特征数字.ppt
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数字特征和茎叶图(课堂PPT)
用样本分布直方图去估计相应的总体分布时， 一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接 近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布 规律，即越精确地反映了总体在各个范围内取值 百分比。
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
1. 众数、中位数、平均数
一 、复习众数、中位数、平均数的概念
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数．
频率 组距
0.6
0.5
频率分布直方图 思考：小长方形面 积、对应这个组的
频率、这个组占的 比例的关系。
0.4
0.3
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月均用水量/t
频率 组距
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频率分布直方图
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月均用水量/t
（2）样本容量越大，这种估计越精确。
（3）当样本容量无限增大，组距无限缩小， 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑
曲线——总体密度曲线。
总体密度曲线
频率 组距
月均用 水量/t
ab
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的 百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总 体分布的工具.
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处 在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的中位数．
2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征
1. 众数、中位数、平均数
一 、复习众数、中位数、平均数的概念
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数．
频率 组距
0.6
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频率分布直方图 思考：小长方形面 积、对应这个组的
频率、这个组占的 比例的关系。
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月均用水量/t
频率 组距
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频率分布直方图
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月均用水量/t
（2）样本容量越大，这种估计越精确。
（3）当样本容量无限增大，组距无限缩小， 那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑
曲线——总体密度曲线。
总体密度曲线
频率 组距
月均用 水量/t
ab
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
总体密度曲线
总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的 百分比,精确地反映了总体的分布规律。是研究总 体分布的工具.
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处 在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的中位数．
随机信号的数字特征 PPT课件
相关函数描述了随机序列不同时刻的状态 之间的关联性
平稳随机序列相关函数的三种定义
Rxx ( m ) E[ x( n) x ( n m )]
* * R ( m ) E [ x ( n ) x ( n m )] xx * R ( m ) E [ x ( n) x( n m )] xx
离散随机信号及数字特征
• 一、随机信号及其分类 随机信号：不能用确定性函数来描述，只能用统
计方法研究
随机信号的几种形式 连续随机信号：时间和幅度均取连续值 随机序列：时间变量取离散值，幅度取连续值 幅度离散随机信号：幅度取离散值，时间变量取 连续值的随机信号。如随机脉冲 随机数字信号：幅度和时间均取离散值
2 11 2 21 var X 2 N 1
二、随机信号的数字特征
随机信号常用的数字特征是各种平均特性 及相关函数、协方差 1 平均：在各态历经的情况下 均值(一阶矩)
m x E[ x(n)]
直流分量
x(n) p( x, n)dx
2Байду номын сангаас
方差(二阶中心矩 ) 均方值(二阶矩)
交流功率
2
x
E{[ x( n) m x ] }
Rxy ( m ) R xy ( m ) Rxy ( m )
实平稳随机序列
Rxx (m ) R xx ( m ) Rxx ( m )
(m ) Rxy ( m ) Ryx ( m ) Ryx
自协方差函数
C x ( m ) E{[ x( n) m x ][ x( n m ) m x ]} Rx ( m ) m 2 x
(原创)人B版(2019)数学-必修第二册-第五章+概率与统计-§1.2数据的数字特征PPT
（4）实际应用中，除了中位数外，经常使用的是 25% 分位数（简 称为第一四分位数）与 75% 分位数（简称为第三四分位数）.
例1.计算上述尝试与发现中甲、乙两组数的75%分位数.
解：因为数据个数为 20，而且： 20 75% 15
因此，甲组数的
75%
分位数为：
x15
2
x16
9 10 2
9.5
（2）按照定义可知， p% 分位数可能不唯一.
（3）设一组数按照从小到大排列后为 x1, x2,..., xn ，计算 i np% 的值，
如果 i 不是整数，设 i0 为大于 i 的最小整数，取 xi0 为 p% 分位数：
如果
i
是整数，取
xi
xi1 2
为
p%
分位数.
规定：0 分位数是 x1（是最小值），100% 分位数是 xn（即最大值）.
xi
nb)
a(1 n
n i 1
xi ) b
axb
【即时训练】
某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数
据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( B )
A．3.5
B．－3
C．3 D．－0.5
2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.则这组数据的平 均数是____5_0___.
