选修4-5不等式的基本性质(课件PPT)
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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片 进入:
对称性 传递性 可加性 可乘性 乘方 开方 如果 a＞b，那么 b＜a ；如果 b＜a ，那么 a＞b.即 a ＞b⇔ b＜a . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c .即 a＞b，b＞c⇒ a＞c . 如果 a＞b ，那么 a＋c＞b＋c. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc . 如果 a＞b＞0，那么 an ＞ bn(n∈N，n≥2)． 如果 a＞b＞0，那么 a ＞ n n
[悟一法]
运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数 同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正 负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
[通一类]
1 2．(2011· 广州二模)设 a，b 为正实数，则“a<b”是“a－a 1 <b－b成立的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分又不必要条件 ( )
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
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对称性 传递性 可加性 可乘性 乘方 开方 如果 a＞b，那么 b＜a ；如果 b＜a ，那么 a＞b.即 a ＞b⇔ b＜a . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c .即 a＞b，b＞c⇒ a＞c . 如果 a＞b ，那么 a＋c＞b＋c. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc . 如果 a＞b＞0，那么 an ＞ bn(n∈N，n≥2)． 如果 a＞b＞0，那么 a ＞ n n
[悟一法]
运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数 同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正 负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
[通一类]
1 2．(2011· 广州二模)设 a，b 为正实数，则“a<b”是“a－a 1 <b－b成立的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分又不必要条件 ( )
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
5.1.2不等式的基本性质(2) 课件 (人教A版选修4-5)
A、A<B<C<D; C、D<B<A<C;
B、D<A<B<C; D、B<D<A<C
【解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明
朗．赋值法是解选择题、开放题等常用的方
法．它将复杂的问题简单化，是我们常用的 数学方法．
作业
• P10 1 、 3 、 4
（1）1-x （2）x(1-x) 解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。 变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的 取值范围.
1 1 1 a 0, A 1 a 2 , B 1 a 2 , C ,D , 1 a 1 a 例5、已知 2 则A、、B、C、 的大小关系是 （ ）
不等式的基本性式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法:
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下
结论． 大多用于比较幂指式的大小．
探究！
类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
不等式的基本性质
课件 选修4-5不等式的基本性质-经典公开课(优秀公开课件).ppt
用数学式子表示为:
a b a-b0 a b a-b0 a b a-b0
基本理论
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
4.（1）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b，c<0⇒ac<bc. （2）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
5.乘、开方法则：a>b>0⇒an>bn，n a n b (n∈N，n≥2)． 6.倒数性质：a>b，且ab>0⇒
1 1 ． a b
n 特别地，当 n为奇数时， 条件可放宽为： a > b， 也有a n > bn， a n b (n∈N， n ≥2)．
x 3 x - 3 0, x 1 0, x -1 0
A- B 0
故A B
作差比较法常见的变形手段是: 通分、因式分 解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式 的积或完全平方式等.
b, 试比较a abb与abba的大小。
注意： 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；
3.要会用自然语言描述上述基本性质；
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；
4.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础.
不等式的基本性质
【例2】 判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)若a > b， 则ac > bc ； a b ( 2)若 2 2 ，则 a b; c c 1 1 (3)若a b，ab 0, 则 ; a b (4)若a b，c d , 则ac bd； 1 1 (5)若a b 0， ,则 ; a b (6)若 | a | b， , 则a 2 b2 ;
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[悟一法] (1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一
结论”的程序进行，即：作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中 变形是关键，定号是目的． (2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理 化等． (3)在定号中， 若为几个因式的积， 需每个因式均先定号， 当符号不确定时，需进行分类讨论．
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
提示：由已知可组成三个命题． c d ①若 ab＞0，bc－ad＞0，则a－b＞0，此命题正确，只需在 不等式 bc－ad＞0 两侧同除以 ab，根据不等式性质，整理即
得结论； c d ②若 ab＞0，a－b＞0，则 bc－ad＞0，此命题正确，只需在 c d 不等式a－b＞0 两侧同乘以 ab，根据不等式性质，整理即得 结论； c d ③若a－b＞0，bc－ad＞0，则 ab＞0，此命题正确， bc－ad c d 因为a－b＞0⇔ ab ＞0， 又因为 bc－ad＞0，故 ab＞0. 即可组成的正确命题有 3 个．
12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 湖南高考)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是 A．① C．②③ B．①② D．①②③ ( )
[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的
应用．
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)
人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.1
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以1
ab
得 a
1
＞b得1
> ，
,1故正1 确.
