27．(本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O 与AB边相切，切点为F(1)求证：OE∥AB；(2)求证：EH=12AB；(3)若14BHBE，求BHCE的值．28．(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC 边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐▲．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．29．(本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是否总成立?请说明理由．一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 1．（2010苏州，1，3分）32的倒数是A ．32B ．23C ．32-D ．23-【分析】1除以32就得32的倒数.两个有理数的乘积为1，则称这两个数互为倒数.【答案】B.【涉及知识点】有理数的倒数【点评】本题属于基础题，主要考查学生对概念的掌握是否全面，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．【推荐指数】★2．（2010苏州，2，3分）函数11y x =-的自变量x 的取值范围是A ．0x ≠B ．1x ≠C ．1x ≥D ．1x ≤【分析】分式有意义，只要使分母不为0. 【答案】B ．【涉及知识点】分式有意义的条件，一元一次不等式的解法【点评】考查学生对分式有意义条件是否掌握及一元一次不等式的解法. 【推荐指数】★ 3．（2010苏州，3，3分）据报道，2010年苏州市政府有关部门将在市区完成130万平方米老住宅小区综合整治工作．130万(即1 300 000)这个数用科学记数法可表示为 A ．1．3×104 B ．1．3×105 C ．1．3×106 D ．1．3×107【分析】把一个数表示成(110)a a ≤<与10的幂相乘的形式，叫做科学记数法. 【答案】C.【涉及知识点】科学计数法.【点评】以数学的角度来了解苏州市政府对老校区的改造过程，主要考查对科学记数法以及分析分析问题的能力.【推荐指数】★ 4．（2010苏州，4，3分）有一组数据：10，30，50，50，70．它们的中位数是 A ．30 B ．45 C ．50 D ．70【分析】这组数据有6个，偶数个数据，中位数为50与50之和的一半，结果还是50，因此中位数是50.【答案】C.【涉及知识点】中位数.【点评】本题主要考查中位数的定义及中位数的求解.平均数、中位数和众数都是一组数据的代表，平均数能充分利用数据提供的信息，但容易受数据中某些极端值的影响.中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小，但充分利用所有数据的信息不够.【推荐指数】★★5．（2010苏州，5，3分）化简211a a a a --÷的结果是 A ．1a B ．a C ．1a - D ．11a -【分析】211a a a a --÷221(1)1(1)a a a a aa a a a --=⋅==--.【答案】B.【涉及知识点】分式的乘除及基本性质.【点评】本题属于基础题，较全面考查了同学们分式的乘除运算.它是一道分式化简的常规题，运用分式基本性质求解.【推荐指数】★★6．（2010苏州，6，3分）方程组125x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解是A ．12.x y =-⎧⎨=⎩，B ．23.x y =-⎧⎨=⎩，C ．21.x y =⎧⎨=⎩，D ．21.x y =⎧⎨=-⎩，【分析】二元一次方程的解法有：加减消元法和代入消元法，本题利用加减消元法即可求解.【答案】D.【涉及知识点】二元一次方程组的解法.【点评】本题注重对基础知识、基本技能的考查是中考命题的基本要求，既不刻意求难，又不强调技巧和形式化，此类题目是符合要求的. 【推荐指数】★7．（2010苏州，7，3分）如图，在ABC ∆中，D 、E 两点分别在BC 、AC 边上．若BD CD =，B CDE ∠=∠，2DE =，则AB 的长度是A ．4B ．5C ．6D ．7（第7题）【分析】由B CDE ∠=∠，可得//AB DE ，又BD CD =，所以DE 是ABC ∆的中位线，根据三角形中位线的性质得AB 的长度.【答案】A.【涉及知识点】中位线、平行线的判定.【点评】本题属于提高题，既考查了平行线的判定，又考了中位线的性质.【推荐指数】★★8．（2010苏州，8，3分）下列四个说法中，正确的是A．一元二次方程245x x ++=有实数根；B．一元二次方程245x x ++=C．一元二次方程245x x ++=有实数根； D ．一元二次方程245(1)x x a a ++=≥有实数根．【分析】对于一元二次方程是否有实数根，只需将一元二次方程化为一般形式（20ax bx c ++=，其中0a ≠），并计算24b ac -是否大于等于0.【答案】D.【涉及知识点】一元二次方程解的个数的判别方法，配方法.【点评】本题考查函数与方程思想，二次函数的最小值，有一定的难度.【推荐指数】★★★9．（2010苏州，9，3分）如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥，3cos 5A =，2BE =，则tan DBE ∠的值是A ．12 B ．2 C（第9题）【分析】由DE AB ⊥，3cos 5A =，可设5AD x =，则4DE x =，3AE x =，又因为四边形ABCD 是菱形，所以AD AB =，且2BE =，所以AD AE EB =+，即532x x =+，解得1x =，所以4DE =，tan DBE ∠422DE BE ===.【答案】B.【涉及知识点】三角函数，菱形的性质.【点评】此题考查通过解直角三角形来解决具体角的三角函数.本题是一道在特殊四边形内的三角函数求解问题，考查了学生对于三角函数的理解，是一道中难题.【推荐指数】★★★★10．（2010苏州，10，3分）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则ABE ∆面积的最小值是 A ．2 B ．1 C．2．2-（第10题）【分析】ABE ∆中BE 边上的高AO =2，要使面积最小，只需BE 最短，由图知DE 为C 切线时，BE 最短.【答案】C.【涉及知识点】三角形的面积公式及直线方程和切线的性质.【点评】本题考查一次函数的图象与圆结合的题型.【推荐指数】★★★★二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的．．．．．．．位置上．．．．） 11．（2010苏州，11，3分）分解因式2a a -= ▲ ．【分析】本题主要考查提取公因式法.【答案】(1)a a -.【涉及知识点】因式分解【点评】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.提取公因式法初中数学重要的因式分解方法.【推荐指数】★12．（2010苏州，12，3分）若代数式3x+7的值为－2，则x= ▲ ．【分析】由题意得372x +=-，解之得3x =-.【答案】3-.【涉及知识点】一元一次方程的解【点评】本题考查一元一次方程的求解问题.考查了根据代数式的值的概念，列出一元一次方程，再解这个方程即可.【推荐指数】★★13．（2010苏州，13，3分）一个不透明的盒子中放着编号为1到10的10张卡片(编号均为正整数)，这些卡片除了编号以外没有任何其他区别．盒中卡片已经搅匀．从中随机地抽出1张卡片，则“该卡片上的数字大于163”的概率是 ▲ ．【分析】等可能性事件的概率的计算.【答案】【涉及知识点】概率【点评】本题的信息引导学生能用数学的方法去分析、看待身边的事物，有利于提高学生的数学意识和应用数学的能力，内容上着重考查学生对简单事件的概率的计算.【推荐指数】★14．（2010苏州，14，3分）如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE AC =，则BCE ∠的度数是 ▲ °．（第14题）【分析】由AE AC =，得ACE ∆是等腰三角形，则有67.5E ACE ∠=∠=︒，又ACE ACB BCE ∠=∠+∠，且45ACB ∠=︒，所以BCE ∠67.54522.5=︒-︒=︒.【答案】22.5【涉及知识点】正方形、等腰三角形的性质，三角形的内角和.【点评】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质.【推荐指数】★★15．（2010苏州，15，3分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若ABE EBC ∠=∠，2AB =，则平行四边形ABCD 的周长是 ▲ ．【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得//AD BC ，所以AEB EBC ∠=∠.又因为ABE EBC ∠=∠，所以ABE AEB ∠=∠.即2AB AE ==.又因为E 是AD 边上的中点，所以24AD AE ==，因此平行四边形ABCD 的周长等于2212AD AB +=.【答案】12【涉及知识点】角平分线的性质、平行四边形的性质、线段的中点、等腰三角形的判定.【点评】本题是一道考查角平分线与平行四边形的性质等，考查的知识点较多，综合性强是一道不可多得的好题.【推荐指数】★★★16．（2010苏州，16，3分）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形． O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于 ▲ ．(结果保留根号及π)．【分析】由图形可知90AOB ∠=︒，扇形的半径AO =，根据扇形的弧长公式.【涉及知识点】扇形的弧长公式.【点评】本题主要考查学生对弧长公式的理解及对图形的观察处理能力，根据弧长公式180n r l π=，只需知道圆心角与半径即可求出弧长.【推荐指数】★17．（2010苏州，17，3分）若一元二次方程2(2)20x a x a -++=的两个实数根分别是3、b ，则a b += ▲ ．【分析】把3x =代入方程2(2)20x a x a -++=得，93(2)20a a -++=，解得3a =，再将3a =代入原方程，求出另一个根2b =.【答案】5.【涉及知识点】方程的解、一元二次方程的解法.【点评】主要考查学生对一元二次方程的解的概念的理解及一元二次方程的解法.【推荐指数】★★★18．（2010苏州，18，3分）如图，已知A 、B两点的坐标分别为()0、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为 ▲ ．【分析】圆周角是直角所对的弦的直径，由AOP ∠=45°，可设(,)P x x ，然后在直角三角形BPA 中求得.【答案】（+1, +1）.【涉及知识点】坐标，圆，直角三角形.【点评】本题考查圆的综合知识及两点之间的距离公式.【推荐指数】★三、解答题（本大题共11小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．）19．（2010苏州，19，5分）(本题满分5分)计算：123⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【分析】0123⎛⎫-+- ⎪⎝⎭2213=+-=. 【答案】3.【涉及知识点】有理数的绝对值、算术平方根、零指数幂.【点评】本题考查学生的有理数的基本运算，任何不等于0的零次幂都等于1，是一道基础题.【推荐指数】★20．（2010苏州，20，5分）(本题满分5分)先化简，再求值：22()()a a b a b +-+，其中a =b =．【分析】先利用分配律和完全平方公式展开，特别要注意的是完全平方前是减号，为避免出错，小括号先留着，等完全平方展开后再去括号.【答案】22()()a a b a b +-+22222(2)a ab a ab b =+-++222222a ab a ab b =+---22a b =-当a =b =时，原式22=-35=-2=-．【涉及知识点】整式的运算.【点评】本题考查学生对乘法公式的理解以及运用整式的运算来化简求值.一般地求代数式值的问题总是先化简代数式，然后将代数式中的字母替换为所给具体数值，进行相应计算求得其值.【推荐指数】★21．（2010苏州，21，5分）(本题满分5分)解不等式组：()20213 1.x x x ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩， 【分析】只需分别求出两个不等式的解，再取它们的公共部分即可.【答案】()20213 1.x x x ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，①② 由①得2x >，由②得3x ≤所以原不等式组的解为23x <≤.【涉及知识点】一元一次不等式组【点评】不等式组是由几个一元一次不等式组成的，需分别求出每个不等式的解集,再取公共部分即可.在求一元一次不等式组的解集的时候能够用数轴表示各个不等式的解集,体现了数形结合的思想,数形结合是研究不等式组解集的重要手段，也是学习不等式组的重要工具.【推荐指数】★★22．（2010苏州，22，6分）(本题满分6分) 解方程：()221120x x x x ----=．【分析】原方程的两边同时乘以公分母2x 后，转化为整式方程，注意分式方程解后要检验.