探究点2 平均数
如果给定的一组数是 x1, x2,..., xn ，则这组数的平均数为：
1 x n (x1 x2 ... xn )
这一公式在数学中常简记为： x
1 n
n i 1
xi
.
注：（1）其中的符号 表示求和，读作“西格玛“， 右边式子
3-2 特征标表PPT课件
1群表示理论目录3群表示理论234广义正交定理35特征标表36直积群的表示37某些群的不可约表示特征标表34广义正交定理对于群g的每个操作rgm和gn是具有矩阵dmr和dnr维数分别为nm和nn的二个不等价不可约酉表示那么它们的矩阵元之间满足下列方程
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
本节结束
感谢聆听本课程，课件可任意 编辑，请下载后调整使用
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d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
i1
例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
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d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
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例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
(公开课)用样本的数字特征估计总体的数字特征ppt课件
众数：最高矩形的中点的横坐标；
中位数：在频率分布直方图中，中位数的左 右两边的直方图的面积相等，都为0.5；
平均数：每个小矩形的面积乘以中点的横坐 标之和
（平均数：每个频率乘以中点的横坐标之和）
精选PPT课件
9
例题讲解
例：某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理
后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右
而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应为70＋6.7＝76.7.
（2）平均成绩为
45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋
75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74，
精选PPT课件
4
在上一节抽样调查的100位居民的月均 用水量的数据中，我们来求一下这一组样本 数据的 众数、中位数和平均数
众数 =2.3（t）
中位数=2，观察这组数据的频率分布直方图，能
否得出这组数据的众数、中位数和平均数？
精选PPT课件
5
如何利用频率分布直方图求众数:
在0.5,1内的8个数据的0和 .7为 58： ；
在1,1.5内的15个数据： 的1和.2为 515；
所 以 平 均 数 为
x0.2540.7581 .251 54 .252 100
4 0.25 8 0.751 51 .25 2 4 .2 5
100
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2 .02
精选PPT课件
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中位数：在频率分布直方图中，中位数的左 右两边的直方图的面积相等，都为0.5；
平均数：每个小矩形的面积乘以中点的横坐 标之和
（平均数：每个频率乘以中点的横坐标之和）
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9
例题讲解
例：某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理
后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右
而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应为70＋6.7＝76.7.
（2）平均成绩为
45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋
75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74，
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4
在上一节抽样调查的100位居民的月均 用水量的数据中，我们来求一下这一组样本 数据的 众数、中位数和平均数
众数 =2.3（t）
中位数=2，观察这组数据的频率分布直方图，能
否得出这组数据的众数、中位数和平均数？
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5
如何利用频率分布直方图求众数:
在0.5,1内的8个数据的0和 .7为 58： ；
在1,1.5内的15个数据： 的1和.2为 515；
所 以 平 均 数 为
x0.2540.7581 .251 54 .252 100
4 0.25 8 0.751 51 .25 2 4 .2 5
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4 数据的数字特征 (共21张PPT)
小结：
• 1 . 众数、中位数、平均数的概念
• 2. 三种数字特征的优缺点
• 3. 极差、方差、标准差的概念
• 4. 如何利用标准差刻画数据的离散程度?
21
18
4、数据a1 , a2 A 1 S2
2
an ,的方差为 S 2 ，则 2a1, 2a2 2an
的方差为（ ） B S2 C 2S 2 D
4S 2
19
方法感悟
1．平均数、众数、中位数描述一组数据的集中 趋势，方差、标准差描述一组数据的波动大小， 即离散程度． 2．方差的单位是原数据单位的平方，标准差的 单位与原数据单位一致． 3．设 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，方差为 s2， 标准差为 s，则 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的 平均数为 a x ＋b，方差为 a2s2，标准差为|a|s.
