诱导公式示范课
《诱导公式》示范公开课教学课件【高中数学人教】
答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．也
可以在转化为锐角的过程中应用：
任意角的 三角函数
用公式 三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三 角函数
2
（2）sin 8π ＝sin(2π+ 2π
3
3
)＝sin 2π ＝sin(π－π )＝sin
3
3
π 3
＝
3；
2
（3）sin(
16π)＝－sin
3
16π 3
＝－sin(5π+
π 3
)＝－(－sin
π 3
)＝
3；
2
（4）tan(－2 040°)＝－tan 2 040° ＝－tan(6×360°－120°)
诱导公式
复习引入
问题1 前面我们学习了六组诱导公式，你能默写出来吗？并试着说明它 们分别是由单位圆的哪些性质得到的？
答案：公式一：“周而复始”的性质． sin(π＋k∙2π)＝ sin α， cos(π＋k∙2π)＝ cos α， tan(π＋k∙2π)＝ tanα．其中k∈Z． 公式二：“周而复始”的性质． sin(π＋α)＝－ sin α， cos(π＋α)＝－ cos α， tan(π＋α)＝ tanα．
)
cos(π
)
cos(
π 2
)
cos(11π 2
)
．
cos(π )sin(3π )sin(π )]sin(9π )
2
( sin )( cos )( sin )cos[5π ( π )]
1.3三角函数的诱导公式课件(公开课)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
作业
课本习题1.3A组2,3
1.3三角函数旳诱导公式
三角函数旳诱导公式（第一课时）
学习目的 :
（1）了解识记诱导公式（二、三、四）； （2）了解和掌握公式旳内涵及构造特征，会 初步利用诱导公式求三角函数旳值； （3）会进行简朴三角函数式旳化简和证明。
一.复习回忆
任意角三角函数旳定义
设α是一种任意角，它旳终边与单位圆交于点P(x，y)，
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
cos
5
6
cos
6
3 2
例2 化简
cos180 • sin 360 sin 180 • cos 180 .
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
2sin3 cos 2 tan
练习：利用定义和公式一求下列角旳三个三角
函数值：
(1)30 (2)750 （3）210
(4) - 30
360 2 30
180 30
观察所画旳图并思索： ①（１）与（２）旳角旳终边有什么关系？
②（１）与（３）旳角旳终边有什么关系？
③（１）与（４）旳角旳终边有什么关系？
问题探究
相等
1.终边相同旳角旳同一三角函数值有什么关系?
3
4
3
4
3
4
3
2
《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《诱导公式（第二课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（2π±α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT 课件．资源引用：【知识点解析】诱导公式五和六的认识 【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图（一）新知探究引导语：通过上一节课的研究，我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式，这些都是三角函数的对称性．本节课沿着上一节课的思路继续进行．问题1：通过圆关于原点、x 轴、y 轴对称，我们得到了诱导公式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．预设的师生活动：教师根据学生完成情况，挑选如下内容进行展示．其他拓展内容视情况而定，可以展示，也可以由学生课下交流．预设答案：（1）提出问题：如图1，点P 1关于直线y ＝x 的对称点◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标图2P 5，以OP 5为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：如图1，以OP 5为终边的角β都是与角2π－α终边相同的角，即β=2k π＋(2π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π－α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 5（x 5，y 5），由于P 5是点P 1关于直线y ＝x 的对称点，可以证明：x 5＝y 1，y 5＝x 1． 根据三角函数的定义，得sin （2π－α）＝y 5，cos （2π－α）＝x 5． 从而得 公式五 （2）提出问题：如图2，点P 1关于直线y ＝x 的对称点P 5，再作P 5关于y 轴的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函数值之间有什么关系？解：接上一题．如图2，以OP 6为终边的角β都是与角2π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(2π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探求角2π＋α与α的三角函数值之间的关系即可． 设P 6（x 6，y 6），由于P 6是点P 5关于y 轴的对称点，因此有：x 6＝－x 5，y 6＝y 5． 根据三角函数的定义，得sin （2π＋α）＝y 6，cos （2π＋α）＝x 6． 从而得 公式六 （3）提出问题：如图3，点P 1关于x 轴的对称点是P 7，再作P 7关于直线y ＝x 的对称点P 6，又能得到什么结论？以OP 6为终边的角β与角α有什么关系？角β与角α的三角函sin （2π＋α）＝cos α， cos （2π＋α）＝－sin α． sin （2π－α）＝cos α， cos （2π－α）＝sin α．图4数值之间有什么关系？解：略．★资源名称：【知识点解析】诱导公式五和六的认识★使用说明：本资源展现“诱导公式五和六的认识”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 追问：除了上面的两次对称关系，角2π＋α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？