文科圆锥曲线专题练习及问题详解
(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)
经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。
圆锥曲线大题20道(含答案解析)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为〔2,0,右顶点为)0,3( 〔1求双曲线C 的方程； 〔2若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B,且2>⋅OB OA 〔其中O 为原点. 求k 的取值范围.解：〔Ⅰ设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x 〔Ⅱ将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ,则 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1〔a ＞b ＞0的左．右焦点为F 1、F 2,离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B,M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点,P 是点F 1关于直线l 的对称点,设AM ＝λAB .〔Ⅰ证明：λ＝1－e 2；〔Ⅱ确定λ的值,使得△PF 1F 2是等腰三角形.〔Ⅰ证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是〔a b c 2,-. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点,所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上,所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e aλλλλ所以 解得.1122e e -=-=λλ即〔Ⅱ解法一：因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|,即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d,由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ,所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角,要使△PF 1F 2为等腰三角形,必有|PF 1|=|F 1F 2|, 设点P 的坐标是),(00y x ,则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩,2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2,化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时,△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,,j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量,若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=,且4=+b a.〔Ⅰ求点),(y x P 的轨迹C 的方程；〔Ⅱ若A 、B 为轨迹C 上的两点,满足MB AM =,其中M 〔0,3,求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔Ⅰ求椭圆的离心率；〔Ⅱ设M 为椭圆上任意一点,且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ,证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.〔1解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=,代入12222=+b y a x ,化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A 〔11,y x ,B 22,(y x ,则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线,得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,,即232222c ba c a =+,所以36.32222ab ac b a =-=∴=, 故离心率.36==a c e 〔II 证明：〔1知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =,由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M 在椭圆上,.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由〔1知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,准线l 与x 轴相交于点A<–1,0>,过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点. 〔1求抛物线的方程；〔2若FP •FQ =0,求直线PQ 的方程；〔3设AP =λAQ 〔λ>1,点P 关于x 轴的对称点为M,证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中,向量32),1,0(的面积为OFP j ∆=,且3,OF FP t OM OP j ⋅==+ .〔I 设4t OF FP θ<<求向量与 的夹角的取值范围；〔II 设以原点O 为中心,对称轴在坐标轴上,以F 为右焦点的椭圆经过点M,且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时,求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -,点A 在x 轴上,点B 在y 轴的正半轴,点P 在直线AB 上,且满足,AP PB =-,0MA AP ⋅=. 〔Ⅰ当点A 在x 轴上移动时,求动点P 的轨迹C 方程；〔Ⅱ过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ,当12l l ⊥,求直线l 的方程. 8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心,点A 〔1,0,P 是圆上的动点,点Q 在圆的半径CP 上,且.2,0AM AP AP MQ ==⋅〔Ⅰ当点P 在圆上运动时,求点Q 的轨迹方程； 〔Ⅱ若直线12++=k kx y 与〔Ⅰ中所求点Q的轨迹交于不同两点F ,H ,O 是坐标原点,且4332≤⋅≤OH OF ,求△FOH 的面积 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点．〔Ⅰ求椭圆E 的方程；〔Ⅱ若直线l ：()1y k x =-〔0k ≠与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P<0,m><m>0>作直线与抛物线交于A 、B 两点,点Q 是点P 关于原点的对称点。
圆锥曲线文科高考习题含答案
1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 452.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2833x y =(B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = 4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 5.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）456.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。
若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C. 3D.27.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、258.【2012高考四川文11】方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、28条B 、32条C 、36条D 、48条9.【2012高考上海文16】对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件10.【2012高考江西文8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
高中数学文科圆锥曲线试题及解答
高中数学文科圆锥曲线试题及解答一．基础题组1. 【2013课标全国，文5】设椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )．A．13 C ．12 D【答案】：D2. 【2012全国新课标，文4】设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【答案】C 【解析】设直线32a x =与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，232aF M c =-，故22312cos6022a cF M PF c -︒===，解得34c a =，故离心率34e =． 3. 【2010全国新课标，文5】中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(【答案】：D4. 【2006全国，文5】已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是( )（A ）23 （B ）6 （C ）43 （D ）12答案】C5. 【2005全国，文5】抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5【答案】D6. 【2005全国，文6】双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）(A) 23y x =±(B) 49y x =±(C) 32y x =±(D) 94y x =±【答案】C【解析】由题意知：2,3a b ==，∴双曲线22149x y -=的渐近线方程是32y x =±.7. 【2014全国，文20】（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .8. 【2013课标全国，文20】(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为2，求圆P 的方程． 【解析】：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.9. 【2010全国新课标，文20】设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋22y b＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB|；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．即43x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝224222224(1)4(12)8(1)1(1)b b b b b b =+++－－－，解得b ＝2 10. 【2005全国，文22】 (本小题满分14分)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………………………9分 （Ⅱ）当121,3x x ==-时，二．能力题组1. 【2014全国，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A （B ）6 （C ）12 （D ）C2. 【2013课标全国，文10】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )．A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y 1)x -或y ＝1)x -C ．y 1)x -或y ＝1)x -D ．y 1)x -或y ＝1)x -【答案】：C3. 【2012全国新课标，文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为( )A B ． C ．4 D ．8【答案】 C【解析】设双曲线的方程为22221x y a a-=，抛物线的准线为x ＝－4，且||AB =A (－4，，B (－4，-)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4．4. 【2006全国，文9】已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )（A ）53 （B ）43 （C ）54 （D ）32【答案】A5. 【2005全国，文9】已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C ．23D ．3【答案】C6. 