分线，它不受少数极端值的影 响，这在某些情况下是优点， 但它对极端值的不敏感有时也 会成为缺点。
6
3、平均数
由于平均数与每一个样本的数据有关， 所以任何一个样本数据的改变都会引 起平均数的改变，这是众数、中位数 都不具有的性质。
也正因如此 ，与众数、中位数比较起 来，平均数可以反映出更多的关于样 本数据全体的信息。
8
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样 本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易 计算，但只能表达样本数据中的少量信息. 平 均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个 数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也 越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中 位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实 际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的 实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画 样本数据的离散程度.
数理统计第二章数字特征
程度。
计算方法
对于一组数据，峰态系数可 以通过计算四阶中心矩与标 准差的四次方的比值得到。
判断标准
当峰态系数大于3时，数据分 布呈现尖峰态；当峰态系数 小于3时，数据分布呈现平峰 态；当峰态系数接近3时，数 据分布接近正态分布。
偏态和峰态的关系
相互影响
偏态和峰态都是描述数据分布形态的统计量，它们之间存在相互影响。当数据分布呈现偏态时，其峰态也可能受到影 响。
偏态对峰态的影响
当数据分布呈现右偏态时，其右侧的极端值会对峰态产生较大影响，使得峰态系数增大；当数据分布呈现左偏态时， 其左侧的极端值会对峰态产生较大影响，使得峰态系数减小。
峰态对偏态的影响
当数据分布呈现尖峰态时，其分布的集中程度较高，可能导致偏态系数的绝对值增大；当数据分布呈现 平峰态时，其分布的分散程度较高，可能导致偏态系数的绝对值减小。
数理统计第二章数字特征
目录
• 数字特征概述 • 集中趋势度量 • 离散程度度量 • 偏态与峰态度量 • 分布形状的描述与检验 • 数字特征在统计分析中的应用
01 数字特征概述
定义与意义
定义
数字特征是统计学中用于描述数据集 基本属性和结构的一组数值。
意义
通过数字特征，可以简洁有效地揭示 数据集的中心趋势、离散程度、分布 形态等关键信息，为后续的数据分析 和建模提供重要依据。
标准差
方差的算术平方根，它反映了数 据的波动程度。标准差用s表示。
变异系数
• 变异系数：标准差与平均数的比值，它反映了数据的相对波动 程度。变异系数越小，说明数据的波动程度越小；变异系数越 大，说明数据的波动程度越大。
04 偏态与峰态度量
偏态系数
定义
偏态系数是描述数据分布偏态程度的一个统计量，用于衡量数据分布的不对称性。
计算方法
对于一组数据，峰态系数可 以通过计算四阶中心矩与标 准差的四次方的比值得到。
判断标准
当峰态系数大于3时，数据分 布呈现尖峰态；当峰态系数 小于3时，数据分布呈现平峰 态；当峰态系数接近3时，数 据分布接近正态分布。
偏态和峰态的关系
相互影响
偏态和峰态都是描述数据分布形态的统计量，它们之间存在相互影响。当数据分布呈现偏态时，其峰态也可能受到影 响。
偏态对峰态的影响
当数据分布呈现右偏态时，其右侧的极端值会对峰态产生较大影响，使得峰态系数增大；当数据分布呈现左偏态时， 其左侧的极端值会对峰态产生较大影响，使得峰态系数减小。
峰态对偏态的影响
当数据分布呈现尖峰态时，其分布的集中程度较高，可能导致偏态系数的绝对值增大；当数据分布呈现 平峰态时，其分布的分散程度较高，可能导致偏态系数的绝对值减小。
数理统计第二章数字特征
目录
• 数字特征概述 • 集中趋势度量 • 离散程度度量 • 偏态与峰态度量 • 分布形状的描述与检验 • 数字特征在统计分析中的应用
01 数字特征概述
定义与意义
定义
数字特征是统计学中用于描述数据集 基本属性和结构的一组数值。
意义
通过数字特征，可以简洁有效地揭示 数据集的中心趋势、离散程度、分布 形态等关键信息，为后续的数据分析 和建模提供重要依据。
标准差
方差的算术平方根，它反映了数 据的波动程度。标准差用s表示。
变异系数
• 变异系数：标准差与平均数的比值，它反映了数据的相对波动 程度。变异系数越小，说明数据的波动程度越小；变异系数越 大，说明数据的波动程度越大。
04 偏态与峰态度量
