§3.5---条件分布与条件期望

Y=y 的条件下，X的条件分布密度 P(x | y) ?
1
解：依题意 P(x，y)
x2 y2 1
0
其他
可求得
2
PY ( y)
1 y2
所以，当 1 y 1
0
1 y 1 其他
1
P(x
|
y)
P(x，y) PY ( y)
2
1 y2 0
1 y2 x 1 y2 其他
进一步说，当 1 y 1时，给定Y=y的条件下，
C-1 [
xC
12
y
2 2
]2
1 2
y2
12
2 2
1
21 2
2 Ce1 2
y 2
12
2 2
1
e dx
1 2
C-1 [
xC
12
y
2 2
]2
2 C
1
21 2
2 C e1 2
y2
12
2 2
1
e1 2
y2
12
2 2
2
12
2 2
所以，Y
N(
,
2 1
2 2
).
四、条件数学期望
定义3.5.4 若 | xi | Pi|j , 则称 xi Pi|j 为Ｘ
一、离散场合下的条件分布
例2.2.1 袋中有5个形状相同的球，其中3个新的，2个旧的， 从中任取一球，无返回地取两次，
设
1 X 0
第一次取新球 第一次取旧球
1 Y 0
第二次取新球 第二次取旧球
求 X，Y 得联合分布列，边际分布列，条件分布列。
解：PX 0，Y 0 P(X 0)P(Y 0 | X 0) 2 1 2
k!
所以，Y服从参数为 p 的泊松分布。
此题为离散场合下，全概公式的应用
P(Y k) P(X m)P(Y k | X m) mk
二、连续型随机变量的条件分布
前面在离散型随机变量中
称Pi| j
pij p j
为在Ｙ y j 的条件下Ｘ的条件分布列.
称Pj|i
pij p j
为在Ｘ xi 的条件下Ｙ的条件分布列
x
24(1 x) ydy
0
12x2 (1 x)
o x 1
PY ( y)
P(x, y)dx
1
24(1 x) ydx
x
12 y(1 y)2 0 y 1
故当
0 y 1 时,
PX|Y (x
|
y)
P(x, y) PY ( y)
24(1 x) y 12y(1 y)2
y x 1
2(1 x)
即为连续场合下的全概公式形式
同理 P(x，y) PX (x)P( y | x)
PY ( y)
P(x，y)dx
PX (x)P( y | x)dy
用条件概率的定义可推出连续场合下的逆概公式
P(x | y) P(x，y) PY ( y)
PX (x)P( y | x)
PX (x)P( y | x)dy
x3
p31 p32 p33 .........p3n ........ p3
y
(X, Y)的联合分布列只有一个， 而条件分布有多个，X和Y的取 值越多，得到的条件分布也就 越多。每个条件分布都是从一 个侧面描述了一种状态下的特
….. ….
.........................................
X在[- 1 y2， 1 y2 ]上均匀分布。
1
例如，当
y 0时
P(x |
y)
2
0
1 x 1 其他
即 当 y 0时，X在[-1，1]上均匀分布。
y
0.5
又如，当 y 0.5 时
-1
0
1
P(x
|
y)
3
0
3 x 3
2
2
其他
x
1
例3.5.7 设 (X, Y) N(1，2,12， 22，)
则X
6
6
20 20
pj
2 5
3 5
pi• 从实际出发求条件分布列
2
5 在X 1的条件下 在X 0的条件下
3 5
０ 1
０ 1
P 2 2 44
P 1 3 44
定义：3.5.1 设对任意的j 有
PJ
0,
则称
Pi| j
Pij PJ
为给定 Y yj条件下的X的条件分布列。
i=1，2，........