预设的师生活动：如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动，如果学生没有想到，则由教师提出这个追问，促进学生思考．预设答案：角α的终边旋转2π角，就得到角2π＋α的终边． 如图4，由两个三角形全等易得点P 8与P 1坐标间关系，进一步可得公式六． 设计意图：通过设置问题1，一方面，使学生更加深入地了解圆具有丰富的对称性，另一方面，让他们通过类比，不断地利用数形结合的思想方法，提高自己提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、几何直观等核心素养．问题2：回顾利用公式一～公式四，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，并且建立了流程图的求解程序，那么公式五或公式六的作用是什么？可能在哪个环节用到这两组公式？预设的师生活动：在学生思考展示的基础上互相交流，并完善．预设答案：利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．如图5所示可以在变成锐角的过程中发生作用．公式一～六都叫做诱导公式(induction formula)．设计意图：基于前述的求解程序，进行理性思考，完善求解程序，帮助学生提升运算素养．例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝－cos α；（2）cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π3＝sin α． 例4 化简：()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-αααααααα2π9sin πsin π3sin πcos 2π11cos 2πcos πcos π2sin ． 追问：观察题目中的角，对比诱导公式，根据图4，应该怎样化简转化为公式的形式？ 预设的师生活动：学生更具问题的引导，独立思考，并求解．学生展示时紧扣图4进行． 预设答案：例3 证明：（1）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π3＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+α2ππ＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-α2π＝－cos α； （2）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+α2π3＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++α2ππ＝－cos ⎪⎭⎫⎝⎛+α2π＝sin α． 例4 解：原式＝()()()()()()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---αααααααα2ππ4sin πsin πsin cos 2ππ5cos sin cos sin图5＝()()[]⎪⎭⎫⎝⎛+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---ααααααα2πsin sin sin cos 2πcos cos sin 2＝－sin αcos α＝－tan α．设计意图：引导学生理性思考，有序解题，完善求解程序，提升数学运算素养． 例5 已知sin （53°－α）＝15，且－270°＜α＜－90°，求sin （37°＋α）的值．追问：观察题目中的角，它们有怎样的关系？和哪个诱导公式接近？能不能通过换元，使得已知角与所求角之间关系更加明了？由此你确定的求解思路是怎样的？预设的师生活动：让学生通过观察，自己思考并回答． 预设答案：分析：注意到（53°－α）+（37°＋α）=90°，如果设β＝53°－α，γ= 37°＋α，那么β+γ=90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．于是sin γ＝sin （90°－β）＝cos β．因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°． 由sin β＝51＞0，得143°＜β＜180°． 所以cos β＝－1－sin 2θ＝－2511⎪⎭⎫⎝⎛-＝－562．所以sin （37°＋α）＝sin γ＝－562． 设计意图：引导学生学会观察分析，进行理性思考，学会有序求解，提升数学运算素养． （二）归纳小结问题3：教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）你学到了哪些基本知识，它们的作用是什么？能解决什么问题？求解的程序是什么？（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外，仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？（3）能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：以学生的独立思考，展示交流，互相补充为主．教师予以及时的点拨．★资源名称：【知识点解析】5.3 诱导公式知识导图★使用说明：本资源给出了本节知识结构框图，针对本节内容进行知识点梳理，有助于理解和掌握本节的知识结构．适合教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：（1）本单元学习了三角函数的基本性质——诱导公式；这些诱导公式体现了三角函数的对称性，在求三角函数值时，它们还具有转化作用，另外，还可以实现正弦与余弦的相互转化；求解程序略．基本的思想是：负角变正角，大角变小角．（2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公式．（3）通过观察发现，如果是一个角加2π的奇数倍，那么变换后会改变三角函数的名字；如果是一个角加2π的偶数倍，那么变换后会不改变三角函数的名字．设计意图：梳理小结，一方面帮助学生进一步明确求解的程序．另一方面，通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程，进一步认识诱导公式的本质．第三，通过观察形式，分析特点，总结记忆方法，从另一个角度认知诱导公式，进行抽象概括．（三）布置作业 教科书习题5.3． （四）目标检测设计 计算或化简： （1）cos665π； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π431； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π326； （4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ25； （5）sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ211＝－cos α．预设答案：（1）－23；（2）22；（3）3；（4）sin α；（5）－cos α． 设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况．。