偏态系数
定义
偏态系数是描述数据分布偏态程度的一个统计量，用于衡量数据分布的不对称性。
统计学(数字特征)
1 m = ∑ xi − x n i =1
n
m=
1
∑
i =1
r
∑m −x f
fi
i =1 i
r
i
有时也可用中位数代替平均数计算。 有时也可用中位数代替平均数计算。平均差能全 面反映数据的分散程度。 面反映数据的分散程度。
三、方差与标准差（variance，standard deviation） 方差与标准差（ ， ） 方差和标准差是最重要、最常用的散布特征。 方差和标准差是最重要、最常用的散布特征。方差 越大，数据的波动幅度越大，数据越分散。 越大，数据的波动幅度越大，数据越分散。
三者相等的充分必要条件是 x1 = x2 = … = xn。
二、众数（mode） 众数 众数是统计数据中出现次数最多的数值。 众数是统计数据中出现次数最多的数值。 众数通常存在，但未必唯一。 众数通常存在，但未必唯一。 median） 三、中位数（median 中位数 median 中位数是位于数据的中心位置的数值 位于数据的中心位置的数值。 中位数是位于数据的中心位置的数值。 有一半的数据小于中位数，一半的数据大于中位数。 有一半的数据小于中位数，一半的数据大于中位数。 将数据x 将数据 1， x2，…，xn按大小顺序排列得到数列： ， 按大小顺序排列得到数列： x（1）≤ x（2）≤…≤x（n），则中位数为 ） ） ）
调和平均数的形式： 调和平均数的形式：
H =
n 1 1 1 + +L + x1 x 2 xn
=
n
∑
1 xi
i i i
v1 + v 2 + L + v r H = = v1 v2 vr + +L + m1 m 2 mr
n
m=
1
∑
i =1
r
∑m −x f
fi
i =1 i
r
i
有时也可用中位数代替平均数计算。 有时也可用中位数代替平均数计算。平均差能全 面反映数据的分散程度。 面反映数据的分散程度。
三、方差与标准差（variance，standard deviation） 方差与标准差（ ， ） 方差和标准差是最重要、最常用的散布特征。 方差和标准差是最重要、最常用的散布特征。方差 越大，数据的波动幅度越大，数据越分散。 越大，数据的波动幅度越大，数据越分散。
三者相等的充分必要条件是 x1 = x2 = … = xn。
二、众数（mode） 众数 众数是统计数据中出现次数最多的数值。 众数是统计数据中出现次数最多的数值。 众数通常存在，但未必唯一。 众数通常存在，但未必唯一。 median） 三、中位数（median 中位数 median 中位数是位于数据的中心位置的数值 位于数据的中心位置的数值。 中位数是位于数据的中心位置的数值。 有一半的数据小于中位数，一半的数据大于中位数。 有一半的数据小于中位数，一半的数据大于中位数。 将数据x 将数据 1， x2，…，xn按大小顺序排列得到数列： ， 按大小顺序排列得到数列： x（1）≤ x（2）≤…≤x（n），则中位数为 ） ） ）
调和平均数的形式： 调和平均数的形式：
H =
n 1 1 1 + +L + x1 x 2 xn
=
n
∑
1 xi
i i i
v1 + v 2 + L + v r H = = v1 v2 vr + +L + m1 m 2 mr
数据的数字特征(第2课时+极差、方差与标准差)(教学课件)
课堂练习
【训练 5】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没 有发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”， 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 () A.甲地：总体平均数为 3，中位数为 4 B.乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0 C.丙地：中位数为 2，众数为 3 D.丁地：总体平均数为 2，总体方差为 3
提示：平均数相同只能说明五次射击的平均环数一样， 但是并不知道其稳定性怎么样.
新知探索 知识点一：极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的 差.不难看出,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组 数的离散程度.
注意：极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数 据中的极端值极为敏感，极差只需考虑两个极端值，便于 计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差.