【2012全国新课标，文20】设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py ，得x 2－33px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故∆＝43p 2＋8pb ＝0，解得6p b =-. 因为m 的截距12p b =，1||3||b b =，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m的斜率为3-时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 三．拔高题组1. 【2010全国，文12】已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)，过右焦点F 且斜率为k (k＞0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF ＝3FB ，则k 等于( ) A ．．2【答案】：B2. 【2007全国，文11】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为( )(A) 13(B)33 (C)21 (D)23【答案】：D 【解析】∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴2a b =，∴224a b =，又∵222b ac =-，∴222244()a b a c ==-，∴2234a c =，∴2234c a =，∴c e a ==3. 【2007全国，文12】设F 1,F 2分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点，若点P 在双曲线上,且120PF PF ∙=，则12||PF PF +=( )(A)10(B)102(C)5 (D) 52【答案】：B4. 【2006全国，文11】过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为( ) （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+=【答案】D 【解析】5. 【2005全国，文10】设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A ．2D 1【答案】D【解析】22221x y a b +=，2(,0)F c ，则垂线x c =，22221c y a b +=，∴2224222222(1)()c a c b y b b a a a-=-==， ∴2||b y a =，22b PF a =，122F F c =，所以22b c a=，即a²-c²=2ac，即c²+2ac -a²=0，∴c a ==-，∴1c a =-±0<e<1，所以1c e a ==-6. 【2010全国，文15】已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________.【答案】：27. ）【2010全国，文22】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22x a－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． 【解析】：(1)由题设知，l 的方程为y ＝x ＋2.代入C 的方程，并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0，设B (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2224a b a -，x 1x 2＝－222224a a b b a +-， ①由M (1,3)为BD 的中点知122x x +＝1，故 12×2224a b a-＝1，即b 2＝3a 2， ②故c 2a ，所以C 的离心率e ＝ca＝2.故|BD |x 1－x 2|＝6.连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切．所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．8. 【2006全国，文22】（本小题满分１２分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
高二文科数学圆锥曲线基础训练(含答案)
高二文科数学圆锥曲线基础训练1．k 为何值时，直线y=kx+2和椭圆632x 22=+y 有两个交点 （ ）A ．—36<k<36B ．k>36或k< —36C ．—36≤k ≤36D ．k ≥36或k ≤ —36 【答案】B【解析】 试题分析：由⎩⎨⎧=++=632222y x kx y 可得 ：（2+3k 2）x 2+12kx+6=0，由△=144k 2-24（2+3k 2）＞0得k>36或k< —36，此时直线和椭圆有两个公共点。
2．抛物线4x y 2=上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( )A. 0B. 1516C. 78D. 1716【答案】A 试题分析：设M ()00,y x ，因为M 到焦点的距离为1,所以110=+x ，所以00=x ，代入抛物线方程4xy 2=得00=y 。
3．过点（0，1）与双曲线221x y -=仅有一个公共点的直线共有 （ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】D4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A.21B.23C.22D.33【答案】C5．若椭圆)0(122>>=+n m ny m x 和双曲线)0(122>>=-b a b y a x 有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅的值是（ ）A ．m-aB ．)(21a m - C ．22a m - D ．a m -【答案】A【解析】设P是第一象限的交点，由定义可知1212PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 12PF PF m a ∴=-6．已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（）A.17922=-y x B ．)0(17922>=-y x y C ．17922=-y x 或17922=-x y D ．)0(17922>=-x y x 【答案】D7．已知k ＜4,则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有 ( ) A. 相同的准线 B. 相同的焦点C. 相同的离心率D. 相同的长轴【答案】B8．抛物线)0(2<=a ax y 的焦点坐标是( )A .⎪⎭⎫⎝⎛0,21a B.⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0 C.⎪⎭⎫⎝⎛a 41,0 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 41,0 【答案】C9．抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）A. B. C.2 【答案】A10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两焦点分别为21,F F ，点A 在椭圆上，0211=⋅F F ，4521=∠AF F ，则椭圆的离心率e 等于 ( )A.33B.12-C.13-D. 215- 【答案】B 由0211=⋅F F AF 得112AF F F ⊥,又4521=∠AF F ，112AF F F ∴=即22b c a=，整理的2220c ac a +-=2210,1e e e ∴+-==11．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________【答案】1728122=+y x 【解析】试题分析：椭圆长轴的长为18，即2a=18，得a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=31•2a=6，得c=3，因此，b 2=a 2-c 2=81-9=72，再结合椭圆焦点在y 轴上，可得此椭圆方程为1817222=+y x . 12．过椭52x ＋42y ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求弦AB 的长_______【答案】35513．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .14．过点(1,2)总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是 .【答案】2k <<3k <<-【解析】2222150x y kx y k ++++-=表示圆需要满足22224(15)0k k +-->，解得33k -<<，又因为过圆外一点可以作两条直线与圆相切，所以点(1,2)在圆外，所以2221222150k k +++⨯+->，所以3k <-或2k >，综上所述，实数k 的取值范围是2k <<3k <<-15．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为5，则m ＝ .【答案】4±. 16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22。
专题10 圆锥曲线(文科)解答题30题 学生版--高考数学专题训练 (2)
专题14不等式选讲解答题30题1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数() 2 1f x x a x =-++，() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象，并求出其值域；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时，求不等式()9f x ≥的解集；(2)若()2f x >，求a 的取值范围.3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知a ，b 均为正数，且2226a b +=，证明：(1)2a b +≤(2)12a b +≥5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m ++≥．6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时，求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立，求a 的取值范围.9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =，2b =，求不等式()8f x >的解集；(2)若()f x 的最小值为1，求1123a b b+的最小值.10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+．（1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,4-（2）1a ≥-或5a ≤-．知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时，求不等式()10fx 的解集；(2)若()4f x 恒成立，求实数m 的取值范围.13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式217x x -+-；（2）若正实数,a b 满足1a b +=，求2211a b b a +的最小值．15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数()2R f x x m m =+-∈，，且()0f x <的解集为[3,1]--．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，的最大值.16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时，求不等式()8f x <的解集；(2)当[]1,2x ∈时，()0f x ≥，求a 的取值范围.17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若(),2x ∈-∞时，()0f x <，求m 的取值范围.综上，原不等式的解集为[)2,+∞；（2）解：当2m ≥时，因为(,2)x ∞∈-，所以由()0f x <可得()(4)()0m x x x x m -+--<，即2()(2)0x m x -->，显然恒成立，所以2m ≥满足题意；当2m <时，4(),2()2()(2),x m m x f x x m x x m-≤<⎧=⎨--<⎩，因为2m x ≤<时，()0f x <显然不能成立，所以2m <不满足题意；综上，m 的取值范围是[)2,+∞.18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，(1)求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值.20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题）已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集；(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ，若0a >，0b >，20a b m +-=，证明：189a b+≥.22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)若存在[]2,4x ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围.23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数()31f x x =-+．