§3.5---条件分布与条件期望

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随机变量的条件分布与条件期望

随机变量的条件分布与条件期望随机变量是概率论中十分重要的概念之一，它描述了在概率模型中可能出现的各种结果。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

在概率论中，我们经常关注的是随机变量的分布以及其与其他变量之间的关系。

本文将重点讨论条件分布与条件期望。

一、条件分布条件分布是指在给定某些条件下，随机变量满足的分布。

对于离散型随机变量，条件分布的计算可以通过条件概率来进行。

假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值为y的概率。

可以表示为P(Y=y|X=x)。

这个概率可以通过联合概率分布和边缘概率分布来计算。

具体计算方法为：P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y) / P(X=x)对于连续型随机变量，条件分布的计算可以通过条件密度函数来进行。

假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值在a到b之间的概率。

可以表示为P(a <= Y <= b | X = x)。

这个概率可以通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数来计算。

具体计算方法为：P(a <= Y <= b | X = x) = ∫[a, b] f(x, y) dy / f_X(x)二、条件期望条件期望是指在给定某些条件下，随机变量的期望值。

对于离散型随机变量，条件期望的计算可以通过条件概率和随机变量的取值来进行。

假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。

可以表示为：E(Y|X=x) = Σy y * P(Y=y|X=x)其中Σ为求和符号，y为随机变量Y的取值。

对于连续型随机变量，条件期望的计算可以通过条件密度函数和随机变量的取值来进行。

假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。

可以表示为：E(Y|X=x) = ∫y y * f(y|x) dy其中∫为积分符号，f(y|x)为在给定X=x的条件下，Y的概率密度函数。

条件分布与条件期望

33
XY 3 1 2
P
61
77
43 P
77 4
例2. 设随机变量X ,Y相互独立,X P(1), Y P(2 ) ，
在X Y n的条件下，求X的条件分布.
解：X Y P(1 2 )
P(X k X Y n) P(X k, X Y n) P(X k,Y n k)
P(X Y n)
pY ( y)E( X Y y) dy E( X Y y)看作是y的函数.
E[E( X Y )]
13
例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。分析：到达安全区的时间与第一次选择的门有关，
i
1 (1 (2 EX )
yi )P(Y yi )
(n EX ))
EX
n(n 1) . 2
n
17
作业：
P197 2 4
18
The End！
Thank You！
Department of Mathematics
19
即有
P(X x Y y)
x p( x, y) dx;
pY ( y)
同样可得 P(Y y X x)
y p( x, y) dy .
pX ( x)
8
2、连续随机变量的条件分布
定义3：对y,且pY ( y) 0，在给定Y y条件下
X的条件分布函数和条件密度函数分别是：
F ( x y)
3 E( X Y 2) 5 EX; E( X Y 3) 7 EX .
E( X ) E( X Y y j )P(Y y j )

3.6 条件分布与条件期望--概率论课件

=
-r
r x
2 2
r 2 x2
x r

r x r x
2
2
2
2
0,
1 dy, 2 r
r xr
其他
r xr 其他
2 r 2 x 2 , 2 r 0,
同理，
fY ( y ) f ( x, y )dx
2 r y , r y r 2 r 0, 其他
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式：
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
( x a1 )( y a2 )
1 2
( y a2 ) 2 2 2
1 e 2 2
( y a2 )2 2 2 2
1 ( x a1 )2 ( x a1 )( x a2 ) 2 ( y a2 )2 exp 2 2 2 2 2 1 2 2 21 1 2(1 ) 1 1
2 x a1 1 1 y a2 exp 2 2 2(1 ) 1 2 2 1 1

