12复数的有关概念

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2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件第12章复数、推理与证明、算法

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i；＝i；＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－＋i
2
3
D．－－i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略
复数的

复数讲义绝对经典

复数一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性：41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =．2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示4．复数的代数形式:通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =，b d =二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2．复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3．复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4．复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5．乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）()1231213z z z z z z z +=+7．复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者a bi c di++8．除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )，即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知cx dy a dx cy b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得2222ac bd x c d bc ad y c d +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222ac bd bc adi c dc d+-=+++②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得：原式22i (i)(i)[i (i)]()ii(i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++．∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d+-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而()()22c di c di c d +-=+是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

复数的三角形式(课件)高一数学(苏教版2019必修第二册)

过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数。
由此可以得到
两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
探究新知
核心知识点：一
复数的三角形式的概念
复数z=0在复平面内与原点O（0，0）对应，向量是零向量，这时复数的模为0，
辐角是任意的。
由任意角三角函数的定义知道：

设复数z=a＋bi（z≠0）的辐角为θ，则cosθ= ,sinθ= , 其中r= + 。

’
的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的
向量
O
Z1
x
探究新知
核心知识点：二
复数乘除法运算的三角表示
所对应的复数r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即
为z1z1，这就是复数乘法的几何意义。
y
Z
当z2≠0时，
+
Z（a，b）和平面向量之间存在着一一对应的关系。
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在
y
的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数
b

z=a＋bi的辐角。例如，就是复数z=1＋i的一个

辐角，而＋2kπ（k∈Z）也都是复数z=1＋i的

辐角。
Z:a+bi
θ
O
a
x
探究新知
核心知识点：一

，故( − ) =
因此，这个复数的模为2，辐角为＋2k（k∈Z）.

重点探究
探究三

求复数2(cos -isin )的模与辐角。

第三章复数章末复习

(5)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或_|_a_＋__b_i|_，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi←―一――一―对――应―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ←―一――一―对――应―→平面向量O→Z.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
解答
反思与感悟根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论.
跟踪训练3
在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数
2 z
＋z2对应的
点位于
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 ∵2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝1＋2 i＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
解 z＋1 ＝
2＋i
＝2＋i＝1－i，
∴z2－z＋3z1＋6的模为 2.
解答
z 跟踪训练 2 (1)已知1＋i＝2＋i，则复数 z 等于
A.－1＋3i C.3＋i
√B.1－3i
D.3－i
解析 ∵1＋z i＝2＋i，∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.

