2010年中考试题集锦---菱形

选择题（每小题x 分，共y 分）
（2010•南通）8． 如图，菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线
AC 的长是 A ．20 B ．15 C ．10 D ．5
（2010•南京）5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点坐标是（3，4）则顶点A 、B 的坐标分别是 A. （4，0）（7，4） B. （4，0）（8，4） C. （5，0）（7，4） D. （5，0）（8，4）
(2010•广东省肇庆市)10．菱形的周长为4，一个内角为60 ，则较短的对角线长为（ C ）
A ．2
B ． 3
C ．1
D ．2 3
（2010•连云港）7．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ）
A ．BA ＝BC
B ．A
C 、B
D 互相平分 C ．AC ＝BD D ．AB ∥CD
(2010•江苏盐城)6．如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线AC ＝6，BD ＝8，则此菱形 的边长为A A ．5 B ．6
C ．8
D ．10
A
B
C
D
（第6题）
B
A
C
D
（第8题）
（2010•湖北省咸宁）8．如图，菱形ABCD 由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成， 则线段AC 的长为D
A ．3
B ．6
C ．
D ．
（2010•天津）（6）下列命题中正确的是D
（A ）对角线相等的四边形是菱形 （B ）对角线互相垂直的四边形是菱形 （C ）对角线相等的平行四边形是菱形
（D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（2010•北京）4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。

（2010•怀化）７．如图２，在菱形ABCD 中，
对角线AC=4，∠BAD=120°， 则菱形ABCD 的周长为（ C ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．15
（ 2010•陕西省）8.若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为 （A ）
A 16
B 8
C 4
D 1
(2010•兰州市)11. 如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A=53
，
则下列结论正确的个数有C
①
cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为215cm ④cm BD 102=
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
二、填空题（每小题x 分，共y 分）
（ 2010•鸡西）10.将腰长为6cm,底边长为5cm 的等腰三角形废料加工成菱形工件,菱形的一个内角恰好是这个三角形的一个角,菱形的其它顶点均在三角形的边上,则这个菱形的边长是 cm ．
(2010•乌鲁木齐市)9.如图3，四边形OABC 为菱形，点A B 、在以点O 为圆心的DE
上，若312OA =∠=∠，，则扇形ODE 的面积为 A.
3π2 B. 2π C.5
π2
D. 3π (2010•珠海)9.如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ， 则点P 到BC 的距离是_____cm. 4
（2010•株洲）14．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，4AC cm =，
8BD cm =，则这个菱形的面积是 16 2cm ．
O D
C
B
A
A D O E C
B 图3
(2010•台州)16．如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无
滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为(结果保留π) （83+4）π▲ ．
(2010•云南省曲靖市)14.如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm α=120︒，时，A B 、两点的
距离为___54 ____cm.
（ 2010•绵阳）15．已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若
AB = 6，∠BDC = 30︒，
则菱形的面积为
18
（2010•凉山）25．AC 、BD 是 ABCD 的两条对角线，现从以下四个关系式○1AB=BC ，○
2AC=BD ，○3A C ⊥BD ，○4A B ⊥BC 中任取一个作为条件，即可推出 ABCD 是菱形的概率为 ．
25、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的
2
1
42=
A B
(第16题) l
Ａ Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｅ 第18题图
平行四边形是菱形.故有两种可以，即概率为 .
（2010•福建省德化）14、已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝，则菱形的面积为 24； ㎝2.
(2010•德州)13．在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，
如果四边形EFGH 为菱形，那么四边形ABCD 是 答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等． （只要写出一种即可）． (2010•甘肃省9市联考)18 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，
且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：
①四边形AEDF 是平行四边形；
②如果90BAC ∠= ，那么四边形AEDF 是矩形；
③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；
④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形.
其中，正确的有 ①②③④ .（只填写序号）
三、解答题：（共x 分）
(2010•宁波市)21、如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD 。