《诱导公式(第一课时)》示范课教学设计【高中数学】
《诱导公式（第一课时）》教学设计1．借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（π±α，－α的正弦、余弦、正切）；通过经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，发展直观想象素养．2．初步应用诱导公式解决问题，积累解题经验，发展数学运算素养．教学重点：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明． 教学难点：诱导公式的有效识记和应用．PPT 课件． （一）新知探究 引导语：我们知道，圆最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，可以根据三角函数定义，利用圆的对称性，研究三角函数的对称性． 问题1：如图1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P 1，作P 1关于原点的对称点P 2．（1）以OP 2为终边的角β与角α有什么关系？（2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？预设的师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和条理思路．2245xyO π+aa P 2P 1图2图1 ◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆◆ 教学目标预设的答案：如图2，以OP 2为终边的角β都是与角π＋α终边相同的角，即β=2k π＋(π＋α)（k ∈Z ）．因此，只要探究角π＋α与α的三角函数值之间的关系即可．设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．因为P 2是点P 1关于原点的对称点，所以x 2＝－x 1，y 2＝－y 1．根据三角函数的定义，得sin α＝y 1，cos α＝x 1，tan α＝y 1x 1（x 1≠0）； sin(π＋α)＝y 2，cos(π＋α)＝x 2，tan(π＋α)＝y 2x 2（x 2≠0）． 从而得：公式二设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解决问题做好奠基工作．追问1：应用公式二时，对角α有什么要求？预设答案：只要在定义域内的角α都成立．追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？ 预设答案：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系．从形的角度研究．第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二．体现了联系性． 追问3：角π＋α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？预设答案：按逆时针方向旋转角π得到的．设计意图：追问1旨在帮助学生理解角α的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．问题2：借助于平面直角坐标系，类比问题1，你能说出单位圆上点P 1的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．预设的师生活动1：先由学生独立思考，尽量多地写出点P 1的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点P 1关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如y=x ；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．预设答案：单位圆上点P 1的特殊对称点：第一类，点P 1关于x 轴、y 轴的对称点；第二类，点P 1关于特殊直线的对称点，如y ＝x ，y ＝－x ；第三类，点P 1关于x 轴的对称点，再关于特殊直线的对称点．或者是点P 1关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点．等等．预设的师生活动2：针对如上结论，从第一类到第三类依次解决．第一课时可以先解决第一类．预设答案：1．如图3，作P 1关于x 轴的对称点P 3：以OP 3为终边的角β都是与角－α终边相同的角，即β=2k π＋(－α)（k ∈Z ）．因此，只要探究角－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P 3(x 3，y 3)．因为P 3是点P 1关于x 轴的对称点，所以x 3＝x 1，y 3＝－y 1．根据三角函数的定义，得sin α＝y 1，cos α＝x 1，tan α＝y 1x 1（x 1≠0）； sin(－α)＝y 3，cos(－α)＝x 3，tan(－α)＝y 3x 3（x 3≠0）． 从而得：公式三2．如图4，作P 1关于y 轴的对称点P 4：以OP 4为终边的角β都是与角π－α终边相同的角，即β=2k π＋(π－α)（k ∈Z ）．因此，只要探究角π－α与α的三角函数值之间的关系即可．设P 4(x 4，y 4)．因为P 4是点P 1关于x 轴的对称点，所以x 4＝－x 1，y 4＝y 1．根据三角函数的定义，得sin （－α）＝－sin α，cos （－α）＝cos α，tan （－α）＝－tan α． 图3sin α＝y 1，cos α＝x 1，tan α＝y 1x 1（x 1≠0）； sin(π－α)＝y 4，cos(π－α)＝x 4，tan(π－α)＝y 4x 4（x 4≠0）． 