量子力学复习提纲
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5. 么正变换的性质 (i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值.
第5章 微扰理论 (I) 求解非简并定态微扰问题
(1) 确定微扰的哈密顿算符. , 及与对应的零级近似能量和零级近
似波函数; (2) 计算能量的一级修正:
(25) (3) 计算波函数的一级修正:
5. 全同性原理的表述
6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称 性不随时间改变.
实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米 子: 波函数是反对称的;
(II) 玻色子: 波函数是对称的.
名称
自旋
波函数 统计规律
举例
费米子 的奇数倍
反对称
费密-狄拉克 统计
8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. (18)
注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.
(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定 值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.
例如: 氢原子的哈密顿算符,角动量平方算符和角动量算符相互对易, 则 (i) 它们有共同的本征函数, (ii) 在态中,它们同时具有确定值:
,,. (2) 测不准关系:如果算符和不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设
则算符和的均方偏差满足: (19)
其中 , (a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点 能等. (b) 给定态函数,计算两个力学量和的均方偏差的乘积 (20) 第4章 态和力学量的表象
1. 对表象的理解 (1) 状态: 态矢量 (2) 表象:力学量的本征函数
或 (37)
(i) 表明只有外界的微扰含有频率时,体系才能从态跃迁到态,这时体系
吸收和发射的能量是;
(ii)跃迁是一个共振现象.
(3) 能量时间的测不准关系的含义 (38)
(4) 了解原源自文库的跃迁几率和三个爱因斯坦系数: , 和及相互关系. (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数
(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则 (39) 第6章 散射 只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.
(30) 将按照的定态波函数展开:
(31) 展开系数的表达式:
(32) 其中
(33) 是微扰矩阵元,
(34) 为体系由能级跃迁到能级的玻尔频率. 在t时刻发现体系处于态的几率是, 体系在微扰的作用下,由初态跃迁到 终态的几率为
(35) (2) 用于周期微扰得到
(36)
由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是
量子力学复习提纲
第一章 绪论
1.德布罗意关系, (1) (2)
2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为
(3)
第二章 波函数和薛定谔方程
1.波函数的统计解释:
波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子
的波是几率波.
其中代表几率密度.
2.态叠加原理:
相互正交.
完全性: 厄密算符的本征函数和组成完全系, 即任一函数可以按和展开 为级数:
(12)
展开系数:
,
(13)
.
(14)
是在态中测量力学量得到的几率,
是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率.
4. 和算符的本征值方程,本征值和本征函数.
,
本征函数 . 5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数的数学结构,
一维无限深势阱及其变种,
一维线性谐振子;
势垒贯穿.
第三章 量子力学中的力学量
1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法
则;
2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念
(10) 3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.
(11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数.
正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数
构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开: 是态矢量在表象中沿各 基矢量的分量. (5) 是在所描写的态中,测量力学量得到结果为的几率. 2. 算符在Q表象中的表示
(i)算符在Q表象中是一个矩阵, 称为矩阵元 (ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应 的本征值.
3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式: (21) (2) 本征值方程 久期方程 (3) 薛定谔方程的矩阵形式 (22)
4. 么正变换的概念 (1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定, (3) 态矢量由A表象变换到B表象的公式 (23) (4) 力学量由A表象变换到B表象的公式: (24)
第七章 自旋与全同粒子
1. 电子的自旋角动量,它在空间任何方向的投影只能取 (40)
2. 自旋算符的矩阵形式 , , (41)
3.泡利矩阵 , , (42)
(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差. (43)
(44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数 4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.
电子,质子,中子(自 旋)
玻色子
0, 1, 或 的偶数倍
对称
玻色-爱因 斯坦统计
光子 (自旋为1) 粒子(自旋为零)
7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.
(15) 主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.
(16)
不考虑电子的自旋是度简并的;
考虑电子的自旋是度简并的.
7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的
体积元内的几率 (17)
计算电子几率的径向分布和角分布. 计算在半径到的球壳内找到电子的几率.
(26) (4) 计算能量的二级修正:
(27) (II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正)
求解步骤
(1) 确定微扰的哈密顿算符.
(2) 确定微扰算符的矩阵元: (28)
(3) 求解久期方程得到能量的一级修正
(29)
(III) 变分法不作要求
(IV) 含时微扰论
(1) 基本步骤 设的本征函数为为已知:
如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能
状态.
3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程
薛定谔方程
(4)
定态薛定谔方程 (5)
其中 (6)
为哈密顿算符,又称为能量算符,
4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.
5. 波函数的归一化,
(9)
6.求解一维薛定谔方程的几个例子.