即时训练 知识点二：方差与标准差
【解析】(1)甲组：最高分为 95 分，最低分为 60 分，极差为 95－60＝35(分)， 平均分为甲＝110×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为 s2甲＝110×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70 －79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为 s 甲＝ s2甲＝ 119≈10.91(分).
,
.
【解析】(1)将每一个数乘以 10,再减去 190,可得
为
方差为
这组新数的平均数
由此可知,所求平均数为 19.2,方差为
.
教材例题
(2)可将数据整理为
第四章-随机变量的数字特征PPT课件
k 1
k 1
变量X的数学期望，记为E(X),即
EX xk pk k1
§4.1 数学期望
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与
一般的算术平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各 项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望 是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的 排列次序而改变.
❖ 例3：设 X(),求 E (X)。
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e k 0 , 1 , 0 k ! X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) k ke
k0 k!
e
k1
k1
(k 1)!
ee
即E(X)
§4.1 数学期望
三、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X 的概率密度为f ( x), 若积分
§4.2 方差
(2) 利用公式计算
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2 .] 证明 D (X ) E {X [ E (X )2 } ]
E { X 2 2 X ( X ) E [ E ( X )2 } ] E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )2] E (X 2)[E (X )2] E (X2)E 2(X).
§4.1 数学期望
❖ 例2：某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一 辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间 相互独立。其规律为
8:10 8:30 8:50
到站时刻
9:10 9:30 9:50
人教B版高中数学必修二课件 《统计》统计与概率PPT(数据的数字特征)
都等于样本平均数.
3.做一做:某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:(1)平均命中环数为
;
(2)命中环数的标准差为
.
答案:(1)7 (2)2
7+8+7+9+5+4+9+10+7+4
解析:(1) =
=7.
10
1
(2)∵s2= 10
[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(107)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴s=2.
探究四
当堂检测
1
解:(1)甲 = ×(99+100+98+100+100+103)=100,
1
6
乙 = ×(99+100+102+99+100+100)=100,
6
1
2
甲
= 6×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(1007
2
2
100) +(103-100) ]= ,
则没有众数.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
延伸探究求出变式训练1中数据的众数与中位数.
解:众数为24与30.
1
中位数为×(22+24)=23.
2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
3.做一做:某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:(1)平均命中环数为
;
(2)命中环数的标准差为
.
答案:(1)7 (2)2
7+8+7+9+5+4+9+10+7+4
解析:(1) =
=7.
10
1
(2)∵s2= 10
[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(107)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,∴s=2.
探究四
当堂检测
1
解:(1)甲 = ×(99+100+98+100+100+103)=100,
1
6
乙 = ×(99+100+102+99+100+100)=100,
6
1
2
甲
= 6×[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(1007
2
2
100) +(103-100) ]= ,
则没有众数.
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延伸探究求出变式训练1中数据的众数与中位数.
解:众数为24与30.
1
中位数为×(22+24)=23.
2
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探究二
特征数字集中性特征数平均数
n 1
如例1.6中，将资料中的每个数分别减去80，得－1、0、1。于是各观察值的平方和
3
xi2 (1)2 02 12 2,
i1
3
xi 0,
i1
s
2 (0)2 5 1 (g) 31
② 资料各观测值都乘或除同一个常数，则标准差扩大或缩小了同一个常数
n
n
n
(ax ax)2 a2 (xi x)2
s2 i1
，
n 1
总体方差
N
(xi )2
2 i1
N
标准差
标准差为方差的平方根值，用以表示资料的变异度，其单位与 观察值的单位相同
样本标准差： s
n
(xi x)2
i1
， 总体标准差：
n 1
N
(xi )2
i1
N
计算简化式：
n
n
( xi )2
1 5
(0
1
2
3
4)
2
G lg12 100
则血清的平均抗体效价为1:100。（而算术平均数为：2222，显然是错误的）
例2.3 观测螭霖鱼的生长从刚孵出的体重0.10克，经过5个月的喂养，体重 分别为0.18、0.26、0.43、0.74、1.13克。求其平均增重率。
第一个月生长率0.18/0.1；第二个月生长率=0.26/0.18；第三个月生长率 =0.43/0.26；第四个月生长率=0.74/0.43；第五个月生长率=1.13/0.74。
随机试验中每个可能出现的不能再分解的结果称为基本事件或样 本点，所有基本事件的集合称为基本事件空间或样本空间，记为Ω。 基本事件或由若干基本事件组成的复合事件在试验中出现与否具有随 机性，即可能出现也可能不出现，因此，称这类事件为随机事件，常
随机向量的数字特征.pptx
1 0
y 4 y3dy
4 5
.
