实验设计与分析实验模型分析

二.相似准则（相似判据、相似条件）和相似指标
相似准则：凡是彼此相似的现象，必定具有数值相同的相似准则（即彼此相似系 统必须遵循一定的物理法则）。
前面例子的 ci 就是相似条件（准则），而且可能不止一个。
相似指标：两个相似系统，其相似指标等于 1。
用运动相似加以说明：
瞬时速度： v
ds dt
A 系统： v
应力场相似：两个系统中，在对应时刻，对应点上的应力方向一致，且大小成一定 比例（应力场的几何相似）。
1/ 1
2/ 2
c
物理参数相似：弹性模量 E，泊松比 ，密度 等
初始条件相似： 边界条件相似：
自然界、工业技术和建筑学中的相似性。 (a).观察麻雀、乌鸦和鹰的翅膀拍打时，可看出，鸟类翅膀拍打的频率随鸟个子的增 大而降低 (b).动物声音与个子大小的关系，大动物声音轰鸣而低沉，小动物声音啸鸣而尖叫。 (c).动物个子与心跳的关系。 新生儿的心率是成年人心率的一倍。 大象心跳每分钟 35 次，老鼠心跳 50 次/min。
在复杂的模型实验中，要求单值条件完全相似是有困难的，但应尽量保持相似。
如：几何相似（两个三角形）。
对应边长互成比例， cl1 cl2 cl3
如：运动相似
ll
等。
lc， v v cv ，t t ct
单值条件相似，且相似准则在数值上相
§2-3. 定理（相似第三定理）
第一定理：系统相似，有何特性？ 第二定理：系统相似，满足什么条件？ 第三定理：如何得出相似准则？只有找出独立的相似准则，才能将试验结果换算到实物 上去。
一、量纲分析：method of dimensional analysis 基本常识：同名数相加，等式两边单位相等。
1． 物理量的量纲 物理量关系遵循一定规律，各量纲之间也有规律。在机械和结构中的物理量，其基
本纲量（称为独立基本单位）一般是时间[T]，长度[L]，力[F]，国际单位制的基本单位 共七个（长度，质量，时间，电流，物质的量，发光强度）。其它量纲均可从这三个量 纲中导出(称为导出单位)。对于热力学问题还另外要求温度的度量单位。
这些特性，对综合试验结果，分析相关物理量之间的关系提供了方便。
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§2-4.相似准则的一般导出方法
一．方程分析法（method of equations analysis） 通过相似转换法 以运动相似为例： ①．写出基本方程和全部单值条件
v ds dt ，
②．相似系统确定
单值条件：初始速度和几何条件
v v
200 这时，仅当 和 E 都按照牛顿和毫米来度量时，方程才正确。
3. 用量纲分析找相似关系 [例 2－1]：梁受一质量冲击后的内应力分析，在模型上实现测量，再推算至实物。
已知： w 、 H 、 l0 、 x 、 E 、 A
求出：梁内应力相似准则。 解： ①．分析 的相关因素，列出函数关系式（注意不能漏了主要因素）
r1a1
p2a2 q2a2 r2a2
pnan 0 qnan 0 rnan 0
方程中有 n 个变量，只有三个方程，即三个变量受约束，其余(n-3)个可取任意值。
若取 a1 、 a2 、 a3 为独立变量
a1 f 1(a a4 5 an ) ， a2 f2 (a4a5 an ) ， a3 f3(a4a5 an ) (**)
如： 应力：[ ] [FL 2 ] [FL 2T 0 ]
质量：[m] [F]/[a] [FL 1T 2]
力矩：[M ] [F L]
（密度）：[ ] [FT 2L 4 ]
转动惯量：[J ] [FLT 2 ]
为方便起见，在分析时，对同种物理量的比值，或无因次量纲，以“0“次表示。
如： 转角
[ ] [F 0L0T 0 ]
其中 A、B、C、 ai 是常数。
按量纲齐次原则，等号左右的各项量纲应该是相等的，且假设已归一成无量纲的物理量， 其基本物理量为 F,T,L。不妨取一项
[Q]
[
x x a1 a2 1
2
x
a3
3
xan n ] [F 0L0T 0 ] [1]
（*）
物理量 xi 都有自己的物理量：
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上式变成：
凡具有同一特性的现象，当单值条件彼此相似，且由单值条件的物理量组成的准则
在数值上相等，则这些现象必定相似（亦称相似第二定理，逆定理）。