从而得：公式四追问4：公式三和公式四中的角α有什么限制条件？预设答案：三角函数定义域内的角α．设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是一个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解决问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．例1 利用公式求下列三角函数值：（1）cos 225°；（2）sin 3π8；（3）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π16；（4）tan （－2 040°）． 追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？预设的师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．预设答案：（1）cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22； （2）sin 3π8＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2π2＝sin 3π2＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3ππ＝sin 3π＝23； （3）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π16＝－sin 3π16＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3ππ5＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--3πsin ＝23； （4）tan(－2 040°)＝－tan 2 040° ＝－tan(6×360°－120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－3．设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解决问题．问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？预设的师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．预设答案：利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．例2 化简：cos(180°＋α)·sin(α＋360°)tan(-α-180°)·cos(-180°＋α)． 追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？预设的师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．预设答案：tan(－α－180°)＝tan ［－(180°＋α)］＝－tan(180°＋α)＝－tan α， cos(－180°＋α)＝cos ［－(180°－α)］＝cos(180°－α)＝－cos α，所以，原式＝-cos α·sin α(-tan α)·(-cos α)＝－cos α． 设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．（二）梳理小结问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？预设的师生活动：学生自主总结，展示交流．预设答案：（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．（2）学到了三组诱导公式．研究方法是数形结合，注重联系．设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的研究铺路奠基．（三）布置作业教科书习题．（四）目标检测设计计算：（1）cos(－420°)； （2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π67； （3）tan(－1 140°)；（4）cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π677； （5）tan 315°； （6）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411． 预设答案：（1）21；（2）21；（3）－3；（4）23-；（5）－1；（6）22-． 设计意图：检测学生对基本知识和基本及基本技能的掌握情况．。
《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案【高中数学】
《三角函数的诱导公式（一）》教学设计◆教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．◆教学重难点◆教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））设计意图：情境导入，引入新课。
【探究新知】问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，tan（α＋k·2π）＝tanα，其中k∈Z.即终边相同的角的同一三角函数值相等．问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα.问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin (π＋α)＝－sinα． 追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 求值：(1)sin (-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°；（2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) 原式=-sin 60°+cos (180°-60°)+sin (360°+30°)+cos (180°+30°) =-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°1122=+=（2 cos1012cos102︒=︒.反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。