【答案】去分母得22(1)(1)20x x x x ----=去括号得2222120x x x x x -+-+-=合并同类项得2210x x +-= 1211,2x x =-=经检验1211,2x x =-=是原方程的解. 【涉及知识点】分式方程的解法.【点评】一般情况下，解分式方程时应确定组成方程各分式的最简公分母，经过去分母化分式方程为整式方程；求出这个整式方程的根，并代入公分母进行检验，如果分母不为零，求得分式方程的解；如果使分母为零了，则原方程无解.【推荐指数】★23．（2010苏州，23，6分）(本题满分6分)如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分ACE ∠，CE 平分BCD ∠，CD CE =．(1)求证：ACD ∆≌BCE ∆；(2)若D ∠=50°，求B ∠的度数．【分析】根据SAS 判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质求出1∠与3∠的度数，结合三角形的内角和及平角的意义求出所要求的角.【答案】(1)∵点C 是线段AB 的中点，∴AC BC =，又∵CD 平分ACE ∠，CE 平分BCD ∠，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3.在ACD ∆和BCE ∆中，{CD =CE |{∠1=∠3|∴ACD ∆≌BCE ∆.(2)解：∴∠1+∠2+∠3=180°,∴∠1=∠2=∠3=60°.∵ACD ∆≌BCE ∆.∴E D ∠=∠=50°,∴180370B E ∠=︒-∠-∠=︒.【涉及知识点】三角形全等的判定及三角形的内角和定理.【点评】本题考查三角形的全等知识及三角形的内和定理, 并从边和角两方面考查三角形全等的条件.【推荐指数】★★★24．（2010苏州，24，6分）(本题满分6分)学生小明、小华到某电脑销售公司参加社会实践活动，了解到2010年该公司经销的甲、己两种品牌电脑在第一季度三个月(即一、二、三月份)的销售数量情况．小明用直方图表示甲品牌电脑在第一季度每个月的销售量的分布情况，见图①；小华用扇形统计图表示乙品牌电脑每个月的销售量与该品牌电脑在第一季度的销售总量的比例分布情况，见图②．根据上述信息，回答下列问题：(1)这三个月中，甲品牌电脑在哪个月的销售量最大? ▲ 月份；(2)已知该公司这三个月中销售乙品牌电脑的总数量比销售甲品牌电脑的总数量多50台，求乙品牌电脑在二月份共销售了多少台?【分析】如何从条形统计图及扇形统计图读出有关信息，销售量的最大的月份可以从条形统计图中读得.要求乙品牌电脑在二月份销售量，只需根据两统计图找出它与其它两个月份的数量关系，并计算可得.【答案】(1)二.(2)甲品牌电脑三个月总销售量为：150+180+120=450（台） .乙品牌电脑三个月总销售量为：450+50=500（台）.乙口牌电脑二月份销售量为：500×30%=150（台）.答：乙口牌电脑二月份销售量为150台.【涉及知识点】条形统计图与扇形统计图.【点评】本题通过统计图给出了题目的绝大部分信息，而学生要正确解答题目所设计的问题，需要具有良好的统计意识和对统计图表信息数据的正确处理能力.【推荐指数】★★★25．（2010苏州，25，8分）(本题满分8分)如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，BC=6．P 是AB 边上的一个动点(异于A 、B 两点)，过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP x =．(1)在ABC ∆中，AB = ▲ ；(2)当x = ▲ 时，矩形PMCN 的周长是14；(3)是否存在x 的值，使得PAM ∆的面积、PBN ∆的面积与矩形PMCN 的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．【分析】在直角三角形ABC ∆，已知两直角边长，由勾股定理可求出斜边AB .已知矩形周长，列出关于x 的方程，可求出x 的值.存在性问题，可根据题意列出方程，将问题转化为方程是否有解的问题.【答案】(1) 在ABC ∆中，∵90C ∠=︒，8AC =，6BC =，∴AB ==10. (2) 5.(3)∵PM AC ⊥，PN BC ⊥，∴90AMP PNB ∠=∠=︒.∵//AC PN ，∴A NPB ∠=∠.∴AMP ∆∽PNB ∆∽ABC ∆.由AP x = ∴610MP x =，810AM x =，10PB x =-，8(10)10PN x =-，6(10)10BN x =- 若存在x 的值，使得PAM ∆的面积、PBN ∆的面积与矩形PMCN 的面积同时相等，则有1122MP NP AM MP NP BN ⋅=⋅=⋅即2,2MP BN NP AM ==662(10)1010x x ⨯=-且882(10)1010x x ⨯-= 即310x =，此时103x = ∴存在能使得PAM ∆的面积、PBN ∆的面积与矩形PMCN 面积同时相等的103x =的值.【涉及知识点】相似三角形【点评】本题考察了相似三角形的性质及全等的判定，存在性问题，只需根据题意，在假定存在的情况下列出相关方程，看这个方程是否有解即可.【推荐指数】★★★26．（2010苏州，26，8分）(本题满分8分)如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数k y x =(0x >)的图象经过点B ．(1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC '、MA BC '．设线段MC '、NA '分别与函数k y x =(0x >)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．【分析】比例系数k xy =，而四边形OABC 的面积刚好为xy .要求直线的解析式，只需设出这条直线的解析式，并列出与之相关系的二元一次方程即可.【答案】(1)∵四边形OABC 是面积为4的正方形，∴OA OC = =2.∴点B 坐标为（2,2）.∴k xy = =2×2=4.(2)∵正方形MABC '、MA BC '由正方形OABC 翻折所得，∴2ON OM OA == =4,∴点E 横坐标为4，点F 纵坐标为4.∵点E 、F 在函数y=的图像上，∴当4x =时，1y =，即(4,1)E .当4y =时，1x =，即(1,4)F .设直线EF 解析式为y mx n =+,将E 、F 两点坐标代入，得{4m +n =1,|∴1,5m n =-=.∴直线EF 解析式为5y x =-+.【涉及知识点】比例系数的意义，求一次函数的解析式，解二元一次方程组.【点评】要求直线的函数解析式，可利用待定系数法可求，得到关于系数的二元一次方程组，解这个方程组就可得到函数的解析式.【推荐指数】★★★27．（2010苏州，27，9分）(本题满分9分)如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ．O 是CD 边的中点，以O 为圆心，OC 长为半径作圆，交BC 边于点E ．过E 作EH AB ⊥，垂足为H ．已知O 与AB 边相切，切点为F(1)求证：//OE AB ；(2)求证：12EH AB =；(3)若14BH BE =，求BH CE 的值．【分析】要说明12EH AB =，只需证明四边形OEHF 是平行四边形，要说明OEHF 是平行四边形，已知它有一组对边平行，只需再说明另一组对边平行；要求BHCE ，只要说明EHB ∆∽DEC ∆，再根据相似三角形的性质来求.【答案】(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，AB DC =，∴B C ∠=∠，∵OE OC =，∴OEC C ∠=∠，B OEC ∠=∠，∴//OE AB .(2)证明：连结OF ，∵O 与AB 边相切，切点为F ，∴OF AB ⊥，∵EH AB ⊥，∴//OF EH ，又∵//OE AB ，∴四边形OEHF 为平行四边形， ∴12EH AB =.(3)解：连结DE .∵CD 是直径，∴90DEC ∠=︒则DEC EHB ∠=∠.又∵B C ∠=∠，∴EHB ∆∽DEC ∆. ∴BH BE CE CD =. ∵14BH BE =，设BH k =，则4BE k =，EH ==∴2CD EH ==.∴BH BE CE CD === 【涉及知识点】切线及等腰梯形的性质.【点评】本题是以圆与等腰梯形相结合为背景的几何综合题，既考查了圆的基本性质，同时也考查了等腰梯形的性质.【推荐指数】★★★★28．（2010苏州，28，9分）(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，6BC cm =；图②中，90D ∠=︒，45E ∠=︒，4DE cm =．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF∆的直角边DE 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在DEF ∆沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐 ▲ ．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当DEF ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行? 问题②：当DEF ∆移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在DEF ∆的移动过程中，是否存在某个位置，使得15FCD ∠=︒?如果存在， 求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【分析】“ F 、C 两点间的距离”可利用勾股定理求得；动态几何问题是近几年中考考试是热点，着重考查学生的分析能力. 以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是否是直角三角形，只需对三边是否能组成直角三角形进行行为，要对三边哪边是斜边进行讨论.【答案】（1）变小（2）问题①：解：∵90B ∠=︒，30A ∠=︒，6BC cm =，∴12AC =.∵90FDE ∠=︒,45,4DEF DE ∠=︒=,∴4DF =.连结FC ，设//FC AB .∴30FCD A ∠=∠=︒,在Rt FDC ∆中，DC=4.∴AD AC DC =-=12-4.即12AD =-cm 时，//FC AB问题②：解：设当AD x =，在Rt FDC ∆中，2222(12)16FC DC FD x =+=-+. （Ⅰ）当FC 为斜边时，由222AD BC FC +=得，2226(12)16x x +=-+,316x =.(Ⅱ)当AD 为斜边时，由222FC BC AD +=得，222(12)166x x -++=,4986x =>（不符合题意，舍去）.(Ⅲ)当BC 为斜边时，由222AD FC BC +=得，222(12)166x x +-+=,212620x x -+=,∆=144-248<0,∴方程无解. ∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得，当316x =时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形. 问题③不存在这样的位置，使得15FCD ∠=︒.假设15FCD ∠=︒，由45FED ∠=︒,得30EFC ∠=︒.作EFC ∠的平分线，交AC 于P ,则15EFP CFP FCP ∠=∠=∠=︒,∴,60PF PC DFP DFE EFP =∠=∠+∠=︒.∴PD =,28PC PF FD ===.∴812PC PD +=+>.∴不存在这样的位置，使得15FCD ∠=︒.【涉及知识点】勾股定理及一元二次方程的解法.【点评】是否存在性问题属于中考题常设置的一种题型.此类问题常先假设结论存在，利用已知条件进行推理，若推情合理，则存在；否则，则不存在.【推荐指数】★★★★29．（2010苏州，29，9分）(本题满分9分)如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设(,)M m n 是抛物线上的一点(m 、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M 、B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标；(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，22228PA PB PM ++>是否总成立?请说明理由．【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，求其解析式，可设这个抛物线的解析式为顶点式.（2）要求点的坐标与m 有关系，对m 的取值进行分类讨论.【答案】(1)设2(3)y a x =-,把(0,4)B 代入，得49a =.∴24(3)9y x =-.(2)∵,m n 为正整数，24(3)9n m =-, ∴2(3)m -应该是9的倍数.∴m 是3 的倍数.又∵3m >,∴6,9,12m =…当6m =时，4n =,此时,5,6MA MB ==.∴四边形OAMB 的四边长为3,4,5,6.当9m ≥时，6MB >,∴四边形OAMB 的四边长不能是四个连续的正整数.∴点M 坐标只有一种可能（6,4）.。