(2)因ab为c-aab>0,c-bb>0a ,且c-a<c-b
所以
>0,
又a>bc 1>a0＞,所c 1以b
,正确.
a＞b ca cb
(3)由 a ＞,所b 以 >a0,b
cd
cd
即即aaddcd>bcb＞c0且，c所d以>0ac或dd＞a0bd，c＞<0b，或c且accddd＜<0b.c0＜, 0，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆 的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然 成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的 正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一 作差法比较大小 【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么? 提示:常用作差比较法.
人教B版数学选修4-5课件：1.1.1 不等式的基本性质
向可加性等;
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
[悟一法]
运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数 同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正 负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
[通一类]
1 2．(2011· 广州二模)设 a，b 为正实数，则“a<b”是“a－a 1 <b－b成立的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分又不必要条件 ( )
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
(3)错误．此命题当 a、b、c、d 均为正数时才正确． (4)正确．因为 a＞b，且 a、b 同号， 1 1 1 所以 ab＞0，两边同乘以ab，得a＜b. (5)错误．只有当 cd＞0 时，结论才成立． (6)正确．因为 c＞d，所以－d＞－c，又 a＞b， 所以 a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
选修4-5不等式的基本性质(公开课精品课件)
3. 不一定成立。例如，当 (a = -1, b = 0, d = 1) 时，满足 (frac{a}{d} = -1, frac{b - a}{d - a} = 0)， 但 (frac{a}{d} < frac{b - a}{d - a}) 不成立。
2. 成立。由于 (a < b < c < d)，则有 (frac{b}{d} < frac{c}{d})，进而有 (frac{c}{d} > frac{b}{d})。
决策分析
利用不等式描述各种因 素之间的优先关系，做
出最优决策。
05
习题与解答
习题
02
01
03
判断下列不等式是否成立，并说明理由 1. (a + b > c + d) 当且仅当 (a > c) 且 (b > d) 2. (|a| < b) 当且仅当 (a^2 < b^2)
习题
3. 若 (x > y > 0)，则 (frac{1}{x} < frac{1}{y})
解决波动问题
利用不等式描述波动现象的物 理量之间的关系，解决波动问 题。
解决电磁学问题
利用不等式描述电场、磁场之 间的关系，解决电磁学问题。
在实际生活中的应用
投资决策
利用不等式描述投资收 益、风险之间的关系，
做出最优投资决策。
资源分配
利用不等式描述资源分 配问题，实现资源的最
优配置。
价格策略
利用不等式描述商品价 格与市场需求的关系， 制定合理的价格策略。
定义2
能够表示不等关系的式子，也叫 做不等式。
不等式的性质
性质1
不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等 号的方向不变。
2. 成立。由于 (a < b < c < d)，则有 (frac{b}{d} < frac{c}{d})，进而有 (frac{c}{d} > frac{b}{d})。
决策分析
利用不等式描述各种因 素之间的优先关系，做
出最优决策。
05
习题与解答
习题
02
01
03
判断下列不等式是否成立，并说明理由 1. (a + b > c + d) 当且仅当 (a > c) 且 (b > d) 2. (|a| < b) 当且仅当 (a^2 < b^2)
习题
3. 若 (x > y > 0)，则 (frac{1}{x} < frac{1}{y})
解决波动问题
利用不等式描述波动现象的物 理量之间的关系，解决波动问 题。
解决电磁学问题
利用不等式描述电场、磁场之 间的关系，解决电磁学问题。
在实际生活中的应用
投资决策
利用不等式描述投资收 益、风险之间的关系，
做出最优投资决策。
资源分配
利用不等式描述资源分 配问题，实现资源的最
优配置。
价格策略
利用不等式描述商品价 格与市场需求的关系， 制定合理的价格策略。
定义2
能够表示不等关系的式子，也叫 做不等式。
不等式的性质
性质1
不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等 号的方向不变。
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[悟一法] (1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一