教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。
教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。
教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。
教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。
学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。
教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。
教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。
同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。
教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。
诱导公式的应用教学课件
在积分运算中的应用
积分运算
诱导公式在积分运 算中有着广泛的应 用，通过诱导公式 可以将复杂的积分 问题化简为简单的 计算。
三角函数积 分
利用诱导公式，可 以快速求解三角函 数的积分，提高解 题效率。
拓展应用
诱导公式不仅在积 分运算中有应用， 还可以拓展到其他 数学领域，如求解 微分方程等。
04
诱导公式的应用 实例
诱导公式的应用教 学课件
目录
01 诱导公式的基本概念 02 诱导公式的基本应用 03 诱导公式的拓展应用 04 诱导公式的应用实例 05 诱导公式的注意事项
01
诱导公式的基本 概念
诱导公式定义
基本概念
诱导公式是三角函数中一些具有 特殊性质的恒等式。
应用领域
诱导公式在三角函数的化简、求 值、证明等方面有广泛应用。
导公式来解决一些复杂的数学问题。
解决实际问题
三角函数的图像变换
诱导公式可以应用于三角函数的图像变换中， 例如平移、伸缩和对称变换等，以帮助我们更
好地理解和分析函数的性质。
03
诱导公式的拓展 应用
在解三角形中的应用
解决角度问题
诱导公式可以用于解决解三角形 中的角度问题，通过将角度转换 到已知的坐标系中，简化计算过 程。
角度的化简
利用诱导公式，将角度化简到0到 360度之间，便于后续的三角函数 计算。
特殊角的三角函数值
利用诱导公式，求出特殊角的三 角函数值，为解决实际问题提供 基础数据。
三角函数的求值
在解决三角函数的求值问题时，需 要将角度与弧度制进行转换，利用 诱导公式简化计算。
利用诱导公式，可以快速求出特殊 角的三角函数值，如30°、45°、 60°等。
三角函数诱导公式2名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
3
求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
4
3、已知tan 1，求值
3
sin3( ) cos(2 ) tan(2 )
诱导公式
第二课时
诱导公式一:
sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα
诱导公式（二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
Sinα=MP1,cosα=OM
Sin(π/2+α)=NP2;
π/2+α P2
cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1 Sin(π/2+α)=cosα
NO
cos(π/2+α)= -Sinα
P1 α M
函数名称变，符号看象限
思索：公式
Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα旳证明措施
sin( 2 ) cos( 3 ) tan( ) tan(3 )
2
2
4、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
《 诱导公式(第二课时)》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
答案：（1）
3 2
；
（2）
2 2
； （3）
3 ； （4）sin α； （5） cosα ．
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
诱导公式
第二课时
新知探究
问题1 通过圆关于原点、x轴、y轴对称，我们得到了诱导公 式二、三、四，你还能找到一些特殊的直线对称，或者两次对 称，类比前面的方法，写出相应的问题，并解决吗？试一试．
公式二
sin（π＋α）＝－sin α， cos（π＋α）＝－cos α，
tan（π＋α）＝tan α．
新知探究
归纳小结
问题3 教师引导学生回顾本单元学习内容，并回答下面问题：
（2）我们已经知道诱导公式是三角函数的性质，是圆的对称性的代数 化，据此，你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式？此外， 仅仅观察6组诱导公式的形式特征，你还能怎样记忆这些公式？ （2）只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的，这种变化中点 的坐标的关系是怎样的，就可以记住公式，而且还可以进一步推广公 式．
sin（37°＋α）的值．
解：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β． 于是sin γ＝sin（90°－β）＝cos β． 因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜ 323°． 由sin β＝1 ＞0，得143°＜β＜ 180°． 5
新知探究
例3 已知sin（53°－α）＝ 1 ，且－270°＜α＜－90°，求 5
例2
化简：
2
2
．
cos(π α)sin(3π α)sin(π α)sin(9π α)
2
解：原式
sin 2
α
cos α
cos(
诱导公式复习课公开课课件
诱导公式在研究三角函数的图象和性质时也发挥了重要作 用，如利用诱导公式推导三角函数的周期性、对称性等性 质。
解三角形问题