概率论与数理统计教程第三章

p 2
M p
i
M
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
3.2.3 边际密度函数
第32页
巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则
X 的密度函数为：
p(x) p(x,y)dy
Y 的密度函数为： p(y) p(x,y)dx
4/29/2020
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
3.3.1 多维随机变量 ➢ 定义3.1.1
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
4/29/2020
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
第3页
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
则称 (X, Y) 服从 D 上的均匀分布，记为 (X, Y) U (D) .
4/29/2020
华东师范大学
第三章多维随机变量及其分布
第20页
四、二维正态分布
若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度为：
1 p(x,y)
212 12
exp2(112)(x121)2 (y222)2 2(x11)(y22)
记 P(Ai) = pi ,
i = 1, 2, ……, r
记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.
则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为： P (X 1 n 1 ,X 2 n 2 ,......,X r n r )= n 1 ! n 2 n ! L !n r !p 1 n 1 p 2 n 2 L L p r n r
解: 由题意得

概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布

概率论与数理统计公式精粹条件期望条件方差与条件分布条件期望、条件方差和条件分布是概率论与数理统计中重要的概念和技巧。

它们能帮助我们更准确地描述和计算随机现象的特征和性质。

本文将对条件期望、条件方差和条件分布进行精炼的介绍和讨论。

一、条件期望条件期望是指在给定某些信息或条件下，对随机变量的期望进行计算的概念。

对于随机变量X和事件A，条件期望E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的平均取值。

条件期望的计算可以通过基本的期望定义进行推导。

对于离散型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∑x P(X=x|A) * x其中，P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。

对于连续型随机变量，条件期望的计算公式为：E(X|A) = ∫xf(x|A) dx其中，f(x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的概率密度函数。

二、条件方差条件方差是在给定某些信息或条件下，对随机变量的方差进行计算的概念。

对于随机变量X和事件A，条件方差Var(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的离散程度。

条件方差的计算可以通过基本的方差定义进行推导。

对于随机变量X和事件A，条件方差的计算公式为：Var(X|A) = E[(X-E(X|A))^2|A]其中，E(X|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X的条件期望。

三、条件分布条件分布是指在给定某些信息或条件下，随机变量的分布情况。

对于随机变量X和事件A，条件分布P(X=x|A)表示在事件A发生的条件下，随机变量X取值为x的概率。

条件分布的计算可以通过基本的概率计算进行推导。

对于随机变量X和事件A，条件分布的计算公式为：P(X=x|A) = P(X=x, A) / P(A)其中，P(X=x, A)表示事件A发生且随机变量X取值为x的概率，P(A)表示事件A的概率。

四、应用与扩展条件期望、条件方差和条件分布在实际问题中有广泛的应用。

条件概率,条件分布,条件期望

FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明

fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的分布 .
一条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}，考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定

条件分布与条件期望

这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2

．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0

PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1

n 0
k 1
n
n!
e 0
nk

n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1

概率论中的条件期望计算公式

概率论中的条件期望计算公式概率论是数学中的重要分支，研究随机事件和概率规律的数学理论。

条件期望是概率论中的一个重要概念，用于描述在给定条件下的期望值。

本文将介绍条件期望的计算公式及其应用。

一、条件期望的定义及性质条件期望是在给定条件下的期望值，记作E(X|Y)，其中X和Y为随机变量。

条件期望于普通期望相似，区别在于条件期望要求在给定条件下对随机变量进行求平均。

条件期望的性质：1. 条件期望是随机变量Y的函数，它是Y的函数的期望；2. 如果X和Y相互独立，则条件期望等于普通期望，即E(X|Y) =E(X)；3. 若Z=g(X,Y)，则E(Z|Y) = E(g(X,Y)|Y)。