结论”的程序进行，即：作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中 变形是关键，定号是目的． (2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理 化等． (3)在定号中， 若为几个因式的积， 需每个因式均先定号， 当符号不确定时，需进行分类讨论．
(3)错误．此命题当 a、b、c、d 均为正数时才正确． (4)正确．因为 a＞b，且 a、b 同号， 1 1 1 所以 ab＞0，两边同乘以ab，得a＜b. (5)错误．只有当 cd＞0 时，结论才成立． (6)正确．因为 c＞d，所以－d＞－c，又 a＞b， 所以 a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．
∵28＜y＜33， 1 1 1 ∴－33＜－y＜－28， ＜y ＜ . 33 28 60 x 84 又 60＜x＜84，∴27＜x－y＜56， ＜y ＜ . 33 28 20 x 即 ＜ y＜3. 11
[悟一法] 本题不能直接用 x 的范围去减或除 y 的范围，应严格利用
不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意 整体代换的思想， 即弄清要求的与已知的“范围”间的联系． 如 已知 20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求 2x＋3y 的范围，不能 分别求出 x，y 的范围，再求 2x＋3y 的范围，应把已知的“x 5 1 ＋y”“x－y”视为整体，即 2x＋3y＝ (x＋y)－ (x－y)，所以 2 2 5 1 需分别求出 (x＋y)、－ (x－y)的范围，两范围相加可得 2x＋3y 2 2
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
5.1.2不等式的基本性质(2) 课件 (人教A版选修4-5)
不等式的基本性质
（ ）a b b a(对称性）； 1 单向性 （2）a b, b c a （传递性） c ; 双向性 （3）a b a c b （可加性） c ; a b,c d a c b d ; （4）a b,c 0 ac bc;a b,c 0ac bc; a b 0,c d 0 ac bd ; n b n ; （5）a b 0,nN ,n 1 a （6）a b 0, n N , n 1 n a n b .
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
例1已知a b 0，c d 0,求证 a d b . c
e e 例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求证： a c bd
【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能
自己“制造”性质来进行．
例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.
1 2 例4、已知 x ，求下列式子的取值范围。 3 3
A、A<B<C<D; C、D<B<A<C;
B、D<A<B<C; D、B<D<A<C
【解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明
朗．赋值法是解选择题、开放题等常用的方
法．它将复杂的问题简单化，是我们常用的 数学方法．
作业
5.1.2不等式的基本性质(2) 课件 (人教A版选修4-5)
（1）1-x （2）x(1-x) 解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。 变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的 取值范围.
1 1 1 a 0, A 1 a 2 , B 1 a 2 , C ,D , 1 a 1 a 例5、已知 2 则A、、B、C、 的大小关系是 （ ）
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
例1已知a b 0，c d 0,求证 a d b . c
e e 例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求证： a c bd
【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能
自己“制造”性质来进行．
例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.
1 2 例4、已知 x ，求下列式子的取值范围。 3 3
不等式的基本性质
（ ）a b b a(对称性）； 1 单向性 （2）a b, b c a （传递性） c ; 双向性 （3）a b a c b （可加性） c ; a b,c d a c b d ; （4）a b,c 0 ac bc;a b,c 0 ac bc; a b 0,c d 0 ac bd ; n b n ; （5）a b 0,nN ,n 1 a （6）a b 0, n N , n 1 n a n b .
1 1 1 a 0, A 1 a 2 , B 1 a 2 , C ,D , 1 a 1 a 例5、已知 2 则A、、B、C、 的大小关系是 （ ）
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
例1已知a b 0，c d 0,求证 a d b . c
e e 例2、已知a>b>0,C<d<0,e<0,求证： a c bd
【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能
自己“制造”性质来进行．
例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.
