中考数学培优专题复习相似练习题及答案

中考数学培优专题复习相似练习题及答案

一、相似

1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.

（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;

（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值;

（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.

【答案】（1）解：AC是⊙O的切线

理由：，

，

作于，

是的角平分线，

，

AC是⊙O的切线

（2）解：连接，

是⊙O的直径，

,即 .

.

又 (同角) ，

∽ ,

（3）解：设

在和中，由三角函数定义有：

得：

解之得：

即的长为

【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的.

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．

【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC，

在中，

∵别是的中点，

∴EF∥AD，

∴ EF∥BC，

∴

∴

（2）解：如图1，过点Q作于，

∴QM∥BE，

∴

∴

∴（舍）或秒

（3）解：当点Q在DF上时，如图2，

∴

∴ .

当点Q在BF上时，，如图3，

∴

∴

时，如图4，

∴

∴

时，如图5，

∴

∴

综上所述，t=1或3或或秒时，△PQF是等腰三角形

【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作QM⊥EF 于M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽△BEF；再由△QM F ∽△BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为∠PFQ为钝角，所以只有PF = QF 。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有 PF=QF；PQ = FQ；PQ = PF 三种情况，因此所求的t值有四种结果。

3．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，

在中，

分别是的中点，

（2）解：如图1，过点作于，

（舍）或秒

（3）解：四边形为矩形时,如图所示：

解得：

（4）解：当点在上时，如图2，

当点在上时，如图3，

时，如图4，

时，如图5，

综上所述，或或或秒时，是等腰三角形

【解析】【分析】（1）要证△BEF∽△DCB，根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得证。根据三角形中位线定理可得EF∥AD∥BC，可得一组内错角相等，由矩形的性质可得∠C=∠A=∠BEF=，所以△BEF∽△DCB；

（2）过点Q 作QM⊥EF于M，结合已知易得QM∥BE，根据相似三角形的判定可得

△QMF∽△BEF，则得比例式,QM可用含t的代数式表示，PF=4-t，所以三角形

PQF的面积=QM PF=06，解方程可得t的值；

（3）因为QG⊥AB，结合题意可得PQ AB，根据相似三角形的判定可得QPF BEF，于是可得比例式求解；

（4）因为Q在对角线BD上运动，情况不唯一。

当点Q在DF上运动时，PF=QF；

当点Q在BF上运动时，分三种情况：

第一种情况;PF =QF ;第二种情况：PQ=PF；第三种情况：PQ=FQ。

4．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E.

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；

②若AE＝6，BE=8，则EF的长为________.

【答案】（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．

∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）

（2）60；

【解析】【解答】解：（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；

理由是：连接AO、OC．

∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°．

∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．

∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．

∵∠ACB=∠CAD+∠D．

∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四边形AOCE是平行四边形．

∵OA=OC，∴▱AOCE是菱形；

②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC．

∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴ = ．

∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴ = ，∴EF= =

．

故答案为：①60°；② ．

【分析】（1）由题意易证∠ABC=∠ACB，AB=CD；再由四点共圆和已证可得∠ABC=∠ACB=∠AEB，∠CED=∠AEB，则利用AAS可证得结论；

（2）①连接AO、CO.宪政△ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=CO可得结论；

②先证△ECD∽△CFB，可得EC：ED=CF：BC=6:8；再证△AEF∽△BCF，则AE：EF=BC：CF，从而求出EF.

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