（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。

（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。

（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
C
C
C C （图2） （图1） （图3） （图4）
周长为__________ 周长为__________
21、解：（1）
（ 2010•荆门）19．(本题满分9分)将三角形纸片ABC (AB ＞AC )沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A 与点D 重合，折痕为EF ，再次展平后连接DE 、DF ，如图2，证明：四边形AEDF 是菱形．
19．
证明：由第一次折叠可知：AD 为∠CAB 的平分线，∴∠1＝∠2……………………2分 由第二次折叠可知：∠CAB ＝∠EDF ，从而，∠3＝∠4………………………………4分 ∵AD 是△AED 和△AFD 的公共边，∴△AED ≌△AFD (ASA)………………………6分 ∴AE ＝AF ，DE ＝DF
又由第二次折叠可知：AE ＝ED ，AF ＝DF
∴AE ＝ED ＝DF ＝AF …………………………………………………………………………8分 故四边形AEDF 是菱形．……………………………………………………………………9分
图1 图2
4
32
1E
A
F
D
C
C
D
B
A
(1) (2) 第19题图 A
B
D
C
C
D
B
F A
E
周长为26
周长为22
答案不唯一
D
C
B
A
O
E
（2010•沈阳市）19. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边 AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF 。

求证：四边形AEOF 是菱形。

19. [证明] ∵点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴AE =21
AB ，AF =2
1AD ， 又∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD ，∴AE =AF ， 又∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， ∴O 为BD 中点，∴OE 、OF 是△ABD 的中位线，
∴四边形AEOF 是平行四边形，∵AE =AF ，∴四边形AEOF 是菱形。

(2010•江苏省扬州市)24．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 是菱形，点G 是BC 延长
线上一点，连接AG ，分别交BD 、CD 于点E 、F ，连接CE ． （1）求证：∠DAE ＝∠DCE ；
（2）当AE ＝2EF 时，判断FG 与EF 有何等量关系？并证明你的结论？
(2010•眉山市)21．如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．
（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．
21．解：（1）四边形OCED 是菱形．…………（2分）
∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形OCED 是平行四边形，…………（3分） 又 在矩形ABCD 中，OC =OD ，
∴四边形OCED 是菱形．…………………（4分）
（2）连结OE ．由菱形OCED 得：CD ⊥OE ， …………（5分） ∴OE ∥BC
A B C
D
E F O
又CE∥BD
∴四边形BCEO是平行四边形
∴OE=BC=8……………………………………………（7分）
∴S四边形OCED=11
8624
22
OE CD
⋅=⨯⨯=……………（8分）
（2010•自贡市）24．如图，在□ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，AC与BE、BF分别交于点G，H。