高考数学一轮复习专题训练—复数

复数考纲要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．知识梳理1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ⇔a ＝c 且b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.1．i 的乘方具有周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. 2．(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i ＝－i.3．复数的模与共轭复数的关系 z ·z ＝|z |2＝|z |2. 4．两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小．2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足z ＋3i ＝a ＋a i ，若复数z 是纯虚数，则( ) A ．a ＝3 B ．a ＝0 C ．a ≠0 D ．a <0答案 B解析由z ＋3i ＝a ＋a i ，得z ＝a ＋(a －3)i.又因为复数z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a －3≠0，解得a ＝0.3．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析因为z ＝4＋3i1＋2i＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝10－5i5＝2－i ，所以z ＝2＋i.4．(2020·北京卷)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( ) A ．1＋2i B ．－2＋i C ．1－2i D ．－2－i答案 B解析 z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.5．(2019·全国Ⅲ卷改编)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B ．22C ． 2D ．2答案 C解析法一由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.法二因为2i ＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2. 6．(2021·安庆一中月考)已知复数z ＝2i1－i3，则z 在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．答案二解析 ∵z ＝2i1－i3＝－1－i 21－i3＝－11－i＝－12－i 2， ∴z ＝－12＋i2对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限．考点一复数的相关概念1．(2020·浙江卷)已知a ∈R ，若a －1＋(a －2)i(i 为虚数单位)是实数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析由题可知复数的虚部为a －2，若该复数为实数，则a －2＝0，即a ＝2.故选C. 2．(2019·全国Ⅱ卷)设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.故选D. 3．(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z |＝( ) A ．0 B ．1C ． 2D ．2答案 C解析 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ，∴|z |＝12＋12＝ 2.故选C.4．(2021·西安调研)下面关于复数z ＝－1＋i(其中i 为虚数单位)的结论正确的是( ) A.1z 对应的点在第一象限 B ．|z |<|z ＋1| C ．z 的虚部为i D ．z ＋z <0 答案 D解析∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i－1＋i－1－i＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z＝－2<0，故D正确．感悟升华 1.复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部．若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.3．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数为z＝a－b i，则z·z＝|z|2＝|z|2，即|z|＝|z|＝z·z，若z∈R，则z＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题．考点二复数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1(2)(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋b i，其中a，b是实数，则复数a－b i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案(1)C(2)B解析(1)由已知条件，可设z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋y i－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(2)由a1－i＝－1＋b i，得a ＝(－1＋b i)(1－i)＝(b －1)＋(b ＋1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝0，a ＝b －1，即a ＝－2，b ＝－1， ∴复数a －b i ＝－2＋i 在复平面内对应点(－2,1)，位于第二象限．感悟升华 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应Z (a ，b )一一对应OZ →＝(a ，b )．2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．【训练1】 (1)若复数z ＝(2＋a i)(a －i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a ∈R ，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2，2) B ．(－2，0) C ．(0，2)D ．[0，2)(2)(2021·郑州模拟)已知复数z 1＝2－i2＋i 在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB →与虚轴垂直，则z 2的虚部为________．答案 (1)B (2)－45解析 (1)z ＝(2＋a i)(a －i)＝3a ＋(a 2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，a 2－2<0，解得－2<a <0.(2)z 1＝2－i 2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝35－45i ，所以A ⎝⎛⎭⎫35，－45，设复数z 2对应的点B (x 0，y 0)，则AB →＝⎝⎛⎭⎫x 0－35，y 0＋45，又向量AB →与虚轴垂直，∴y 0＋45＝0，故z 2的虚部y 0＝－45.考点三复数的运算【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0B ．1C ． 2D ．2(2)在数学中，记表达式ad －bc 为由⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 所确定的二阶行列式．若在复数域内，z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i 1－i ，z 3＝z 2，则当⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝12－i 时，z 4的虚部为________．答案 (1)D (2)－2解析 (1)法一 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z 2－2z |＝|－2|＝2. 法二 |z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)| ＝|1＋i||－1＋i|＝2. 故选D. (2)依题意，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 z 2z 3 z 4＝z 1z 4－z 2z 3，因为z 3＝z 2，且z 2＝2＋i1－i ＝2＋i1＋i2＝1＋3i 2，所以z 2·z 3＝|z 2|2＝52，因此有(1＋i)z 4－52＝12－i ，即(1＋i)z 4＝3－i ，故z 4＝3－i 1＋i＝3－i1－i2＝1－2i.所以z 4的虚部是－2.感悟升华 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度： (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．【训练2】 (1)(2020·新高考山东卷)2－i1＋2i＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________. 答案 (1)D (2)2 3 解析 (1)2－i 1＋2i ＝2－i1－2i 1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.故选D.(2)法一设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧ |z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝3－a 2＋1－b 2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2.∴|z 1－z 2|2＝(2a －3)2＋(2b －1)2 ＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝12. 因此|z 1－z 2|＝2 3.法二设复数z 1，z 2对应的向量为a ，b ，则复数z 1＋z 2，z 1－z 2对应向量为a ＋b ，a －b ，依题意|a |＝|b |＝2，|a ＋b |＝2，又因为|a ＋b |2＋|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝12，故|z 1－z 2|＝|a －b |＝2 3.法三设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3.A 级基础巩固一、选择题1．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝－3－2i ，故z 对应的点(－3，－2)位于第三象限． 2．(2020·全国Ⅲ卷)复数11－3i 的虚部是( ) A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案 D解析 z ＝11－3i ＝1＋3i 1－3i 1＋3i ＝110＋310i ，虚部为310.故选D.3．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝( ) A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i答案 A解析 (1－i)4＝(1－2i ＋i 2)2＝(－2i)2＝4i 2＝－4.4. (2021·全国大联考)如图，复数z 1，z 2在复平面上分别对应点A ，B ，则z 1·z 2＝( )A ．0B ．2＋iC ．－2－iD ．－1＋2i答案 C解析由复数几何意义，知z 1＝－1＋2i ，z 2＝i ， ∴z 1·z 2＝i(－1＋2i)＝－2－i.5．设复数z 满足|z －3|＝2，z 在复平面内对应的点为M (a ，b )，则M 不可能为( ) A ．(2，3) B ．(3,2) C ．(5,0) D ．(4,1) 答案 D解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －3＝(a －3)＋b i ， ∴(a －3)2＋b 2＝4，验证点M (4,1)，不满足．6．(2021·河南部分重点高中联考)若复数a ＋|3－4i|2＋i (a ∈R)是纯虚数，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 B解析 a ＋|3－4i|2＋i ＝a ＋52－i2＋i 2－i ＝a ＋2－i 为纯虚数．则a ＋2＝0，解得a ＝－2.7．设2＋ii ＋1－2i ＝a ＋b i( a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则b －a i ＝( )A ．－52－32iB ．52－32iC.52＋32i D ．－52＋32i答案 A解析因为2＋i i ＋1－2i ＝2＋i1－i i ＋11－i －2i ＝32－52i ＝a ＋b i ，所以a ＝32，b ＝－52，因此b －a i＝－52－32i.故选A.8.如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析由图知OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0,1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1·z 2＝1－2i ，所以复数z 1·z 2所对应的点为(1，－2)，该点在第四象限．二、填空题9．(2020·江苏卷)已知i 是虚数单位，则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________．答案 3解析 z ＝(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，所以复数z 的实部为3.10．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．答案－2＋i解析因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.11．已知复数z ＝1＋2i 1＋i ＋2i z ，则|z |等于________．答案 22解析由z ＝1＋2i 1＋i＋2i z 得z ＝1＋2i 1＋i 1－2i ＝1＋2i 3－i＝1＋2i 3＋i 3－i 3＋i ＝1＋7i 10，故|z |＝11012＋72＝22. 12．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i 1＋i(a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________.答案 5 －3＋4i解析因为z ＝1－a i 1＋i ＝1－a i 1－i 1＋i 1－i ＝1－a －a ＋1i 2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7. 所以z ＝－3－4i ，故|z |＝－32＋－42＝5，且共轭复数z ＝－3＋4i.B 级能力提升13．(2020·南宁模拟)已知z ＝3－i 1－i (其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 的虚部是( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 A解析 ∵z ＝3－i 1－i ＝3－i 1＋i 1－i 1＋i＝4＋2i 2＝2＋i ， ∴z ＝2－i ，∴z 的虚部为－1.14．(2021·哈尔滨调研)已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，因为|z |＝z ＋1－2i ，所以x 2＋y 2＝x －y i ＋1－2i ＝(x ＋1)－(y＋2)i ，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝x ＋1，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2. 所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，－2，此点位于第四象限． 15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案－1＋i解析原式＝⎣⎡⎦⎤1＋i 226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．答案 3解析因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.。

数学北师大版选修1-2 第4章 1.2 复数的有关概念(2)

1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一复数的几何意义例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x<2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z(x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x<5时，点Z 在第四象限．反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cosθ＋isi nθ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. 因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2 已知0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A ．(1，10) B ．(1，3) C ．(1,3)D ．(1,10)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 A解析 0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|＝a 2＋1∈(1，10).1．当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 D解析 ∵23<m<1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限． 2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案 A解析由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a>1 B ．－1<a<1 C ．a>1D ．a>0考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求参数答案 B解析因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5，所以a 2<1，即－1<a<1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________. 考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 3解析复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z|＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m<3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b)而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 A解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m<1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －ai 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 B解析若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －ai ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B. 4．已知0<a<1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z|的取值范围是( ) A ．(2,5) B ．(2,3) C ．(2，5)D ．(2，3)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 C解析由题知z ＝a －2i ，所以|z|＝a 2＋4，又a ∈(0,1)，所以|z|∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2 D ．a ＝0考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案 A解析因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案 D解析设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案 5解析由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋yi 的模是22，则点(x ，y)的轨迹方程是________________．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案 (x －2)2＋y 2＝8解析由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝________. 考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 2解析由(1＋i)x ＝1＋yi ，得x ＋xi ＝1＋yi ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2.由条件得|z|＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m(m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0，解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)>0，m －1>0，解得m>1，即当m>1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m －1<0，解得m<0，即当m<0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－12＋12i，－12－32i，与之对应的向量可用OA→，OB→，OC→来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝1.四、探究与拓展14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，(－1)＋2＝nm，(－1)×2＝pm，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。

第12章复数章末题型归纳总结高考数学

又∠ ∈ , ，所以∠ = .

故答案为：

−

，

= ，
试卷讲评课件
例11.(2024 ⋅高一·江苏·专题练习)在复平面内，O是原点，向量OZ对应
的复数是−1 +
− 2
复数为_____.
π
i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转，则所得向量对应的
4
【解析】如图，由题意可知 = −, ，与
经典题型六：复数的三角表示
模块三：数学思想与方法
①分类与整合思想②等价转换思想③
数形结合的思想
试卷讲评课件
模块一：本章知识思维导图
试卷讲评课件
模块二：典型例题
经典题型一：复数的概念
例1.(2024
z
⋅高三·河南商丘·阶段练习)若复数z满足为纯虚数，且
2+i
z = 1，则z的虚部为(
√
2 5
A.±
若 = ，则有 = , = , ∴ = ，反之由 = ，
推不出 = ，如 = ＋, = − 时， = ，故C正确；
D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴
错.
选.
试卷讲评课件
【解析】复数 = + ，则 = +

= − + = −，
−=

又是实数，因此
，解得 = −，
= −
所以实数的值是−.
试卷讲评课件
z1
z1
(2)若是纯虚数，求
z2
z2
+
z1 2
z2
+
z1 3

高中数学复数知识点总结

高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。

实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。

2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。

5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。

例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。

7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。

8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。

9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。

10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。

11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。

12名词的复数形式

12 名词的复数形‎式A 名词的复数形‎式通常是在单‎数名词后加s‎：day，days天，白天dog，dogs狗house，houses‎房屋在词尾p，k或f音之后‎加的s读为／s／。

除此之外s读‎／z／。

词尾是ce，ge，se或ze的‎词之后加s时‎，该词的读音要‎加上一个音节‎（／Iz／）。

其他复数形式‎B 以字母o，ch，sh，ss或x结尾‎的单词，在词尾加es‎构成其复数：tomato‎，tomato‎e s西红柿brush， brushe‎s刷子church‎，church‎e s教堂kiss，kisses‎吻box，boxes箱‎，盒但以字母o结‎尾的外来词或‎缩写词的复数‎形式是只加s‎：dynamo‎，dynamo‎s发电机kilo，kilos公‎斤kimono‎，kimono‎s和服photo，photos‎照片piano，pianos‎钢琴sopran‎o，sopran‎o s女高音歌‎手词尾是ch，sh，ss或x的词‎后面加es时‎，该词的读音要‎加上一个音节‎（／Iz／）。

C 以y结尾但y‎前为辅音的名‎词在构成复数‎时，先把y去掉再‎加i es：baby，babies‎婴儿countr‎y，countr‎i es国家fly，flies苍‎蝇lady，ladies‎女士以y结尾但y‎前为元音的名‎词在构成复数‎时，直接加s：boy，boys男孩‎day，days天donkey‎，donkey‎s驴子guy，guys家伙‎D 有12个以f‎或fe结尾的‎名词在构成复‎数时，去掉f或fe‎加ves。

这些词是：calf小牛‎half半knife刀‎leaf叶子‎life生命‎loaf（面包的）条／只self自身‎sheaf捆‎shelf架‎子thief贼‎wife妻子‎wolf狼例如：loaf，loaves‎wife，wiveswolf，wolves‎名词hoof‎（蹄），scarf（围巾）和wharf‎（码头）构成复数形式‎时，其词尾可以加‎s或ves：hoofs或‎h o oves‎scarfs‎或scarv‎e swharfs‎或wharv‎e s其他以f或f‎e结尾的名词‎在构成复数形‎式时，直接加s：cliff，cliffs‎悬崖峭壁handke‎r chief‎，handke‎r chief‎s手帕safe，safes保‎险箱E 有些名词用改‎变无音的方法‎来构成其复数‎形式：foot，feet，英尺，脚goose，geese鹅‎louse，lice虱子‎man，men男人mouse， mice老鼠‎tooth，teeth牙‎齿woman，women女‎人但是，child的‎复数是chi‎l dren，ox的复数是‎o x en。

12.2第1课时复数的加减与乘法运算-【最新版】苏教版(2019)高中数学必修第二册精品课件

探究
(3)已知复数 z 满足|z|＋z＝1＋3i，求 z.
时分
层
释
作
疑
业
难
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17
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情
课
景
堂
导
小
学
结
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探
提
新知
(1)1＋i [13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－34＋12－1＋23i
素养
合
作探
＝1＋i.]
课时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
(2)[解] 法一：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
提素
知
养
①复数的乘法法则
合
作
课
探
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
究
时分
释疑
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(_a_c_－_b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ______.
层作业
难
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景
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②乘法运算律
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探新
对于任意 z1，z2，z3∈C，有
难
复数仍是它本身．
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情
课
景
堂
导
思考：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
小
学
结
·
探
提
新第1课时复数的加减与乘法运算

