最新-福建省长泰一中高考数学一轮复习《二项式定理》

福建省长泰一中高考数学一轮复习《二项式定理》学案

()()1::1k k n n C C n k k +=-+

3．二项式定理主要有以下应用

①近似计算

②解决有关整除或求余数问题

③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题

④ 杨辉三角形

例1. (1) （18湖南理11）若(ax －1)5的展开式中x 3的系数是－80，则实数a 的值是 ．

(2) （18湖北文8）在243)1(x x +

的展开式中，x 的幂指数是整数的有 项． (3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x 2项的系数为 ．

解：（1）－2 （2）5项 （3）35

变式训练1：若多项式)1()1()11010991010

2(+++++++=+x a x a x a a x x , 则

=a 9( )

A 、9

B 、10

C 、－9

D 、－10

解：根据左边

x 10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为010*******=+=+a C a a ,∴

109-=a 故选D 。 例2. 已知f(x)＝(1+x)m +(1+x)n ，其中m 、n ∈N 展开式中x 的一次项系数为11，问m 、n 为

何值时，含x 3项的系数取得最小值？最小值是多少？

由题意111111=+⇒=+n m C C n m ，则含x 3项的系数为)2)(1(6

133--=+n n n C C n m ＋ 典型例题 基础过关

整理得05052=--n n

即解方程(n －10)(n ＋5)＝0

则只有n=10适合题意.由

)(2220101i x x C T r r r r n -⋅⋅⋅=--+, 当 02220=-

-r r 时,有r=8, 故常数项为C i C 2

108810)(=-=45 故选D

例3. 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +） 解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-

令x=0，便得到：0a =1

令x=1，得到2004210......a a a a ++++=1

又原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）

=)......(2003)......(2004200421002004210a a a a a a a a a +++++=++++

∴原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=2018 注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系

变式训练3：若()

323012323x a a x a x a x +=+++，则 ()()220213a a a a +-+的值是 （ ）

A ．1-

B ．1

C ．0

D ．2 解：A

令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8

=1

(2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为r n r C

--⋅218,r r C 28⋅,1182++⋅r r C , 若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足： r n r C --⋅21

8≤r r C 28⋅ 并且1182++⋅r r C ≤r r

C 28⋅，解得5≤r ≤6； 所以系数最大的项为T 7=1792111x ⋅

；二项式系数最大的项为T 5=112061x ⋅ 变式训练4：①已知(231

x x +)n 的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，

求展开式中不含x 的项.

②求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2项的系数.

解：+++=+2

21111)11(n C n C n n n

n 21111=+=+n C n

C n n n n 2

21111)11(n C n C n n n n ++=+ +⋅↓-++=++2

22)1(111n n n n C n n n

n n n n n ⋅↓⋅⋅--+12)2)(1( +↓

+↓+31212 +++<↓2212121n 32132111<-=+--n n

1．注意(a ＋b)n 及(a －b)n 展开式中，通项公式分别为1r n r r r n T C a b -+=及()11r

r n r r r n T C a b -+=-这里0r n ≤≤且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．

2．二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．

3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍．

4．求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数小结归纳

的倍数加1或减1．通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧．