高一数学必修2立体几何概念定理公理整理

（一）平面的三大基本公理和推论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即这条直线在这个面内）如图：A∈αB∈α公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

如图：A∈αA∈β公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

如图：A,B,C 为不在同一直线上的三点，有且只有一个平面α，使推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

如图：B,C∈a，A∈a，有且只有一个平面α，使已知：有一条直线a 和直线外一点A求证：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面证明：在直线a 上取任意不重合两点B，C 又∵A∈a∴A，B，C 不在同一直线上即过A，B，C 三点有且只有一平面α（公理3）∵B，C∈a，又B，C∈α，所以a ⊂α(公理1）所以经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面==>AB ⊂α==>α∩β=a 且A∈aA∈αB∈αC∈αA∈αa∈α：直线a∩b＝A经过两条相交直线，有且只有一个平面上分别取不同于点A 的点B 和点C则过这不在同一直线上的三个点有且只有一个平面,B∈b,又A,B∈α；A，C∈a，又A ,C∈α∴a，b∈α（公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内）α是过相交直线a，b 的平面.假设过直线a，b 还有一个平面βA，B，C∈βA，B，C 有两个平面α和β矛盾∴原假设错误a，b 的平面有且只有一个∴经过两条相交直线，有且只有一个平面b经过两条平行直线，有且只有一个平面根据平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行在同一平面内（a，b∈α）上取一点A （A ∈a）a，b 有另一平面β和直线b ∴经过两条平行直线，有且只有一个平面立体几何的概念、公理、定理、推论整理(1.2)高一八单 郭祺整理1αABβ公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

(平行线的传递性）如图：a//bb//c（二）空间两条直线的位置关系（平行、相交、异面）==>a//c等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

如图： AC// A’C’AB//A’B’推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

※补:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角互补。

==>∠CAB=∠C’A’B’异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。

如图：A∈αB∈αa∈αA，B∈L已知：直线a在平面α内（a∈α），直线L与平面α交于B点（L∩α=B）在直线L上有不同于B点的一个A点（A≠B）且点A在平面α外（A∈a）求证：直线L与直线a异面证明：假设直线L与直线a共面，过B点和直线a有且只有一个平面α（推论1）∴直线a和直线L都在平面α内又A∈L，L⊂α,所以A∈α与点A在平面α外相矛盾∴原假设错误∴直线L与直线a不共面∴直线a与直线L为异面直线（异面直线的定义）ABL与a异面==>证明：∠CAB=∠C’A’B’分别在∠CAB和∠C’A’B’的两边上截取AC=A’C’，AB=A’B’连结AA’，CC’，BB’，CB，C’B’AB//A’B’AB= A’B’==>四边形ABB’A’是平行四边形==>AA’ BB’//同理，AA’ CC’//==>BB’ CC’ 四边形CBB’C’是平行四边形//==>AC=A’C’AB=A’B’CB=C’B’==>==>△ABC≌△A’B’C’==>∠CAB=∠C’A’B’※我们把直线L与直线a所成的锐角（或直角）叫做异面直线L，a所成的角（0°,90°]。

若异面直线L，a所成的角是直角，则称异面直线L，a互相垂直，记作L⊥a（线线垂直）一般异面直线求角度我们通过平移至相交求其所成的夹角大小。

在一个三角形内解决异面直线所成的角度是一种常用的方法。

两异面直线间距离:公垂线段公垂线段：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线.两条异面直线，有且只有一条公垂线。

初中有关知识回顾（简略）平行线判定方法:1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同旁内角互补，两直线平行。

4.平行于同一直线的两条直线互相平行。

5.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

6.同一平面内，永不相交的两条直线平行。

平行线的性质：如图：已知直线m//n，直线L与直线m，n分别相交于点A，点B。

1.两直线平行，同位角相等（如图：∠1=∠2）2.两直线平行，内错角相等（如图：∠2=∠3）3.两直线平行，同旁内角互补（如图：∠2+∠4=180°）平行四边形的判定定理：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.两组对边分别平行的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形5.对角线互相平分的四边形是平行四边形6.对角分别相等的四边形是平行四边形菱形的判定定理：1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形3.邻边相等的平行四边形是菱形※矩形的判定定理：1.对角线相等的平行四边形是矩形2.有一个角是直角的平行四边形是矩形2.有三个角是直角的四边形是矩形正方形的判定定理：1.有一个角是直角的菱形是正方形2.对角线互相垂直的矩形是正方形3.四边相等的矩形是正方形立体几何的学习离不开平面几何的基础2纠正与补充：例：图中直线AB是异面直线a、b的公垂线．平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

