含参数不等式的解法

高中数学知识专项系列讲座

含参数不等式的解法

一、含参数不等式存在解的问题

如果不等式()0f x >（或()0f x <）的解集是D ，x 的某个取值范围是E ，且D E ≠∅，

则称不等式在E 内存在解（或称有解，有意义）.

例1.（1）不等式13x x a +--<的解集非空，求a 的取值范围；

（2）不等式13x x a ++-<的解集为空集，求a 的取值范围.

（分析：解集非空即指有解，有意义，解集为∅即指无解（恒不成立），否定之后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题）

解：（1）设41()13221343x f x x x x x x -<-⎧⎪

=+--=--⎨⎪>⎩

≤≤，

易求得()[4,4]f x ∈-，

()f x a <有解min ()f x a ⇔<，

∴4a >-为所求

（2）设22

1()134

13223x x g x x x x x x -+<-⎧⎪

=++-=-⎨⎪->⎩

≤≤， 易求得()[4,)g x ∈∞，

()g x a <无解()g x a ⇔≥恒成立min ()g x a ⇔≥ ∴4a ≤为所求

（注：①13x x +±-可理解为数轴上点x 到两定点1-和3的距离之和（或差），由几何意义，易得()f x 与()g x 的值域；

②不等式()a f x >有解（有意义或成立）min ()a f x ⇔>；不等式()a f x <成立（有

解或有意义）max ()a f x ⇔<；）

例2.关于x 的不等式组22202(25)50

x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的整数解的集合为{2}-，求实数k 的取

值范围.

解：易知不等式220x x -->的解集(,1)(2,)A =-∞-+∞，

设不等式2

2(25)50()(25)0x k x k x k x +++<⇔++<的解集为B ，

∵2B -∈，∴(2)(45)0k -+-+<，∴2k ->-25->),2

5

(k B --=∴

要使{|,}{2}x x A B x Z ∈∈=-如图， 易知3k -≤，∴3k -≥ 又2k ->-，得2k < ∴[3,2)k ∈-为所求

-52

例3.已知不等式1)lg()520lg(2+->-x a x 的整数解有且只有一个，求a 的取值范围. 解：

20lg(记()f x ∴f f f ⎧⎪

⎨⎪⎩

∴a ∈另解：易求得()0f x =两根为1211x x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（∵0∆>，∴52a <）

则12x x x a x <<⎧⎨>⎩

只有一个整数解1x =

∴有1a x a ⇒≥≥，解得2a ≥ 此时有1202x x x <<<<符合条件，∴5

[2,)2

a ∈

例4.若不等式

lg(2)

1lg()

ax a x <+总存在解(1,2]x ∈，求实数a 的取值范围.

解：易知0a >，∴1a x x +>>，∴lg()0a x +>

故

lg(2)

1lg(2)lg()2lg()

ax ax a x ax a x a x <⇔<+⇔<++（0,(1,2]a x >∈） 即不等式(21)a x a -<在(1,2]内有解

1°当1

2a =时，不等式显然成立；

2°当102a <<时，不等式max (21){}21a

a x a x a -<⇔>-

得2211

02a a a ⎧>⎪⎪-⎨⎪<<⎪⎩，∴102a <<

3°若12a >，则不等式min (21){}21

a

a x a x a -<⇔<-

得1211

2

a a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪>⎪⎩，∴112a <<

综上所述，(0,1)a ∈为所求

二、含参数不等式的求解问题

探求含参数不等式的解集，要以分类讨论的思想为主线，以不等式的基本性质为基础，进行综合演算，有时还需用到换元法、图象法等基本方法.

例5.解关于x 的不等式110x a -+->

解：原不等式11011x a x a -+->⇔->-

1°若1a >，则10a -<，故原不等式恒成立，∴x ∈R

2°若1a ≤，则10a -≥，原不等式的解为x a <或2x a >- 综上所述，若1a >时，原不等式的解集为R ；

若1a ≤时，原不等式的解集为{|x x a <或2}x a >-.

例6.

x （0a >）的解集为[,]m n ，且2n m a -=，求a 的值.

解法一：

00x x x a <⎧⇔⎨+⎩≥或2

0x x a x a x ⎧⎪

+⎨⎪+⎩

≥≥≥

解得：0a x -<≤

或102x +≤≤

，即12

a x +-≤≤

即有12

m a n =-⎧

⎪⎨=⎪⎩

∵2n m a -=

，∴122

0a a a ⎧++=⎪

⎨⎪>⎩

，解得2a = 解法二：

t =，则2

x t a =-且0t ≥

原不等式化为22

0t t a t t a -⇔--≥≤

∴0

t ≤

∴a x -≤≤以下同解法一

解法三：

分别作出2

1y =x =易知欲使1y ≥以下同解法一