复数的性质-总结

，，
12.复数的运算律
（1）复数的乘方：
（2）对任何，及有
13.复数的几何意义
，加减法的几何意义：平行四边形法则
注：复数几何意义给数形结合提供了条件.
⑴复平面内的两点间距离公式： .其中是复平面内的两点所对应的复数间的距离.
⑵曲线方程的复数形式：
① 为圆心，r为半径的圆的方程.
② 表示线段的垂直平分线的方程.
②z是纯虚数 z＋＝0（z≠0）; ③z是纯虚数 z2<0
4.复数相等
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
5.复数的模
= =
6.较大小
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
（1）若为复数，则
①若，则 .（×）[ 为复数，而不是实数]
②若，则 .（√）
（2）若，则是的必要不充分条件.
（当，时，上式成立）
8.共轭复数
复数z=a+bi与复数z=a-bi互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．
9.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴．
10.复数四则运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
复数
1.复数定义
形如的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．（复数集C—全体复数的集合）
2.复数单位
复数的单位为i，它的平方等于－1，即 .
3.复数分类
（1）复数—形如z=a+bi（其中）；
（2）实数— 当b = 0时的复数z=a+bi，即a；
（3）虚数—当时的复数z=a+bi；
（4）纯虚数—①当a= 0且时的复数z=a+bi，即bi.

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：复数

第
二部分
探究核心题型
题型一复数的概念
例1 (1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z
对应的点在第一象限，则下列结论正确的是
√A.复数
z
的虚部为
3 2
√B.1z＝12－
3 2i
C.z2＝z＋1
D.复数
z
的共轭复数为－12＋
3 2i
设复数z＝a＋bi(a，b∈R). 因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，
∵z·i3＝1－2i， ∴－zi＝1－2i， ∴z＝1－－i2i＝(1－－i22i)i＝2＋i， ∴ z ＝2－i，
∴ z 的虚部为－1.
题型三复数的几何意义
例3 (1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其
中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫
(c＋di≠0).
知识梳理
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即O→Z＝ —OZ→1 ＋—OZ→2 ，—Z1→Z2＝ —OZ→2 －—OZ→1 .
常用结论
1.(1±i)2＝±2i；11＋－ii＝i；11－＋ii＝－i. 2.－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R). 3.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). 4.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N). 5.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.

复数的概念

高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
3．若 4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数 a 的值为( C ) A．1 B．1 或－4 C．－4 D．0 或－4
[解析] 易知－4－a23＝a＝4aa，2，解得 a＝－4.
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YUMINGSHIDUIHUA
与名师对话
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第五章复数
§1 复数的概念及其几何意义 1．1 复数的概念
课前自主预习课堂互动探究随堂巩固验收
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
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新课程标准：1.了解实数系扩充到复数系的过程，体会数系扩充的必要性.2.掌握复数的有关概念和代数符号形式.3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
C．②③
D．③④
[解析] 在①中，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若 x＝－1，则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0 为实数，故③错误；②④正确．
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题型二复数的分类【典例 2】实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－15)i 是(1)实数；(2) 虚数；(3)纯虚数． [思路导引] 依据 z＝a＋bi(a，b∈R)表示实数、虚数、纯虚数的充要条件进行判断．
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[巩固训练] 2．实数 m 为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)若 z 为实数，则mm22＋＋23mm＋＋12>＝00，，即mm≠ ＝－－12，或m＝－1，解得 m＝－2.∴当 m＝－2 时，z 为实数．

复数及其运算(完整版本)

.
25
(2) zsinicos
55 显r然 z1,
sin5cos25
cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
故
zco3sisin 3
3 i
e10 .
10 10
26
乘幂与方根
设复z1数和z2的三角形式分别为
z 1 r 1 (c1 o issi1 ） n , z 2 r 2 (c2 o issi2 ） ,n
其中 x,y为实数，z分的别实称部,为和虚
记 x 作 R z )e ,y (Im z ). ( 当 x0, y0时 ,ziy 称为;纯虚数
当y0时 , zx0i,我们把它x看 . 作复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部
分别相等（求解复方程的基础）
z1 x1 y1i，z2x2y2i
24
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z si n ico ; s 55
解 (1) rz1 244, 因z在第三象, 限
arcta2 1 n2 πarcta3n3
5 6
,
故
z4 co s 6 5 isi n6 5
5i
4e 6
所 z 1 z 以 2 c o 3 s6 is i n 3 6 i,
z1c o s isi n 3 1 i.
z2 36 36 2 2
32
z1z2 z1 z2
a rg (z 1 z 2 ) a rg (z 1 ) a rg (z2 )
使用复数的语言，任何平面几何问题都能以清晰的面貌重新呈现。
z 1 z 2 r 1 (1 c i s o 1 ) i r 2 ( n s 2 c i s o 2 ) in s r1r2[(c 1c oo s 2 ssi1 n si2 n ) i(s1 icno 2 sco 1ssi2 n )]

