诱导公式示范课

同角三角函数的基本关系和诱导公式

【2013年高考会这样考】

1．考查同角三角函数的基本关系式．

2．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．

【复习指导】

本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律．

基础梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；

(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.

2．诱导公式

公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，其中k ∈Z .

公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，

tan(π＋α)＝tan α.

公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.

公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.

公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±

α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则

函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．

三种方法 在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．

(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．

(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….

三个防范

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．

(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．

A ．±12

B.12

C.32

D ．±32

解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，

∴sin α＝－12.∴cos α＝±1－sin 2α＝±32.

答案 D

2．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 解析 2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，

∴sin 2 011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin 31°＜0，

cos 2 011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos 31°＜0，

∴点A 位于第三象限．

答案 C

3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．

A.43

B.34 C ．±43 D ．±34

解析 ∵α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝34.

答案 B

4．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－17π4的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22

解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4π＋π4＝－sin π4＝－22.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－17π4＝22＋22＝ 2. 答案 A

5．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.

解析 由题意知cos α＜0，又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.

答案 －255

考向一 利用诱导公式化简、求值

【例1】►已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋αtan (π＋α)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31π3. [审题视点] 先化简f (α)，再代入求解．

解 f (α)＝sin αcos αcos αtan α＝cos α，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31π3＝cos 313 π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝cos π3＝12.

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．

【训练1】 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫9π2＋α的值为________． 解析 原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α

＝tan α，根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34. 答案 －34

考向二 同角三角函数关系的应用

【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2.

求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α

； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.

[审题视点] (1)同除cos α；

(2)利用1＝sin 2α＋cos 2α，把整式变为分式，再同除cos 2α.

解 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9

＝－1. (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α

＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1

＝1.

(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．

【训练2】 已知sin α＋3cos α3cos α－sin α

＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________. 解析 依题意得：tan α＋33－tan α

＝5，∴tan α＝2. ∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α

＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1

＝25. 答案 25

考向三 三角形中的诱导公式

【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．