在解三角形问题中，诱导公式常用于处理与角度和边长相 关的问题，如利用诱导公式计算角度或利用三角函数性质 推导边长关系。
数学竞赛中诱导公式的解题技巧
1 2
熟悉常见诱导公式的形式
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
01
诱导公式简介
诱导公式的定义
诱导公式是指通过三角函数的诱导公式来求解三角函数值的方法。诱导公式是三 角函数中常用的一类公式，用于将任意角度的三角函数值转化为已知角度的三角 函数值。
诱导公式通常包括正弦、余弦、正切等函数的诱导公式，通过这些公式可以将任 意角度的三角函数值转化为0度到360度之间的角度的三角函数值。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
诱导公式复习课公开 课课件
目录
CONTENTS
• 诱导公式简介 • 诱导公式的分类与记忆 • 诱导公式的推导与证明 • 诱导公式的应用与解题技巧 • 诱导公式的综合练习与提高 • 诱导公式在数学竞赛中的应用
REPORT
CATALOG
解析
利用诱导公式将角度转换为225° = 180° + 45°，再利用 余弦函数的周期性和奇偶性，得到cos(225°) = -cos45° 。
解题思路与技巧总结
思路
首先识别角度是否可以通过诱导 公式转换为0°到360°之间的角度 ，然后利用三角函数的性质进行 计算。
技巧
熟练掌握诱导公式，注意角度的 周期性和奇偶性，灵活运用三角 函数的基本性质。
(2024年)三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件
三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。
三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。
正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。
正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。
余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。
通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。
小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。
小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。
教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。
教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。
课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。
中职数学基础模块上册《诱导公式》公开课课件
技巧一
应用场景
技巧二
应用场景
利用特殊角的三角函数值进行 求解。
当题目中给出的角度为特殊角 （如$30^{circ}$、 $45^{circ}$、$60^{circ}$等 ）时，可以直接利用特殊角的 三角函数值进行求解，提高解 题效率。
利用三角函数的周期性进行求 解。
当题目中给出的角度较大时， 可以利用三角函数的周期性将 其转化为较小角度进行计算， 简化解题过程。例如，将 $390^{circ}$转化为 $30^{circ}$进行计算。
中职数学基础模块上册《诱导公式 》公开课课件
目录
• 课程引入 • 诱导公式基本概念 • 三角函数值与诱导关系探究 • 实例演练与技巧分享 • 课堂互动环节 • 总结回顾与作业布置
01 课程引入
回顾前期知识
复习三角函数的基本 概念，如正弦、余弦、 正切等。
引导学生回忆之前学 过的与三角函数相关 的公式和定理。
其他同学可以针对代表的 汇报进行提问和补充，形 成积极的课堂互动氛围。
通过分享交流环节，学生可 以相互学习和借鉴，拓展自 己的解题思路和方法。
06 总结回顾与作业布置
总结本节课重点内容
诱导公式的基本概念
通过单位圆的对称性，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数 进行计算。
诱导公式的推导过程
利用单位圆、三角函数线以及对称性，推导出诱导公式。
02 诱导公式基本概念
诱导公式定义及作用
定义
诱导公式是指通过角度的变换， 将一种三角函数的求值问题转化 为另一种易于求解的三角函数的 求值问题的公式。
作用
诱导公式在三角函数的化简、求 值、证明以及解决一些实际问题 中有着广泛的应用，是三角函数 部分的重要内容。
《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案高中数
目录
• 课程介绍与目标 • 知识回顾与铺垫 • 诱导公式推导与理解 • 典型例题分析与解答 • 课堂互动与讨论环节 • 知识拓展与延伸思考 • 课堂总结与作业布置
01
课程介绍与目标
Chapter
示范课背景
三角函数是高中数学的重要内容，诱导公式是三角函数 知识体系的基础。
诱导公式的逆运用思考
已知三角函数值求角度
通过诱导公式，我们可以将任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值，进而通过查表或计算求出相应的角度。
简化三角函数的计算
利用诱导公式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为 简单的形式，从而方便进行计算和求解。
证明三角恒等式
诱导公式在证明三角恒等式时也有重要作用。通过运用诱 导公式，我们可以将不同的三角函数表达式进行转化和化 简，从而证明它们之间的恒等关系。
学生需要掌握诱导公式，以便更好地理解和应用三角函 数。
本节课将通过示范教学，帮助学生深入理解和掌握诱导 公式的应用。
教学目标与要求
知识目标
01
理解并掌握三角函数的诱导公式。
能力目标
02
能够运用诱导公式解决与三角函数相关的问题。
情感、态度和价值观目标
03
培养学生严谨的数学思维习惯，增强数学学习的兴趣和信心。
相关数学史话介绍
三角函数的起源
三角函数起源于古代的天文学和地理学，人们为了研究天体运行和地理测量而发明了三角 函数。在古代，人们使用弦表等工具来计算三角函数值。
欧拉公式与三角函数
欧拉公式是数学中的一个重要公式，它将三角函数和复数相关联。通过欧拉公式，我们可 以将三角函数的计算转化为复数的运算，从而简化计算过程。