新教材高中数学第12章复数的三角形式学案含解析苏教版必修第二册

新教材高中数学学案含解析苏教版必修第二册：12.4 复数的三角形式*学习任务核心素养1.了解复数的三角形式与代数形式，能将复数的代数形式化为三角形式．理解辐角、辐角主值等概念．(重点)2．掌握复数三角形式的乘、除法运算法则及几何意义．(重点、难点)通过对复数的三角形式的乘除法法则的应用，培养运算求解能力，结合乘除法几何意义的学习，培养直观想象素养.设复数z ＝1＋3i 在复平面内对应的点为Z .记r 为向量OZ →的模，θ是以x 轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，求r 的值，并写出θ的任意一个值，探讨r ，θ与z ＝1＋3i 的实部、虚部之间的关系．知识点1 复数的辐角、与辐角主值(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内一一对应的向量为OZ →，以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在的射线(起点是原点O )为终边的角θ叫作复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的辐角．(2)任一非零的复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 的辐角有无限个值，这些值相差2π的整数倍，我们把其中适合于0≤θ＜2π的辐角θ的值叫作复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的辐角主值．记为arg z .1.对于任意一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是否都有唯一的模和辐角主值？复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数吗？[提示] 每一个非零复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )都有唯一的模和辐角主值；复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数．(3)两个非零复数相等的充要条件两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等． (4) 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模与辐角主值①设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，z ≠0)的辐角为θ，则cos θ＝a r ，sin θ＝br ，其中r ＝a 2＋b 2.②复数z ＝0，复数的模为0，辐角是任意的．1.若复数z ＝－1－3i(i 为虚数单位)，则arg z 为( )A ．－120°B ．120°C ．240°D ．210°C [由z ＝－1－3i ，得复数z 对应的点在第三象限，且cos θ＝－12，所以arg z ＝240°.故选C.]知识点2 复数的三角形式复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模为r ，辐角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，其中r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝b r.则r (cos θ＋isin θ)称为复数z 的三角形式，而a ＋b i(a ，b ∈R )称为复数z 的代数形式．2.复数z ＝1－i(i 为虚数单位)的三角形式为( )A ．z ＝2(sin 45°－icos 45°)B ．z ＝2(cos 45°－isin 45°)C ．z ＝2[cos(－45°)－isin(－45°)]D ．z ＝2[cos(－45°)＋isin(－45°)]D [依题意得r ＝12＋(－1)2＝2，复数z ＝1－i 对应的点在第四象限，且cos θ＝22，因此，arg z ＝315°，结合选项知D 正确，故选D.]知识点3 复数的三角形式的乘、除法法则及几何意义 (1) 复数的三角形式的乘法法则①若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和．②复数乘法的几何意义在复平面内，复数z 1、z 2对应的向量分别为OZ 1→、OZ 2→，复数z 1、z 2的辐角主值分别为θ1、θ2，复数z 1、z 2的模分别为r 1、r 2，将向量OZ 1→按逆时针方向旋转θ2得到向量OZ 1′→(模仍然为r 1)，再把向量OZ 1′→的模r 1变为原来的r 2倍，从而得到一个新向量OZ →，向量OZ →所对应的复数为r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，即为z 1z 2，这就是复数乘法的几何意义．(2)复数的三角形式的除法法则若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，当z 2≠0，则z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．2.类比复数乘法的几何意义，解释复数除法的几何意义．[提示] 在复平面内，复数z 1、z 2对应的向量分别为OZ 1→、OZ 2→，复数z 1、z 2的辐角主值分别为θ1、θ2，复数z 1、z 2的模分别为r 1、r 2，将向量OZ 1→按顺时针方向旋转θ2得到向量OZ 1′→(模仍然为r 1)，再把向量OZ 1′→的模r 1变为原来的1r 2倍，从而得到一个新向量OZ →，向量OZ →所对应的复数为r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ，即为z 1z 2，这就是复数除法的几何意义．3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于各复数的幅角的积．( )(2)一个复数与i 相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转π2．( ) (3) [r (cos θ＋isin θ)]2＝r 2[cos 2θ＋isin 2θ]． ( ) (4)任意一个复数的模和辐角主值都是确定的． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4) ×4.设复数z 1＝12⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3，z 2＝6⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6，则z 1z 2为( ) A ．3i B ．3⎝⎛⎭⎫cos π18＋isin π18 C ．－3iD ．3⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6 A [z 1z 2＝12×6⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝3i. 故选A.]类型1 复数的三角形式与辐角、辐角主值【例1】将下列复数表示成三角形式，并求出其模和辐角主值． (1)1＋3i ；(2)－3⎝⎛⎭⎫sin π6－icos π6. [解] (1)因为|1＋3i |＝12＋(3)2＝2，cos θ＝12，sin θ＝32 ，所以1＋3i ＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3，所以该复数的模为2，arg z ＝π3.(2)法一：因为－3⎝⎛⎭⎫sin π6－icos π6＝－32＋332i ，所以该复数的模r ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫3322＝3，cos θ＝－12，sin θ＝32，又arg z ∈[0，2π)，所以arg z ＝2π3，所以－3⎝⎛⎭⎫sin π6－icos π6＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3. 法二：因为－3⎝⎛⎭⎫sin π6－icos π6＝3⎝⎛⎭⎫－sin π6＋icos π6＝3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝3⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3，所以该复数的模为3，arg z ＝2π3.(1)复数的三角形式、辐角、辐角主值复数的三角形式的特点：r (cos θ＋isin θ) ，其中r 为复数的模，θ为辐角；对于任意一个非零复数可以有多个辐角，它们相差2π的整数倍；所有辐角中在[0，2π)上的辐角称为辐角主值．(2)将非零复数化为三角形式的方法：法一：先化为三角形式r (cos θ＋isin θ)，再根据r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝br ，求出模和辐角．法二：先提取复数的模r ，再结合诱导公式化为三角形式．[跟进训练]1．写出下列复数的三角形式和辐角主值． (1) z ＝3－i ；(2)z ＝－2⎝⎛⎭⎫sin 5π6－icos 5π6. [解] (1)法一：因为|z |＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2，cos θ＝32，sin θ＝－12，所以可取θ＝arg z ＝11π6，从而z ＝3－i 的三角形式为z ＝2⎝⎛⎭⎫cos 11π6＋isin 11π6. 