如图:∵AD∥BE∥CF，∴A B ：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。

也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。

平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：1.如果一条直线a 和一个平面α没有公共点，我们就说直线a 与平面α平行（a// α）2.如果直线a 与平面α有且只有一个公共点，我们就说直线a 与平面α相交（a∩α=A）3.如果直线a 与平面有无数个公共点，我们就说直线a 在平面α内（a ⊂α）（三）直线和平面的位置关系αaαaAαa直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

如图：a ⊂αb ⊂αa// b==>a//α直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

如图：a // αa ⊂βα∩β=b==>a//b 已知：a//α，a ⊂β，α∩β=b（如图）求证：a//b 证明：a//α※本题还可以用反证法证明（略）==>直线a 与平面α没有公共点b ⊂α==>直线a 和b 没有公共点a，b ⊂β==>a//b求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行。

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 如图：L1 //L2 //L3L4，L5，L6为任意三条截这组平行线的直线　若a=a，则b=b，c=c 推论：经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰（证明略）L1L2L3L4L5L6mnLαβγ已知：平面α，β，γ（为图中三棱柱的三个侧面）,α∩β=n,α∩γ=m,γ∩β=L，且m//n求证：L//m，L//n证明：m//n n∈γm∈γ==>n//γn ⊂ββ∩γ=L==>L//n 同理，L//m※如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行。

可当作一个结论或定理来用纠正与补充：P31 思考题：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线有怎么样的位置关系答：第三条线过这两条直线的交点如图已知：α∩β=b,γ∩β=c,α∩γ=a,a∩b=s 求证: a ∩b∩c=s 证明:∵γ∩β=c∴c 为平面γ和β的交线又∵b ∈β,a ∈γ,a ∩b=s∴s ∈c (两个相交平面内的两条直线交于一点,则这一点必定在这两个面的交线上)∴a ∩b∩c=sab cαγβ※如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线相交，那么第三条直线和这两条直线交于同一点（证明略）可当作一个结论来用直线与平面的垂直如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 与平面α互相垂直，记作a⊥α.直线a 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线a 的垂面,垂线和平面的交点称为垂足.重要的两个结论:1.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.（证明方法参考《钥匙》P38）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.如图：已知：a ⊥α，b ⊥α求证：a//b 证明：假设b 不平行于a，设a∩b=P，b’是经过点P 与直线a 平行的直线.直线b 与b’确定平面β，设α∩β=c ∵a ⊥α，b ⊥α∴a ⊥c，b ⊥c 又∵b’// a ∴b’⊥c这样在平面β内，经过直线c 上同一点P ，有两条直线b，b’与c 垂直，与平面几何中经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾。

∴原假设错误∴a//ba⊥αb ⊥α==>a//bPb ’纠正与补充：※本定理的证明在我们现在的知识范围内解决很麻烦，在此就不做详细证明，以后学习向量时可轻松解决。

你有办法证明吗？试一下吧！定理1：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。

如图：已知：a//b ，a⊥α求证：b⊥α证明：设m 为α任意一条直线bαmaa//ba⊥αb⊥α==>a⊥αm ⊂αa⊥mb//a==>==>b⊥m由m 的任意性可知，直线b 垂直于α内任意一条直线所以b⊥α定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

如图：已知：α//β，a⊥α求证：a⊥β证明：设a∩α=A,a∩β=B在平面α内取任意一条直线b，过b 做截面γ，γ∩α=b，γ∩β=c 又因为α//β所以b//β则b//c（直线和平面平行的性质定理）又a⊥α，b ⊂α所以a⊥b所以a⊥c（一条直线垂直于一组平行线中的任意一条，则这条直线也将垂直另一条）由于b 直线在平面α内具有任意性，则c 直线在β平面内也具有任意性所以a 垂直β中的任意直线所以a⊥β※可作为直线和平面垂直的判定定理直接使用α//βa⊥α==>a⊥β直线与平面所成的角：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的焦点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.如图，过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 和垂足P’的直线就是斜线在平面内的正投影（简称投影），线段P’Q 就是斜线段PQ 在平面内的射影。