（1）求证：△BAE∽△BCF
（2）若BG＝BH，求证四边形ABCD是菱形
24．证明（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD
∴∠BEA＝∠BFC＝90°………………
（1＇）
又ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCF ……………………
（2＇）
∴△BAE∽△BCF ……………………………………………………
（3＇）
（2）∵△BAE∽△BCF
∴∠1＝∠2………………………………………………………………（4＇）
又BG＝BH ∴∠3＝∠4
∴∠BGA＝∠BHC ……………………………………………………
（5＇）
∴△BGA≌△BHC（ASA）…………………………………………
（6＇）
∴AB＝BC ………………………………………………………………
（7＇）
∴□ABCD为菱形……………………………………………………
（8＇）
（2010•遵义）24．（10分）如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝
90，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
(1)求证:CF＝CH；
(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=
45时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
（图1） （图2）
（24题图）
24．（10分）解:(1)(5分) 证明:在△ACB 和△ECD 中 ∵∠ACB=∠ECD= 90
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,
∴∠1=∠2
又∵AC=CE=CB=CD,
∴∠A=∠D= 45
∴△ACB ≌△ECD,
∴CF=CH
(2)(5分) 答: 四边形ACDM 是菱形 证明: ∵∠ACB=∠ECD= 90, ∠BCE=
45
∴∠1=
45, ∠2=
45 又∵∠E=∠B= 45, ∴∠1=∠E, ∠2=∠B
∴AC ∥MD, CD ∥AM , ∴ACDM 是平行四边形 又∵AC=CD, ∴ACDM 是菱形
（2010•镇江）27．探索发现（本小题满分9分）
如图，在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A ，C 始终在x 轴的
正半轴上，B ，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC=CD ，OD=2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于E ，当点B 位置变化时，.2
1的面积恒为
OAB Rt ∆ 试解决下列问题：
（1）填空：点D 坐标为 ；
（2）设点B 横坐标为t ，请把BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD 能否成立？为什么？
（4）设CM 与AB 相交于F ，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，
并证明你的结论.
27．（1）)2,2(；（1分）
（2）),1,(,21t
t B OAB Rt 得的面积为
由∆ ,)(222CD AB AC BD -+=
4)1
(221)21()2(22222++-+=-+==∴t t t
t t t BD ① （2分）
.)21
(2)1(22)1(22-+=++-+=t
t t t t t （3分）
.21
|21|-+=-+=∴t
t t t BD ② （4分）（注：不去绝
对值符号不扣分）
（3）[法一]若OB=BD ，则.2
2
BD OB =
,1
,2
2222t t AB OA OB OAB Rt +
=+=∆中在 由①得,4)1(2212
2
22
++-1+=+
t t t
t t t （5分） )
6(..,024)2(,
012,21
22分此方程无解得BD OB t t t
t ≠∴∴<-=-=∆=+-∴=+
[法二]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上.
),2
2,22(
,),0,2(M OCM Rt C 可求得中在等腰∆ ∴直线CM 的函数关系式为2+-=x y ， ③ （5分）
,1
,21x
y B OAB Rt =∆点坐标满足函数关系式得的面积为由 ④
联立③，④得：0122
=+-x x ，
)
6(..,024)2(2分此方程无解BD OB ≠∴∴<-=-=∆
[法三]若OB=BD ，则B 点在OD 的中垂线CM 上，如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥
)
6(..
)5(,2
1
21222121,210分矛盾显然与分而BD OB S S S S S S S BG HNO DOC MOC OMH OAB OBG ≠∴>=⨯⨯⨯====
=∆∆∆∆∆∆∆
（4）如果 45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形，
①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90 =∠，如图27 – 2
.//,,DC BF x DC x BF ∴⊥⊥轴轴
∴此时四边形BDCF 为直角梯形.（7分） ②当,90时
=∠EBD 如图27 – 3
.
//,,.
//,DC BF x DC x AB CF BD OD CF ∴⊥⊥∴⊥轴轴又
B
C
A
M N
P F
E ∴此时四边形BDC
F 为平行四边形.（8分） 下证平行四边形BDCF 为菱形：
[法一]在222,BD OD OB BDO +=∆中，
,221,4)1(221412
2
22=+∴++-++=+
∴t t t t t t t t
[方法①]OD BD t t 在 ,01222=+-上方
121
,12;21,12-=+=+=-=t
t t t 或解得（舍去）.
得),12,12(+-B [方法②]由②得：.222221
=-=-+=t
t BD 此时,2=
=CD BD
∴此时四边形BDCF 为菱形（9分） [法二]在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中
)
9(.,
2].
[.221
,122,
22)22(2.22,2,分为菱形此时四边形此时法一以下同即则BDCF CD BD t
t t t t t t BE AE AB T BD ED t OE t AE OA ∴===+=-∴-=-+=+=∴-=====
(2010•广东省河源市)22．如图，△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，
设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ；
(2)当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由；
(3)若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且
AP BC ＝32
．求此时∠A 的大小．
21．⑴，证明：∵CE 平分∠BCA ， ∴∠BCE ＝∠PCE 又MN ∥BC ， ∴∠BCE ＝∠PEC ∴∠PCE ＝∠PEC ∴PE ＝
PC ┄┄2′
同理PF ＝PC ∴PE ＝PF ┄┄3′
⑵不能．┄┄4′，理由是： ∵由⑴可知，PE ＝PF ＝PC ， 又PC+PF>CF ， ∴PE+PF>CF 即EF>CF ┄┄5′
又菱形的四条边都相等，
所以四边形BCFE 不可能是菱形．┄┄6′
⑶若四边形AECF 是正方形．则AP ＝CP ， ∠ACE ＝00
452
902==∠ECF
∵∠BCE ＝∠PCE ∴∠BCA ＝0
90┄┄7′
又∵
2
3
=
BC AP ∴
3=BC
AC
即t a n ∠B ＝3┄┄8′ ∴∠B ＝60°∴∠A ＝90°―∠B ＝30°┄┄9′
（2010•福建省德化）25、（12分）在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC 绕点B 顺时针旋
转角α(0<α<120°),得△A 1BC 1，交AC 于点E ，AC 分别交A 1C 1、BC 于D 、F 两点． （1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 有怎样的数量关系？并证明
你的结论；
（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED 的长．
25、（1）
（2（3）过点E 作EG ⊥AB ，则AG=BG=1
在Rt AEG ∆中，1cos cos30AG AE A === 由（2）知AD=AB=2 ∴2ED AD AE =-=12分
(2010•成都市)20．已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．
（1）如图甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；
（2）如图乙，连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若
460,10
AD DCB BS ===
，∠，求AS 和OR 的长．
20. （1）证明：∵ABCD 为菱形，∴AD ∥BC 。

∴∠OBP=∠ODQ ∵O 是是BD 的中点， ∴OB=OD
在△BOP 和△DOQ 中，
∵∠OBP=∠ODQ ，OB=OD ，∠BOP=∠DOQ
∴△BOP ≌△DOQ （ASA ） ∴OP=OQ 。

（2）解：如图，过A 作AT ⊥BC ，与CB 的延长线交于T.
∵ABCD 是菱形，∠DCB=60° ∴AB=AD=4，∠ABT=60°
∴A T=ABsin60°=TB=ABcos60°=2
∵BS=10，∴TS=TB+BS=12，
∴=
∵AD ∥BS ，∴△AOD ∽△SOB 。

∴
42
105AO AD OS SB ===， 则
25AS OS OS -=,∴7
5
AS OS =
∵AS=，∴75OS AS =
=
同理可得△ARD ∽△SRC 。

∴42
63AR AD RS SC ===, 则
23AS SR RS -=,∴5
3
AS RS =，
∴355
RS AS =
=
∴
OR=OS-RS=7535
-=。

（2010•鞍山）23.（本题7分）
①如图，四形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD ，BD ， BC ，AC 的中点。

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（2）当四边形ABCD 满足一个什么条件时，四边形EFGH 是菱形？ 并证明你的结论。