二、条件期望的计算举例为了帮助读者更好地理解条件期望的计算公式及应用，以下将通过两个具体的案例来说明。

案例一：假设有一批产品，其质量可以用随机变量X表示，X的取值范围为[1, 10]，代表产品的质量评分。

同时，还有一个随机变量Y表示产品的价格，Y的取值范围为[100, 1000]。

现在要求在给定产品价格的条件下，计算产品质量的条件期望。

解决方法如下：根据条件期望的计算公式，我们需要计算P(X=x|Y)。

假设随机变量Y的取值为y，则产品质量为x的条件概率为P(X=x|Y=y)。

如果我们已知产品价格与质量的关系，可以通过分析或者实验得到条件概率的分布。

然后，根据条件概率计算条件期望即可。

案例二：现假设随机变量X和Y相互独立，且它们都服从正态分布。

我们要计算X与Y的乘积Z的条件期望E(Z|Y)。

解决方法如下：根据条件期望的性质，当X和Y相互独立时，条件期望等于普通期望，即E(Z|Y) = E(Z)。

概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归

p(u, y)du.

1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y

lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)

0.
F
(
x
y)

x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见：在 y的条件下，的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中，我们利用条件概率公式
P(A B)

P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(

xi

yj)

Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零，所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y

那么称 xP (

x y
), 如果

x
P

(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望，记为 E( y).即
E(

y)

xP

(y

第五节条件分布

F ( x, y ) y dFY ( y ) dy
def.

x

p(u , y )du pY ( y )
p( x , y )连续 pY ( y ) 0,连续
P( X x Y y )
定义3 若 pY (y) > 0, 则称 FX Y ( x y )
x
为给定Y = y 的条件下X 的条件分布函数. p( x , y ) 称 pX Y ( x y) pY ( y ) 为给定Y = y 的条件下X 的条件概率密度函数. y p( x,v ) dv 类似地, 称 FY X ( y x) pX ( x )

pY ( y) p( x , y)dx pY X ( y x) p X ( x)dx

类似于Bayes公式
p ( x , y ) p X Y ( x y) pY ( y )
pY X ( y x) p X ( x)

pY X ( y x) p X ( x)dx
X

r x
=

r 2 x2

1 dy , 2 2 2 r x r
0,
2 r 2 x2 r x r , r x r r 2 0, 其他其他
同理
2 r 2 y2 , r y r pY ( y ) r 2 0, 其他

P( X xi Y y j )P(Y y j ) i 1,2,
j 1

j 1
j 1
P(Y y j ) pij P( X xi ,Y y j )

条件分布资料

条件分布条件分布是概率论中一个重要的概念，它描述了在给定某种条件下随机变量的分布情况。

在实际问题中，条件分布的概念具有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和描述数据的特征及规律。

1. 条件概率在介绍条件分布之前，我们先来了解一下条件概率的概念。

条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。

假设事件A和事件B是两个事件，P(A)表示A事件发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率，同时假设P(B)不等于0，则在事件B发生的条件下，事件A发生的概率记为P(A|B)，可以用以下公式表示：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2. 条件分布的定义在概率论中，条件分布指的是一个随机变量在给定另一个随机变量的取值的条件下的分布情况。

假设X和Y是两个随机变量，条件分布P(X|Y)描述了在已知Y 的取值的情况下，X的可能取值及其对应的概率分布。

条件分布可以更加准确地描述变量之间的关系，有助于我们对问题的分析和建模。

3. 条件分布的性质条件分布具有以下几个性质：3.1 条件期望条件期望是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，随机变量的期望值。

对于随机变量X和Y，条件期望E(X|Y=y)定义为：E(X|Y=y) = Σ x * P(X=x|Y=y)3.2 条件方差条件方差是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，随机变量的方差。

条件独立性是条件分布中一个重要的性质，能够简化问题的处理和计算。

4. 应用举例条件分布在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在金融领域，可以利用条件分布来建立风险模型，预测不同市场条件下的资产价格走势；在医学领域，可以利用条件分布来分析不同疾病的发病率和相关因素之间的关系，帮助医生进行诊断和治疗。

条件数学期望

F(x| y)
x
P(X xi |Yy)
xi x
p(t| y)dt x p(t, y)dt
p(y)
大家好
18
二、条件数学期望
定义：若随机变量X在Y=yj条件下的条件分布列为 pi j ,又
xi pi j ，
i1
则称
xi pi j
i 1
为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，
3、随机变量X对Y求条件期望后再求期望，等于
对这个随机变量直接求期望。
大家好
31
条件分布数学期望的性质
4.若X与Y独立，则 EXYyEX
5.条件期望有所谓平滑性：
E E X X Y y d Y y F E E X Y
6.对随机变量X，Y的函数 X,Y恒有：
E X , Y Y y E X ,y Y y
记为 E{XYyj}
大家好
19
例1设(X,Y)的联合分布律为
YX 1
2
3
-1 0.2 0.1
0
0 0.1 0
0.3
1 0.1 0.1
0.1
（ 1 ） E { Y |X 求 2 } ( 2 ) E ; { X |Y 0 }.
解题思路：（ 1）写X 出 2的在条Y 件的下概率分布即，可再求按得定；义（ 2）写 Y 出 0的在条 X 的件概下率分即布可，求再得按
大家好
小结
• 1、条件分布 • 2、条件数学期望及运算 • 3、条件数学期望性质及证明
大家好
33
谢谢
大家好
34
条件密度
fY
X
x
y
f x,y fX x

概率论（PDF）

条件期望与条件分布我们已经学习了条件概率的基本概念和性质，但只局限于讨论以事件(集合)为条件的情形。

事件作为条件，意味着先验知识的加入导致了样本空间的变化，从而影响概率计算。

由于随机变量是概率论研究的核心内容，很自然地需要将“条件”的概念和方法拓展到随机变量中来。

特别地，条件概率刻画了样本空间中不同集合在概率计算中的相互影响，容易由此联想到“条件”在研究随机向量的各分量间相互关联以及随机过程中所具有的价值。

所以，本章引入条件期望和条件分布的概念，并讨论其性质和应用，让读者体会“条件”对于研究随机变量间关联的重要意义，明确基本概念，掌握与之相关的基本计算方法。

PART A条件期望我们用一个简单例子作为引入。

设离散随机变量X和Y，X取值于{x1,···,x n}，Y取值于{y1,···,y m}。

考虑事件{Y=y k}，在其条件下，X的概率分布会发生变化，P({X=x i}|{Y=y k})=P({X=x i}∩{Y=y k})P({Y=y k}),通常称该概率分布为条件分布，记作P(X=x i|Y=y k)=P(X=x i,Y=y k)P(Y=y k),(1-1)这个概率中包含了Y所提供的先验信息，并将该信息带入到了期望的计算中。

E(X|Y=y k)=n∑i=1x n P(X=x i|Y=y k),(1-2)称该期望为条件期望。

条件期望给出了在已知某些先验信息的条件下，随机变量X取值的平均水平。

上述讨论对于离散随机变量比较准确，但是推广到连续情形会遇到本质的问题。

如果Y是连续随机变量，则P(Y=y)=0，(1-1)没有明确的含义。

如何克服这一困难呢？现代概率论中关于条件期望的阐述为我们提供了帮助。

基本概念首先，明确一个基本事实，条件期望是随机变量，不同于普通期望是确定性常数。

事实上，条件期望的取值取决于随机变量Y，并由此依赖于样本空间。

具体地说，设概率空间为(Ω,F,P)，如果Z(ω)=E(X|Y=Y(ω)),ω∈Ω,(1-3)则有Y(ω)=y k=⇒Z(ω)=E(X|Y=y k),为方便，记Z(ω)为E(X|Y)(ω)。

条件期望的性质与应用

条件期望的性质与应用 It was last revised on January 2, 2021条件期望的性质和应用摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。

本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。

关键词：条件期望；定义；性质；应用条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。

近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。

现代概率论总是从讲述条件期望开始的。

鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。

通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。

条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。

总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。

1 条件期望的几种定义条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。

由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。

定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。

此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x xx xF x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。