法二：z ＝3－i ＝2⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫－12i ＝2⎝⎛⎭⎫cos 11π6＋isin 11π6，所以z ＝3－i 的三角形式为z ＝2⎝⎛⎭⎫cos 11π6＋isin 11π6，arg z ＝11π6. (2) z ＝－2⎝⎛⎭⎫sin 5π6－icos 5π6＝2⎝⎛⎭⎫－sin 5π6＋icos 5π6＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π3＋isin 4π3. 所以arg z ＝4π3.类型2 复数三角形式的乘、除法法则的运算【例2】计算：(1)5⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6×2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4；(2) cos 7π12＋isin7π121＋3i.[解] (1)5⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6×2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4 ＝10⎝⎛⎭⎫cos 5π12＋isin 5π12 ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i＝56－522＋56＋522i. (2)cos 7π12＋isin 7π121＋3i ＝cos 7π12＋isin7π122⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫7π12－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫7π12－π3 ＝12⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4 ＝24＋24i.1．复数三角形式的乘法法则：z 1的模乘以z 2的模等于z 1·z 2的模，z 1的辐角加上z 2的辐角是z 1·z 2的辐角．2．复数三角形式的除法法则：z 1的模除以z 2的模等于z 1z 2的模，z 1的辐角减去z 2的辐角是z 1z 2的辐角．[跟进训练]2．设复数z 1＝3＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2∈(0，π)，求z 2的代数形式．[解] 因为z 1＝2⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6，设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z 1·z 22＝8⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋isin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6. 由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2 (k ∈Z )，所以α＝k π ＋2π3(k ∈Z )，又α∈(0，π)，所以α＝2π3，所以z 2＝2⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋isin 2π3＝－1＋3i. 类型3 复数三角形式的乘、除法法则的几何意义【例3】把复数z 1与z 2对应的向量OA →，OB →分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，与向量OM→重合且模相等，已知z 2＝－1－3i ，求复数z 1的代数式和它的辐角主值．[解] 由复数乘法的几何意义得 z 1⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4＝z 2⎝⎛⎭⎫cos 5π3＋isin 5π3，又z 2＝－1－3i ＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π3＋isin 4π3， ∴z 1＝2⎝⎛⎭⎫cos 4π3＋isin 4π3·⎝⎛⎭⎫cos 5π3＋isin 5π3cos π4＋isin π4＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫3π－π4＋isin ⎝⎛⎭⎫3π－π4＝－2＋2i ， z 1的辐角主值为3π4.设z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，z 1，z 2的模分别为r 1、r 2，辐角分别为θ1、θ2. (1)复数乘法的几何意义：OZ 1→绕原点O 逆时针方向旋转θ2，得到OZ 1′→，再将OZ 1′→的模变为原来的r 2倍，如果所得向量为OZ →，则OZ →对应的复数为z 1·z 2.(2)复数除法的几何意义：OZ 1→绕原点O 顺时针方向旋转θ2，得到OZ 1′→，再将OZ 1′→的模变为原来的1r 2倍，如果所得向量为OZ →，则OZ →对应的复数为z 1z 2.[跟进训练]3．如图，复平面内的是等边三角形△OBC ， B 的坐标为(1，1)，求点C 的坐标．[解] 因为B 的坐标为(1，1)，所以|OB |＝2，∴OB →＝1＋i ＝2⎝⎛⎭⎫22＋22i ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4，将OB →绕点O 顺时针方向旋转π3得OC →＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4·⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π4－π3＋isin ⎝⎛⎭⎫π4－π3 ＝2⎝⎛⎭⎫cos π12－isin π12 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫6＋24－6－24i ＝3＋12＋1－32i ，所以点C 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，1－32.1．复数z ＝1－i ，则arg z ＝( ) A ．π4 B ．－π4 C ．7π4D ．不唯一C [∵z ＝1－i ，∴复数z 对应的点在第四象限，且cos θ＝22， ∴arg z ＝7π4，故选C.]2．复数32＋12i 化成三角形式，正确的是( ) A ．cos π3＋isin π3B ．cos π6＋isin π6C ．cos 2π3＋isin 2π3D ．cos 11π6＋isin 11π6B [复数32＋12i 的模r ＝1，cos θ＝32，sin θ＝12，所以可取θ＝arg ⎝⎛⎭⎫32＋12i ＝π6.即32＋12i ＝cos π6＋isin π6.故选B.] 3．已知i 为虚数单位，z 1＝2(cos 60°＋isin 60°)，z 2＝22(sin 30°－icos 30°)，则z 1·z 2＝( )A ．4(cos 90°＋isin 90°)B ．4(cos 30°＋isin 30°)C ．4(cos 30°－isin 30°)D ．4(cos 0°＋isin 0°)D [∵z 2＝22(sin 30°－icos 30°)＝22(cos 300°＋isin 300°)，∴z 1·z 2＝2(cos 60°＋isin 60°)×22(cos 300°＋isin 300°)＝4(cos 360°＋isin 360°)，结合选项知选D.]4．复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，则∠AOB ＝______. 5π12[z 1＝1＋i ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4， z 2＝3－i ＝2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π6＋isin ⎝⎛⎭⎫－π6，所以∠AOB ＝π4＋π6＝5π12.]5．已知等腰直角三角形OAB 中，∠A ＝π2，若点A 对应的复数为2＋3i ，则点B 对应的复数为______．－1＋5i 或5＋i [2(2＋3i)⎝⎛⎭⎫cos π4＋isin π4＝ (2＋3i)(1＋ i)＝－1＋5i ，2(2＋3i)⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋isin ⎝⎛⎭⎫－π4＝5＋i ，即B 点对应的复数为－1＋5i 或5＋i.]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．将复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )化为三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)时，要注意哪些问题？ [提示] (1)r ＝a 2＋b 2；(2)cos θ＝a r ，sin θ＝b r ，其中θ终边所在象限与点(a ，b )所在象限相同．或tan θ＝ba (a ≠0)，θ终边所在象限与点(a ，b )所在象限一致．当a ＝0，b >0时，arg z ＝π2.2．复数三角形式的乘除法是如何运算的？[提示] 设z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．。

