基于MATLAB的FFT算法研究

Key words： FFT，DFT，MATLAB，Fast papilionaceou algorithm
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目
录
1、 引言........................................................................................................................ 4 2、 FFT 基本理论......................................................................................................... 5 2.1． 离散傅里叶变换（DFT）........................................................................... 5 2.2. 快速傅里叶变换（FFT）.......................................................................... 5
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1、
引言
伴随着数字技术、计算机技术以及微电子集成电路技术的快速发展，数字 信号处理技术（Digital Signal Processing,DSP）已经深入到各个学科领域， 应用范围广，将信号处理的发展推向高潮。在数字信号处理中，离散傅里叶变 换(Discrete Fourier Transform, DFT)是常用的变换方法，它在各种数字信号 处理系统中扮演着重要的角色。而快速傅里叶变换〔FastFourier Transfonn, FFT〕并不是与离散傅里叶变换不同的另一种变换，而是为了减少 DFT 计算次 数的一种更加快速有效的算法. 作为离散傅里叶变换（DFT）的一种快速算法，快速傅里叶变换（FFT） 并不是一种新的变换。由于直接计算 DFT 的计算量与变换区间长度的 N 的平 方成正比，当 N 较大时，计算量太大，所以在 FFT 出现以前，直接用 DFT 算 法进行实时处理是不切实际的。 直到 1965 年桑德 （G.Sand） —图基 （J.W.Tukey） 快速算法， 即按时间抽取 （DIT） 的基-2FFT 算法相继出现， 又经过人们的改进， 很快形成了一套高效计算方法，情况才发生了根本的改变。这种算法使计算 N 点得 DFT 运算量从 2N 将为 2N logN ，使得 DFT 的运算效率提高了 1～2 个 数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号处理中创造了优越的条件，推动
基于 matlab 的 FFT 研究
XXX、物理与电子信息学院
摘 要
快速傅立叶变换(FFT)是数字信号处理中的重要内容之一、是很多信号处理 过程中的核心算法.随着数字电子技术的不断发展， 数字信号处理技术已经广泛 应用于图像处理、通信和多媒体等多个领域。快速傅里叶变换(FFT)作为离散傅 里叶变换(DFT)的一种快速算法，它是以 DFT 为基础的，并且使 DFT 的运算时 间缩短了几个数量级，使得数字信号处理的实现和运用变得更加容易。本论文 将比较全面的叙述各种快速傅里叶变换算法原理、特点，并完成基于 MATLAB 的 实现。
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2、
FFT 基本理论
2.1．离散傅里叶变换（DFT）
随着科学技术的进步，人们越来越正视频率分析技术的发展与应用。以前 要进行一次频率分析，其计算的工作量大的惊人。现在，电子计算机的飞速发 展使得计算的速度加快。但是，电子计算机不可能对连续的信号进行处理，它 只能处理有限的离散数据。为了便于利用电子计算机进行傅里叶级数与傅里叶 积分交换的运算，需要对连续信号进行采样，从而得到一系列离散数据。这种 对离散量的傅里叶变换称为离散傅里叶变换，记做 DFT。 DFT 的定义： 设 x(n)是一个长度为 N 的有限长序列，定义 x(n)的 N 点离散傅里叶变换为
nk 了数字信号的发。各种 DFT 的快速算法，都利用了 WN 的周期性和对称性，
通过将一个大点数 N 的 DFT 分解为若干小点数的 DFT 的组合，来减少运算 量。对于变换点数 N 为 2 的整数次幕的情况，分裂基算法的乘法次数比基-2、 基-4 算法更少。当 N 可以分解为若千个互素因子的乘积时，可以采用素因子 算法，当素因子属于 2,3,4,5,7,8,9,16 等“小 N”时，也可以采用 Winograd “小 N”算法。二者都是通过指标映射，将一维 DFT 转化为多维 DFT，同时避 免了与旋转因子相乘的运算，因此都有更少的运算次数。 Matlab 语言是当今科学界最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于 矩阵运算,并已经发展成一种高度集成的计算机语言。 它是由美国 Mathworks 公 司于 1982 年推出的软件产品,取名来源于 MatrixLaboratory,简称为 “Matlab” 。 matlab 是一个完整的、可扩展的、高性能数值计算的可视化软件,是一种进行 科学工程计算的交互式程序设计语言。 经过不断的扩充和完善,它已成为各类科 学研究与工程应用中的标准工具,它集数值分析,矩阵运算,信号处理与图形显 示于一体,构成一个界面友好的用户环境。 它的信号处理工具箱包含了各种经典 的和现代数字信号处理技术。是一个非常优秀的算法研究与辅助设计的工具。
j
2 nk N
nk xk WN k 0
N 1
（2.1.2）
其中 n=0,1，....，N-1。 在（2.1.1）式和（2-1-2）式中，x(n)和 X（k）均可以是复数。因为在（2.1’1） 式和（2.1.2）式的右边仅在 WN 指数上差一个符号，并相差一个比例因子 1/N， 所以有关（2.1.1）式计算不走的讨论稍加修改可以直接用于（2.1.2）式。 DFT 隐含周期性，在 DFT 变换对中， x(n) 和 X(k) 均为有限长序列，设
transform(FFT),which is based on a DFT and DFT calculation time by several orders of magnitude,making it much easier to implement of digital singal processing ， This article will compare the comprehensive account of a variety of fast Fourier transform algorithm principle, features, and complete based on MATLAB implementation.
kn X(k) x(n)WN ， n 0 N 1
k=0,1,2.,......,N-1
x ( n)
1 N
X (k )W
k 0 j 2 N
2.2.1． 基二算法 FTF................................................................................... 6 2.2.2． 按频率抽取的基二 FFT................................................................... 9 3、 MATLAB 基本原理............................................................................................... 12 3.1． MATLAB 简介............................................................................................. 12 3.2． MATLAB 的特点......................................................................................... 13 4、 FFT 的 MATLAB 设计与实现................................................................................. 13 4.1． 源程序....................................................................................................... 13 4.2． 程序仿真................................................................................................... 15 5、 结束语.................................................................................................................. 15 6、 致谢...................................................................................................................... 15 参考文献...................................................................................................................... 16
Xk DFT xn xn e
n 0
N 1
j
2 N
nk xn WN n 0
N 1
（2.1.1）
其中 k=0,1，.....，N-1。 X（k）的傅里叶反变换为
1 x n IDFT X k N
Xk e
k 0
N 1
-nk WN =e j 2 nk N nk ，由 WN 的周期性，使得 x（n)和 X(k)隐含周期性，且周期为 N。
2.2．快速傅里叶变换（FFT）
快速傅里叶变换(FTF)的出现使得数字信号处理变为可能。FTF 是一种快速 ［1］［2］ FTF 作为时域和频域转换的基本 有效地计算离散傅里叶变换(DTF)的方法 运算,是数字谱分析的必要前提,在雷达信号处理、高速图像处理、保密无线通讯 和数字通信、 电力系统等方面有广泛的应用,而实时系统对 FFT 百度文库运算速度要求 ［3］ 比较高 在上一节的讨论中我们知道离散傅里叶变换满足以下关系式:
关键词：离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、蝶形单元、MATLAB
The FFT algorithm based on MATLAB
Zhang Ning，The College of Physics and Electronic Information
Abstract
Fast Fourior Transform(FFT) plays an important role in digital processing ,it’s kernel Algorithm in a lot of process for singal processing. With the development of digital electronic technology,digital singal processing technology has been widely used in image processing.communications,multimedia and other fields.Fast fourier