条件概率、条件分布与条件数学期望

练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求：则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？解1：设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝

条件分布公式

条件分布公式好的，以下是为您生成的关于“条件分布公式”的文章：在咱们学习数学的漫长道路上，有一个叫“条件分布公式”的家伙，时不时就会跳出来，给咱们出点难题。

我还记得有一次，我去参加一个数学兴趣小组的活动。

那时候，大家都在热烈地讨论着各种数学概念，当提到条件分布公式的时候，整个气氛都变得有点紧张又兴奋。

有个小伙伴，叫小李，他瞪着一双大眼睛，满脸的疑惑，说：“这条件分布公式到底是个啥呀，感觉比解奥数题还难！”旁边的小王则皱着眉头，手里不停地转着笔，嘴里嘟囔着：“我怎么觉得它就像个迷宫，绕来绕去把我都绕晕了。

”这时候，老师走了过来，笑着说：“同学们，别着急，咱们一起来慢慢剖析这个‘神秘家伙’。

”老师在黑板上写下了条件分布公式：P(X|Y) = P(X,Y) / P(Y) 。

然后开始解释：“你们看啊，这个公式就像是一个分配任务的指挥家。

P(X,Y) 表示的是 X 和 Y 同时发生的概率，而 P(Y) 呢，就像是一个门槛，咱们得先跨过这个门槛，才能算出在 Y 已经发生的条件下，X 发生的概率。

”我当时就在想，这就好比是去超市买东西。

假如我们想知道在已经买了水果（Y 事件）的情况下，买零食（X 事件）的概率。

那么 P(X,Y) 就是既买了水果又买了零食的情况出现的概率，而 P(Y) 就是买水果的概率。

只有知道了这两个，才能算出在买了水果的前提下买零食的概率。

再举个例子，假设咱们在研究学生的成绩。

X 表示数学成绩优秀，Y 表示语文成绩优秀。

那 P(X|Y) 就是在语文成绩优秀的条件下，数学成绩优秀的概率。

通过这样的例子，大家似乎对条件分布公式有了那么一点点感觉。

小李不再那么迷茫了，小王也停下了转笔，开始认真思考。

在之后的学习和练习中，我发现条件分布公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多找一些实际的例子来理解，多做几道题目来巩固，它也并没有那么可怕。

