第1章 电磁场矢量分析 答案khdaw

[解] I
r 2 sin rdrd d 。
xˆxz 2 yˆ x2 y z 3
v
zˆ 2xy y 2 z dv
5
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z 2 x 2 y 2 dv
v
a 2 2 r 2r 3 sin drd d
00 0
a
1 r5 50
cos
2 0
2
2 a5 5
1.13 / 1.3-1 设 A
(c r ) 2c
cr
xˆ
yˆ
zˆ
x
y
z
xˆ cx cx yˆ c y c y zˆ cz cz 2C
cy z cz y czx cxz cx y cyx
6
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1
1.16 / 1.3-4 已知 r xˆx yˆy zˆz , r (x 2 y 2 z 2 ) 2 ，试证(a)
[证] (a)
r r3
xˆ x2
x
3
y2 z2 2
yˆ x2
y
3
y2 z2 2
zˆ x2
z
3
y2 z2 2
r r3
3 x2
x x2
x
3
y2 z2 2
y
y
x2
y2
3
z2 2
3
1
y2 z2 2 3 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 0 x2 y2 z2 3
z
z
x2
y2
3
z2 2
(b)
rrn r n r r rn
[解] (a) 1. B C yˆ5 yˆ8 yˆ3
A B C xˆ2 yˆ3 zˆ yˆ3 9
2. A B yˆ 8 1 zˆ3 xˆ12
AB C C A B
xˆ2 zˆ5 xˆ12 yˆ7 zˆ3 24 15 9
(b) 1. A (B C ) xˆ2 yˆ3 zˆ yˆ3 xˆ3 zˆ6
2 A (B C ) B A C C A B
[解]
rˆ r xˆx yˆy zˆz xˆ cos yˆ cos zˆ cos
r
x2 y2 z2
cos
x
, cos
y
, cos
x2 y2 z2
x2 y2 z2
z x2 y2 z2
cos2 cos 2 cos 2 1 , 得证.
1.2 / 1.1-2 设 xy 平面上二矢径 ra 、 rb 与 x 轴的夹角分别为 、 ，请利用 ra rb 证明 cos( ) cos cos sin sin 。
00
00
11 1 2 22
上二积分结果相同,故
A dv A ds
v
s
zˆ dxdy
1.12 / 1.2-5 应用散度定理计算下述积分： I [xˆxz2 yˆ x2 y z3 zˆ(2xy y2z)] ds , s
1
s 是 z=0 和 z (a 2 x 2 y 2 ) 2 所围成的半球区域的外表面，球坐标体积元为
( xˆx
yˆy) 1 xy
，求点（1，0，0）处的旋度及沿 lˆ1
( yˆ
zˆ) / 2
方向和 lˆ2 (xˆ yˆ) / 2 方向的环量面密度。
[解]
A xˆ Az Ay yˆ Ax AZ zˆ Ay Ax
yz
zX
xy
zˆ y x zˆ 1 x y2 x y
A
zˆ
1,0,0
A lˆ1 1,0,0
(b) [rˆf (r)] 0 ， rˆ r ， f (r) 是 r 的函数。 r
rˆ 0 ;
[证] (a)
xˆ
yˆ
zˆ
rˆ
r
r
x
y
z
x
y
z
1
x2 y2 z2 2
1
x2 y2 z2 2
1
x2 y2 z2 2
xˆ z 2y y 2z yˆ x 2z z 2x zˆ y 2x x 2 y 0
3
3
3
2 x2 y2 z2 2
1
14
c 1 ,b 2 ,a
14
14
3 或c 14
1 ,b 14
2 ,a 3
14
14
1.7 / 1.1-7 已知三个矢量如下： A xˆ2 yˆ3 zˆ ， B xˆ zˆ4 ， C xˆ2 zˆ5 ，请用两
种方法计算(a) A (B C ) ；(b) A (B C ) ；(c) ( A B ) C 。
xˆ yˆ zˆ (c) A B 1 9 1
