高考数学大一轮总复习 第三章 第3讲 导数的综合应用课件 理

【例 1】设函数 f(x)＝ex－x 1，x≠0. (1)判断函数 f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)证明：对任意正数 a，存在正数 x，使不等式|f(x)－1|＜a 成立．
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【思路点拨】(1)利用导数的办法，通过导数大于或小
于 0 判断函数的单调性．
ex－x－1 (2)先将|f(x)－1|化为|f(x)－1|＝ x ，从而原不等式 ex－x－1 化为 x ＜a，即 ex－(1＋a)x－1＜0.令 φ(x)＝ex－(1＋
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4. 已知函数 f(x)＝ex＋aln x 的定义域是 D，关于函数 f(x)
给出下列命题：
①对于任意 a∈(0，＋∞)，函数 f(x)是 D 上的减函数；
②对于任意 a∈(－∞，0)，函数 f(x)存在最小值；
③对于任意 a∈(0，＋∞)，使得对于任意的 x∈D，都有
f(x)＞0 成立；
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解析：利润 y＝y1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝－6x2＋ 36x，解 y′＞0 得 0＜x＜6；解 y′＜0 得 x＞6；所以当 x＝6 时，y 取得最大值．
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2. 某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产 一单位产品，成本增加 100 元，已知总营业收入 R 与年产量
函数，
所以 h(x)＞h(0)＝0.
故 f′(x)＞0，
即函数 f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
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ex－x－1 (2)|f(x)－1|＝| x |， 当 x＞0 时，令 g(x)＝ex－x－1，则 g′(x)＝ex－1＞0，
故 g(x)＞g(0)＝0，
ex－x－1 所以|f(x)－1|＝ x ，
可以判断函数有最小值，②正确．
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③画出函数 y＝ex(x＞0)，y＝aln x 的图象，如图：显然不 正确．
④令函数 y＝ex 是增函数，y ＝aln x 是减函数，所以存在 a∈ (－∞，0)，f(x)＝ex＋aln x＝0 有 两个根，正确．
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5. 把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三 角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是 2 3 cm2.
300x－21x2－20000 0≤x≤400 ， 40000 x＞400
而 P′(x)＝3000－x＞x 4000≤ x≤400 ，令 P′(x)＝0，易
知 x＝300 时，P 最大．
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3. 若 f(x)＝lnxx，0＜a＜b＜e，则有( C )
A．f(a)＞f(b)
B．f(a)＝f(b)
ex－x－1 原不等式化为 x ＜a，即 ex－(1＋a)x－1＜0，
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令 φ(x)＝ex－(1＋a)x－1，则 φ′(x)＝ex－(1＋a)， 由 φ(x)＝0 得：ex＝1＋a，解得 x＝ln(1＋a)． 当 0＜x＜ln(1＋a)时，φ′(x)＜0； 当 x＞ln(1＋a)时，φ′(x)＞0. 故当 x＝ln(1＋a)时，φ(x)取最小值 φ[ln(1＋a)]＝a－(1＋ a)ln(1＋a)，
x 的关系是 R＝R(x)＝400x－21x2 0≤x≤400 ，则总利润 60000＋100x x＞400
最大时，每年生产的产品是(D )
A．100
B．150
C．200
D．300
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解析：由题意得，总成本函数为 C＝C(x)＝20000＋100x，
所 以 总 利 润 函 数 为 P ＝ P(x) ＝ R(x) － C(x) ＝
a)x－1，利用导数研究它的单调性和最值，最后得到存在
正数 x＝ln(1＋a)，使原不等式成立．
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xex－ex－1 x－1ex＋1
【解答过程】(1)f′(x)＝
x2
＝
x2
，
令 h(x)＝(x－1)ex＋1，则 h′(x)＝ex＋ex(x－1)＝xex，
当 x＞0 时，h′(x)＝xex＞0，所以 h(x)是(0，＋∞)上的增
C．f(a)＜f(b)
D．f(a)f(b)＞1
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解析：：因为 f(x)＝lnxx，所以其导数
lnx′x－lnx·x′ 1－lnx
f′(x)＝
x2
＝ x2 .
令 f′(x)＞0，解得 0＜x＜e，
即 f(x)＝lnxx在区间(0，e)上单调递增，
因为 0＜a＜b＜e，所以 f(a)＜f(b)．
④存在 a∈(－∞，0)，使得函数 f(x)有两个零点．
其中正确命题的序号是 ②④ .(写出所有正确命题的序
号)
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解析：v 由对数函数知函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ex＋ax， ①因为 a∈(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ex＋ax＞0，f(x)是增函
数．所以①不正确，
②因为 a∈(－∞，0)，所以存在 x 有 f′(x)＝ex＋ax＝0，
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第3讲 导数综合应用
ppt精工厂生产的机器销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)
的函数：y1＝17x2，生产总成本 y2(万元)也是产量 x(千台)的
函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( A )
A．6 千台
B．7 千台
C．8 千台
D．9 千台
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令 s(a)＝1＋a a－ln(1＋a)，a＞0， 则 s′(a)＝1＋1a2－1＋1 a＝－1＋aa2＜0. 故 s(a)＜s(0)＝0， 即 φ[ln(1＋a)]＝a－(1＋a)ln(1＋a)＜0. 因此，存在正数 x＝ln(1＋a)，使原不等式成立．
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【温馨提示】利用导数证明不等式要考虑构造新的函 数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比 如要证明对∀x∈[a，b]都有 f(x)≥g(x)，可设 h(x)＝f(x)－g(x)， 只要利用导数说明 h(x)在[a，b]上的最小值为 0 即可．
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解析：设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的 边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为 S＝ 43x2＋ 43(4－x)2 ＝ 23x2－2 3x＋4 3.令 S′＝ 3x－2 3＝0，则 x＝2，所以 Smin＝2 3.
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一 运用导数证明不等式问题