比如说，在统计班级同学参加课外活动的情况时。

X 是参加体育活动，Y 是参加文艺活动。

条件期望的求法及应用

条件期望的求法及应用
条件期望（有时也称为期望条件）是中统计学中有关概率论的一个概念，它通常被用
来衡量在给定条件下一个变量的预期值。

条件期望可以用来计算和解释变量之间的相关性，以及指导预测和决策。

在统计学中，条件期望是一个期望值，它用来衡量一个事件的期望值在一个指定的条
件下。

期望值用来表示一个事件在某个条件下的平均结果，并用来衡量这个事件的期望行为。

例如，条件期望可以用来衡量一个股票的期望获利率或一个国家的期望经济增长率。

条件期望是一个重要的统计概念，它可以在多种应用场景中被用来求解问题。

例如，
条件期望可以用来计算及时生成应用java程序中多变量之间的相关性。

它也可以用来分
析不同投资组合的预期收益率，并使用条件期望来指导决策。

此外，它还可以用来研究不
确定性环境和风险管理等问题，以及比较不同市场和经济系统下的投资组合表现。

此外，条件期望还可以用来预测和估计概率分布中的未知参数，从而推断不同情形下
的预期结果。

它还可以用来比较条件概率分布模型，以及预测经济衰退和增长及其他经济
指标的变化情况。

总之，条件期望是一个重要的概念，它被广泛用于数据挖掘、机器学习和模式分析等
领域，其应用可以极大地改善决策和预测的准确性，并有助于提高经济效益。

条件分布与条件期望

为例，
将上式左边乘以 dx , 右边乘以 dx·dy/dy 即得
pX|Y(x|y)dxp(pxY,(yy))d dxydy P {xXxd x,yYyd y}
P {yYyd y}
P { x X x d x | y Y y d y }
pX|Y(x| y)dx P { x X x d x | y Y y d y } 换句话说，对很小的dx和 dy，pX|Y(x| y)dx 表示已知 Y 取值于y和y+dy之间的条件下，X 取值于x和x+dx之间的条件概率.
E [g(X )|y] i g g ((x x i))p P ((x X | y)d x x i|,Yy),
在离散场合在连续场合
定理3.5.1 (重期望公式)条件期望的期望就是(无条件)期望，即 E[E(X|Y)] = E(X) .
证: 在连续场合
E(X)
0x1，p(y| 其它
x)11x, 0,
0xy1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及
解P(：Y>0.5).
p(x,y)p(y|x)pX(x) 1 1x, 0xy1
0,
其它
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,y)0的区域
0
1
y
pY(y)的图形
y1
pY(y)
p X |Y ( x | y ) 可知，当X与Y相互独立时，
p(x, y) pY ( y )
pY|X(y|x)pY(y), pX |Y(x|y)pX(x)
也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量X与Y是否相互独立.