（单值条件――包括几何条件、初始条件、边界条件以及对所研究对象有重大影响
的物理条件等等。对于常温静态弹性应力问题分析，主要考虑的是几何条件、载荷条件、
约束条件和泊松比条件。而对运动学和动力学问题，则还要考虑初始条件和时间条件等。
将(**)代入(*)式：
[1] [x x x x f1 (a4a5 an ) f2 (a4a5 an ) f3 (a4a5 an ) a4
1
2
3
4
xan n
]
（一定可以归并成）
[ a4 a5 12
] an
n3
i 是由 xi 组合而成的无量纲完成组
或者说：变成无量纲完全组（即称为π项）的函数式：
[1] [ 1 2
f (w, H, E, A,l0, x)
如果是几何相似，可更简化，用 l 特征参数代表梁的长度，截面尺寸，及冲
击点位置。
f (w, H,l, E)
②．量纲分析
[ ] [waH blcEd ]
其基本量纲表达式
[FL 2 ] [F aLbLc (FL 2 )d ] [F a d Lb c 2d ]
量纲齐次原则：
ad 1 b c 2d
两 个 方 程4 个 未 知 数 a 1 d
2 无穷解，选两个
b 2 c 2d
[ ] [w1 d H 2 c 2dlc Ed ]
w [H2
EH 2 (
w
d)
(l H
c)
]
H2 []
[( EH 2 )d ( l )c ]
w
wH
――这是无量纲关系式
③．找相似准则 三个无量纲项之间存在某种未知的函数关系，即：
同理也可以推出动力相似准则
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cr ct cmcv
1 以及 Ft mv
不变量
结论（相似第一定理）： 对于彼此相似的现象，其相似指标为 1，或其相似准则为一不变量。
注意到：相似的概念是对具有同一特点的事物而言，即表征现象的所有量之间关系服从 同一自然规律。
三. 相似系统的条件 系统之间满足什么条件，现象才能相似呢？
l
w
w
w
w HH
④．定相似系数
EH 2 /W E'H '2 /W '
(E / E' )(H / H ' )2 /(W /W ' ) CEC2H / CW 1
l H l H ，l l H H
⑤．模型与实物的应力换算关系
cl cH
1
H2
H2
w
w
w ( H )2 wH
上例中是否有普遍意义，可否找规律？用 定理来证明。
ds dt ，B 系统： v
ds dt
A 与 B 运动相似： v v cv ， s s cs ， t t ct
A 由 B 来代替， cvv
cs ds
，移项处理
cs dt
cvct v cs
ds ， dt
cr ct cs
1，
相似指标
得出：相似系数受相似指标约束，不能任意定，对相似指标作变换
v′t′/s′= ″v″t″/s″= vt/s = 不变量
二．方法
一般模型试验解决的方法： 1． 合理选择模型的材料、尺寸、载荷及实验方法，难点是边界条件的模拟。 2． 模型试验的结果如何转换成原型（一般小模型数据要用到大模型去）。
§2-2.相似的基本概念
一.相似现象
几何相似：几何相似中，相似物任何点的坐标空间(xi,yi,zi) 都满足：
xi / xi cx， yi / yi cy ，
可以得出：
1． 相似准则的指数形式仍是相似准则，如 ，则 n （n 为常数）也是。
2． 相似准则的积形式仍是相似准则，如 1 2 3
，则 n1 n2 n3
k
123
nk 也是。 k
3． 相似准则和或差仍是相似准则，如 1, 2
，则 1
2
3
也是。
4． 相似准则与任意常数的和或差仍是相似准则，如 ，则
也是。
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2） 高大结构和对风效应敏感的结构； 3） 有相互影响的新型结构系统； 4） 复杂的桥梁结构； 5） 核反应堆容器以及危险的压力容器； 6） 受风和地震这种复杂载荷作用的结构； 7） 边界或载荷条件不一般的板状结构，几何形状（如切口和厚度变化）不规则的结构； 8） 大坝； 9） 海中结构； 10）细部结构（仅研究结构有限区域内）
t1 / t1 t2 / t2
tn / tn ct （如时对分、分对妙等）
运动相似：两个系统中的对应点，在对应时刻的速度、加速度成一定的比例。
v' / v Cv,a' / a Ca
动力相似：两个系统中，在对应点和对应的时刻，其所受的力成一定的比例。