4
从而得 cov( X ,Y ) EXY EXEY
225
第6页/共22页
4
cov( X ,Y ) EXY EXEY
225
EX 2
x2gX
( x)dx
1 x2 4x(1 x2 )dx 1
0
3
EY 2
y2 gY
(
y)dy
1 y2 4 y3dy
称
X ,Y
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数.
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注：
(1) X ,Y 又称为标准协方差,它是一个无量纲的量.
令 X X EX ,Y Y EY ,
DX
DY
则 X ,Y cov( X ,Y )
（2）cov( X ,Y )与X，Y 都描述了X与Y 之间的联系。
练 习 ：已知随机变量X ,Y分别服从N (1, 32 ), N (0, 42 ), ρX，Y 1 2 ,设 Z X 3 Y 2 . (1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数.
解 (1)由E( X ) 1, D( X ) 9, E(Y ) 0, D(Y ) 16.
y
b}
1，且
a a
0 时 ，XY 0 时 ，XY
1 1
（ 1）
x
（ 1）
x
第14页/共22页
(2) X，Y 0 X与Y以概率1不具有线性关系
若 X ,Y
若X ,Y
0时，则称X与Y不相关；
0时，则称X与Y相关；XXYY
0, 0,
X ,Y X ,Y
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二、制作茎叶图的方法
（1）、十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”
（2）、茎按从小到大的顺序从上向下顺序排中间
（3）、叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序 排两边。
优点： (1)统计图上没有原始信息的损失，所有数据信息
都可以从茎叶图中得到； (2)茎叶图可以随时记录，方便表示与比较． 缺点 当样本数据较多或数据位数较多时，用茎叶图表示
不太方便．
• 问题：如果你去某公司应聘，老总告诉你他们公 司福利待遇最好，因为他们月平均工资为一万元， 比其他任何公司都要好。你觉得他这种说法对吗？
• 如果平均数>中位数，则数据中存在较多较大的 极端值。
• 如果平均数<中位数，则数据中存在较多较小的 极端值。
三、三种数字特征的优缺点
1、平均数可以反映出更多的关于样本数据全 体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较 大，使平均数在估计时可靠性降低。
2、中位数是样本数据所占频率的等分线， 它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况 下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点。
3、众数体现了样本数据的最大集中点，但它 对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体 特征。
• 例1、一组数据由小到大依次为2，3，3，7，a， b，12，13.7，18.3，20，且它们的中位数为 10.5. 当方差取最小时，求a,b值。
茎叶图
甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
甲得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，
39
甲
乙
80 643 1 25 8 63 2 5 4 983 3 1 1 66 7 9
4 49 1 50
• 例2、
• 若数据 x1, x2 ,, xn 的平均数 x 5 ，方
• 差 s 2 2 ，则数据的 3x1 1,3x2 1,,3xn 1 平均
• 数为________方差为_________
试比较甲、乙、丙测试成绩标准差大小
Hale Waihona Puke 用样本估计总体统计的基本思想：用样本去估计总体 即：通过图、表、计算来分析样本数据,找出数据
中的规律,就可以对总体作出相应的估计. • 这种估计一般分成两种: • ①是用样本的频率分布估计总体的分布. • ②是用样本的数字特征(如平均数、标准差 等)
估计总体的数字特征.
• 一、初中学过的统计图： • 条形统计图、 • 扇形统计图、 • 折线统计图 • 茎叶图、象形统计图