1 2 例4、已知 x ，求下列式子的取值范围。 3 3
不等式的基本性质
（ ）a b b a(对称性）； 1 单向性 （2）a b, b c a （传递性） c ; 双向性 （3）a b a c b （可加性） c ; a b,c d a c b d ; （4）a b,c 0 ac bc;a b,c 0 ac bc; a b 0,c d 0 ac bd ; n b n ; （5）a b 0,nN ,n 1 a （6）a b 0, n N , n 1 n a n b .
人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一1.不等式的基本性质第一课时
解：设每天配制甲种饮料 x 杯，乙种饮 料 y 杯，则满足条件的所有不等关系组 成的不等式组为
9x＋4y≤3600， 4x＋5y≤2000， 3x＋5y≤3000， x≥0x∈R＋， y≥0y∈R＋.
作差法比较大小
例2 设a，b∈R.试比较a2＋b2－ab＋1与a＋
a>b (2)对于任意两个实数，a－b>0⇔_____. a<b a＝b a－b＝0⇔_____，a－b<0⇔_____. 2．两个实数比较大小的步骤 较两个实数a与b的大小，其步骤为： (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)结论．
思考感悟 什么情况下适合用作商比较法？ 提示：作商法比较数式的大小，一般适用于 比较两个幂或指数式或乘积式这是因为：幂 式或指数式作商后便于运算；乘积式在作商 后易于因式分解、约分、化简．
2
2
故a2＋b2－ab＋1－(a＋b)≥0， ∴a2＋b2－ab＋1≥a＋b.
法二：a2＋b2－ab＋1－a－b＝a2＋(－b－1)a ＋b2－b＋1，
令f(a)＝a2＋(－b－1)a＋b2－b＋1 Δ＝(－b－1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0. ∴f(a)≥0恒成立，即a2＋b2－ab＋1≥a＋b.
误区警示 同向不等式相减致误．
例
π π 若 0<α<π，－ <β< ，求 α－β 的 4 4
π 由已知得 0－(－ )<α－β<π 4
范围．
【错解】
π － ， 4 π 3π 即 <α－β< . 4 4
【错因】 错解误用了不等式的可加性， 3π 3π 实际上当 α＝ ，β＝0 时，α－β＝ ， 4 4 3π 这与 α－β< 矛盾． 4
选修4-5不等式的基本性质ppt课件
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
.
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
例 2 .已 0 知 a1,A 1 a 2 ,B 1 a 2 , 2
C 1 ,D 1 1a 1a
(1)试猜测 A,B,C,D的大小关系； （2）证明你的猜测。
.
题型2：简单不等式的证明
例 3 ：a 已 b0 知 ,c0 ,求:c证 c ab
推论 ab ： 0,c 若 0,则 cc ab
.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例 4：已 12 知 a6,0 15 b3,6求 ab 及 a的取值范围。
b
例 5：已f(知 x)ax2c,且4f(1)1, 1f(2)5,求f(3)的取值范围
.
也就是说，不等式中任何一项都可以改变符号后移到
不等号的另一边 即：可加性
性质4 如果 a > b ห้องสมุดไป่ตู้且 c > 0，那么 ac > bc ； 如果 a > b，且 c < 0 ，那么 ac < bc .
即：可. 乘性
性质5 如果 a > b ，且 c > d，那么 a+c > b+d； 也就是说，两个同向不等式相加，所得不等式与 原不等式同向。
人教版高中选修4-5《1.1.1不等式的性质》课件(共12张PPT)
• 答案 ②④
源于 练习册 变式训练2
例2
已知
a
b
0
，比较
a a
3 3
b3 b3
与
a b 的大小 ab
2.已知 a≥1,P= ������ + 1 − ������,Q= ������ − ������-1,则 P 与 Q 的大小
关系为( ) A.P≥Q 答案:D
B.P>Q
C.P≤Q D.P<Q
人教A版选修4-5 第一章
1.1不等式的性质
知识回顾
• 1．对于任何两个实数a，b的大小比较
•
a＞b⇔ a－b＞0
；
•
a＜b⇔ a－b＜0
；
• a＝b⇔ a－b＝0 .