2 43
xˆ( 27 4) yˆ( 2 3) zˆ( 4 18) xˆ31 yˆ5 zˆ14
1.4 / 1.1-4 用两种方法求 1.1-3 题矢量 A 和 B 的夹角 。
1
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[解 1] A B AB cos
cos A B
x
y
z2 2 x 2z z
A
2248
2,1,2
y x2
(b)
B
0
xy
(c)
AB
zˆ2x3 zˆxy2 yˆyz 2 xˆx2 z 2
x2z2
yz 2
2x 3 xy 2
2xz 2 z 2
x
y
z
AB 2 ,1, 2
2 2 22 22 12
1.9 / 1.2-2 设 A xˆ2x yˆy zˆ3z ， x2 y 2 ，请用两种方法计算
1 2
A lˆ2 1,0,0
0
1.14 / 1.3-2 求下列矢量场的旋度： (a) A xˆx yˆ2 y 2 zˆ3z ；
(b) B xˆ(x2 y 2 ) yˆ( y2 z 2 ) zˆ(z 2 x2 ) 。
[解] (a)
A xˆ 3z 2 y 2 yˆ x 3z zˆ 2 y 2
x0
y
z
zx
2 x2 y2 z2 2
2 x2 y2 z2 2
xˆ
yˆ
zˆ
(b)
rˆf r
x
y
z
xf r
yf r
zf r
1
x2 y2 z2 2
1
x2 y2 z2 2
1
x2 y2 z2 2
xˆ zf r 2y 3 2 x2 y2 z2 2
zf r
2y
yf r 2z
yf r 2z
x2
y2
1
z2 2 2 x2
y2
1
z2 2
x
y
(b) B xˆ z2 x2
y2 z2 yˆ x2 y2
z2 x2 zˆ y2 z2
x2 y2
y
z
z
x
x
y
xˆ2z yˆ2x zˆ2y 2 xˆz yˆx zˆy
1.15 / 1.3-3 设常矢量 c xˆcx yˆcy zˆcz ，矢径 r xˆx yˆy zˆz ，试证 [证] c r xˆ cy z cz y yˆ cz x cx z zˆ cx y cy x
42
35 2407
0.7134
1.5 / 1.1-5 设 A xˆ yˆb zˆc ， B xˆ yˆ3 zˆ8 ，若使(a) A
和 c 应为多少？
[解] (a) A B ,则 A B 0,故
B ，或(b) A // B ，则 b
A B 1 3b 8c 0
b, c满足8c
1
3b即可,
如:b=1,c=
35
35
0.7134
AB 1 81 1 4 16 9 83 29
44.49 [解 2] A B nˆAB sin
sin
AB
312 52 142
1182 0.7008
AB
83 29
83.29
[解 3]
44.49
2
AB
A2
A2 cos
44.49
B 2 2 AB cos 1 52 42
B2
2
AB
2 AB
83 29 42 2 83 29
xˆ zˆ4 4 5 xˆ2 zˆ5 2 4
.
xˆ9 zˆ36 xˆ12 zˆ30 xˆ3 zˆ6
(c) 1. A B C xˆ12 yˆ7 zˆ3 xˆ2 zˆ5
yˆ 60 6 zˆ14 xˆ35 xˆ35 yˆ66 zˆ14
2. A B C C A B A C B B C A xˆ2 yˆ3 zˆ 22 xˆ zˆ4 9
1.3 / 1.1-3 A xˆ yˆ9 zˆ ， B xˆ2 yˆ4 zˆ3 ，求：(a) A B ; (b) A B ; (c) A B
[解] (a) A B = xˆ(1 2) yˆ(9 4) zˆ(1 3) xˆ yˆ5 zˆ4
(b) A B = xˆ xˆ2 yˆ9 yˆ4 zˆ zˆ3 2 36 3 35
[解] 设 ra xˆra cos yˆra sin rb xˆrb cos yˆrb sin
则 ra rb ra rb cos cos rarb sin sin
因 ra 、 rb 夹角为
,如图所示,有
ra rb ra rb cos(
)
比较上二式得 cos(
) cos cos
sin sin , 得证.