(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集；(2)若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)设,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证：2222222a b c a b cc b a+++++≥．25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数()11f x x x =-++.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.所以要是二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需12m +≥，即m 1≥.【点睛】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，以及二次函数与分段函数的性质的应用，着重考查了分类讨论与转化思想，以及推理与计算能力.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数()21,R f x x a a =-+∈，(1)当3a =时，求()f x 的最小值；(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知0,0a b >>，函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3．(1)求a b +的值；(2)求证：3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪．28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数()2f x a x x =-++．(1)当1a =付，求不等式()4f x ≤的解集；(2)若()2f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．(1)求证：115236a b -<；(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数()|21||1|f x x ax =++-．(1)当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若0a >时，存在x ∈R ，使得()12a f x <+成立，求实数a 的取值范围．。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)
1．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？详解：()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -，则2114x y =，2224x y =，抛物线的方程可变形为214y x =，则'2x y =， ∴直线PA 的斜率为01'|2PA x x xk y ===，∴直线PA 的方程()1112xy y x x -=-，化简()112x x y y =+，同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+，由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪=-⎨⎪⎩，∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{1x y ==是方程的解， ∴直线AB 经过定点()0,1．()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -，由()1可知2PAB x k =，2Q CD x k =， AB CD ⊥，14P Q AB CD x x k k ∴⋅==-，即4P Q x x =-，P x ∴，Q x 异号，不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q Px x =-， 44P Q P Q P PPQ x x x x x x ∴=-=-=+≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号， 即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值42．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=，又由e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=由韦达定理得1221214x x k =+,1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 详解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12c a =①将x c =代入22221x y a b+=，结合222a b c =+②，得2b y a =±，所以223b a =③，由①②③得2,a b ==故椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得331122P Q -（，），（，）或331122P Q -（，），（，），直线PQ 的方程为1x =②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，联立得22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（）， 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>21212228412,.(1)4343km m x x x x k k -+=-=++） 由1212121,(2)(2)4y y k k x x ==-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，整理得221212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++= 由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意； 当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)， 综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()0000,0Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E，取点(0,A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 详解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=，又因为椭圆C过点(P ，所以22421a b +=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(P .（2）由题意，E 点坐标为()0,0x ，设(),0D D x ，则(0,AE x =-，(,D AD x =-，再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=，即080D x x +=. 由于000x y ≠，故08D x x =-，因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故直线QG 的斜率00020088QG y x y k x x x =--=.又因()00,Q x y 在椭圆C 上，所以220028x y +=.①从而002QG x k y =-，故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭② 将②代入椭圆C 方程，得()222200021664160nxy x x x y +-+-=③再将①代入③，化简得：220020x x x x -+=解得0x x =，0y y =，即直线OG 与椭圆C 一定有唯一的公共点.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中120y y ≠.（1）若10x =，求OAB 的面积；（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形. 【详解】（1）当10x =时，代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1，此时直线l ：440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =，故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为，由对称性知OAB 的面积也是45，综上可知，当10x =时，OAB 的面积为45. （2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>，得212m >则12284m y y m +=-+，122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以0TA TB k k += 设(),0T t ，则()()()()()()()()122112121212111224TA TB y x t y x t my y t y y y y k k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++,解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形．6．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】 (1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=，解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 设直线l的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y 10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y +=，1221y y 4m -=+.直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以，1212y y0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=，22x my 0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m-⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ⎫⎪⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x轴时，Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.7．设椭圆22:182x y C +=，过点()2,1A 的直线AP ，AQ 分别交C 于不同的两点P 、Q ，直线PQ 恒过点()4,0B（1）证明：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值；（2）直线AP ，AQ 分别与x 轴相交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点G ，使得GM GN ⋅为定值?若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由.【详解】（1）设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ，直线PQ AP AQ 、、的斜率分别为12,,k k k ，由()22448y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()222214326480k x k x k +-+-= >0∆，可得：222121222132648,,41414k k k x x x x k k -<+==++，()()()()12121212121212121241412(61)16411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++2222222222648322(61)16416414814164832164241414k k k k k k k k k k k k k-⋅-+⋅++-++-+===----⋅+++（2）由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 同理4212x k =-，即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设x 轴上存在定点()0,0G x 则 ()()20000121212111112222GM GN x x x x k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()212001212122k k x x k k k k ⎛⎫+=-+-⋅+ ⎪⎝⎭()()20012121122x x k k k k ⎛⎫-=-+-⋅+⎪⎝⎭，要使GM GN ⋅为定值，即0021,3x x -==故x 轴上存在定点()3,0G 使GM GN ⋅为定值，该定值为18．