ห้องสมุดไป่ตู้
想一想：怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的
数学变形？ 步骤:①作差 ②变形 ③定号 ④下结论
通过分解因式、配方、通分、分母有理化等恒等变形， 转化成若干个因式的乘积或者商的形式
变式 已知 20 x y 30,15 x y 18，求 2x 3y 的取值范围。
【例 4】 已知－π2≤α＜β≤π2.求α＋2 β，α－2 β的取值范围．
知识回顾 • 2．不等式有如下一些基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a ； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c ；
(3)加(减)：a＞b⇒ a＋c＞b＋c ； (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ ac＞bc ；
a＞b，c＜0⇒ ac＜bc ； (5)乘方：a＞b＞0⇒ an＞bn ，n∈N*，且n≥2； (6)开方：a＞b＞0⇒ n a n b ，n∈N*，且n≥2.
又 ������ + 1 + ������>0, ������ + ������-1>0,
源于 练习册 变式训练2
例2
已知
a
b
0
，比较
a a
3 3
b3 b3
与
a b 的大小 ab
2.已知 a≥1,P= ������ + 1 − ������,Q= ������ − ������-1,则 P 与 Q 的大小
关系为( ) A.P≥Q 答案:D
B.P>Q
C.P≤Q D.P<Q
人教A版选修4-5 第一章
1.1不等式的性质
知识回顾
• 1．对于任何两个实数a，b的大小比较
•
a＞b⇔ a－b＞0
；
•
a＜b⇔ a－b＜0
；
• a＝b⇔ a－b＝0 .
ห้องสมุดไป่ตู้
想一想：怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的
数学变形？ 步骤:①作差 ②变形 ③定号 ④下结论
通过分解因式、配方、通分、分母有理化等恒等变形， 转化成若干个因式的乘积或者商的形式
变式 已知 20 x y 30,15 x y 18，求 2x 3y 的取值范围。
【例 4】 已知－π2≤α＜β≤π2.求α＋2 β，α－2 β的取值范围．
知识回顾 • 2．不等式有如下一些基本性质 (1)对称性：a＞b⇔ b＜a ； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c ；
(3)加(减)：a＞b⇒ a＋c＞b＋c ； (4)乘(除)：a＞b，c＞0⇒ ac＞bc ；
a＞b，c＜0⇒ ac＜bc ； (5)乘方：a＞b＞0⇒ an＞bn ，n∈N*，且n≥2； (6)开方：a＞b＞0⇒ n a n b ，n∈N*，且n≥2.
又 ������ + 1 + ������>0, ������ + ������-1>0,
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
(3)错误．此命题当 a、b、c、d 均为正数时才正确． (4)正确．因为 a＞b，且 a、b 同号， 1 1 1 所以 ab＞0，两边同乘以ab，得a＜b. (5)错误．只有当 cd＞0 时，结论才成立． (6)正确．因为 c＞d，所以－d＞－c，又 a＞b， 所以 a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．
[例1] x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小． [精讲详析] 本题考查利用作差法比较两个代数式的
大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根 据各因式的符号判断x3－1与2x2－2x的大小． (x3－1)－(2x2－2x)
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)．
∵28＜y＜33， 1 1 1 ∴－33＜－y＜－28， ＜y ＜ . 33 28 60 x 84 又 60＜x＜84，∴27＜x－y＜56， ＜y ＜ . 33 28 20 x 即 ＜ y＜3. 11
[悟一法] 本题不能直接用 x 的范围去减或除 y 的范围，应严格利用
不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意 整体代换的思想， 即弄清要求的与已知的“范围”间的联系． 如 已知 20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求 2x＋3y 的范围，不能 分别求出 x，y 的范围，再求 2x＋3y 的范围，应把已知的“x 5 1 ＋y”“x－y”视为整体，即 2x＋3y＝ (x＋y)－ (x－y)，所以 2 2 5 1 需分别求出 (x＋y)、－ (x－y)的范围，两范围相加可得 2x＋3y 2 2
1 1 1 1 解析：若 a<b 且 a>0，b>0，则a>b⇒－a<－b， 1 1 1 1 ∴a－a<b－b.若 a－a<b－b，且 a>0，b>0⇒ a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a<0，ab(a－b)＋(a－b) <0⇒(a－b)(ab＋1)<0⇒a－b<0⇒a<b.