[证] 参看图 1.2-5,但各边长为 1,则
Adv
2x x y dv
111
3x
y dxdydz
3
1
2
v
vห้องสมุดไป่ตู้
000
22
A ds 1 1 xˆ yˆy zˆyz xˆdydz 1 1 zˆyz
00
00
s
xˆ dydz 1 1 xˆx 2 yˆx zˆz yˆdxdz 00
1 1 xˆx 2
00
yˆ dxdz 1 1 xˆx2 yˆxy zˆy zˆdxdy 1 1 xˆx2 yˆxy
2 x2
y2
3
z2 2
2 x2
y2
z2
yˆ xf r 2z 3 2 x2 y2 z2 2
a b c。
2
[解] A // B ,则 A B 0 ,故
xˆ yˆ zˆ A B 9 6 3 xˆ 6c 3b yˆ 3a 9c zˆ 9b 6a 0
ab c
2c b 0
a 3c 0
即
3b 2a 0
b 2c a 3c
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又因 B2 a2 b2 c2 1,得 (9 4 1)c2 1, c
1 2
;b
2, c
7; 8
(b) A // B ,则 A B 0 ,故
AB
xˆ yˆ zˆ 1 b c xˆ 8b 3c yˆ c 8 zˆ 3 b 0
1 38
8b 3c 0 c 8 0 得 b=3, c= -8
3b 0 1.6 / 1.1-6 设 A xˆ9 yˆ6 zˆ3, B xˆa yˆb zˆc ，为使 A // B ，且 B 的模 B=1，请确定
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x
yz
6 x 2 y 2 4x 2 2 y 2 10x 2 8 y 2
A
10 32 42
1,2,3
1.10 / 1.2-3 已知矢径 r
xˆx yˆy zˆz , r (x2
1
y 2 z 2 ) 2 ，试证:(a)
( r ) 0;
r3
(b) (rr n ) (n 3)r n 。
4
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(清华版)
钟顺时 延晓荣 钮茂德
上海大学通信与信息工程学院 2006.06
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目录
第 1 章 矢量分析…………………………………………1～13 第 2 章 电磁场基本方程…………………………………14～22 第 3 章 静电场及其边值问题的解法……………………23～53 第 4 章 恒定电场和恒定磁场……………………………54～67 第 5 章 时变电磁场和平面电磁波………………………68～82 第 6 章 平面电磁波的反射与折射………………………83～99 第 7 章 电磁波的辐射与散射……………………………100～107 第 8 章 天线基础…………………………………………108～125
xˆ44 yˆ66 zˆ22 xˆ9 zˆ36 xˆ35 yˆ66 zˆ14
3
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1.8 / 1.2-1 已知 A xˆ2x yˆxy zˆz 2 ，B xˆy yˆx2 ，在点（2，1，2）处，试求：(a) A ;
(b) B ; (c) ( A B ) 。
[解] (a) A (2x) xy
点的值。
[解] 1. A x2 y 2 xˆ2x yˆy zˆ3z
( A) 在（1，2，3）
A
2x x2 y2
y x2 y2
3z x2 y2
x
y
z
2 x2 y2 2x 2x x2 y2 y 2y 3 x2 y2 10x 2 8y 2
A
10 32 42
1,2,3
2.
A
AA
x2 y2
2x
y
3z xˆ2x yˆy zˆ3z xˆ2x yˆ2 y
r x y z3 xyz
rn
n
x2 y2 z2 2
n x2
y2
z2
n1 2
2 xˆx
yˆy
zˆz
rnr n 2
2
rr n 3r n r rnr n 2 n 3 r n
1.11 / 1.2-4 设电场强度 E xˆx2 yˆxy zˆyz ,对直角坐标系第一象限内的正立方体，每边均
为单位长，其中一个顶点位于坐标原点，请验证散度定理成立。
有关任课老师注意：本题解未经作者同意，请不要拷贝，以防难免传给学生，以致形成学生 中广泛流传、抄袭，后果严重！
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1 1.1 / 1.1-1 矢径 r xˆx yˆy zˆz 与各坐标轴正向的夹角分别为 , , 。请用坐标(x,y,z)来
表示 , , ,并证明 cos2 cos 2 cos 2 1