如图,已知抛物线E :y 2=4x 与圆M :(x -3)2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B ,C ,D 四个点.(1)求r 的取值范围;(2)设四边形ABCD 的面积为S ,当S 最大时,求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【详解】(1)联立抛物线与圆的方程22224,(3),y x x y r ⎧=⎨-+=⎩消去y ,得x 2-2x+9-r 2=0.由题意可知x 2-2x+9-r 2=0在(0,+∞)上有两个不等的实数根,所以2244(9)0,90,r r ⎧∆=-->⎨->⎩解得3,即r. (2)根据(1)可设方程x 2-2x+9-r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2),则A (x 1),B (x 1, -C (x 2, -D (x 2且x 1+x 2=2,x 1x 2=9-r 2, 所以S=12(AB +CD )·(x 2-x 1)=12x 2-x 1) ==令∴(0,1),f (t )=S 2=4(2+2t )(4-4t 2)= -32(t 3+t 2-t -1), f'(t )= -32(3t 2+2t -1)= -32(t+1)(3t -1),可得f (t )在(0,13)上单调递增,在(13,1)上单调递减,即当t=13时,四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P 点坐标为(m ,0),由P ,A ,D 三点共线,21=1整理得m=--t=-13, 所以点P 的坐标为(-13,0).9．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>，离心率e =，短轴2b =点，以坐标轴为对称轴，焦点为()0,1， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥，当线段AB 的中点在轴上时，求直线AB 的方程． 【详解】 (1)由2e =得a =，又有b =222a b c =+，解得a = 所以椭圆方程为2212010y x +=由抛物线的焦点为()0,1得，抛物线焦点在y 轴，且12p=， 抛物线的方程为：24x y =(2)由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为：y kx =，0k >联立方程24y kx x y=⎧⎨=⎩得：24x kx =，可知点A 的横坐标4A x k =，即()24,4A k k因为OA OB ⊥，可设直线OB 方程为：1y x k=-连立方程22112010y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222012k x k =+，从而得x =若线段AB 的中点在y轴上，可知B x =B ⎛ ⎝有4k =0k >，解得k =从而得12A ⎫⎪⎭，()B 直线AB的方程：8180y +-=10．已知中心在原点的椭圆C 1和抛物线C 2有相同的焦点(1，0)，椭圆C 1过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设点P 为抛物线C 2准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 2的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；②若直线AB 交椭圆C 1于C ，D 两点，S ∴PAB ，S ∴PCD 分别是∴PAB ，∴PCD 的面积，试问：PAB PCDSS是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，请说明理由. 【详解】(1)因为抛物线C 2有相同的焦点(1，0),且顶点为原点,所以12p=,所以2p =, 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =,设椭圆方程为22221x ya b +=,则1c =且222211914a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得224,3a b ==, 所以椭圆1C 的方程为:22143x y +=.(2)①证明:设(1,)P t -,过点P 与抛物线24y x =相切的直线为(1)y t k x -=+,由2(1)4y t k x y x -=+⎧⎨=⎩,消去x 得24440t y y k k -++=, 由∴=244()4(4)0tkk--+=,得210k tk +-=, 则121k k =-.②设1122(,),(,)A x y B x y 由①得112,y k =222y k =,则12221211,x x k k ==,所以直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--,所以211222122(1)11k k y y x k k --=--,即122(1)y x k k =--+,即直线AB 恒过定点(1,0),设点P 到直线AB 的距离为d ,所以PAB PCDS S1||||21||||2d AB AB CD d CD ⋅==⋅,当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为(1)y k x =-, 设3344(,),(,)C x y D x y ,由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩,消去y 得2222(24)0k x k x k -++=, 0k ≠时,∴0>恒成立,||AB == 224(1)k k+=, 由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=,∴0>恒成立,则||CD == 2212(1)34k k+=+. 所以22224(1)12(1)34PAB PCD k S k k S k+=++22234144333k k k +==+>, 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 的方程为1x =,此时||4AB =,||3CD =,PAB PCDS S43=, 所以PAB PCDS S的最小值为43.11.已知过圆1C ：221x y +=上一点12E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥. 【详解】（1）直线OE l的方程为y ，则直线AB l的斜率AB k =. 所以AB l：y x =A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ，椭圆方程为：221443x y +=； （2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=，所以PM PN ⊥.②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+，又已知左顶点P 为()2,0-， ()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++2222234124123013k k k k k --++-==+，所以PM PN ⊥.综上PM PN ⊥得证.12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(),0A a -，(),0B a ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，且1213k k ⋅=-，椭圆的焦距长为4. （1）求椭圆C 的离心率；（2）过右焦点F 且倾斜角为30的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，分别记ABM ∆，ABN ∆的面积为1S 、2S ，求12S S -的值. 【详解】（1）设点()()000,P x y x a ≠，则2200221x y a b+=，①∵2000122200013y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==-+--，②∴联立①②得()()222230b a x a --=，∴()2203a a b x =≠，∴22222212133a b e a a c -===-=，∴e =. （2）由题意知，24c =，即2c =，由（1）知，223a b ，∴22224a b c b =+=+，∴22b =，26a =，∴椭圆C 的方程为：22162x y +=，由已知得l：)2y x =-.联立)2223162y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2210x x --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，得122x x +=，于是)12121212S S y x x -=⨯+=+13．（本小题满分12分）记抛物线2::2C y x =-的焦点为F ，点M 在抛物线上，(3,1)N -，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P Q ，两点．（1）求||||MN MF +的最小值；（2）若(2,2)M -，直线MP MQ ，的斜率都存在，且20MP MQ k k ++=；探究：直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）设抛物线C 的准线为l '，过点M 作1MM l '⊥，垂足为1M ，过点N 作1NN l '⊥，垂足为1N ，如图：则117||||||2MN MF MN MM NN +=+=，即||||MN MF +的最小值为72． （2）设直线l 的方程为()11,,y kx b P x y =+，()22,Q x y ，将直线l 与抛物线C 的方程联立得22y kx b y x=+⎧⎨=-⎩，222(22)0k x kb x b +++=，212122222,kb b x x x x k k --+== ① 又121222222MP MQ y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x bx x x x ++++-++-=--+-，将①代入得，222(1)0b b k b ---+=，即(1)(22)0b b k +--=，得1b =-或22b k =+， 当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-；当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)M -（舍去）． 综上所述，直线l 过定点(0,1)-．14．（本小题满分12分）已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =． （I ）求抛物线Γ的方程；（II ）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC 面积的最小值． 【解析】（I ）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-， 联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=， 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，∴抛物线的方程为2:2y x Γ=．（II ）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=，化简得：()0000y b x x y x b --+=，圆心()1,0到直线PB 的距离为11=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，∴,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -∴+=-，()()220002020042,()22x y x x bc b c x x +--=∴-=--， 由条件：2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ∴-=∴-=--，， ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--，当且仅当04x =时取等号， ∴PBC S △面积的最小值为8．15．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB ⋅=- （1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值． 【解析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，则焦点F 的坐标为02p（，）．