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在Ｙ y 的条件下Ｘ的条件分布密度记为PＸ|Ｙ(x | y)
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在ＸＹ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
6
6
20 20
pj
2 5
3 5
pi• 从实际出发求条件分布列
2
5 在X 1的条件下在X 0的条件下
3 5
０ 1
０ 1
P 2 2 44
P 1 3 44
定义：3.5.1 设对任意的j 有
PJ
0,
则称
Pi| j
Pij PJ
为给定 Y yj条件下的X的条件分布列。
i=1，2，........
一、离散场合下的条件分布
例2.2.1 袋中有5个形状相同的球，其中3个新的，2个旧的，从中任取一球，无返回地取两次，
设
1 X 0
第一次取新球第一次取旧球
1 Y 0第二次取新Fra bibliotek 第二次取旧球
求 X，Y 得联合分布列，边际分布列，条件分布列。
解：PX 0，Y 0 P(X 0)P(Y 0 | X 0) 2 1 2
mk
m e
m! pk (1 p)mk
mk m! k!(m-k)!
e
m pk (1 p)mk
mk k!(m-k)!
kpk e [(1 p)]mk
k! mk (m-k)!
kpk e [(1 p)]t
k!
t0
t!
k pk e e (1p)
k!
(p)k ep
k 0,1, 2,3,.........
p j p 1 p 2 p 3 …. p n …
定分布。条件分布内容丰富，应用广泛。
条件分布列的个数=联合分布列的行数+列数
例2.6.2 设（X，Y）有联合分布列：求所有的条件分布列
XY 1 2 3
pi
1 0.1 0.3 0.2 0.6
2 0.2 0.05 0.15 0.4
p j 0.3 0.35 0.35 1
x3
p31 p32 p33 .........p3n ........ p3
y
(X, Y)的联合分布列只有一个，而条件分布有多个，X和Y的取值越多，得到的条件分布也就越多。每个条件分布都是从一个侧面描述了一种状态下的特
….. ….
.........................................
lim [F (x, y y) F (x, y)] / y y0 [FY ( y y) FY ( y)] / y
F (x, y) y
PY ( y)
关于x求导得
PX|Y
(x
|
y)
P(x, y) PY ( y)
同理可得:
PY|X
(y
|
x)
P(x, y) PX (x)
与离散型是何等相似!
Pi| j
（同学们自己做）
在Y 1的条件下，X得分布列
X|Y 1 1
2
P
1/3 2/3
在X 1的条件下，Y得分布列
在Ｙ 2的条件下，Ｘ得分布列
Y|X 1 1 2 3
P
1/6 1/2 1/3
Ｘ|Ｙ 2 1
2
P
6/7 1/7
在X 2的条件下，Y得分布列
Y|X2 1 2 3
P
1/2 1/8 3/8
在Ｙ 3的条件下，Ｘ得分布列
x
24(1 x) ydy
0
12x2 (1 x)
o x 1
PY ( y)
P(x, y)dx
1
24(1 x) ydx
x
12 y(1 y)2 0 y 1
故当
0 y 1 时,
PX|Y (x
|
y)
P(x, y) PY ( y)
24(1 x) y 12y(1 y)2
y x 1
2(1 x)
i=1
i=1
在Ｙ
y
条件下的条件数学期望。简称条件期望。
j
并记作 E(Ｘ|Ｙ yj) xi Pi|j
i=1
类似 E(Ｙ|Ｘ xi ) yj Pj|i j1
为Ｙ在Ｘ xi条件下的条件期望。
连续型： E(X|Y=y)= xP(x | y)dx -
E(Y | X x) yP( y | x)dy -
N(1,12 )，Y
N(2
,
2 2
)，求
P(x |
y) ？
解：P(x | y) P(x，y)
PY ( y) 1
1 [( x1 )2 2 ( x1 )( y2 ) ( y2 )2 ]
e 2(1 2 )
1
2
2
2 1 2 1 2
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 2
1
e
212
1 (1
2
[ )
x
(
1
同理
称
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
为给定 X xi条件下的Y的条件分布列。
对比:P(AB) P(A)P(B | A) P(B | A) P(AB) P(A)
定义3.5.2, 给定Y=y j条件下X的分布函数为：
y
F(x | yj) P(X xi | Y yj) xi x
X在[- 1 y2， 1 y2 ]上均匀分布。
1
例如，当
y 0时
P(x |
y)
2
0
1 x 1 其他
即当 y 0时，X在[-1，1]上均匀分布。
y
0.5
又如，当 y 0.5 时
-1
0
1
P(x
|
y)
3
0
3 x 3
2
2
其他
x
1
例3.5.7 设 (X, Y) N(1，2,12， 22，)
则X
即为连续场合下的全概公式形式
同理 P(x，y) PX (x)P( y | x)
PY ( y)
P(x，y)dx
PX (x)P( y | x)dy
用条件概率的定义可推出连续场合下的逆概公式
P(x | y) P(x，y) PY ( y)
PX (x)P( y | x)
PX (x)P( y | x)dy
条件数学期望E(X | Y y)是y的函数，它与无条件期望不仅在计算公式上，而且在含义上都有很大的区别。
如：用X表示我国成年男人身高，用Y表示我国成年男人足长，则无条件期望EX表示我国成年男人平均身高，
EY表示我国成年男人平均足长， E(X | Y 24)则表示足长为24cm的我国成年男人的平均身高，对不同足长的男人，其平均身高未必相同。
P( y | x) P(x，y) PX (x)
PY ( y)P(x | y)
PY ( y)P(x | y)dy
例3.5.8 设X N(, 2 )，在X x的条件下Y|X=x N(x, 2)
求Y的密度函数？
x 2
解：已知：PX (x)
1
e
212
,P( y | x)
2 1
PY ( y) PX (x)P( y | x)dx
x 0x
同理 F( y | xi ) P(Y yj | X xi )
yj y
X Y y1 y2 y3..........yn........ pi
x1
p11 p12 p13 .........p1n ........ p1
x2
p21 p22 p23 .........p2n ........ p2
(1
y)2
0
其它
0
y x 1 其它
当 0 x 1 时,
PY|X ( y | x)
P(x, y) PX (x)
24(1 x) y 12x2 (1 x)
0
0 yx 其它
2y
x
2
0
0 yx 其它
例3.5.6设(X,Y)在G={(x, y) | x2 y2 1上均匀分布，求给定
Y=y 的条件下，X的条件分布密度 P(x | y) ?
1