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也就是说，不等式中任何一项都可以改变符号后移到
不等号的另一边 即：可加性
性质4 如果 a > b ，且 c > 0，那么 ac > bc ；
如果 a > b，且 c < 0 ，那么 ac < bc .
即：可乘性
4
性质5 如果 a > b ，且 c > d，那么 a+c > b+d； 也就是说，两个同向不等式相加，所得不等式与 原不等式同向。
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
a>c
等价命题是：
c<b, b<a
c<a
3
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 ab ab0 ab
ab0 ab
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
2
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
a>b b<a
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例 4：已 12 知 a6,0 15 b3,6求 ab 及 a的取值范围。
b
例 5：已f(知 x)ax2c,且4f(1)1, 1f(2)5,求f(3)的取值范围
10
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
11
乘方法则：同正可乘方
性质8 如果 a > b>0,那 么 nanb.(n N ,n1)
开方法则：同正可开方
6
典例解析 题型1：比较大小
例 1.已a知 ,bR,试比 a4 较 b4与 a3ba3 b的大小。 变式： a,b已 R,试 知 比 anb 较 n与 ambnmanmbm 的大小。
(其 m 中 n ,m N *,n N *) 7
例 2 .已 0 知 a1,A 1 a 2 ,B 1 a 2 , 2
C 1 ,D 1 1a 1a
(1)试猜测 A,B,C,D的大小关系； （2）证明你的猜测。
8
题型2：简单不等式的证明
例 3 ：a 已 b0 知 ,c0 ,求:c证 c ab
推论 ab ： 0,c 若 0,则 cc ab
9
即 加法法则：同向可相加
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
5
性质7 如果 a > b>0, 那 么 anbn.(n N ,n1 )
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
不等号的另一边 即：可加性
性质4 如果 a > b ，且 c > 0，那么 ac > bc ；
如果 a > b，且 c < 0 ，那么 ac < bc .
即：可乘性
4
性质5 如果 a > b ，且 c > d，那么 a+c > b+d； 也就是说，两个同向不等式相加，所得不等式与 原不等式同向。
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
a>c
等价命题是：
c<b, b<a
c<a
3
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 ab ab0 ab
ab0 ab
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
2
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
a>b b<a
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例 4：已 12 知 a6,0 15 b3,6求 ab 及 a的取值范围。
b
例 5：已f(知 x)ax2c,且4f(1)1, 1f(2)5,求f(3)的取值范围
10
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
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11
乘方法则：同正可乘方
性质8 如果 a > b>0,那 么 nanb.(n N ,n1)
开方法则：同正可开方
6
典例解析 题型1：比较大小
例 1.已a知 ,bR,试比 a4 较 b4与 a3ba3 b的大小。 变式： a,b已 R,试 知 比 anb 较 n与 ambnmanmbm 的大小。
(其 m 中 n ,m N *,n N *) 7
例 2 .已 0 知 a1,A 1 a 2 ,B 1 a 2 , 2
C 1 ,D 1 1a 1a
(1)试猜测 A,B,C,D的大小关系； （2）证明你的猜测。
8
题型2：简单不等式的证明
例 3 ：a 已 b0 知 ,c0 ,求:c证 c ab
推论 ab ： 0,c 若 0,则 cc ab
9
即 加法法则：同向可相加
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
5
性质7 如果 a > b>0, 那 么 anbn.(n N ,n1 )
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向