中考体系-70.菱形-1(最全,含答案)

中考体系-70.菱形-1(最全,含答案)

菱形一、 菱形的性质1. 四条边平行且相等2. 菱形的两条对角线互相垂直且平分3. 轴对称性二、 菱形的判定1. 有一组邻边相等的平行四边形2. 四条边都相等的四边形3. 对角线互相垂直的平行四边形三、 菱形的性质与判定综合一、 菱形的性质1. 四条边平行且相等1. 【易】（西宁市2011年高中招生考试数学试卷）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A ．一组邻边相等的四边形是菱形 B ．四边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B2. 【易】（随州市2013年初中生毕业升学考试数学试卷）如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒．已知ABC △的周长是15，则菱形ABCD 的周长是（ ） A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B3. 【易】（2013江苏省南通市中考数学试题）如图，菱形ABCD 中，5AB =，120BCD ∠=︒，则对角线AC 的长是（ ）CDBAA ．20B ．15C ．10D ．5 【答案】D4. 【易】（梧州市2011年初中毕业升学考试试题卷）若一个菱形的一条边长为4cm ，则这个菱形的周长为（ ） A ．20cm B ．18cm C ．16cm D ．12cm 【答案】C5. 【易】（2011年淮安）在菱形ABCD 中，5cm AB =，则此菱形的周长为（ ）A ．5cmB ．15cmC ．20cmD ．25cm 【答案】C6. 【易】（2011耀华实验初三四模）如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若2EF =，则AD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B7. 【易】（扬州市2013年初中毕业、升学统一考试数学试题）如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则CDF ∠等于（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒ 【答案】B8. 【易】（北京十二中2012—2013学年第二学期期末考试试卷初二数学）如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若70B =︒∠，则EDC ∠的大小为（ ）DCB BE FC DA F EDCBAA ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒ 【答案】B9. 【易】（北京四中2011-2012学年度第二学期期中检测初二年级数学学科、2011-2012北京市第三十五中学期中质量检测）如下图，菱形ABCD 中，E F ，分别是AB AC ，的中点，若3EF =，则菱形ABCD 的周长是________．【答案】2410. 【易】（2010北京鲁迅期中）菱形ABCD 中，:1:5A B ∠∠=，周长为20，则此菱形的高是________． 【答案】2.511. 【易】（2010-2011理工分校八年级下学期期中练习）已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE DC ∥交BC 于点E ，6cm AD =，则OE 的长为（ ）A ．6cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm 【答案】C12. 【易】（本溪市初中毕业生学业考试）如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于________．【答案】3BDEHFABCDE EA B CDOHO DCBA13. 【易】（西城二模）如图，菱形ABCD 中，30A ∠=︒，2AD =，若菱形FBCE 与菱形ABCD 关于BC 所在直线对称，则平行线AD 与FE 间的距离等于（ ）ABC ．2D ．4 【答案】C14. 【易】（初二数学期末复习五）在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E 点，菱形ABCD 面积为48平方厘米，6AE =厘米，则AB 等于（ ） A ．12厘米 B ．8厘米 C ．4厘米 D ．2厘米 【答案】B15. 【易】（2011河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为4-和1，则BC =________．【答案】516. 【易】（2010年北京北师大期中）菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC ∠=︒，OC ，则点B 的坐标为（ ）A．)1B．(1C．)11，D．()11【答案】C17. 【易】（杭州市各类高中招生文化考试）如图，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒ 【答案】D18. 【易】（2010-2011理工分校八年级下学期期中练习）如图，已知E 是菱形ABCD 的边BC 上一点，且80DAE B ∠=∠=︒，那么CDE ∠的度数为（ ）FE P CBDAA ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒【答案】C19. 【易】（2012北京西城初三二模）若菱形ABCD 的周长为8，60BAD ∠=︒，则BD =________． 【答案】220. 【易】（2011年龙岩中考）如图，菱形ABCD 周长为8cm ．60BAD ∠=︒，则AC =________cm ．【答案】21. 【易】（福建漳州中考）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是________．【答案】422. 【易】（北京161中期中）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠=________度．【答案】12023. 【易】（沈阳八年级）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）EDCBADCBA1CBAA ．23cmB ．24cm C2 D．2 【答案】D24. 【易】（北京十二中2011-2012期中）如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是BC ，CD上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，16BAE ∠=︒，求CEF ∠的度数________．【答案】16︒25. 【易】（京市铁路第二中学2010—2011初二数学）如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒，则CEF ∠的度数为________．【答案】18︒26. 【易】（首都师大附中2010-2011学年度第二学期期末考试初二数学）如下左图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，2AB =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则AEF △的周长为________．【答案】27. 【易】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期中）若从菱形ABCD 的钝角顶点A 作BC 边的高线AE 平分BC 边，则C ∠=________． 【答案】120︒28. 【易】（初三上测试）如图，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，且E 、F 分别是BC 、CD 的中点，那么EAF ∠=（ ）A ．75°B ．55°C ．45°D ．60°【答案】DF EDCBAFEDCBAFEDCBA29. 【易】（2011•南京）如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，则菱形ABCD 的面积为________．【答案】230. 【易】（南京市2013年初中毕业生学业考试数学试题）如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为2cm ，120A ∠=︒，则EF =________cm ．31. 【易】已知：在菱形ABCD 中，E F ，分别是BC 、CD 上的点，且CE CF =，⑴ 求证：ABE △≌ADF △；⑵ 过点C 作CG EA ∥交AF 于H ，交AD 于G ，若25BAE ∠=︒，130BCD ∠=︒，求AHC ∠的度数．【答案】⑴ AB AD =，B D ∠=∠，BE BC CE CD CF DF =-=-=，∴ABE ADF △≌△；⑵ 25BAE DAF ∠=∠=︒，130BAD BCD ∠=∠=︒， ∴80EAF BAD BAE DAF ∠=∠-∠-∠=︒， ∴180100AHC EAF ∠=︒-∠=︒32. 【易】（2013年贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷）已知：如图，在菱形ABCD中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．DABCEOFEDBAGHFEDCBA⑴ 求证：AE EC =；⑵ 当60ABC ∠=︒，60CEF ∠=︒时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由． 【答案】⑴证明：连接AC ，∵BD 是菱形ABCD 的对角线， ∴BD 垂直平分AC ． ∴AE EC =．⑵点F 是线段BC 的中点理由：∵菱形ABCD 中，AB BC =， 又∵60ABC ∠=︒，∴ABC △是等边三角形，60BAC ∠=︒． ∵AE EC =，60CEF ∠=︒， ∴30EAC ∠=︒．∴AF 是ABC △的角平分线． ∵AF 交BC 于点F ，∴AF 是ABC △的BC 边上的中线． ∴点F 是线段BC 的中点．33. 【易】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期中）已知：如图菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，70ABC ∠=︒，求AEF ∠的度数．【答案】180110BAD ABC ∠=︒-∠=︒，9020BAE ABE ∠=︒-∠=︒，同理20FAD ∠=︒，70EAF BAD BAE FAD ∠=∠-∠-∠=︒，证ABE ADF △≌△，∴AE AF =，∴()1180552AEF EAF ∠=︒-∠=︒34. 【易】（丰台二模）已知：如图，点E 、F 分别是菱形ABCD 边AB 、BC 上的两点，AE CF =．求证：DE DF =．【答案】∵四边形ABCD 是菱形，∴，，FECDBAFEDBACAD CD =A C ∠=∠又∵，∴， ∴DE DF =．35. 【易】（石景山一模）已知：如图，在菱形ABCD 中，分别延长AB 、AD 到E 、F ，使得BE DF =，联结EC 、FC ．求证：EC FC =．【答案】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC DC =，ABC ADC ∠=∠． ∴EBC FDC ∠=∠． 在EBC ∆和FDC ∆中， ,,,BE DF EBC FDC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EBC FDC △≌△． ∴EC FC =．36. 【易】（2011门头沟）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8AC =，6BD =．⑴ 若沿着AC 剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，请在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接写出这个平行四边形的面积；⑵ 若沿着BD 剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，请在图3中用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接写出这个平行四边形的周长；⑶ 沿着一条直线剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出你所拼成的平行四边形． （注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）AE CF =ADE CDF △≌△C F EDB A 图1DCBA面积为________ 周长为________图4DCBA图3DCBAABCD图2【答案】⑴ 画出图形、面积为24．⑵ 画出图形、周长为22． ⑶ 画出图形（答案不唯一）．37. 【易】（莆田市毕业考试）如图菱形ABCD 的边长为2，对角线2BD =，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足2AE CF +=． ⑴ 求证：BDE BCF △≌△；⑵ 判断BEF △的形状，并说明理由．同时指出BCF △是由BDE △经过如何变换得到？【答案】⑴ ∵菱形ABCD 的边长为2，2BD =．∴BD BC =且60BDE BCF ∠=∠=︒． ∵2AE CF +=．又∵2AE DE AD +== ∴DE CF =∴BDE BCF △≌△ ⑵BEF △是等边三角形理由如下：由⑴得：BDE BCF △≌△ ∴BE BF =，CBF DBE ∠=∠．∴60EBF EBD DBF CBF DBF ∠=∠+∠=∠+∠=︒ ∴BEF △是等边三角形．BCF △是由BDE △绕点B 顺时针旋转60︒得到．38. 【易】（昌平二模）如图1，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为边AD 、CD 上的动点（都与菱形的顶点不重合），连接EF 、BE 、BF ．⑴ 若60A ∠=°，且AE CF AB +=，判断BEF △的形状，并说明理由； ⑵ 在⑴ 的条件下，设菱形的边长为a ，求BEF △面积的最小值．【答案】⑴ BEF △的形状为等边三角形．证明：如图1，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，图2DCB AA B C D 图3A B CD 图4BCF DEACDAB 图2（备用）AB CE DF图1∴AB DC ∥，AB BC CD DA ===． ∴120ADC ∠=°． ∴1260∠=∠=°．∴160ABD A ∠=∠=∠=°． ∴,2AB BD A =∠=∠．∵AE CF AB +=，DF CF CD +=， ∴AE DF =．∴ABE DBF △≌△． ∴,34BE BF =∠=∠． 又∵3560∠+∠=°， ∴4560∠+∠=°．∴BEF △为等边三角形．⑵ 如图2，当BE AD ⊥时，BE 最小，此时，BEF S △最小． 设此时EF 与BD 交于点M ， ∴30ABE DBE ∠=∠=°． ∵60BEM ∠=°， ∴90BME ∠=°．在Rt ABE △中，AB a =，∴.BE =∴EF =．在Rt BEM △中，60BEM ∠=°，∴34BM a =．∴2113224BEF S EF BM a =⋅=⨯=△．39. 【易】（北京师范大学附属中学2010-2011初二期中试卷）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE AB ⊥，垂足为E ． ⑴ 求ABD ∠的度数；⑵ 求线段AE 的长．12345ABCE DF图1M图2FDEB AC【答案】⑴ AB AD =,60A ∠=︒，∴ABD △是等边三角形， ∴60ABD ∠=︒⑵ 11324AE AB BE AB OB AB AB =-=-=-=40. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）如图，菱形ABCD中，BE AD ⊥，BF CD ⊥，E 、F 为垂足，AE ED =，求EBF ∠的度数．【答案】连结BD ，∵BE AD ⊥，AE DE =， ∴BE 垂直平分AD ， ∴AB BD =， 又∵AB AD =，∴ABD △是等边三角形，∴60A ∠=︒，1302ABE ABD ∠=∠=︒，同理30CBF ∠=︒，∴180120ABC A ∠=︒-∠=︒，∴60EBF ABC ABE CBF ∠=∠-∠-∠=︒．41. 【易】（2013年晋江市初中学业升学考试）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边CD 、DA 上，且CE AF =．求证：BE BF =．【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =，A C ∠=∠ 在ABF △和CBE △中， AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF CBE △≌△（SAS ）， ∴BF BE =．EOBACDFEDC BABAF ECD42. 【易】（2013年南宁市初中毕业升学考试数学试卷）如图，在菱形ABCD 中，AC 是对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点． ⑴ 求证：ABE CDF △≌△．⑵ 若60B ∠=︒，4AB =，求线段AE 的长．【答案】⑴证明：ABE △和CDF △中，BE FD =，B D ∠=∠，AB CD =⑵43. 【中】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期中）一个菱形的周长为40cm ，如果把它的高增加4cm ，面积变为原来的1.5倍，则这个菱形原来的面积等于________2cm ． 【答案】8044. 【中】（2013浙江丽水中考数学试题）如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 都是菱形，其中点C 在AF 上，点E ，G 分别在BC ，CD 上，若135BAD =︒∠， 75EAG =︒∠，则ABAE=__________45. 【中】（沈阳八年级）将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是________． 【答案】1746. 【中】（2011年四川雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点B 的坐标为()84，，则C 点的坐标为________．【答案】()34，CEBDFAGFEDC BA47. 【中】（广东深圳外国语初二上）如图，等边AEF △的边长与菱形ABCD 的边长相等且它们有一个公共顶点A ，AEF △的顶点分别在菱形的边BC 、CD 上，则BAD ∠等于（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．120° 【解析】∴四边形ABCD 是菱形，∴B D ∠=∠，BAD C ∠=∠，AD BC ∥， ∴180DAB B ∠+∠=°，∵AEF △是等边三角形，AE AB =， ∴60AEF AFE ∠=∠=°，AF AD =， ∴B AEB ∠=，D AFD ∠=∠，由三角形的内角和定理得：BAE FAD ∠=∠， 设BAE FAD x ∠=∠=，则180602D AFD x ∠=∠=--°°， ∵180FAD D AFD ∠+∠+∠=°， ∴()2180602180x x +--=°°°， 解得：20x =°，∴22060100BAD ∠=⨯+=°°°，【答案】C48. 【中】（北京景山学校2013学年度第二学期八年级期末数学试卷）已知如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一点，连结AO 并延长与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若4AD =，60DCB =︒∠，10BS =．（1）求AS 的长度；（2）求OR 的长度．【答案】（1）如图所示延长CB ，过A 作CB 延长线的垂线，交点M .4AB AD ==,60ABM DCB ∠=∠=︒， ∴2M B =，24612MS =++=，又∵AM =，所以AS ==.（2）ADO SBO △∽△，42=105AO OS ∴=，27AO AS ∴=， ADR SCR △∽△，4263AR RS ∴==，25AR AS ∴=，2257OR AR AO AS ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭.49. 【中】（2011年全国初中数学联赛）如图，菱形ABCD 中，3AB =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，则AE =（ ）FED CBAMSROD CBAA．1 BC．1 D．1+ 【解析】过F 作AB 的垂线，垂足为H ．60DAB ∠=︒，2AF AD FD =-=，∴30EFG ∠=︒，1AH =，FH ， 又∵15EFG ∠=︒∴90301545EFH AFG AFH EFG ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 从而FHE △是等腰直角三角形，所以HE FH ==∴1AE AH HE =+=+【答案】D50. 【中】（2011深圳中学初二上期末）如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，点B ，G ，C 在同一条直线上，EG 延长线交DF 于点P ．试求：PDPF．【答案】延长EP 交CD 于H ，∵四边形BEFG 是菱形，∴BE BG GF ==，BE GF ∥，∴12∠=∠，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC CD =， AB CD ∥，∴14∠=∠，CD GF ∥ 又∵23∠=∠，∴34∠=∠，∴CG CH =，∴DH BG GF ==，∴PGF PHD △≌△，∴PD PF =，∴1PDPF=.GFE D CBAHGFE D CBAPGFDCEBA4321HPGFDCEB A51. 【中】（房山区2011）已知菱形纸片ABCD 的边长为8，60A ∠=︒，E 为AB 边上的点，过点E 作EF BD ∥交AD 于点F ．将菱形先沿EF 按图1所示方式折叠，点A 落在点A '处，过点A '作GH BD ∥分别交线段BC 、DC 于点G 、H ，再将菱形沿GH 按图1所示方式折叠，点C 落在点C '处，C G '与C H '分别交A E '与A F '于点M 、N ．若点C '在A EF '△的内部或边上，此时我们称四边形A MC N ''（即图中阴影部分）为“重叠四边形”．图1 图2 备用图⑴ 若把菱形纸片ABCD 放在菱形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A 、B 、C 、D 、E 恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠四边形A MC N ''的面积；⑵ 实验探究：设AE 的长为m ，若重叠四边形A MC N ''存在．试用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N ''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：⑴ 重叠四边形A MC N ''的面积为________；⑵ 用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N ''的面积为________；m 的取值范围为________．【答案】⑴ 重叠四边形A MC N ''的面积为；⑵ 用含m 的代数式表示重叠四边形A MC N '')28m -； m 的取值范围为1683m <≤2. 菱形的两条对角线互相垂直且平分52.【易】（2010年北京三十一中期中）如图菱形ABCD 中，不一定成立的是（ ） A ．四边形ABCD 是平行四边形 B ．AC BD ⊥ C ．ABD △是等边三角形 D ．CAB CAD ∠=∠ 【答案】C53.【易】（北京三帆中学2010-2011学年度初二数学）已知菱形ABCD 中，3AC =4BD =，，则菱形ABCD 的周长为________． 【答案】1054.【易】（2012广东肇庆中考）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为________． 【答案】2055.【易】（巴中市2013年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图，已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若6AC =，4BD =，则菱形ABCD 的周长是（ ）CDB ABDAA ．24B ．16 C． D． 【答案】C56. 【易】(2013年无锡中考数学试题)如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O ，8AB =，E 是CB 的中点，则OE 的长等于________．【答案】457. 【易】（沈阳八年级）菱形的对角线长分别是16cm 、12cm ，周长是________．【答案】40cm58. 【易】（北大附中2011-2012学年度第二学期期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ，且8AC =,6BD =，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =________．【答案】12559. 【易】（2013年河北省初中毕业生升学文化课数学试卷）如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME AD ⊥，NF AB ⊥．若2NF NM ==，3ME =，则AN =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B解：在菱形ABCD 中，12∠=∠， 又∵ME AD NF AB ⊥⊥，，ODC BAOEDCBAO H CAD21N MFE DCBA∴90AEM AFN ∠=∠=︒，∴AFN AEM △∽△， ∴AN NF AM ME =，即223AN AN =+，解得4AN =． 故选B ．60. 【易】如图，菱形ABCD 的周长是20cm ，点A 的坐标是()40，，则点B 的坐标为________．【答案】()03，61. 【易】（2010年北京西城外期中）边长为5cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是________cm ． 【答案】862. 【易】(2013年广州市初中毕业生学业考试)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC与BD 相交于O ，5AB =，4AO =，求BD 的长．【答案】663. 【易】（2011深圳外国语分校初二上期末）已知菱形的周长等于80cm ，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（ ） A ．12cm ，16cm B ．6cm ，8cm C ．3cm ，4cm D ．24cm ，32cm 【答案】D64. 【易】（2010年北京师大附中期中）菱形ABCD 中，:1:2A B ∠∠=，周长为8，则菱形的两条对角线的长分别为________和________． 【答案】2；65. 【易】（沈阳初二）菱形两邻角之比2:1，则菱形较长对角线与较短对角线的长度之比是（ ） ABC ．3:2D ．4:3 【答案】B66. 【易】（深圳中学初二上期中）菱形的两条对角线的长分别是4和6，它的面积是________． 【答案】12OCBA D67. 【易】（2012南外初二期末）若菱形ABCD 的对角线8cm AC =，10cm BD =，则这个菱形的面积为________2cm ． 【答案】4068. 【易】（2013年福建省泉州市初中毕业、升学考试）如图，菱形ABCD的周长为对角线AC 和BD 相交于点O ，:1:2AC BD =，则:AO BO =______，菱形ABCD 的面积S =________．【答案】1:2；1669. 【易】（北京市东直门中学2010-2011初二期中）菱形两对角线长分别为24cm 和10cm ，则菱形的面积为________． 【答案】2120cm70. 【易】（2010-2011学年郑州二中九年级上期期中数学模拟试卷）已知菱形的两条对角线的长分别为5和6，则它的面积是________． 【答案】1571. 【易】如图，已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC BD ，相交于点O ,6BD =，则菱形ABCD 的面积为________．【答案】2472. 【易】（初三上测试）菱形的一条对角线长为6cm ，周长为20cm ，则菱形的面积等于________2cm ． 【答案】2473. 【易】（2010年朝阳二模）在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且12AC =，16BD =，E 为AD 的中点，点P 在BD 上移动，若POE △为等腰三角形，则所有符合条件的点P 共有________个．【答案】4OCBDA2cm 第4题O DBCAOEDCBA74. 【易】（2012年丰台一模）已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．【答案】连结BD ．∵在菱形ABCD 中，∴AD BC ∥，AC BD ⊥． 又∵EF AC ⊥， ∴BD EF ∥．∴四边形EFBD 为平行四边形． ∴2FB ED ==． ∵E 是AD 的中点． ∴24AD ED ==．∴菱形ABCD 的周长为4416=×．75. 【易】（2010年北京西城期中）一个菱形的面积是4，则这个菱形的两条对角线长y与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C76. 【易】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期中）一个菱形的面积为212cm ，它的一条对角线长为6cm ，则菱形的周长为________cm ．A EDC BFMMFBC DEA【答案】77.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）边长为5cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是________． 【答案】8cm78.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）菱形的对角线BD ，AC 的长分别是6和8，求菱形的周长与面积． 【答案】20C =，24S =79.【易】（2010年北京期中）菱形的周长为24cm ，较短一条对角线长是6cm ，则这个菱形的面积为________2cm ．【答案】80.【易】（沈阳八年级）如图，在菱形ABCD 中，已知10AB =，16AC =，那么菱形ABCD 的面积为________．【答案】9681. 【易】（初二上期中模拟）已知菱形的周长为40cm ，一条对角线长为16cm ，那么这个菱形的面积是________2cm ． 【答案】9682. 【易】（2010年北京裕中期中）菱形ABCD 的对角线AC 、BD 之比为3:4，其周长为40cm ，则菱形的面积为________2cm ． 【答案】9683. 【易】（北京161中期中）在下图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为【答案】1284. 【易】（上海初三数学期中）已知菱形的面积为296cm ，两条对角线之比为3:4，则菱形的周长为________． 【答案】40cm ；85. 