设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+，，，，， 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>，∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=，，∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-，∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =．(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,，易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同，不妨设m n >，易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=，又圆心（0，1）到直线PM 的距离为11=，∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+，不难发现02y >，故上式可化为()2000220y m x m y -+-=，同理可得()2000220y n x n y -+-=，,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根，则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ，是抛物线C 上的点，∴2002x y =，则()()222042y m n y -=-，又02y >，∴02,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=，当且仅当()2024y-=时取得等号，此时004,y x ==±故△PMN 面积的最小值为8．16．（12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且2x p =C ()220y px p =>P Q POQ∆的面积为16（为坐标原点）. （1）求的方程；（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.【解析】（1）将代入，得，所以的面积为. 因为，所以，故的方程为.（2）证明：由题意设直线的方程为，由，得.设，，则，所以.因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以的横坐标为，所以，故为定值.17．（12分）已知椭圆2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线与椭圆C交于点E ，F ，过点E 作轴于点M ，直线FM 交椭圆C 于另一点N ，证明：． 【解析】（1）由题，，∴，， 故椭圆方程为； O C l C F l x C A B AB x D AB DF2x p =22y px =2y p =±POQ ∆21244162p p p ⨯⨯==0p >2p =C 24y x =l ()()10y k x k =-≠()214y k x y x⎧=-⎨=⎩()2222240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y 212224k x x k ++=212244k x x p AB k +=++=AB 212222x x k k ++=2kAB 22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭0y =223x k =+D 223k +2222312k D kF =+-=+2AB DF =2222:1(0)x y C a b a b +=>>y kx =EM x ⊥EF EN ⊥2c a =22c =a =1e =1b =2212x y +=（2）设，，，则，与椭圆方程联立得，由得，， ∴，即.18．（12分）如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（∴）求p 的值（用t 表示）； （∴）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围.注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切. 【解析】00(,)E x y ()00,F x y --00(),M x 000:()2FM y l y x x x =-()22222220002240x y x x y x x y x +-+-=2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+230002200322N x y x x x y +=+()0000000000022N N ENN N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===----00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-EF EN⊥（∴）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t tt >，又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222tpt =,则32t p =（∴）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+，联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=，则()()222420k kt tk t ∆=--=-=，因此2k t ，即直线MA的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k t y x t y t t t --====-+-，从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此2t MB t =-=2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===，即32732t S =，因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即31272432t ≤≤，解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值． 【解析】 （1）依题意，1b =，因为离心率c e a ===，=a = 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，所以NP x ∥轴．过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， 所以()12232450x x y -+-=， 即()()12232450x x x m -++-=， 整理得126450x x m ++-=．①由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+＞，解得22m -＜＜， 所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-．综上，m 的值为1-．20．（12分）已知直线2x p =与抛物线C ：()220y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ∆的面积为16（O 为坐标原点）． （1）求C 的方程．（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使AB DE为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将2x p =代入22y px =，得2y p =±，所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==． 因为0p >，所以2p =，故C 的方程为24y x =． （2）由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，所以212244||k AB x x p k+=++=． 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k++=，纵坐标为2k ， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭， 令0y =，得223x k =+，所以D 的横坐标为223k +，设(),0E t ，则()2223223t k DE t k k-+=+-=，()224432AB k DE t k +∴=-+， 所以当且仅当32t -=，即1t =时，AB DE为定值，且定值为2，故存在点E ，且E 的坐标为()1,0．21.已知直线l 与抛物线()2:20C x py p =>相交于,A B 两个不同点，点M 是抛物线C 在点,A B 处的切线的交点。
(完整)文科圆锥曲线大题复习
（完整）文科圆锥曲线大题复习高三数学圆锥曲线专题一．知识要点1、直线的斜率公式：k = tan a= 土二4（x丰x）（a为直线的倾斜角）x - x i 221两种常用的直线方程：（1）点斜式（2）斜截式2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有：①几何法（常用方法）若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r,则：d = r o直线与圆相切d < r o直线与圆相交d > r o直线与圆相离②代数法由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：A = 0o直线与圆相切A< 0 o直线与圆相离A> 0 o直线与圆相交3、圆的弦长若圆心到弦的距离为d，圆的半径为r,弦长是/，则l = 2工；r2 —d 2 .4、圆锥曲线的定义（包括长轴,短轴，实轴，虚轴,离心率，双曲线的渐近线等）（1）椭圆：（2）双曲线:（3）抛物线：x2 y2 x2 y25、点P（x , y）和椭圆——+ — = K a > b > 0）的关系：（1）点P（x , y）在椭圆外o -0- +与> 1 ；（2）点P（x , y）0 0 a2 b2 0 0 a2 b2 0 0在椭圆上o x0- +，=1；⑶点P（x , y）在椭圆内o x e- +，< 1a2 b2 0 0a2 b26、直线与圆锥曲线的位置关系：由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：（1）相交：A> 0 o直线与椭圆相交；A> 0 n直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有A> 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故A> 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；A> 0 n直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有A> 0，当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点，故A> 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
圆锥曲线高考真题训练题--解答题(文科)
圆锥曲线高考真题训练题--解答题（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，，，则的离心率为2. 已知抛物线的焦点为，是上一点，，则A. B. C. D.3. 已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是．则的面积为4. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为5. 设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是A. B.C. D.6. 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是B. D.7. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为8. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的心率为9. 已知，，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为A. B. C. D.10. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A. B. C.11. 已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则A. 且B. 且C. 且D. 且12. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是A.二、填空题（共14小题；共70分）13. 设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为．14. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．15. 设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为．16. 已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．17. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是．