《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《诱导公式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】诱导公式(第二课时)示范公开课教学设计【高中数学人教版】教学目标：1. 知识目标：学习掌握诱导公式的原理和应用方法，能够运用诱导公式解决相关数学问题。
2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和推理能力，提高解决实际问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作和交流能力。
教学重点：1. 掌握诱导公式的概念和基本性质。
2. 理解诱导公式的应用方法。
3. 运用诱导公式解决相关的数学问题。
教学难点：1. 综合运用诱导公式解决复杂的问题。
2. 培养学生的逻辑思维和推理能力。
教学准备：1. 教学课件和教辅资料。
2. 板书工具和学习用具。
3. 学生小组活动所需材料。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师简要复习上节课所学的诱导公式的概念和基本性质，并提问学生以回顾巩固。
2. 引入本节课的主要内容，明确学习目标和重点。
二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过课件和板书，详细讲解诱导公式的应用方法和解题思路，包括基本类型和常见的变式。
2. 示范解决一个简单的例题，引导学生逐步掌握解题的步骤，注意计算过程和思维逻辑。
三、应用练习（20分钟）1. 学生个别或小组完成练习题，运用诱导公式解决。
教师巡回指导和解答疑惑。
2. 学生自主思考和讨论，提高解题的灵活性和准确性。
3. 随机选几位学生上台展示解题过程，帮助全班学生共同理解。
四、拓展应用（15分钟）1. 教师提供一道较复杂的诱导公式应用题，引导学生在小组内进行合作解答。
2. 学生展示解题过程，并分析解题策略和思考方法，共同探讨解决难题的思路。
3. 教师给予肯定和指导，提供更多的拓展资料供学生继续挑战。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结课堂所学的知识要点和解题技巧，梳理思路。
2. 学生在笔记本上整理相关知识，做好归纳和总结。
六、课堂反思（5分钟）1. 教师带领学生反思课堂的学习过程和效果，了解学生的收获和问题。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式示范课教学设计
第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲点击：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2.理解同角三角函数的基本关系式：高考分析：高考对本节的考查主要集中在利用诱导公式或同角三角函数基本关系式求值上，题型多为选择题、填空题，主要考查学生运算能力和逻辑推理能力，由于本节知识的基础性，试题难度不大，属于易得分题．教学过程：一、基础知识梳理1. 同角三角函数的基本关系式2.诱导公式师生活动：学生课前自主完成，生生相互订正，教师强调各知识点的应用。
xcos xsin x tan 1x cos x sin 22==+x cos xsin x tan 21x cos x sin )1(22==+）商数关系：（平方关系：二、基础自测())(()()())A 23cos(21)A sin()(5cos ,0tan ,54sin )(423D 23C 21B 21A cos ,21)sin()(322D 22C 42B 42A tan 0,2,31cos 2012233D 33C 3B 3A 330tan 20121=-π=+π=θ>θ-=θ±±=α=α+π--=α⎪⎭⎫⎝⎛π-∈α=α--=︒，那么如果教材改编则若教材改编则已知教材改编则若陕西咸阳模拟浙江台州第一模拟考试 设计意图及师生活动：设计了5个小题帮助生回顾基础知识和方法。
让学生给出答案，如有问题师生共同订正答案。
学生出错的题目由生自主订正，不会的题目教师讲解。
三、聚焦考向透析考向一：同角三角函数关系及应用[例1] （2013·枣庄月考）已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 〔思路点拨〕（1）由已知式和平方关系式求出sin α和cos α，再利用商数关系求出tan α。
三角函数诱导公式(公开课)ppt课件
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
THANKS
教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
诱导公式市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
新知探究
题型探究
感悟提升
第8页
【活学活用 1】 已知 sin π6＋α＝ 33，求 cos π3－α的值．
解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－π6＋α.
∴cos π3－α＝cos π2－π6＋α
＝sin
π6＋α＝
3 3.
新知探究
题型探究
感悟提升
第9页
类型二 利用诱导公式证明恒等式
【例 2】
新知探究
题型探究
感悟提升
第24页
＝－scinosx－π2＋π2xtan x ＝co－s sxitnanx x＝－1＝右边． ∴原式成立．
新知探究
题型探究
感悟提升
第25页
课堂小结 学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·π2 ±α(k∈Z)”的诱导公式．当 k 为偶数时，得 α 的同名函数值； 当 k 为奇数时，得 α 的异名函数值，然后前面加一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号”，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看 象限.
＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ
新知探究
题型探究
感悟提升
第12页
＝ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ2＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ.