复数知识点归纳

复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念（1）定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R ) 对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上（2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-例题：已知i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++=（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.六、常用结论（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )【考点自测】1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( )A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i4.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2等于( )A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1 (1)设i 是虚数单位.若复数z ＝a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( ) A.1 B.i C.25D.0 (3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件引申探究1.对本例(1)中的复数z ，若|z |＝10，求a 的值.2.在本例(2)中，若z 1z 2为实数，则a ＝________. 思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2014·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2015·湖北)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )A.iB.－iC.1D.－1(2)(2015·北京)复数i(2－i)等于( )A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2015·湖南)已知?1－i ?2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题例4 (1)(2015·天津)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.命题点4 复数的综合运算例5 (1)(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i＋i·z 等于( ) A.－2 B.－2i C.2 D.2i(2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A.－4B.－45C.4D.45思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. (3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 题型三复数的几何意义例6 (1)(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A.内心B.垂心C.重心D.外心思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.D(2)已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思维点拨 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在a ＋b i(a ，b ∈R )中的实数b ，即虚部是一个实数.【巩固练习】1.(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,42.设z ＝11＋i ＋i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C.32D.2 3.(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( )A.－1B.0C.1D.24.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( ) A.E B.F C.G D.H5.(2014·江西)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________.7.若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 8.复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________.9.计算：(1)?－1＋i ??2＋i ?i 3；(2)?1＋2i ?2＋3?1－i ?2＋i ； (3)1－i ?1＋i ?2＋1＋i ?1－i ?2；(4)1－3i ?3＋i ?2. 10.复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值. 【能力提升】11.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－916，1C.⎣⎡⎦⎤－916，7D.⎣⎡⎦⎤916，7 12.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.无数个13.已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________. 14.设a ∈R，若复数z ＝a 1－i＋1－i 2在复平面内对应的点在直线x ＋y ＝0上，则a 的值为____________. 15.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.【巩固练习参考答案】1A. 2.B. 3.B. 4.D. 5.D. 6. 5. 7.3. 8.m <23. 9.解 (1)?－1＋i ??2＋i ?i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)?1＋2i ?2＋3?1－i ?2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i ?2－i ?5＝15＋25i. (3)1－i ?1＋i ?2＋1＋i ?1－i ?2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i ?3＋i ?2＝?3＋i ??－i ??3＋i ?2＝－i 3＋i＝?－i ??3－i ?4＝－14－34i.10.解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13?a ＋5??a －1?＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎡⎦⎤－916，7. 答案 C 12.解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，… ∴集合中共有3个元素. 答案 C13.解析 ∵|z －2|＝?x －2?2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3. 14.解析 ∵z ＝a ?1＋i ?2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ，∴依题意得a ＋12＋a －12＝0，∴a ＝0. 15.解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根.由根与系数的关系知，⎩⎨⎧ ?1＋2i ?＋?1－2i ?＝－b ，?1＋2i ??1－2i ?＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.。

易错点12 复数(解析版)