18. 椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是．若成等比数列，则此椭圆的离心率为．19. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．20. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为．21. 已知、是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为，则．22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．23. 在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为．24. 若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．25. 已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接，若，则椭圆的离心率．26. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为．三、解答题（共12小题；共156分）27. 已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．（1）若在线段上，是的中点，证明；（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．28. 设、分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．29. 在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（1）能否出现的情况?说明理由；（2）证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值．30. 在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为．（1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为的方程．31. 设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为．（1）求直线的斜率；（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．32. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．（1）求的轨迹方程；（2）当时，求的方程及的面积．33. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中为坐标原点，求．34. 在直角坐标系中，直线：交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点．（1）求；（2）除以外，直线与抛物线是否有其它公共点?说明理由．35. 已知点是椭圆的左顶点，斜率为的直线交椭圆于，两点，点在上，．（1）当时，求三角形的面积；（2）当时，证明：．36. 已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求．37. 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．38. 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．答案第一部分1. D2. C3. D4. A 【解析】，，，，中点，，．5. A【解析】假设椭圆的焦点在轴上，则时，当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则，，，解得：．当椭圆的焦点在轴上时，，当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则，，，解得：，所以的取值范围是．6. A 【解析】点在直线上，过作圆的两条切线，记该点对圆的张角为，则圆上存在点使得．由此知只需在直线上寻找对圆的张角等于的两点，，则线段上的点的横坐标范围即为所求．事实上，张角等于时，点与圆心及切点构成的四边形为正方形，易知．7. A 【解析】以线段为直径的圆与直线相切，所以原点到直线的距离，化为：．所以椭圆的离心率．8. B 【解析】由题可设椭圆方程为，直线的方程为，整理为，椭圆中心到直线的距离，所以，，所以．9. C10. A【解析】以线段为直径的圆与直线相切，所以原点到直线的距离，化为：．所以椭圆的离心率．11. A 【解析】由题意知，即，，代入，得，．12. C 【解析】设的直线方程为，将直线方程与圆方程联立消得，直线与圆有两个交点，即，所以的取值范围为．第二部分13.【解析】将圆方程化简为标准方程为，即圆心，半径，圆心到直线的距离为，所以，解得，，所以圆面积．14.【解析】由已知得，，，所以，设双曲线的左焦点为，则的周长为（当点、、共线时取等号），直线方程为，代入得，解得或（舍去），所以，直线，可得点到直线的距离为，所以．15.【解析】设为右支上的点，根据双曲线定义可知，又，所以，而，所以，由余弦定理，解得．16.17.【解析】由题意，得．直线的方程与椭圆方程联立，解得，，则．由，得，即，再结合可得，则．19.20.【解析】由题意，圆经过椭圆的三点为，，，故设圆心为．从而有，解得，半径为．故圆的标准方程为．21.【解析】设，则．根据题意，得于是解得，．【解析】根据题意知，，，，，直线的方程为①，直线的方程为②．由①②可得，所以．又因为在椭圆上，所以，即，所以，又因为，所以．【解析】当斜率存在时，设过点的直线方程为，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以得到，直线与圆方程联立，可以得到切点的坐标．当斜率不存在时，直线方程为，则得．根据，，可得直线的方程为，与轴的交点，即为上顶点坐标．与轴的交点，即为焦点坐标，，故椭圆方程为．【解析】双曲线的渐近线方程为，其与直线质知，右支上任意一点到直线的距离都大于．第三部分27. （1）连接，．由，及，得，所以，因为是中点，所以．所以，所以，．又，所以，所以（等角的余角相等），所以．（2）设，．，准线为，，设直线与轴焦点为，，因为，所以，所以，即．设中点为，由得，又，，即．所以中点轨迹方程为．28. （1）设为第一象限内的点．根据及题设知将代入，解得故的离心率为．（2）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故即由得设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得解得故29. （1）曲线与轴交于，两点，可设，，则，是方程的两根，有，由韦达定理可得，若，则，，即为这与矛盾，故不出现的情况．（2）设过，，三点的圆的方程为，由题意可得时，与等价．可得，，圆的方程即为，由圆过，可得，可得，则圆的方程即为，再令，可得，解得．即有圆与轴的交点为，，则过，，三点的圆在轴上截得的弦长为，所以过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值．30. （1）设，圆的半径为．由题设从而故点的轨迹方程为（2）设，由已知得又点在双曲线上，从而得由得此时，圆的半径由得此时，圆的半径故圆的方程为31. （1）设，为曲线：上两点，则直线的斜率为；（2）设直线的方程为，代入曲线：，可得，即有，，，再由的导数为，设，可得处切线的斜率为，由在处的切线与直线平行，可得，解得，即，由可得，，即为，化为，即为，解得，满足，则直线的方程为．32. （1）圆的标准方程设，圆心，则由题设知故即由于点在圆内部，所以的轨迹方程为（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．由于，故在线段的垂直平分线上．又在圆上，从而．因为的斜率为，所以的斜率为故的方程为．又，到，所以的面积为．33. （1）由题设，可知直线的方程为．因为直线与圆交于两点，所以，解得．所以的取值范围为．（2）设，．将代入方程，整理得．所以，．．由题设可得，解得，所以的方程是．故圆心在上，所以．34. （1）设点为，点为，点为．由题意，因为点在抛物线上，所以，所以．因为点是点关于点的对称点，且点为，所以得即点．所以直线的方程为：．因为点为直线与的交点，所以联立解得：（舍）或，所以，所以点的坐标为，．（2）由（1）可知，点，，所以直线的方程为：，联立消去得，，即．所以此方程组有两组相同的解，即直线与抛物线仅有一个交点．35. （1）由题意知，因为，且，所以为等腰直角三角形，所以，设点，由题意得，把代入椭圆方程得：解得：（舍），，所以．（2）设；；得．设，，所以，，，所以；同理；由，得；整理得：，得；即；设，，所以在递增；，，根据零点存在定理可知：．36. （1）因为圆与圆外切并且与圆内切，所以由椭圆的定义可知，曲线是以，为左，右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为（2）对于曲线上任意一点，由于所以，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为若的倾斜角为，则与轴重合，可得若的倾斜角不为，由知不平行于轴，设与轴的交点为，则可求得，所以可设．由与圆相切得解得当时，将代入并整理得解得所以当时，由图形的对称性可知．综上，37. （1）设，由题意可得，设，由点满足，可得，可得，，即有，，，可得，即有点的轨迹方程为圆．（2）设，，，可得，即为，解得，即有，的左焦点为，由，，由，可得过点且垂直于的直线过的左焦点．38. （1）由题意，得，．又因为，解得，，．故方程为．（2）由题意得不在顶点处，设，，即．又因为，，则直线，令，得．直线，令，得，，。
高三数学文科圆锥曲线大题训练(20个)(含答案)
高三数学文科圆锥曲线大题训练（含详细解答）1．已知椭圆22:416C x y +=. （1）求椭圆C 的离心率;（2）设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.2．已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）若以,OP OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程.3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过点A ，过O 作l 的平行线交椭圆C 于P ，Q 两点，如果以PQ 为直径的圆与直线l 相切，求l 的方程．4．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求四边形APBQ 面积的取值范围．5．已知椭圆的一个顶点为)1,0(-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线()0y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求m 的取值范围.6．已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程；（3）求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.7．如图，B A ,分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，F 为其右焦点，2是AF 与FB 的等差中项，3是AF 与FB 的等比中项． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 是椭圆C 上异于B A ,的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ 垂直于AP ，并交直线l 于点Q ．证明：B P Q ,,三点共线．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()0,1．圆22221:C x y a b +=+.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．9．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于,M N 两点,且8MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ,P 为l 上一点，求PM PN ⋅的最小值．10．已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 方程；（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标.11．已知点)1,2(A 在抛物线:E 2x ay =上，直线1:l 1y kx =+（R k ∈，且0k ≠）与抛物线E 相交于C B ,两点，直线AC AB ,分别交直线2:l 1y =-于点S ，T ．（1）求a 的值；（2）若S T =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.13．已知点()2,1P 在抛物线()21:20C x py p =>上，直线l 过点()0,2Q 且与抛物线1C 交于A 、B 两点。
(完整word版)圆锥曲线文科测试(含答案)