m F / F m a / ma m ca 当加速度成比例 ca 的运动相似系统中，只要对应质量成一定比例，就是动力相似。
§2-1.模型试验的目的和方法
一．模型试验的目的
1． 试验方案的论证： 一些大型复杂结构在设计制造之前，以便预测真实结构的工作性能，了解一些主要
参数，做实物昂贵或不可能，通过模型试验，比较设计方案，校核设计参数是否合理（如 大楼、大桥的抗震，风洞试验等）。
采用比例模型进行实验，很重要的动机是节省实验费用，如简化了实验设备和有关 装置，节省了被试结构的制造、准备和实验后清除的费用。 2． 对某些大型复杂结构的破坏性特征的研究（大型构件的失稳条件研究，破坏强度研究）。 3． 结构特殊，不能在原型上试验（零件太小，需放大，或太大负载组合有困难）。 如，在原型上的集中载荷与模型比例系数的平方成正比，对一个 1/20 比例的模型，若在 原型上的载荷为 100kN,在模型上只要 0.25kN。 因此，通过模型试验可以得出定性的和定量的试验结果，它是计算的辅助手段。也可作 为独立的研究工具。 在设计阶段，下列可能适合作模型实验： 1） 外形和边界条件复杂的薄壳结构；
[xi ] [F pi LqiT ri ] ，
[F 0L0T 0 ] [(F p1 Lq1T r1 )a1 (F p2 Lq2T r2 )a2
(F pn LqnT rn )an ]
[F p1a1 p2a2
L pnan q1a1 q2a2
T qnan r1a1 r2a2
] rnan
p1a1 得到： q1a1
二． 定理 假设被研究对象的物理过程用下列函数来表示：
Q f (x1, x2, x 3 xn ) 0
式中 Q ， xi 诸如机械量或结构参数，如力、位移、应力……等物理量。
上式又一定可以写成幂的多项式
Q Axa11xa2 2 xa33
xan n
Bxb11xb2 2
xb3 n
Cxc11xc2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x c3 n
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第二章 试验模型分析（Analysis of Testing Model） 概述：
自然科学研究中大量的是研究量与量之间的关系。方法有： 数学方法： 物理模型→数学模型→边界条件（初始条件）→解析解
↘ 离散模型 数字解（计算机）
实验方法： 直接实验法。 模型试验法：按一定规律（或准则）将原物缩小成模型
zi / zi cz （ xi ， xi 分别为实物与模型
的坐标）
其中 cx ， cy ， cz 为相似倍数（或相似系数）
载荷相似：
Pi / Pi cP
载荷相似条件：①．所有载荷都对应为同一比值，即有相同的相似倍数。
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②．作用点对应，方向对应平行 时间相似：对应的时间间隔互成一定的比例
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H2
EH 2 l
f [( ), ( )]
w
wH
上式将原有 5 个未知量变成三个未知量（无量纲项）之间关系。 这样就找到了模型与实物之间的对应参数关系，使试验得到了简化，即上式 对模型也适用
模型设计满足
H2
EH 2 l
f [(
), ( )]
w
wH
H2
H 2 ， EH 2 E H 2 ， l
应变
[ ] [F 0L0T 0 ]
应力
[ ] [FL 2T 0 ]
22．量纲齐次原则
若干项组成物理方程的各项量纲都相同，这就是量纲其次原则。
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如： S 1 gt2 ，完全方程 2
S 4.9t2 ，非完全方程（方程的量纲是不一致）仅当 t 的单位为秒时才正确。
又如虎克定理
E.
若将钢的弹性模量 E=200N/mm²代入
n 3]， 即 f ( 1 2
n 3) 0
得出 定理（相似第三定理）： 若物理过程有 n 个物理变量，m 个基本的物理量纲，则一定有 n-m 个独立的 项
（相似准则），描述这个过程的函数关系式，可表示成 n-m 个相似准则之间的函数关系 式。
三． 相似准则的变换特性 n-m 个无量纲项是独立的，但其形式不是唯一的，从 项是无量纲项这一属性出发，