北师大版数学高一(北师大)必修1试题 2.4.1二次函数的图像 (3)

2.4.1二次函数的图像

一、选择题

1．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是( ) A ．y ＝－x 2－4x －1 B ．y ＝x 2－4x －1 C ．y ＝x 2＋4x －1 D ．y ＝－x 2－4x ＋1

[答案] A

[解析] 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3， 即a ＝－1.

所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.

2．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )

A ．y ＝2x 2

B ．y ＝4x 2

C ．y ＝1

2x 2

D ．y ＝1

4x 2

[答案] A

[解析] 由图像变换可知选A.

3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( ) A ．y ＝13x 2－2x ＋5

3

B ．y ＝13x 2＋2x ＋5

3

C ．y ＝13x 2＋2x －5

3

D ．y ＝13x 2－2x －5

3

[答案] B

[解析] 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则根据题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

a －

b ＋

c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝7，

a ＋

b ＋

c ＝4，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1

3，b ＝2，

c ＝53.

所以y ＝13x 2＋2x ＋5

3

，故选B.

4．已知a ≠0，b <0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以

成立的是( )

[答案] C

[解析] 由b <0，排除B ，D ；A 是抛物线开口向下，a <0，而直线体现了a >0，从而排除A.

5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为( )

A ．y ＝2x 2

B ．y ＝2(x ＋2)2－6

C ．y ＝2x 2－6

D ．y ＝2(x ＋2)2

[答案] D

[解析] 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D.

6．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝1

2(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，

在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )

A ．g (x )

B ．f (x )

C ．h (x )

D ．不确定

[答案] A

[解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的|a |越小，则二次函数开口越开阔． 二、填空题

7．二次函数f (x )＝12x 2－x ＋3

2的图像的顶点坐标为________．

[答案] (1,1)

[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝1

2(x －1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．

8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．

[答案] f (x )＝－x 2＋2x ＋3

[解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.

则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题

9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．

[解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

由题意得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＋

b ＋

c ＝－3，

4a ＋2b ＋c ＝0，

－b 2a ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝3，

b ＝－6，

c ＝0.

∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .

解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

由题意得⎩⎨⎧

4a ＋2b ＋c ＝0，

－b 2a

＝1，

4ac －b

2

4a ＝－3，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝3，

b ＝－6，

c ＝0.

∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .

解法3：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k )， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a (x －1)2－3. 又∵图像经过点P (2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，

∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . 解法4：设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P (2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，

∴所求的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)，

又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .

10．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的表达式．

[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b

2a ＝－2，

∴b ＝4a .

∵图像在y 轴上的截距为1，∴c ＝1， 又|x 1－x 2|＝b 2－4ac

|a |

＝22，