【易】（2011年内蒙古包头市中考数学试题）菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，120BAD ∠=︒，4AC =，则它的面积是（ ） A ．16 B． C． D ．8 【答案】CABCD86. 【易】（京市铁路第二中学2010-2011初二数学）如图，四边形ABCD 是边长为15cm的菱形，其中对角线AC 长20cm ，求：⑴ 对角线BD 的长度；⑵ 菱形ABCD 的面积．【答案】⑴ 110cm 2OA AC ==，OB =，2BD OB ==； ⑵212ABCD S AC BD =⋅=菱形87. 【易】（首师大二附中2012-2013学年度第二学期期中初二年级数学练习）已知菱形ABCD 的周长为8，一组邻角之比为1:2，求菱形对角线AC 、BD 的长和菱形的面积．【答案】由题意2AB BC CD DA ====，60ABC ∠=︒，120BAC ∠=︒，∴2ABCD AC BD S ===菱形，88. 【易】（2010年北京十一校期中）如图，菱形ABCD 中，20cm AB =，60ABC ∠=︒，AC 、BD 相交于O ，则BD =________cm ，菱形ABCD 的面积=________2cm ．【答案】89. 【易】（初二周测）菱形ABCD 中，120A ∠=︒，周长为14.4cm ，则较长的对角线长度是（ ）A ．7.2B ．10.8 CD【答案】D90. 【易】（北京161中期中）已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为另一条对角线的长为________． 【答案】2或6O CBADODBAO DCBA91. 【易】（北京师达中学2011-2012期中、2010年北京十二中期中）已知菱形ABCD 的边长为9，60A ∠=︒，如果点P 是菱形内一点，且4PB PD ==，那么AP 的长为________．【答案】92. 【易】（安徽省初中毕业学业考试）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加cm d ，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60︒．⑴ 若26d =，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ；⑵ 当20d =时，若保持⑴ 中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？ 【答案】⑴菱形图案水平方向对角线长为cos30230cm ︒=×按题意，()302623116010cm L =+-=×⑵ 当20cm d =时，设需x 个菱形图案，则有： ()302016010x +-=× 解得300x =即需300个这样的菱形图案．93. 【易】（石景山二模）如图，P 为菱形ABCD 的对角线AC 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，3PF =，则PE 的长是________．【答案】394. 【易】（2012福建厦门中考）如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，若50BAC ∠=︒，则ABC ∠等于（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒ 【答案】C95. 【易】（2012湖北宜昌中考）如图，在菱形ABCD 中，5AB =，120BCD ∠=︒，则ABC △的周长等于（ ）DACP FEA ．20B ．15C ．10D ．5 【答案】B96. 【易】（延庆县2011二模）如图，在菱形ABCD 中，对角线4AC =，120BAD ∠=︒，则菱形ABCD 的周长为________．【答案】1697. 【易】（河南省实验中学2009-2010学年上期期中试卷）如图，在菱形ABCD 中，5AB =，120BCD ∠=︒，则对角线AC 等于（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5 【答案】D98. 【易】（广东汕头中考）已知菱形ABCD 的边长为8，120A ∠=︒，则对角线BD 长是多少（ ） A ．12 B． C ．8 D．【答案】D99. 【易】（2010年北京西城实验期中）如图，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，已知菱形周长为8，120ABC ∠=︒，则点A 的坐标是________．若将此菱形绕点O 顺时针旋转90︒，此时点A 的坐标是________．【答案】0；0，ABCDABCDABCD100. 【易】（京市铁路第二中学2010-2011初二数学）如图，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，已知菱形周长为16，120ABC ∠=︒，则点A 的坐标是________；若将此菱形绕点O 顺时针旋转90︒，此时点A 的坐标是________．【答案】()0；(0-，．101. 【易】（初二下期末综合复习）菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，AOB △的周长为360ABC ∠=︒，则菱形ABCD 的面积为________．【答案】102. 【易】（2013年黄冈市中考试卷）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC BD 、相交于点O DH AB H ⊥，于，连接OH ，求证：DHO DCO ∠=∠．【答案】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴90OD OB COD =∠=︒，， ∵DH AB ⊥， ∴OH OB =，∴OHB OBH ∠=∠， 又∵AB CD ∥， ∴OBH ODC ∠=∠，在Rt COD △中90ODC DCO ∠+∠=︒，， 在Rt DHB △中，90DHO OHB ∠+∠=︒， ∴DHO DCO ∠=∠．103. 【中】（内江市2013年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷）已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为6和8，M N 、分别是边BC CD 、的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM PN +的最小值=_______.【答案】5HODCBA104. 【中】(2012年四川省竞赛题)菱形ABCD 的边长为1，面积为79，则+AC BD 的值是（ ）. A.43 B.83 C.169 D.329 【答案】B105. 【中】(四川省绵阳市2013年中考数学真题试题)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线8cm AC =，6cm BD =，DH AB ⊥于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（ ）A ．28cm 25B ．21cm 20C ．28cm 15D ．25cm 21【答案】B106. 【中】（2013年湖南省株洲中考数学题）已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．⑴ 求证：AOE COF △≌△； ⑵ 若30EOD ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO CO AD BC =，∥， ∴OAE OCF ∠=∠， 在AOE COF △和△中， OAE OCF AO COAOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴AOE COF ASA △≌△（）；（2）解：∵60BAD ∠=︒，∴11603022DAO BAD ∠=∠=⨯︒=︒，∵30EOD ∠=︒，∴903060AOE ∠=︒-︒=︒，∴180180306090AEF DAO AOE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵菱形的边长为2，30DAO ∠=︒，∴112122OD AD ==⨯=，∴AO =∴32AE CF ==，∵菱形的边长为2，60BAD ∠=︒，∴高2EF == 在Rt CEF △中，CE107. 【中】（2012年自贡市中考题）如图，在菱形ABCD 中，4=AB ，∠120=BAD °，△AEF 为正三角形，点E F 、分别在菱形的边BC CD 、上滑动，且EF 不与B C D 、、重合.（1）证明：不论E F 、在BC CD 、上如何滑动，总有=BE CF ；（2）当点E F 、在BC CD 、上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.【答案】（1）连接AC ，证明△ABE ≌△.ACF（2）∆==ABC AECF S S 四边形∆CEFS 的面积发生变化，其最大值为∵2∆∆=-=CEF AEF S S S AE 四边形AECF ， 当AE ⊥BC 时，AE的长最小，最小值为4= ∴∆CEF S的最大值为2108. 【中】（沈阳八年级）已知菱形两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形一个钝角的大小是________． 【答案】150︒109. 【中】（初二周测）已知：菱形两条对角线的和为28cm ，面积为296cm ，周长=________． 【答案】40cm110. 【中】（余姚中学保送生选拔卷（数学））菱形的两条对角线之和为L ，面积为S ，则它的边长为（ ）．AB FEDCBAFEDCBACD【答案】C111. 【中】（北京八中2011-2012学年度第二学期期中练习）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线8cm AC =，6cm DB =，DE AB ⊥于点E ，则DE 的长为________cm ．【答案】245112. 【中】（2010年北京铁二月考）菱形两对角线长分别为24cm 和10cm ，则菱形的高为________【答案】12013cm113. 【中】（郑州四中2010-2011学年下期初三年级第五次月考）如图，四边形ABCD 是菱形，BE AD ⊥、BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ． ⑴ 求证：BE BF =；⑵ 当菱形ABCD 的对角线8AC =，6BD =时，求BE 的长．【答案】⑴ AB AC =，A C ∠=∠，90AEB CFB ∠=∠=︒，∴AEB CFB △≌△， ∴BE BF =⑵ 连结AC 、BD 交于点O ，142OA AC ==，132OD BD ==，5AD ==，111224ABD ABCD S S AC BD ==⋅=△菱形，12ABD S AD BE =⋅△，∴245BE =114. 【中】（北京师范大学附属中学2010-2011初二期中试卷）如图，菱形ABCD 的对角线长分别为2和5，动点P 在对角线AC 上运动（不与点A 或C 重合），且PE BC ∥交AB 于点E ，PF CD ∥交AD 于点F ．请问：阴影部分的面积是否随点P 的运动而变化？若变化，说明理由；若不变，求出相应的值．DAECFEDC BAOFEDC BA【答案】不变，理由如下：设AP 、EF 交点为O ，∵PE AF ∥，PF AE ∥，∴四边形AEPF 是平行四边形， ∴AOE POF S S =△△，∴115=242ABC ABCD S S S AC BD ==⋅=△阴影菱形．115. 【中】（2011年莆田中考、2012密云二模）已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=︒，等边AEF △两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．⑴ 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边AEF △的外心；⑵ 若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边AEF △的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想AEF △的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．【答案】⑴ 如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =，且112302ADC ∠=∠=∠=︒．∴在Rt AOD △中，有12AO AD =．又E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===．∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边AEF △的外心．⑵ ①猜想：AEF △的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ．则90PQE PHD ∠=∠=︒． ∵60ADC ∠=︒，∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=︒．又∵点P 是等边AEF △的外心，60EFA ∠=︒， ∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯︒=︒． ∴αβ∠=∠．∴()AAS PQE PHA △≌△．∴PQ PH =．∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴点P 落在对角线DB 所在的直线上．②112DM DN+=．3. 轴对称性116. 【易】（北京市第十三中学2011-2012期中测试）如图，P 是菱形ABCD 对角线BD上一点，PE AB ⊥于点E ，4cm PE =，则点P 到BC 的距离是________cm ．【答案】4117. 【易】（京五中分校2010~2011学年度第二学考试试卷初二数学）如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，点F 为垂足，连结DE ，则CDE ∠=（ ） A ．80︒ B ．70︒ C ．65︒ D ．60︒【答案】D118. 【易】（沈阳八年级）如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=︒，AD 的垂直平分经交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠=________．FABCDE【答案】72︒119. 【易】（郑州外国语中学第三次质量检测数学卷）如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM PB +的最小值是3，则AB 长为________．【答案】120. 【易】（2010年北京14中期中）菱形ABCD 的周长为16，60ABC ∠=︒，E 是AB 边的中点，点P 是BD 边的一动点，那么AP PE +的最小值为________．【答案】121. 【易】（二中分2012-2013初二下期中考试）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点N 是对角线AC 上的一个动点，点E 是AB 边上的中点，则NB NE +的最小值为（ ）A ．2 B． C． D ．4【答案】B122. 【易】（河南省实验中学2009-2010学年上期期中试卷）菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上一个动点，点M N ，分别是边AB BC ，的中点，则PM PN +的最小值是________．【答案】5EP D CB APD C A M B N C DEB AMP D C BAN123.【中】（2012年希望杯初二）如图，在边长为6的菱形ABCD中，DE AB⊥于点E是AB的中点，点F在线段AC上运动，则EF FD+的最小值是________，最大值是________【答案】6+ FE DC BA。