第5章 微扰理论 (I) 求解非简并定态微扰问题
(1) 确定微扰的哈密顿算符. , 及与对应的零级近似能量和零级近
似波函数; (2) 计算能量的一级修正:
(25) (3) 计算波函数的一级修正:
5. 全同性原理的表述
6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称 性不随时间改变.
实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米 子: 波函数是反对称的;
(II) 玻色子: 波函数是对称的.
名称
自旋
波函数 统计规律
举例
费米子 的奇数倍
反对称
费密-狄拉克 统计
8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式. (18)
注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.
(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定 值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.
例如: 氢原子的哈密顿算符,角动量平方算符和角动量算符相互对易, 则 (i) 它们有共同的本征函数, (ii) 在态中,它们同时具有确定值:
,,. (2) 测不准关系:如果算符和不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设
则算符和的均方偏差满足: (19)
其中 , (a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点 能等. (b) 给定态函数,计算两个力学量和的均方偏差的乘积 (20) 第4章 态和力学量的表象
1. 对表象的理解 (1) 状态: 态矢量 (2) 表象:力学量的本征函数
或 (37)
(i) 表明只有外界的微扰含有频率时,体系才能从态跃迁到态,这时体系
吸收和发射的能量是;
(ii)跃迁是一个共振现象.
(3) 能量时间的测不准关系的含义 (38)
(4) 了解原源自文库的跃迁几率和三个爱因斯坦系数: , 和及相互关系. (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数
(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则 (39) 第6章 散射 只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.
(30) 将按照的定态波函数展开:
(31) 展开系数的表达式:
(32) 其中
(33) 是微扰矩阵元,
(34) 为体系由能级跃迁到能级的玻尔频率. 在t时刻发现体系处于态的几率是, 体系在微扰的作用下,由初态跃迁到 终态的几率为
(35) (2) 用于周期微扰得到
(36)
由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是
量子力学复习提纲
第一章 绪论
1.德布罗意关系, (1) (2)
2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被伏电压加速,则电子的德布罗意波长为
(3)
第二章 波函数和薛定谔方程
1.波函数的统计解释:
波函数在空间某一点的强度和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子
的波是几率波.
其中代表几率密度.
2.态叠加原理:
相互正交.
完全性: 厄密算符的本征函数和组成完全系, 即任一函数可以按和展开 为级数:
(12)
展开系数:
,
(13)
.
(14)
是在态中测量力学量得到的几率,
是在态中测量力学量,得到测量结果在到范围内的几率.
4. 和算符的本征值方程,本征值和本征函数.
,
本征函数 . 5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数的数学结构,
一维无限深势阱及其变种,
一维线性谐振子;
势垒贯穿.
第三章 量子力学中的力学量
1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法
则;
2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念
(10) 3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.
(11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数.
正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数
构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开: 是态矢量在表象中沿各 基矢量的分量. (5) 是在所描写的态中,测量力学量得到结果为的几率. 2. 算符在Q表象中的表示
(i)算符在Q表象中是一个矩阵, 称为矩阵元 (ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应 的本征值.
3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式: (21) (2) 本征值方程 久期方程 (3) 薛定谔方程的矩阵形式 (22)
4. 么正变换的概念 (1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定, (3) 态矢量由A表象变换到B表象的公式 (23) (4) 力学量由A表象变换到B表象的公式: (24)
第七章 自旋与全同粒子
1. 电子的自旋角动量,它在空间任何方向的投影只能取 (40)
2. 自旋算符的矩阵形式 , , (41)
3.泡利矩阵 , , (42)
(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差. (43)
(44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数 4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.
电子,质子,中子(自 旋)
玻色子
0, 1, 或 的偶数倍
对称
玻色-爱因 斯坦统计
光子 (自旋为1) 粒子(自旋为零)
7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.
(15) 主量子数n,角量子数l和磁量子数m的取值范围,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.
(16)
不考虑电子的自旋是度简并的;
考虑电子的自旋是度简并的.
7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在点周围的
体积元内的几率 (17)
计算电子几率的径向分布和角分布. 计算在半径到的球壳内找到电子的几率.
(26) (4) 计算能量的二级修正:
(27) (II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正)
求解步骤
(1) 确定微扰的哈密顿算符.
(2) 确定微扰算符的矩阵元: (28)
(3) 求解久期方程得到能量的一级修正
(29)
(III) 变分法不作要求
(IV) 含时微扰论
(1) 基本步骤 设的本征函数为为已知:
如果和是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 ,也是体系的一个可能
状态.
3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程
薛定谔方程
(4)
定态薛定谔方程 (5)
其中 (6)
为哈密顿算符,又称为能量算符,
4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括及其一阶导数)和单值性.
5. 波函数的归一化,
(9)
6.求解一维薛定谔方程的几个例子.