高中数学立体几何讲义

平面与空间直线(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。

点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法） AaA a ∈ 点A 在直线a 上。

AaA a ∉ 点A 不在直线a 上。

AαA α∈点A 在平面α内。

AαA α∉ 点A 不在平面α内。

b a Aa b A =直线a 、b 交于A 点。

aαa α直线a 在平面α内。

aαa α=∅ 直线a 与平面α无公共点。

aAαa A α= 直线a 与平面α交于点A 。

l αβ= 平面α、β相交于直线l 。

α⊄a αa ）表示a α=∅或a A α=。

2、平面的基本性质公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A ABB ααα∈⎫⇒⎬∈⎭。

如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。

BA α公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β，即E 为平面α与β的一个公共点．同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．如图，已知平面α，β，且α β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ⊂α，CD ⊂β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB CD ＝M ．又∵AB ⊂α，CD ⊂β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈α β．又∵α β＝l ，∴M ∈l ，即AB ，CD ，l 共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈。

应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。

例3．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ，α DC B A EFHGα DC BAl 例2βM但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α． ∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．同理可证b ⊂α，c ⊂α．∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o 当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α．又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。

推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。

推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，lα 。

推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。

推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a bα。

推论3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。

推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α。

练习：1．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，A 1C 1 B 1D 1＝O 1，B 1D 平面A 1BC 1＝P ． 求证：P ∈BO 1．证明 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，α b a dc G F E A图1 a b c d α H K图2∵B 1D 平面A 1BC 1＝P ，∴P ∈平面A 1BC 1，P ∈B 1D ． ∵B 1D ⊂平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1，且P ∈平面BB 1D 1D ．∴P ∈平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ，∵A 1C 1 B 1D 1＝O 1，A 1C 1⊂平面A 1BC 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，∴O 1∈平面A 1BC 1，且O 1∈平面BB 1D 1D ． 又B ∈平面A 1BC 1，且B ∈平面BB 1D 1D ， ∴平面A 1BC 1 平面BB 1D 1D ＝BO 1．∴P ∈BO 1说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。

（Ⅱ）、空间两条直线1、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点；2、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

推理模式：//,////a b b c a c ⇒。

3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。

5、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线。

异面直线的判定方法：①判定定理；②定义法；③反证法是证明两直线异面的有效方法。

例1．已知不共面的三条直线a 、b 、c 相交于点P ，a A ∈，a B ∈，b C ∈，c D ∈，求证：AD 与BC 是异面直线． 证一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，∴直线a 、b 、c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线。

A 1 ABB 1 D D 1CC 1O 1PPBCD b ca证二：（直接证法）∵a ∩c=P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C ∉平面α，B ∈平面α，AD ⊂平面α，B ∉AD ，∴AD 和BC 是异面直线。

6、异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π。

7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。

8、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。

向量法：用向量的夹角公式。

例2．在正方体-ABCD ''''D C B A 中，M 、N 分别是棱'AA 和AB 的中点，P 为上底面ABCD 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ A ）()A 30()B 45()C 60()D例3． 一条长为cm 2的线段AB 夹在互相垂直的两个平面α、β之间，AB 与α所成角为045，与β所成角为030，且l =βα ，l AC ⊥，l BD ⊥，C 、D 是垂足，求（1）CD 的长；（2）AB 与CD 所成的角 解：（1）连BC 、AD ，可证AC ⊥β，BD ⊥α，∴ABC=300， ∠BAD=450 ，Rt △ACB 中，BC=AB ·cos300=3 ， 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450=2在Rt △BCD 中，可求出CD=1cm （也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900求得）（2）作BE//l ，CE//BD ，BE ∩CE ，则∠ABE 就是AB 与CD 所成的角，连AE ，由三垂线定理可证BE ⊥AE ，先求出AE=3，再在Rt △ABE 中，求得∠ABE=600。

说明：在（3）中也可作CH ⊥AB 于H ，DF ⊥AB 于F ，HF 即为异面直线CH 、DF 的公垂线，利用公式CD 2=CH 2+DF 2+HF 2-2·CH ·DFcos α，求出cos α=33。

AEGFDB αβ9、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线。

理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。

两条异面直线的公垂线有且只有一条。

计算方法：①几何法；②向量法。

例4．在棱长为a 的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：a 22） 例5．两条异面直线a 、b 间的距离是1cm ，它们所成的角为600，a 、b 上各有一点A 、B ，距公垂线的垂足都是10cm ，则A 、B 两点间的距离为_______． 答案：cm cm 301101或练习：1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，求证：B 1D 被平面A 1BC 1分成1∶2的两段．证明：如图1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 连结B 1D 1，A 1C 1，BD ，AC ． 设B 1D 1 A 1C 1＝M ，BD AC ＝N ． ∴ M ，N 分别是B 1D 1，AC 的中点． 连结BM ，D 1N ．∵ BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1，∴ 四边形BDD 1B 1是平行四边形．在平面BDD 1B 1中，设B 1D BM ＝O ，B 1D D 1N ＝O 1，在平行四边形BDD 1B 1中， ∵ D 1M ∥NB ，且D 1M ＝NB ，∴ 四边形BND 1M 是平行四边形．∴ BM ∥ND 1，即 OM ∥O 1D 1，∴ O 是BO 1的中点，即 O 1O ＝OB 1． 同理，OO 1＝O 1D ． ∴ O 1O ＝OB 1＝O 1D ． 综上，OB 1∶OD 1＝1∶2．2．如图，已知平面α、β交于直线l ，AB 、CD 分别在平面α，β内，且与l 分别交于B ，D 两点．若∠ABD ＝∠CDB ，试问AB ，CD 能否平行？并说明理由．证明：直线AB ，CD 不能平行．否则，若AB ∥CD ，则AB ∥CD 共面，记这个平面为γ．∴ AB ，CD ⊂γ．∴ AB ⊂α，D ∈γ．由题知，AB ⊂α，D ∈α，且D ∉AB ，根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．A 1 AB B 1 DD 1 CC 1OB C D Aα β l A 1 A B B 1 D D 1 C C 1图1 MON O 1同理，β与γ重合．∴ α与β重合，这与题设矛盾． ∴ AB ，CD 不能平行．3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：CD 1所在的直线与BC 1所在的直线是异面直线． 证明：假设CD 1所在的直线与BC 1所在的直线不是异面直线．设直线CD 1与BC 1共面α． ∵C ，D 1∈CD 1，B ，C 1∈BC 1，∴C ，D 1，B ，C 1∈α． ∵CC 1∥BB 1，∴CC 1，BB 1确定平面BB 1C 1C ， ∴C ，B ，C 1∈平面BB 1C 1C ．∵不共线的三点C ，B ，C 1只有一个平面， ∴平面α与平面BB 1C 1C 重合．∴D 1∈平面BB 1C 1C ，矛盾．因此，假设错误，即CD 1所在的直线与BC 1所在的直线是异面直线．基础巩固训练1、 下列推断中，错误的是（ ）。