2010年北京市中考数学试卷-含答案详解

2010年北京市中考数学试卷-含答案详解

北京市2010年高级中等学校招生考试一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.−2的倒数是( )A. −B.C. −2D. 22.2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星—500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”.将12480用科学记数法表示应为( )A. 12.48×103B. 0.1248×105C. 1.248×104D. 1.248×1033.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于( )A. 3B. 4C. 6D. 84.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( )A. 20B. 16C. 12D. 105.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是( )A. B. C. D.6.将二次函数y=x 2−2x+3化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为( )A. y=(x+1)2+4B. y=(x−1)2+4C. y=(x+1)2+2D. y=(x−1)2+27.10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高(单位：cm)如下表所示：队员1队员2队员3队员4队员5甲队177176175172175乙队170175173174183设两队队员身高的平均数依次为 甲， 乙，身高的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是( )A. 甲= 乙，>B. 甲= 乙，<C. 甲> 乙，>D. 甲< 乙，<8.美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共21.0分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是________．10.分解因式：m 3−4m=________．11.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ________．12.下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→⋯的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是_________(用含n的代数式表示)．13.阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动……如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A 1B 1CD.由轴对称的知识，发现P 2P 3=P 2E，P 1A=P 1E．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1)P点第一次与D点重合前与边相碰________次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm；(2)进一步探究：改变矩形ABCD中AD，AB的长，且满足AD>AB.动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB∶AD的值为________．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）14.计算：．15.解分式方程四、解答题（本大题共10小题，共57.0分。

中考数学二轮专项训练——菱形的判定与性质

中考数学二轮专项训练——菱形的判定与性质

中考二轮专项训练——菱形的判定与性质一、单选题1．如图，在ABCD 中， AC 平分 DAB ∠ ， 2AB = ，则ABCD 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．122．已知四边形ABCD 中， AB BC CD DA === ，对角线AC ，BD 相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD = C ．90ABC ∠=︒ D ．ABC BAC ∠=∠3．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．40B ．24C ．20D ．154．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ． 求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形； 丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A ．甲、乙对，丙错 B ．乙、丙对，甲错 C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错5．如图，CE 是□ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E 、连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ：BE ＝2：3；④S 四边形AFOE ：S ∠COD ＝2：3．其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知∠ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，小红按如下步骤作图：①分别以A 、C 为圆心，以大于 12AC 的长为半径在AC 两边作弧，交于两点M 、N ；②连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ；③过C 作CE∠AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ．则四边形ADCE 的周长为（ ）A ．10B ．20C ．12D ．247．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (20)31)A B ，，， ，若平移点 A 到点 C ，使以点 O A C B ，，， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A ．向左平移（ 43 ）个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移 3 个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移3 个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，BF∠AC ，CF∠BD ．若四边形BECF 的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．169．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD，BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（）．A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．42B．62C．2D．5二、填空题11．如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是．（写出一个即可）．12．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为cm2．13．如图，两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是．14．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 .15．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD∠DB ，∠DBE=70°，则∠ADE= .16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 及其外一点A ． 求作：l 的平行线，使它经过点A ．小云的作法如下：(1)在直线l 上任取一点B ；(2)以B 为圆心，BA 长为半径作弧，交直线l 于点C ；(3)分别以A 、C 为圆心，BA 长为半径作弧，两弧相交于点D ；(4)作直线AD ．直线AD 即为所求．小云作图的依据是 ．17．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形 ABCD 中， 3AB = ， 2AC = ，则 BD 的长为 ．三、解答题18．如图，在菱形 ABCD 中，将对角线 AC 分别向两端延长到点 E 和 F ，使得 AE CF = ．连接 ,,,DE DF BE BF ．求证：四边形 BEDF 是菱形．19．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，且 //DE AC ， //AE BD ，连接 OE .求证： OE AD ⊥ .20．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 是AC 上两点，AE ＝CF.求证：四边形BFDE 是菱形.21．如图，四边形 ABCD 是菱形，E 、F 是直线 AC 上两点， AF CE = .求证：四边形 FBED 是菱形.22．如图，四边形ABCD中，AD∠BC，AB∠AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点.（∠）求证：四边形AECD是菱形；（∠）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵在ABCD中，AC平分DAB∠，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8.故答案为：C.【分析】首先根据一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形证出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长. 2．【答案】A【解析】【解答】解：在四边形ABCD中，AB BC CD DA===，∴四边形ABCD是菱形，∴AC BD⊥；故答案为：A.【分析】根据菱形的判定和性质，即可得到答案.3．【答案】B【解析】【解答】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC∠BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∠CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故答案为：B．【分析】根据等腰三角形的性质，可得AC∠BD，∠BAO＝∠DAO，根据平行线的判定与性质可得∠BAC＝∠ACD，从而得出∠DAC＝∠ACD，由等角对等边可得AD＝CD，从而可得AB＝CD，从而可证四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可求出AO的长，从而得出AC，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.【解析】【解答】解：菱形 ,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD ∴===⊥== 90,FOB FOD ∴∠==∠=︒,FO FO = ,FOB FOD ∴≌ ,FB FD ∴=同理可得： ,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE ∴===∴四边形FBED 是菱形．故甲符合题意； 连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ∠BD ，AO =CO ，BO =DO ， ∵AF =CE ， ∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确； 由甲，乙正确，可得丙的说法错误； 故答案为：A.【分析】先利用菱形的性质证明,FOB FOD ≌ 可得,FB FD = 同理可得FD=ED ，ED=EB ，即得,FB FD DE BE ===据此判断甲；连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质可得AC∠BD ，AO=CO ，BO=DO ，再证明OF=OE ，可证四边形FBED 是菱形，据此判断乙正确，丙错误.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∠CD ，AB ＝CD ， ∵EC 垂直平分AB ， ∴OA ＝OB ＝12 AB ＝ 12DC ，CD∠CE ，∴EAED＝EOEC＝OACD＝12，∴AE＝AD，OE＝OC，∵OA＝OB，OE＝OC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵AB∠EC，∴四边形ACBE是菱形，故①符合题意，∵∠DCE＝90°，DA＝AE，∴AC＝AD＝AE，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②符合题意，∵OA∠CD，∴AFCF＝OACF＝12，∴AFAC＝AFBE＝13，故③不符合题意，设∠AOF的面积为a，则∠OFC的面积为2a，∠CDF的面积为4a，∠AOC的面积＝∠AOE的面积＝3a，∴四边形AFOE的面积为4a，∠ODC的面积为6a∴S四边形AFOE：S∠COD＝2：3．故④符合题意，故答案为：C．【分析】利用平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质和定义先证得四边形ACBE是菱形；再由菱形的性质和平行线的性质可得∠ACD＝∠BAE；根据三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质可证得AF：AC=AF:BE＝1：3；设∠AOF的面积为a，利用相似三角形的性质和两个同底三角形的面积比等于底的比可得S四边形AFOE=4a：S∠COD=6a．6．【答案】A【解析】【解答】∵分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，∴MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CE∠AB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CD∠AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形；∴OA=OC= 12AC=2，OD=OE，AC∠DE，∵∠ACB=90°，∴DE∠BC，∴OD是∠ABC的中位线，∴OD= 12BC=12×3=1.5，∴AD= 22OA OD+=2.5，∴菱形ADCE的周长=4AD=10．故答案为：A．【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∠AB，可证得CD∠AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．7．【答案】C【解析】【解答】解：过B作射线BC∠OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，过B作BH∠x轴于H，∵B（3，1），∴OB= ()22312+=，∵A（2，0），∴C（3，1）∴OA=OB，∴则四边形OACB是菱形，∴平移点A到点C，向右平3个单位，再向上平移1个单位而得到，故答案为：C．【分析】过B作射线BC∠OA，在BC上截取BC=OA，过B作BH∠x轴于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OACB是平行四边形，用勾股定理可求得OB的长，由计算可求得OA=OB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的性质即可得平移的方向和距离。