（23题图）
(2010•乌鲁木齐市)18.如图5，在平行四边形ABCD 中，
BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，DF 平分∠ADC 交 BC 于点F . 求证：（1）ABE CDF △≌；
（2）若BD EF ⊥，则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论.
18. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C AB CD
ABC ADC ∠=∠=∠=∠，， ∵BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，∴ABE CDF ∠=∠ ································ 2′
∴()ABE CDF ASA △≌△ ··············································································· 4′ （2）由ABE CDF △≌△，得AE CF = ·································································· 5′
在平行四边形ABCD 中，AD BC AD BC =∥， ∴DE BF DE BF =∥， ∴四边形EBFD 是平行四边形 ············································································ 6′ 若BD EF ⊥，则四边形EBFD 是菱形 ································································ 8′
F D 图5 E
C A B A
B C
D E
F G H
O
(2010•辽宁省铁岭市)25．如图，一个直角三角形纸片的顶点A 在∠MON 的边OM 上移动，移
动过程中始终保持AB ⊥ON 于点B,AC ⊥OM 于点A.∠MON 的角平分线OP 分别交AB 、AC 于D 、E 两点.
（1）点A 在移动的过程中，线段AD 和AE 有怎样的数量关系,并说明理由. （2）点A 在移动的过程中,若射线ON 上始终存在一点F 与点A 关于OP 所在的直线对称，
判断并说明以A 、D 、F 、E 为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC 、AD 、OC 之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.
25.(1) AE=AD ………2分 (2)菱形 ………3分 (法一)：连接DF 、EF
∵点F 与点A 关于直线OP 对称， E 、D 在OP 上，
∴AE=FE,AD=FD . ………5分
由（1）得AE=AD
∴AE=FE=AD=FD
∴四边形ADFE 是菱形 ………7分 （法二）：连接AF 交DE 于点G,连接DF,EF.
点F 与点A 关于直线OP 对称可知：AF ⊥DE, AE=FE, ………3分 ∴AG=FG, 又∵AE=AD ∴DG=EG
∴四边形ADFE 是平行四边形 ………6分 ∵AF ⊥DE
∴平行四边形ADFE 是菱形 ………7分 （3）OC= AC+AD ………8分 (法一)：证明：连接EF.
∵点F 与点A 关于直线OP 对称, ∴AO=OF
∵AC ⊥OM, ∠MON=45°
∴∠OAC=90° ∴∠ACO=∠MON=45°∴………10分 F
G
由（2）知四边形ADFE 是菱形 ∴EF ∥AB AD=EF ∵AB ⊥ON ∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC =90° ∵∠ACO=45° ∴∠ACO=∠CEF
∴FC = EF =AD 又∵OC=OF+FC
∴OC = AC+AD ………12分 （法2）证明：连接EF. ∵AC ⊥OM, ∠MON=45° ∴∠OAC=90° ∴∠ACO =∠MON =45°∴由（2）知四边形ADFE 是菱形
∴EF ∥AB AD=EF ∵AB ⊥ON ∴∠ABC=90°
∴∠EFC=∠ABC=90° ∵∠ACO=45°
∴∠FEC = ∠ACO =45° ………9分 ∴FC=FE=AD ∵∠AOE=∠FOE
∵OE=OE, ∠OAC=∠OFE=90°
∵△OAE ≌△OFE ………11分 ∴OA=OF ∴OF=AC
又∵OF+FC=OC
∴AC+AD=OC ………12分 （法3）证明：延长EA 到G 点，使AG=AE ∵∠OAE=90°
∴OA ⊥GE
∴OG=OE ∴∠AOG=∠EOA
∵∠AOC=45°,OP 平分∠AOC ∴∠AOE=22.5°
∴∠AOG=22.5°∠G=67.5° ∴∠COG=∠G=67.5°
∴CG=OC ………10分 由（1）得AD=AE
∵AD=AE=AG ∴AC+AD=OC
(2010•舟山)24. （本题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，AB=2cm ，∠BAD=60°，E 为CD 边中点，点P 从点A 开始沿AC
方向以每秒的速度运动，同时，点Q 从点D 出发沿DB 方向以每秒1cm 的速度运动，当点P 到达点C 时，P ，Q 同时停止运动，设运动的时间为x 秒
（1）当点P 在线段AO 上运动时. ①请用含x 的代数式表示OP 的长度；
②若记四边形PBEQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ 即梯形ABED ，请问，当P 在线段AC 的其他位置时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x 的值；若不能，请说明理由.
24.（本小题满分12分）
解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC ⊥BD ∵AB=2 ∴OB=OD=1，
∴
……… ……2分 ②过点E 作EH ⊥BD ，则EH 为△COD 的中位线
∴12EH OC =
=∵DQ=x ∴BQ=2-x
∴11
(2)22BPQ BEQ y S S x ∆∆=+=
⨯-+ 242
x =-
+
…………………………3分
（2）能成为梯形，分三种情况：
C
C
C
………
当PQ ∥BE 时，∠PQO=∠DBE=30°
∴
tan 30o OP OQ ==
=
∴x=25 此时PB 不平行QE ，∴x=2
5
时，四边形PBEQ
分 当PE ∥BQ 时，P 为OC 中点
∴
= ∴34
x =
此时，BQ=2-x=
54≠PE ，∴x=34
时，四边形PEQB 为梯形. …………………………2分
当EQ ∥BP 时，△QEH ∽△BPO
∴
HE QH
OP BO
= 1
21x -
= ∴x=1（x=0舍去）
此时，BQ 不平行于PE ， ∴x=1时，四边形PEQB 为梯形.
………………………………2分
综上所述，当x=
25或3
4
或1时，以P ，B ，E ，Q 为顶点的四边形是梯形.……………1分
（2010•郴州）22．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC ∠的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A 、C 之间的距离）.若AB=40cm ，当ADC ∠从60︒变为120︒时，千斤顶升高了
1.732
22.解: 连结AC ，与BD 相交于点O 四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD , . (1)
第22题
C
C
分
当ÐADC =60°时， ADC 是等边三角形
\AC =AD =AB =40 ………………………………3分
当ÐADC =120°时，ÐADO =60° \AO =AD ×
sin ÐADO =40
×2
\AC
………………………………
5分
因此增加的高度为
-40=40´0.732»29（cm ） ………………………6分
(说明：当ÐADC =120°时，求AC 的长可在直角三角形用勾股定理)
(2010•益阳市)16．如图7，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过
O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．
16．解:⑴ 在菱形ABCD 中,AD AB =，︒=∠60A
∴ABD ∆为等边三角形
∴︒=∠60ABD ……………………………4分
⑵由（1）可知4==AB BD
又∵O 为BD 的中点
∴2=OB ……………………………6分 又∵AB OE ⊥，及︒=∠60ABD ∴︒=∠30BOE
∴1=BE ……………………………8分
A 组 河南真题透视
7
图
结尾。