右边＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11＝ttaann
温馨提示：判断函数值符号时，虽然把α看成锐角，但实际上α可 认为任意角．
新知探究
题型探究
感悟提升
第3页
互动探究 探究点 1 你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
课时1诱导公式(一) (经典公开课)
二、提出问题 1．在直角坐标系中的单位圆上，角 α 关于 x 轴对称的角 β 能用角 α 表示 吗？角 β 的三角函数值与角 α 的三角函数值有什么关系？ 2．在直角坐标系中的单位圆上，角 α 关于 y 轴对称的角 β 能用角 α 表示 吗？角 β 的三角函数值与角 α 的三角函数值有什么关系？ 3．在直角坐标系中的单位圆上，角 α 关于原点对称的角 β 能用角 α 表示 吗？角 β 的三角函数值与角 α 的三角函数值有什么关系？
第五章
三角函数
5.3 诱导公式 课时1 诱导公式(一)
三角函数的诱导公式是在学习了任意角的三角函数定义及同角三角函数 的基本关系的基础上总结出的一组诱导公式．诱导公式渗透了把未知问 题化归为已知问题的数学思想，为三角函数求值、化简、证明以及研究 三角函数的图象和性质问题奠定了基础，本节内容起到承上启下的作用． 本节课首先借助单位圆研究 π＋α，－α，π－α 的终边与角 α 的终边的对 称关系，推导出诱导公式二、三、四，并用语言进行概括总结，最后通 过例题、练习应用诱导公式进行三角函数的求值与化简．
(A )
A．－1132
B．1123
C．±1123
D．152
解析：由 cos(α－π)＝－153，得 cos α＝153.又 α 为第四象限角，所以 sin(－
2π＋α)＝sin α＝－ 1－cos2α＝－1123.
典例 2
已知 cosπ4－α＝－13，则 cos34π＋α的值为
1 3
.
解析：cos34π＋α＝cosπ－π4－α
已知 sin54π＋α＝ 23，则 sin34π－α的值为( D )
A．12
B．－12
C．
3 2
D．－
3 2
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同角三角函数的基本关系和诱导公式【2013年高考会这样考】1．考查同角三角函数的基本关系式．2．考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用．【复习指导】本讲复习时应紧扣三角函数的定义，理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式；特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻，可通过适量训练加强理解，掌握其规律．基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法 在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12B.12C.32D ．±32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12.∴cos α＝±1－sin 2α＝±32.答案 D2．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，∴sin 2 011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin 31°＜0，cos 2 011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos 31°＜0，∴点A 位于第三象限．答案 C3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±34解析 ∵α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝34.答案 B4．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝－sin π4＝－22.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝22＋22＝ 2. 答案 A5．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析 由题意知cos α＜0，又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.答案 －255考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (π＋α)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31π3. [审题视点] 先化简f (α)，再代入求解．解 f (α)＝sin αcos αcos αtan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31π3＝cos 313 π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝cos π3＝12.(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．【训练1】 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________． 解析 原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34. 答案 －34考向二 同角三角函数关系的应用【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2.求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.[审题视点] (1)同除cos α；(2)利用1＝sin 2α＋cos 2α，把整式变为分式，再同除cos 2α.解 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．【训练2】 已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________. 解析 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2. ∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 答案 25考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[审题视点] 要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sin A ＋cos A ＝2知先求角A ，进而求其他角．解 由已知可得 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝2， 因为0＜A ＜π，所以A ＝π4. 由已知可得3cos A ＝2cos B ，把A ＝π4代入可得cos B ＝32，又0＜B ＜π，从而B ＝π6，所以C ＝π－π4－π6＝7π12.在△ABC 中常用到以下结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos C 2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin C 2. 【训练3】 若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．解 由条件得：－sin A ＝－2sin B ，即sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得：sin 2 A ＋3cos 2 A ＝2⇒2cos 2 A ＝1，cos A ＝±22.若cos A ＝－22，则cos B ＝－32，A ，B 均为钝角不可能．故cos A ＝22，cos B ＝32，故A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.阅卷报告3——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．错因 忽视隐含条件，产生了增解725.实录 由题意知，sin θ＋cos θ＝15，∴()sin θ＋cos θ2＝125，∴sin 2θ＝－2425，∵θ∈(0，π)，∴2θ∈(0,2π)，∴cos 2θ＝±1－2sin 2 2θ＝±725.正解 由题意知，sin θ＋cos θ＝15.∴(sin θ＋cos θ)2＝125.∴sin 2θ＝－2425.即2sin θcos θ＝－2425＜0，则sin θ与cos θ异号，又sin θ＋cos θ＝15＞0，∴π2＜θ＜3π4，∴π＜2θ＜3π2.故cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.【试一试】 已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.[尝试解答] ∵sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)．∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169.∴sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，∴x 1＝1213，x 2＝－513， 又sin θcos θ＝－60169＜0，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ＝1213，cos θ＝－513.∴tan θ＝sin θcos θ＝－125.。