2010年中考试题最新分类汇总-48.探索规律型问题2

2010年中考试题最新分类汇总-48.探索规律型问题2

一、选择题1．（2010岳阳市）下列图案是用四种基本图形按照一定规律拼成的，第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 二、填空题1．（2010甘肃定西）观察：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…，则n a =(n=1，2，3，…). 【答案】211+-n n2．（2010青海）将一些小圆点按如图3所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依次规律，第6个图形有 个小圆点，第n 个图形有 个小圆点。

【答案】46；)4)(1(42++++n n n n 或3．（2010天水）正整数按图示的规律排列，请写出第10行,第5列的数字:【答案】96 4．（2010云南西双版纳）下列图案（图6,）由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，第n个图案中白色的正方形的个数为。

【答案】5n+35．（2010枣庄）下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2010个梅花图案中，共有__________个“”图案．【答案】5036．（2010广西北海）如图，在直角坐标系xoy中，∠OA0A1=90°，OA0=A0A1=l，以OA1为直角边作等腰Rt∠OA1A2再以O A2为直角边作等腰Rt∠OA2A3，……，，依此类推，则点A21的坐标为（)【答案】（-210, -210)7．（2010年广西崇左）下列每个形如四边形的图案，都是由若干个圆点按照一定规律组成的．当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点)，图案的圆点数为S n．那么，按此规律S n与n的函数关系式为．【答案】4n-48．（2010云南大理）如图，已知矩形ABCD的面积为1.A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，若四边形A1B1C1D1的面积为S1，A2、B2、C2、D2分别为A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点，四边形A2B2C2D2的面积记为S2，…，依此类推，第n个四边形AnBnCnDn的面积记为Sn，则Sn＝。

中考数学菱形试题及答案

中考数学菱形试题及答案

中考数学菱形试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是菱形的性质？A. 对角线互相垂直B. 四边相等C. 对角线平分一组对角D. 所有内角都是直角答案：D2. 菱形的对角线将菱形分成四个部分，这四个部分的面积相等吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题3. 若菱形的边长为5厘米，其对角线长度分别为d1厘米和d2厘米，根据菱形的性质，d1² + d2² = __________。

答案：254. 菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，那么对角线AC的长度为__________。

答案：6√3厘米三、解答题5. 如图所示，菱形ABCD中，E是边AB上的一点，且AE=2厘米，EB=4厘米。

求证：△AED≅△ECB。

证明：∵ ABCD是菱形∴ AB=AD，∠A=∠D又∵ AE=2厘米，EB=4厘米∴ AB=AE+EB=6厘米∴ AD=6厘米在△AED和△ECB中，{AD=AB{∠A=∠C{AE=CB∴ △A ED≅△ECB（SAS）6. 已知菱形ABCD的周长为20厘米，对角线AC的长度为6厘米，求菱形的面积。

解：∵ 菱形ABCD的周长为20厘米∴ AB=5厘米（因为四边相等）设对角线BD与AC相交于点O，由于菱形的对角线互相平分，所以AO=OC=3厘米根据勾股定理，可得：BO² = AB² - AO² = 5² - 3² = 16∴ BO = 4厘米菱形的面积= (AC × BO) / 2 = (6 × 4) / 2 = 12平方厘米四、计算题7. 菱形PQRS的边长为x厘米，对角线PR和QS的长度分别为10厘米和8厘米。

求菱形PQRS的面积。

解：设对角线PR和QS相交于点O，根据菱形的性质，O是PR和QS的中点。

∴ OP = PR / 2 = 5厘米，OQ = QS / 2 = 4厘米在△OPQ中，根据勾股定理：OQ² + PQ² = OP²4² + x² = 5²16 + x² = 25x² = 9x = 3厘米（取正值）菱形PQRS的面积= (PR × QS) / 2 = (10 × 8) / 2 = 40平方厘米注意：以上试题及答案仅供参考，实际中考试题可能会有所不同。

中考数学考点讲解：菱形

中考数学考点讲解：菱形

第2课时菱形知识点1菱形的定义及性质1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C)A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是2cm.4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.又∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是矩形．知识点2菱形的判定5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件：答案不唯一，如：AC⊥BD，使得该平行四边形为菱形．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.求证：(1)△AEF≌△DEB；(2)四边形ADCF是菱形．证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(AAS)．(2)∵△AEF≌△DEB，∴AF＝DB.∵D 是BC 的中点，∴DC ＝DB.∴AF ＝DC.∵AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD ＝CD.∴平行四边形ADCF 是菱形．知识点3 菱形的面积7．如图，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝8和BD ＝6，那么，菱形ABCD 的面积为24.重难点 菱形的性质与判定(2017·湖北)如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABF ，且交AE 于点D ，连接CD.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若∠ADB ＝30°，BD ＝6，求AD 的长．【思路点拨】 (1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD ＝∠ADB ，证出AB ＝AD ，同理：AB ＝BC ，得出AD ＝BC ，证出四边形ABCD 是平行四边形，即可得出结论；(2)由菱形的性质得出AC ⊥BD ，OD ＝OB ＝12BD＝3，再由三角函数即可得出AD 的长．【自主解答】 (1)证明：∵AE ∥BF ， ∴∠ADB ＝∠CBD.又∵BD 平分∠ABF ，∴∠ABD ＝∠CBD. ∴∠ABD ＝∠ADB.∴AB ＝AD. 同理：AB ＝BC ，∴AD ＝BC. 又AE ∥BF ，即AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝6， ∴AC ⊥BD ，OD ＝OB ＝12BD ＝3.∵∠ADB ＝30°，∴cos ∠ADB ＝OD AD ＝32.∴AD ＝332＝2 3. 【变式训练】 如图，在▱ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD.∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2.∵AB∥CD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF＝∠ABC＝45°. ∴AB＝DE＝2.∴CE＝CD＋DE＝4.∵EF⊥BC，∠ECF＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形．∴EF＝CF＝22CE＝2 2.,方法指导1．判定菱形的基本思路：(1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；(2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；它的对角线相互垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．1．(2017·益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为(D) A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm第2题图第4题图3．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)A ．2B . 5C ．3D ．4 4．(2017·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O.求证：AC ⊥BD.以下是排乱的证明过程： ①又BO ＝DO ；②∴AO ⊥BD ，即AC ⊥BD ；③∵四边形ABCD 是菱形； ④∴AB ＝AD.证明步骤正确的顺序是(B ) A ．③→②→①→④B ．③→④→①→②C ．①→②→④→③D ．①→④→③→②5．(2016·齐齐哈尔)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件AC ⊥BD 或∠AOB ＝90°或AB ＝BC 等使其成为菱形．(只填一个即可)第5题图 第6题图6．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为30°或60°． 7．(2017·菏泽)在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，其周长为24 cm ，则菱形的面积为183cm 2. 8．(2017·自贡)如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边DC ，DA 上，且CE ＝AF.求证：∠ABF ＝∠CBE.证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C.∵在△ABF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AF ＝CE ，∠A ＝∠C ，AB ＝CB ，∴△ABF ≌△CBE(SAS )． ∴∠ABF ＝∠CBE.9．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ．求证：四边形ABCD 是菱形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BO ＝DO.∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD为菱形．10．(2017·江西)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(D)A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形11．(2017·南京)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．提示：由四边形ABCD是菱形可知DA＝DC，又∠D＝78°，∴∠DAC＝∠DCA＝51°，∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠DAC＝51°.∵∠AEB＝∠D＝78°，∴∠EAC＝∠AEB－∠ACB＝27°.12．(2017·广东)如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝EF＝FA.又∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF.(2)∵BF＝BC，AB＝AF＝BC，∴△ABF是等边三角形．∵AD⊥BF，∴∠BAD＝∠FAD＝30°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD.∴∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－30°＝150°.13．(2017·滨州)如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形．(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若菱形ABEF 的周长为16，AE ＝43，求∠C 的大小．解：(1)证明：由作图过程可得：AE 垂直平分BF ，∴BE ＝FE.在△AEB 和△AEF 中，⎩⎨⎧AB ＝AF ，BE ＝FE ，AE ＝AE ，∴△AEB ≌△AEF(SSS )．∴∠EAB ＝∠EAF. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠EAF ＝∠AEB ＝∠EAB. ∴BE ＝AB ＝AF. 又∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是菱形． (2)连接BF ，交AE 于G.∵菱形ABEF 的周长为16，AE ＝43，∴AB ＝BE ＝EF ＝AF ＝4，AG ＝12AE ＝23，∠BAF ＝2∠BAE ，AE ⊥BF.在Rt △ABG 中，∠AGB ＝90°， ∴cos ∠BAG ＝AG AB ＝234＝32.∴∠BAG ＝30°.∴∠BAF ＝2∠BAE ＝60°.又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠C ＝∠BAF ＝60°.。

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选择题（每小题x 分，共y 分）（2010•南通）8． 如图，菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 的长是 A ．20 B ．15 C ．10 D ．5（2010•南京）5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点坐标是（3，4）则顶点A 、B 的坐标分别是 A. （4，0）（7，4） B. （4，0）（8，4） C. （5，0）（7，4） D. （5，0）（8，4）(2010•广东省肇庆市)10．菱形的周长为4，一个内角为60 ，则较短的对角线长为（ C ）A ．2B ． 3C ．1D ．2 3（2010•连云港）7．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．BA ＝BCB ．AC 、BD 互相平分 C ．AC ＝BD D ．AB ∥CD(2010•江苏盐城)6．如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线AC ＝6，BD ＝8，则此菱形 的边长为A A ．5 B ．6C ．8D ．10ABCD（第6题）BACD（第8题）（2010•湖北省咸宁）8．如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成， 则线段AC 的长为DA ．3B ．6C ．D ．（2010•天津）（6）下列命题中正确的是D（A ）对角线相等的四边形是菱形 （B ）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C ）对角线相等的平行四边形是菱形（D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（2010•北京）4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。