易错点12 复数易错点1.复数的有关概念(1)定义：一般地，当a 与b 都是实数时，称a ＋b i 为复数.复数一般用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部. (2)分类：满足条件(a ，b 为实数) 复数的分类a ＋b i 为实数⇔b ＝0 a ＋b i 为虚数⇔b ≠0 a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示.(5)复数的模：向量OZ →＝(a ，b )的长度称为复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模(或绝对值)，复数z 的模用|z |表示，因此|z |＝a 2＋b 2.当b ＝0时，|z |＝a 2＝|a |. 易错点2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系.易错点3.复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. (3)由复数加、减法的几何意义可得||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.1．已知复数z 的共轭复数z 满足关系式i 1i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【详解】解：因为i 1i z ⋅=+，所以()21i i1i 1i i i z ++===-，所以1i z =+，在复平面内所对应的点为()1,1，位于第一象限；故选：A 2．复数|3i |1iz -=-的共轭复数z 为（） A ．22i + B ．22i - C ．1i + D ．1i -【答案】D 【详解】∵()()22|3i |312-=+-=，则22(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+--+， ∵1i =-z . 故选：D.3．设复数21iz =+(其中i 为虚数单位)，则z =（）A ．5B ．3C ．5D ．3【答案】A【详解】2112i iz =+=-，22||1(2)5z ∴=+-=，故选：A4．已知a ∈R ，若()211i -+-a a 是纯虚数（i 是虚数单位），则=a （）A ．－1或1B ．0C ．－1D ．0或1【答案】C【详解】()211i a a -+-是纯虚数，210a ∴-=且10a -≠，解得1a =-，故选：C5．已知复数z 的共轭复数为z ，若1i z =+，则22i z-=（） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --【答案】B【详解】1i z =-，()()()()21i 21i 222i 2i 2i 2i 1i 1i 1i 1i 2z ++-=-=-=-=---+，故选：B1．已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==- B ．1,2a b =-= C ．1,2a b == D ．1,2a b =-=-【答案】A【详解】12i z =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:AA ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【详解】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.3．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【详解】因为,a b R ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.5．若13i z =-，则1zzz =-（） A ．13i - B ．13i -C ．133-D ．133-【答案】C【详解】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =--=-+--=+= 13i 13i 1333z zz -+==-+- 故选：C一、单选题1．已知z 为复数i(1i)z =-的共轭复数，则z z ⋅=（） A ．1i - B ．1i + C ．2- D ．2【答案】D【详解】2i i 1i,1i,2z z z z =-=+=-⋅=．故选：D ． 2．复数12i+的虚部是（） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】A【详解】22112i 12i 12i 12i 12i (12i)(12i)1(2i)555---====-++-- 所以虚部为25-故选：A3．已知i 为虚数单位，则复数2i=-（） A ．34i 55-B ．34i 55+C ．34i 55-+ D ．34i 55--【答案】B 【详解】()()()()2i 2i 2i 34i 34i 2i 2i 2i 555++++===+--+. 故选：B.4．已知(13i)2z -+=（其中i 为虚数单位），则复数z =（） A ．132-B ．132C ．132-D ．132+【答案】A【详解】又条件可知()()()213i 2223i 13i 42213i 13i 13iz ----====---+-+--. 故选：A 5．复数2i iz =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【详解】因为1i 12i 12i i 12i 1i i iz -=+=-+=--+=-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)-位于第二象限，故选：B6．已知复数z 在复平面内对应的点为()11，，z 是z 的共轭复数，则z=（） A ．11i 22-+B ．11i 22+C ．11i 22-D ．11i 22--【答案】B【详解】∵复数z 在复平面内对应的点为()11，， ∵1i z =+，1i z =-，()()11i 1i 11i 1i 1i 222++===+-+z . 故选：B ．7．已知（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点一定在（） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一、三象限的角平分线上D ．第二、四象限的角平分线上【答案】D【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则i i (i)i z z a b b a =⋅=⋅+=-+，即i=i a b b a --+，b a ∴=-， ∵i=i z a b a a =+-，复数z 在复平面上对应的点为(),a a -，一定在第二、四象限的角平分线上，故选：D8．在复平面内，复数14i+对应的点为M ，复数()22i +对应的点为N ，则向量MN 的模为（） A ．17B 10C ．13D 26【答案】B 【详解】17i 17i(14i)4i 14i (14i)(14i)-==+++-，()222i i 4i 34i 4=++=++， (4,1),(3,4)M N ∴，22(1,3),||(1)310MN MN ∴=-=-+=.故选：B二、多选题9．若复数z 满足：()2i 86i z z +=+，则（） A ．z 的实部为3 B ．z 的虚部为1C ．10zz =D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限【答案】ABD【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，因为()2i 86i z z +=+，所以2i 86i zz z +=+，所以()2222i 86i ab b a +-+=+，所以2228a b b +-=，26a =，所以3a =，1b =，所以3i z =+，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；210zz z ==，故C 不正确；z 在复平面上对应的点()3,1位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．10．已知复数z 满足方程()()9240z z z +-+=，则（）A ．z 可能为纯虚数B ．该方程共有两个虚根C ．z 可能为13iD ．该方程的各根之和为2【答案】ACD【详解】解：由()()229240z z z +-+=，得290z +=或2240z z -+=，即29z =-或2(1)3z -=-，解得3i z =±或13z i =±，即方程的根分别为13i z =、23i z =-、313i z =+、413i z =-，所以()()()12343i 3i 13i 13i 2z z z z +++=+-+++-= 故选：ACD.三、解答题11．已知12,z z C ∈，121z z ==，123z z +=，求12z z -. 【详解】设复数12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ ，因为12121,3z z z z ==+=，可得121,1OZ OZ ==，且22221212121212()2223z z OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ OZ +=+=++=+=，解得1221OZ OZ =，所以222212121212()21z z OZ OZ OZ OZ OZ OZ -=-=+-=，所以121z z -=.故答案为：1.12．设复数1、2满足1212. (1)若1z 、2z 满足212i z z -=，求1z 、2z ；(2)若13z k ，使得等式2|4i |z k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）由212i z z -=可得：212i z z =-，代入已知方程得()()11112i 2i 2i 2i 10z z z z ⋅-+--+=，即211||2i 30z z --=，令1i z a b =+（a b R ∈、），∵()222i i 30a b a b +---=，即()222320a b b ai +---=，∵2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或03a b =⎧⎨=⎩，∵1i z =-、2i z =-或13i z =、25i z =-；（2）由已知得2122i 12i z z z -=+，又13z =，∵222i 132iz z -=+， ∵222222222i 1|32i |2i |32i|z z z z -=+⇔+=+，∵()()()()22222i 2i 32i 2i z z z z +-=+-，整理得22224i 4i 110z z z +--=即22224i 4i 110z z z z +--=，所以()()22224i 4i 4i 27z z z +--=，故()()224i 4i 27z z -+=，∵22|4i |27z -=，即24i 33z -=，∵存在常数33k =，使得等式24i z k -=恒成立.。

amc12 复数考点

amc12 复数考点AMC12复数考点引言：AMC12是美国数学竞赛中的一项重要考试，复数是其中一个常见的考点。

复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实部和虚部。

在AMC12中，复数的运算和性质是需要掌握的基本知识，下面将详细介绍AMC12中的复数考点。

一、复数的表示和运算1. 复数的表示方式：复数可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。

实部和虚部都是实数。

2. 复数的加法和减法：复数的加法和减法与实数的运算类似，实部和虚部分别相加或相减。

3. 复数的乘法：复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的性质得出，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 复数的除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数并进行化简得出，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。

二、复数的性质1. 复数的共轭：复数a+bi的共轭是a-bi，共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。

2. 复数的模：复数a+bi的模是|a+bi|=√(a^2+b^2)，模表示复数到原点的距离。

3. 复数的乘法性质：复数的模的乘积等于复数的乘积的模，即|z1z2|=|z1||z2|。

4. 复数的除法性质：复数的模的商等于复数的商的模，即|z1/z2|=|z1|/|z2|。

三、复数的应用1. 解方程：复数可以用于解决一些特殊的方程，如x^2+1=0，该方程没有实数解，但可以用虚数单位i表示解x=i和x=-i。

2. 负数的开方：在实数范围内，负数是无法开方的，但在复数范围内，可以通过虚数单位i进行开方运算，如√(-1)=i。

3. 旋转变换：复数可以表示平面上的点，通过复数的乘法可以实现平面上的旋转变换，这在几何问题中有广泛的应用。

结论：复数是AMC12中的重要考点之一，掌握复数的表示、运算和性质对于解题至关重要。

在解决复数相关的问题时，可以通过运用复数的性质和应用，灵活地运用数学思维解决问题。