圆锥曲线（文科）1．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有 （ ） A ．221≥e eB ．42221≥+e eC ．2221≥+e eD ．2112221=+e e2．已知方程1||2-m x+my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．m<2B ．1<m<2C ．m<－1或1<m<2D ．m<－1或1<m<23 3．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +by 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是 （ ）4．已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( )A ．x ＝±y215 B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43D ．y ＝±x 435．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp11+等于A ．2aB ．a21C ．4aD ．a46．若椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（ ）A ．1716B ．17174 C ．54 D ．5527．椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是（ ）A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43 8．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则 △F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25 C ．2 D ．59．已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、 m 为边长的三角形是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形10．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 A ．2522x +7522y =1 B ．7522x +2522y =1 C ．252x +752y =1D ．752x +252x =111．已知点（－2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p =___ __。
圆锥曲线文科练习题
圆锥曲线文科练习题圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，也是文科生常常需要练习的题型之一。
它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线形式。
在解题过程中，我们需要掌握它们的定义、性质以及相关的计算方法。
下面，我们将通过几个具体的练习题来深入了解圆锥曲线。
练习题一：已知椭圆的焦点为F1（2，0），F2（-2，0），离心率为e=2/3，求椭圆的方程。
解析：椭圆的定义是离心率小于1的曲线，其焦点到任意点的距离之和等于常数2a。
根据已知条件，我们可以得到2a=6。
而椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中（h，k）为椭圆的中心坐标。
由于椭圆的中心坐标为（0，0），所以方程简化为x²/9+y²/b²=1。
由于离心率为e=2/3，所以b²=a²(1-e²)。
代入已知条件，可以求得b²=8。
因此，椭圆的方程为x²/9+y²/8=1。
练习题二：已知双曲线的中心为（0，0），焦点为F1（3，0），F2（-3，0），离心率为e=2，求双曲线的方程。
解析：双曲线的定义是离心率大于1的曲线，其焦点到任意点的距离之差等于常数2a。
根据已知条件，我们可以得到2a=6。
而双曲线的标准方程为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，其中（h，k）为双曲线的中心坐标。
由于双曲线的中心坐标为（0，0），所以方程简化为x²/9-y²/b²=1。
由于离心率为e=2，所以b²=a²(e²-1)。
代入已知条件，可以求得b²=18。
因此，双曲线的方程为x²/9-y²/18=1。
练习题三：已知抛物线的焦点为F（0，1/4），直线y=1/2x-1与抛物线交于两个点A和B，求点A和B的坐标。
圆锥曲线求方程真题练习(解析版)
圆锥曲线求方程真题练习（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．2．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；①PQ AB ∥；①||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.9．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．10．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析11．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.12．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.13．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．14．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.15．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ①x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.（1C 上. （①）求C 的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.17．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.18．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．19．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ：22221x y a b +=（ 0a b >>）右焦点的直线0x y +交 M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（①）求椭圆M 的方程； （①）C ， D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，长轴长为4，离心率为12．过点(4,0)Q 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线,AF BF 的斜率分别为()122,0k k k ≠，求证：12k k 为定值．。
文科圆锥曲线专题练习及问题详解
实用标准文案文科圆锥曲线1.设F1F2 是椭圆2 2x yE : 1(a b 0)2 2a b的左、右焦点，P 为直线3ax 上一点，2F2PF 是底角为30 的等腰三1角形，则 E 的离心率为（）( A) 12(B)23(C) (D)【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△ F PF 是底角为2 130 的等腰三角形，∴0PF2 A 60 ，| PF2 | | F1F2 | 2c，∴| AF2 |= c，∴32c a ，∴e=234，22.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线y 16x的准线交于A,B 两点，AB 4 3 ；则C的实轴长为（）( A) 2 (B) 2 2 (C) (D)【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：x 4 ，设等轴双曲线方程为：x2 y2 a2 ，将x 4 代入等轴双曲线方程解得y = 216 a ，∵| AB |=4 3 ，∴22 16 a = 4 3，解得a=2，∴C 的实轴长为4，故选 C.3.已知双曲线C1 ：2 2x y2 2 1(a 0,b 0)a b的离心率为 2.若抛物线 2C2 : x 2 py( p 0) 的焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2，则抛物线C的方程为2(A) 2 8 3x y (B)32 16 3x y (C)32x 8 y (D)2x 16y考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为 2 且双曲线中a，b，c 的关系可知b 3a，此题应注意C2 的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线y 3x的距离为2，可知p=8 或数形结合，利用直角三角形求解。
4.椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为x 4，则该椭圆的方程为（A）2 2x y16 121 （B）2 2x y12 81（C）2 2x y8 41（D）2 2x y12 41【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。
(完整word版)文科圆锥曲线专题练习及答案
文科圆锥曲线角形，则E 的离心率为()1 2 (A)(B)(C)—23【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 【解析】•••△ F 2PF 1是底角为300的等腰三角形，-PF 2A 600 , IPF 2I IF 1F 2I 2c ,「. | AF 2 |=c ,2. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线y 16x 的准线交于A,B 两点，AB 4^3 ；则C 的 实轴长为()(A) .2 (B) 2 2 (C) (D)【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题 【解析】由题设知抛物线的准线为： x 4，设等轴双曲线方程为： x 2 y 2 a 2，将x 4代入等轴双曲线方程解得 y =16 a 2 , v |AB |=4.3 ,••• 2 16 a 2 =4.3，解得 a =2,••• C 的实轴长为4，故选C.2 23. 已知双曲线C 1 :笃与1(a 0,b 0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2 2py(p 0)的焦点到双曲线G 的渐近线的距a b离为2,则抛物线C 2的方程为考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为 2且双曲线中a , b , c 的关系可知b , 3a ，此题应注意 C2的焦点在y 轴上，即(0, p/2)到直线y 3x 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
4.椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为x 4，则该椭圆的方程为(A) 2x2y_ 1 (B )2x 2y_ 1 16 1212 82 22 2(C ) xy 1 (D ) xy 18 412 4【命题意图】 本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。
通过准线方程确定焦点位置， 然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c ，从而得到椭圆的方程。
2 2 2以b a c 8 4 4。
故选答案C5.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2 y 2 2的左、右焦点，点 P 在C 上, | PF 1 | 2 | PF ? |，则cos RPF ?221.设F 1F 2是椭圆E : —22a b1(a b 0)的左、右焦点,3aP 为直线x 上一点,2F 2PF 1是底角为30°的等腰三(D) —(A) x 283 r y2 2(C) x 8y (D) x 16y【解析】因为2c 4 c 2，由一条准线方程为 x24可得该椭圆的焦点在 x 轴上县— 4a 2 4c 8，所c(B) x 2/八 1 33（A ） —（ B ） —（C ）-4 5 4【命题意图】 本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用, 半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