p j p 1 p 2 p 3 …. p n …
定分布。条件分布内容丰富， 应用广泛。
条件分布列的个数=联合分布列的行数+列数
例2.6.2 设（X，Y）有联合分布列： 求所有的条件分布列
XY 1 2 3
pi
1 0.1 0来自百度文库3 0.2 0.6
2 0.2 0.05 0.15 0.4
p j 0.3 0.35 0.35 1
(1
y)2
0
其它
0
y x 1 其它
当 0 x 1 时,
PY|X ( y | x)
P(x, y) PX (x)
24(1 x) y 12x2 (1 x)
0
0 yx 其它
2y
x
2
0
0 yx 其它
例3.5.6设(X,Y)在G={(x, y) | x2 y2 1上均匀分布，求给定
同理
称
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
为给定 X xi条件下的Y的条件分布列。
对比:P(AB) P(A)P(B | A) P(B | A) P(AB) P(A)
定义3.5.2, 给定Y=y j条件下X的分布函数为：
y
F(x | yj) P(X xi | Y yj) xi x
1 2
(
y
2
))]2
21 1 2
这也是正态密度函数，
期望为
(1
1 2
(
y
2
))，方差为
2 1
(1
2
)
三、连续场合下的全概公式及逆概公式
把条件分布改写： P(x，y) PY ( y)P(x | y)
求关于X的边际密度函数：
PX (x)
P(x，y)dy
PY ( y)P(x | y)dy
Pij PJ
i=1，2，.....
Pj|i
Pij Pi
j=1，2，........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为：
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
条件数学期望E(X | Y y)是y的函数，它与无条件期望不仅在 计算公式上，而且在含义上都有很大的区别。
如：用X表示我国成年男人身高，用Y表示我国成年男人足长， 则 无条件期望EX表示我国成年男人平均身高，
EY表示我国成年男人平均足长， E(X | Y 24)则表示足长为24cm的我国成年男人的平均身高， 对不同足长的男人，其平均身高未必相同。
现在我们讨论连续型随机变量的条件分布密度?
设(X, Y)为连续型随机变量,
则有P(Ｘ=x|Ｙ y) 0
P(Ｘ
x
|Ｙ
y)
P(Ｘ x,Ｙ P(Ｙ y)
y)
“ 0 ” 0
？
我们用极限的思想来处理. 设(Ｘ,Ｙ)的密度函数为P(x, y),
在Ｙ y 的条件下Ｘ的条件分布函数记为 FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
（同学们自己做）
在Y 1的条件下，X得分布列
X|Y 1 1
2
P
1/3 2/3
在X 1的条件下，Y得分布列
在Ｙ 2的条件下，Ｘ得分布列
Y|X 1 1 2 3
P
1/6 1/2 1/3
Ｘ|Ｙ 2 1
2
P
6/7 1/7
在X 2的条件下，Y得分布列
Y|X2 1 2 3
P
1/2 1/8 3/8
在Ｙ 3的条件下，Ｘ得分布列
i=1
i=1
在Ｙ
y
条件下的条件数学期望。简称条件期望。
j
并记作 E(Ｘ|Ｙ yj) xi Pi|j
i=1
类似 E(Ｙ|Ｘ xi ) yj Pj|i j1
为Ｙ在Ｘ xi条件下的条件期望。
连续型： E(X|Y=y)= xP(x | y)dx -
E(Y | X x) yP( y | x)dy -
x 0x
同理 F( y | xi ) P(Y yj | X xi )
yj y
X Y y1 y2 y3..........yn........ pi
x1
p11 p12 p13 .........p1n ........ p1
x2
p21 p22 p23 .........p2n ........ p2
5 4 20
PX 0，Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1，Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1，Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
mk
m e
m! pk (1 p)mk
mk m! k!(m-k)!
e
m pk (1 p)mk
mk k!(m-k)!
kpk e [(1 p)]mk
k! mk (m-k)!
kpk e [(1 p)]t
k!
t0
t!
k pk e e (1p)
k!
(p)k ep
k 0,1, 2,3,.........
P(Ｘ k)P(Ｙ n-k) P(Ｘ Ｙ n)
k
e 1 -1
nk
2
e2
k!