（2010•怀化）７．如图２，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°， 则菱形ABCD 的周长为（ C ）A ．20B ．18C ．16D ．15（ 2010•陕西省）8.若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为 （A ）A 16B 8C 4D 1(2010•兰州市)11. 如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A=53，则下列结论正确的个数有C①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为215cm ④cm BD 102=A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二、填空题（每小题x 分，共y 分）（ 2010•鸡西）10.将腰长为6cm,底边长为5cm 的等腰三角形废料加工成菱形工件,菱形的一个内角恰好是这个三角形的一个角,菱形的其它顶点均在三角形的边上,则这个菱形的边长是 cm ．(2010•乌鲁木齐市)9.如图3，四边形OABC 为菱形，点A B 、在以点O 为圆心的DE上，若312OA =∠=∠，，则扇形ODE 的面积为 A.3π2 B. 2π C.5π2D. 3π (2010•珠海)9.如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ， 则点P 到BC 的距离是_____cm. 4（2010•株洲）14．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，4AC cm =，8BD cm =，则这个菱形的面积是 16 2cm ．O DCBAA D O E CB 图3(2010•台州)16．如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为(结果保留π) （83+4）π▲ ．(2010•云南省曲靖市)14.如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm α=120︒，时，A B 、两点的距离为___54 ____cm.（ 2010•绵阳）15．已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AB = 6，∠BDC = 30︒，则菱形的面积为18（2010•凉山）25．AC 、BD 是 ABCD 的两条对角线，现从以下四个关系式○1AB=BC ，○2AC=BD ，○3A C ⊥BD ，○4A B ⊥BC 中任取一个作为条件，即可推出 ABCD 是菱形的概率为 ．25、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的2142=A B(第16题) lＡ ＦＣＤＥ 第18题图平行四边形是菱形.故有两种可以，即概率为 .（2010•福建省德化）14、已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为 24； ㎝2.(2010•德州)13．在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果四边形EFGH 为菱形，那么四边形ABCD 是 答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等． （只要写出一种即可）． (2010•甘肃省9市联考)18 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠= ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形.其中，正确的有 ①②③④ .（只填写序号）三、解答题：（共x 分）(2010•宁波市)21、如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD 。

（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。

（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4中用实线画出拼成的平行四边形。

（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）CCC C （图2） （图1） （图3） （图4）周长为__________ 周长为__________21、解：（1）（ 2010•荆门）19．(本题满分9分)将三角形纸片ABC (AB ＞AC )沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后连接DE 、DF ，如图2，证明：四边形AEDF 是菱形．19．证明：由第一次折叠可知：AD 为∠CAB 的平分线，∴∠1＝∠2……………………2分 由第二次折叠可知：∠CAB ＝∠EDF ，从而，∠3＝∠4………………………………4分 ∵AD 是△AED 和△AFD 的公共边，∴△AED ≌△AFD (ASA)………………………6分 ∴AE ＝AF ，DE ＝DF又由第二次折叠可知：AE ＝ED ，AF ＝DF∴AE ＝ED ＝DF ＝AF …………………………………………………………………………8分 故四边形AEDF 是菱形．……………………………………………………………………9分图1 图24321EAFDCCDBA(1) (2) 第19题图 ABDCCDBF AE周长为26周长为22答案不唯一DCBAOE（2010•沈阳市）19. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边 AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF 。

求证：四边形AEOF 是菱形。

19. [证明] ∵点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴AE =21AB ，AF =21AD ， 又∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ，∴AE =AF ， 又∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， ∴O 为BD 中点，∴OE 、OF 是△ABD 的中位线，∴四边形AEOF 是平行四边形，∵AE =AF ，∴四边形AEOF 是菱形。

(2010•江苏省扬州市)24．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 是菱形，点G 是BC 延长线上一点，连接AG ，分别交BD 、CD 于点E 、F ，连接CE ． （1）求证：∠DAE ＝∠DCE ；（2）当AE ＝2EF 时，判断FG 与EF 有何等量关系？并证明你的结论？(2010•眉山市)21．如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．21．解：（1）四边形OCED 是菱形．…………（2分）∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，…………（3分） 又 在矩形ABCD 中，OC =OD ，∴四边形OCED 是菱形．…………………（4分）（2）连结OE ．由菱形OCED 得：CD ⊥OE ， …………（5分） ∴OE ∥BCA B CDE F O又CE∥BD∴四边形BCEO是平行四边形∴OE=BC=8……………………………………………（7分）∴S四边形OCED=11862422OE CD⋅=⨯⨯=……………（8分）（2010•自贡市）24．如图，在□ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，AC与BE、BF分别交于点G，H。

（1）求证：△BAE∽△BCF（2）若BG＝BH，求证四边形ABCD是菱形24．证明（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD∴∠BEA＝∠BFC＝90°………………（1＇）又ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCF ……………………（2＇）∴△BAE∽△BCF ……………………………………………………（3＇）（2）∵△BAE∽△BCF∴∠1＝∠2………………………………………………………………（4＇）又BG＝BH ∴∠3＝∠4∴∠BGA＝∠BHC ……………………………………………………（5＇）∴△BGA≌△BHC（ASA）…………………………………………（6＇）∴AB＝BC ………………………………………………………………（7＇）∴□ABCD为菱形……………………………………………………（8＇）（2010•遵义）24．（10分）如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．(1)求证:CF＝CH；(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．（图1） （图2）（24题图）24．（10分）解:(1)(5分) 证明:在△ACB 和△ECD 中 ∵∠ACB=∠ECD= 90∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D= 45∴△ACB ≌△ECD,∴CF=CH(2)(5分) 答: 四边形ACDM 是菱形 证明: ∵∠ACB=∠ECD= 90, ∠BCE=45∴∠1=45, ∠2=45 又∵∠E=∠B= 45, ∴∠1=∠E, ∠2=∠B∴AC ∥MD, CD ∥AM , ∴ACDM 是平行四边形 又∵AC=CD, ∴ACDM 是菱形（2010•镇江）27．探索发现（本小题满分9分）如图，在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A ，C 始终在x 轴的正半轴上，B ，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC=CD ，OD=2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于E ，当点B 位置变化时，.21的面积恒为OAB Rt ∆ 试解决下列问题：（1）填空：点D 坐标为 ；（2）设点B 横坐标为t ，请把BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD 能否成立？为什么？（4）设CM 与AB 相交于F ，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论.27．（1）)2,2(；（1分）（2）),1,(,21tt B OAB Rt 得的面积为由∆ ,)(222CD AB AC BD -+=4)1(221)21()2(22222++-+=-+==∴t t tt t t BD ① （2分）.)21(2)1(22)1(22-+=++-+=tt t t t t （3分）.21|21|-+=-+=∴tt t t BD ② （4分）（注：不去绝对值符号不扣分）（3）[法一]若OB=BD ，则.22BD OB =,1,22222t t AB OA OB OAB Rt +=+=∆中在 由①得,4)1(2212222++-1+=+t t tt t t （5分） )6(..,024)2(,012,2122分此方程无解得BD OB t t tt ≠∴∴<-=-=∆=+-∴=+[法二]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上.),22,22(,),0,2(M OCM Rt C 可求得中在等腰∆ ∴直线CM 的函数关系式为2+-=x y ， ③ （5分）,1,21xy B OAB Rt =∆点坐标满足函数关系式得的面积为由 ④联立③，④得：0122=+-x x ，)6(..,024)2(2分此方程无解BD OB ≠∴∴<-=-=∆[法三]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上，如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥)6(..)5(,2121222121,210分矛盾显然与分而BD OB S S S S S S S BG HNO DOC MOC OMH OAB OBG ≠∴>=⨯⨯⨯=====∆∆∆∆∆∆∆（4）如果 45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形，①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90 =∠，如图27 – 2.//,,DC BF x DC x BF ∴⊥⊥轴轴∴此时四边形BDCF 为直角梯形.（7分） ②当,90时=∠EBD 如图27 – 3.//,,.//,DC BF x DC x AB CF BD OD CF ∴⊥⊥∴⊥轴轴又BCAM NP FE ∴此时四边形BDCF 为平行四边形.（8分） 下证平行四边形BDCF 为菱形：[法一]在222,BD OD OB BDO +=∆中，,221,4)1(221412222=+∴++-++=+∴t t t t t t t t[方法①]OD BD t t 在 ,01222=+-上方121,12;21,12-=+=+=-=tt t t 或解得（舍去）.得),12,12(+-B [方法②]由②得：.222221=-=-+=tt BD 此时,2==CD BD∴此时四边形BDCF 为菱形（9分） [法二]在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中)9(.,2].[.221,122,22)22(2.22,2,分为菱形此时四边形此时法一以下同即则BDCF CD BD tt t t t t t BE AE AB T BD ED t OE t AE OA ∴===+=-∴-=-+=+=∴-=====(2010•广东省河源市)22．如图，△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ；(2)当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由；(3)若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且AP BC ＝32．求此时∠A 的大小．21．⑴，证明：∵CE 平分∠BCA ， ∴∠BCE ＝∠PCE 又MN ∥BC ， ∴∠BCE ＝∠PEC ∴∠PCE ＝∠PEC ∴PE ＝PC ┄┄2′同理PF ＝PC ∴PE ＝PF ┄┄3′⑵不能．┄┄4′，理由是： ∵由⑴可知，PE ＝PF ＝PC ， 又PC+PF>CF ， ∴PE+PF>CF 即EF>CF ┄┄5′又菱形的四条边都相等，所以四边形BCFE 不可能是菱形．┄┄6′⑶若四边形AECF 是正方形．则AP ＝CP ， ∠ACE ＝00452902==∠ECF∵∠BCE ＝∠PCE ∴∠BCA ＝090┄┄7′又∵23=BC AP ∴3=BCAC即t a n ∠B ＝3┄┄8′ ∴∠B ＝60°∴∠A ＝90°―∠B ＝30°┄┄9′（2010•福建省德化）25、（12分）在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC 绕点B 顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A 1BC 1，交AC 于点E ，AC 分别交A 1C 1、BC 于D 、F 两点． （1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED 的长．25、（1）（2（3）过点E 作EG ⊥AB ，则AG=BG=1在Rt AEG ∆中，1cos cos30AG AE A === 由（2）知AD=AB=2 ∴2ED AD AE =-=12分(2010•成都市)20．已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；（2）如图乙，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠，求AS 和OR 的长．20. （1）证明：∵ABCD 为菱形，∴AD ∥BC 。

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