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2圆锥曲线（文科）1已知F i 、F 2是两个定点，点P 是以F i 和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且PF i 丄PF 2, e i 和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率,则有A . ee ? 22 ei2 2.已知方程— I m| 1 2 y=1 2 m表示焦点在y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是A . m<2 3 1<m<—22 4.已知椭圆二3m C . m< — 1 或 1<m<2D . m<— 1 或B . 1<m<2 3.在同一坐标系中, ) 5n 3n A . x —+ 上 y 2 5.过抛物线y=ax 2 （a > 0）的焦点 2m _ , <15 , £3 y 一 ± xC . x 一 ± y - 4 P 、 A . 2a B .丄 2a 2 F 用一直线交抛物线于 Q 两点, v —+ 3 y —± x 4 若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则丄 pC . 4a 2 y_ (a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F i 、F 2,线段 F i F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5:3两段, 则此椭圆的离心率为 7. 8. 椭圆 16 172 x 12 2 »=13 ± _34 B 4 1717 的一个焦点为F i ,点 P 在椭圆上 •如果线段 PF i 的中点M 在y 轴上，那么点 M 的纵坐标是（2设F i 和F 2为双曲线— 4 y 2 1的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足/ F i PF 2= 90°,则 △ F 1PF 2的面积是（2x 已知双曲线—a2 計利椭圆2x 2 m 2+每=1（a>0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以 b 2 a 、 b 、 m 为边长的三角形是A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角或钝角三角形 10.中心在原点，焦点坐标为（0, ± 5=2）的椭圆被直线3x — y — 2=0截得的弦的中点的横坐标为 丄，则椭圆方程为22 2 A.红+也=1 25 752 2 B .红+也=1 75 25 2 2C . —1 25 75 11.已知点（一2, 3）与抛物线y 2=2px （ p >0）的焦点的距离是2 2 D .・+・=1 75 255,贝y p= ____2 212•设圆过双曲线 ] 1=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是___________9162 213.双曲线x y = 1的两个焦点为F i 、F 2，点P 在双曲线上，若 PF i 丄PF 2，则点P 到x 轴的距离为 _________________________百 14.若A 点坐标为(1, 1) , F 1是5X 2 + 9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+ |P F 1|的最小值是 _______________________2 216•双曲线 笃 与1 ( a>1,b>0)的焦距为2c,直线I 过点(a,0)和(0, b),且点(1,0)到直线I 的距离与点(- a b 1,0)到直线l 的距离之和s > 4 c.求双曲线的离心率e 的取值范围52 2 ,—17.已知圆C 1的方程为(x - 2)2+(y — 1)2=竺，椭圆C 2的方程为 —+ -^=1 (a>b>0), C 2的离心率为空，如果 G 与C 2相交 3 a 2 b 2 2 于A 、B 两点，且线段 AB 恰为圆C 1的直径，求直线 AB 的方程和椭圆 C 2的方程。
圆锥曲线专题40大题练习（含答案）
圆锥曲线44道特训221.已知双曲线C：「-仁=1的离心率为心，点（V3,o）是双曲线的一个顶点.a-b'（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点旦作倾斜角为30°直线/，直线/与双曲线交于不同的A,3两点,求A3的长.22[2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆、+与=1（。
〉力〉0）的离心率为一，过椭圆右a2b22焦点F作两条互相垂直的弦A3与CQ.当直线A3斜率为0时，AB+CD=7.（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围.3.已知椭圆C：「+「=1（。
〉力〉0）的一个焦点为尸（1,0）,离心率为土.设P是椭圆Zr2C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线/交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求|PA|2+|PB|2的最大值.224.已知椭圆C：「+七=1（0〉力〉0）的右焦点为『（L°）,短轴的一个端点B到F的距离a'd等于焦距.（1）求椭圆。
的方程；（2）过点万的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,是否存在直线/,使得△3加与△B月V的面积比值为2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..2,25.已知椭圆C：=■+%■=1（a>b>0）过点p（—1,—1）-c为椭圆的半焦距，且c=姻b.过a"b~点P作两条互相垂直的直线L,L与椭圆C分别交于另两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L的斜率为一1,求APMN的面积；第1页共62页(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0)，离心率e=—.2(1)求椭圆£*的方程；(2)若直线l:y=kx+m(人主0)与椭圆E交于不同的两点A、B,且线段的垂直平分线过定点P(|,0),求实数女的取值范围.Ji7.已知椭圆E的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),离心率e.2(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l-.y=x+m(m^O)与椭圆E交于A、3两点，线段A3的垂直平分线交x 轴于点T,当hi变化时，求面积的最大值.8.已知椭圆错误!未找到引用源。
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文科圆锥曲线1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【答案】C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴322c a =，∴e =34， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =216a ±-，∵||AB =43，∴2216a -=43，解得a =2，∴C 的实轴长为4，故选C.3.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2833x y =(B) 21633x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。
通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县22448a a c c=⇔==，所以222844b a c =-=-=。
故选答案C5.已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。
首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知，2,2a b c ==∴=，设12||2,||PF x PF x ==，则12||||222PF PF x a -===，故12||42,||22PF PF ==，124F F =，利用余弦定理可得22222212121212(42)(22)43cos 2422242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯。
6. 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。
若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C.3 D. 2【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系.【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a '，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则222a a '=⨯，即2a a '=，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为c e a '='，c e a =，2e a e a '=='. 7.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、23C 、4D 、5 [解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（0,2p ），准线方程为x=2p-, 32)22(2||22,222,132p 22p -22202202=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离). 8.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.9.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14B. C. 12D.【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故5c e a ==.即椭圆的离心率为5. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.10.已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1[【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =. 又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.11.已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A14 B4 C 32 D 43分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率ace =即可。
解答：根据焦点坐标)0,3(知3=c ，由双曲线的简单几何性质知952=+a ，所以2=a ，因此23=e .故选C. 二 、填空题12.椭圆2221(5x y a a +=为定值，且5)a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
【答案】32，[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又522=-c a 32,2==∴=∴a c e c[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.13.）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．【答案】2。
【解析】由22214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，。
∴24===5c m m e a m++，即244=0m m -+，解得=2m 。
14右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），设l 与抛物线的交点为A B 、，根据题意，知A （-2，-2），B （2，-2）． 设抛物线的解析式为2ax y =， 则有()222-⨯=-a ，∴21-=a ．∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米，则y =-3，此时有6=x 或6-=x ．∴此时水面宽为62米．15.设P 为直线3by x a=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =16.已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b =【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b ，a b 2=，又双曲线12222=-b y a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。
三、解答题17.已知椭圆错误!未找到引用源。
（a>b>0）,点P （错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
）在椭圆上。
（I ）求椭圆的离心率。
（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。
【解析】(Ⅰ)点,)2P a 在椭圆上22222222211535211884a ab b e e a b a a ⇔+=⇔=⇔=-=⇔=(Ⅱ) 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；则(,0)A a222222(1cos )sin 13cos 16cos 50cos 3AQ AO a b a θθθθθ=⇔-+=⇔-+=⇔=直线OQ的斜率sin cos OQ b k a θθ==18..在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 【答案】【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=， 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=。