(1
(n k)!
n
) e 2
(1 2 )
n!
n! k!(n
k)!
k nk 12
(1 2 )n
Ckn
(
1
1
2
)k
(
1
2
2
)n-k
即 在ＸＹ n 的条件下，
Ｘ 服从二项分布 b(n, 1 ) 1 2
例3.5.4设某一段时间内进入某商场的人数X服从参数为 的
§3.5 条件分布与条件期望
二维随机变量的两个随机变量之间主要表现为独立和相依 两种关系，在许多问题中，两个随机变量的取值是相互影响的， 这就使得条件分布是研究变量之间相依关系的一个有力工具。
对二维随机变量而言，所谓条件分布，就是在Y取某定值 的条件下X的分布，或者在X取某定值的条件下Y的分布，
例如人的体重和身高构成二维随机变量（W，H），W和H是有 相依关系的，要问在H=170（cm)条件下，W的分布如何？这就是 条件分布，它和人群的体重分布是不一样的。
P( y | x) P(x，y) PX (x)
PY ( y)P(x | y)
PY ( y)P(x | y)dy
例3.5.8 设X N(, 2 )，在X x的条件下Y|X=x N(x, 2)
求Y的密度函数？
x 2
解：已知：PX (x)
1
e
212
,P( y | x)
2 1
PY ( y) PX (x)P( y | x)dx
事实上，对于Ｙ的每一个可能值yj ,按照条件期望的定义 都有唯一确定的实数E(Ｘ|Ｙ yj)与之对应,
这个函数关系记为 E(Ｘ|Ｙ)
即为： yj E(Ｘ|Ｙ) E(Ｘ|Ｙ yj)
我国公安部研究获得：E(X | Y y) 6.876y 此公式对破案起着重要的作用，若发现案犯留下的脚印 长度为25.3cm,由此公式可算出其身高约为174cm.
lim [F (x, y y) F (x, y)] / y y0 [FY ( y y) FY ( y)] / y
F (x, y) y
PY ( y)
关于x求导得
PX|Y
(x
|
y)
P(x, y) PY ( y)
同理可得:
PY|X
(y
|
x)
P(x, y) PX (x)
与离散型是何等相似!
Pi| j
泊松分布，每个顾客买商品的概率为P，且各个顾客是否
买商品是独立的，求在商场买商品的顾客数Y的分布列？
解：P(X m) m e m 0,1, 2,..........
m!
P(Y k | X m) Ckmpk (1 p)mk k 0,1, 2,3,.......m.
P(Y k) P(X m)P(Y k | X m)
Ｘ|Ｙ 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量Ｘ，Ｙ独立，Ｘ P（1），Ｙ P（2）
在Ｘ Ｙ n 条件下，求X 的条件分布？
解：由已知条件和泊松分布的可加性得：ＸＹ P（1 2）
所以 P(Ｘ k |ＸＹ n)
P(Ｘ k, ＸＹ P(ＸＹ n)
n)
P(Ｘ k ,Ｙ n k) P(ＸＹ n)
在Ｙ y 的条件下Ｘ的条件分布密度记为PＸ|Ｙ(x | y)
FＸ|Ｙ(x | y) P(Ｘ x |Ｙ y)
lim P(Ｘ x | y Ｙ y y) y0
lim P(Ｘ x, y Ｙ y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
yx2
1
e
2
2 2
2 2
x 2
1
e 212
2 1
yx2
1
e
2
2 2
dx
2 2
x 2 yx2
1
e dx
212
2
2 2
21 2
1
21 2
e dx
12[
1
12
1
2 2
x2
2
12
y
2 2
x
2 12
y2
2 2
]
C
12
2 2
12 22
1
e dx
2 1 2
1 2
N(1,12 )，Y
N(2
,
2 2
)，求
P(x |
y) ？
解：P(x | y) P(x，y)
PY ( y) 1
1 [( x1 )2 2 ( x1 )( y2 ) ( y2 )2 ]
e 2(1 2 )
1
2
2
2 1 2 1 2
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 2
1
e
212
1 (1
2
[ )
x
(
1