折叠问题强化练习

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折叠问题练习题(含答案)

折叠问题练习题1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ．（Ⅰ）求EOF ∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小．解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则2EG FH ==，22GH =．因为二面角D －AC －B 为直二面角， 22222cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅222(22)(2)(2)012.=++-=又在EOF ∆中，2OE OF ==，22222222(23)1cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯．120EOF ∴∠= ．（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角．在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=，2EG =，112GM OE ==， ∴tan 2EGEMG GM∠==．∴arctan 2EMG ∠=．所以，二面角E OF A --的大小为arctan 2． 2.（2009福建卷文）（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD（I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=2222222cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE∴=+-⋅∠=∴+=∴⊥又平面EBD ⊥平面ABD平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBDDF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥ （Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥在Rt DBE ∆中，23,2DB DE DC AB ====ABCDEFOOFABCDEC DMHGO FA BEGHMABCDEFO1232ABE S DB DE ∆∴=⋅=又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥ 14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD 而AD ⊂平面1,,42ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=综上，三棱锥E ABD -的侧面积，823S =+3.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。

折叠数学练习题

折叠数学练习题一、折纸问题折纸问题是一个有趣而又富有挑战性的数学问题。

假设我们有一张纸，初始状态下它是平铺在桌子上的。

现在我们要对这张纸进行一系列的折叠操作。

1. 折叠一次：将纸的左下角折叠到右上角。

这样纸上面会有两个角，下面会有一个角。

2. 折叠两次：再将纸的左下角折叠到右上角。

这样纸上面会有四个角，下面会有一个角。

3. 折叠三次：再将纸的左下角折叠到右上角。

这样纸上面会有八个角，下面会有一个角。

以此类推，我们可以发现每次折叠，纸上面的角的数量都是前一次折叠的两倍。

假设我们折叠纸的次数为n，那么最终纸上面的角的数量是2^n。

二、应用折纸问题不仅仅是一个数学问题，它还有许多实际应用。

1. 地图折叠：在地图制作过程中，为了将较大的地图装入更小的空间，常常需要对地图进行折叠。

折纸问题可以帮助我们计算折叠后地图上角的数量，从而设计更紧凑的地图。

2. 空间展开：在一些工程领域，为了研究或测试某些结构的性质，需要将其展开成平面状态进行观察。

折纸问题可以帮助我们计算展开后的结构上角的数量，从而为工程设计提供参考。

3. 材料优化：通过折纸问题的研究，我们可以探索如何将一定面积的材料最大限度地利用起来。

根据角的数量，我们可以计算出所需材料的面积，并进行优化。

三、拓展问题除了折纸问题，还有一些与之相关的数学拓展问题。

1. 折纸长度：相信许多人在小时候都玩过将一张长方形纸张对折，然后剪开，得到两个等长的矩形纸张的游戏。

那么问题来了，如果我们有一张长方形纸张，以及一段给定的长度，该如何通过折叠来得到这段给定长度的纸张呢？这个问题可以通过折纸问题的原理进行解答。

2. 折纸形状：如果我们将一张纸对折多次，能否得到一个特定的形状？比如三角形、正方形或者五角星等。

这个问题可以帮助我们更深入地理解折纸问题，并进行进一步的研究。

折纸数学练习题就介绍到这里，希望能够帮助你对折纸问题有一个更深入的理解，并激发你对数学的兴趣和探索欲望。

折叠问题专项训练【范本模板】

折叠问题专项训练【知识提要】折叠问题在中考中经常出现，它能很好的考察学生的动手操作能力，空间想象能力和综合解决问题的能力。

折叠问题中所蕴含的数学知识主要有_____________。

让我们在训练中感悟，积累，提升。

【典型例题1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在B 上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC 上的点B1重合,则AC＝_______cm。

2.（2011台州）点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF=80°，则∠CGE=________.3.(2011重庆）如图,正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF;④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44. 已知（如图所示）,ABCD是一矩形纸片，E是AB上一点，把⊿BCE沿EC所在的直线向上翻折,点B恰好落在AD上的F处。

已知BC=5， CD=4,求CE的长。

【巩固训练】1．如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为_________。

2。

(2011福建）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F 分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C 落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M,BM与EF 交于点P，再展开．则下列结论中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有( ）A、1个B、2个C、3个D、4个3. 如图，矩形ABCD中,AB=6，BC=8,将该矩形折叠,使B点与D点重合，则折痕EF=__________，四边形BEDF的形状是__________。

初中折叠的练习题

初中折叠的练习题练习一：折叠长方形1. 折叠一张纸使两个对边平行，并用手指沿着对角线将纸折叠。

展开后纸上留下了一条明显的线。

解析：这条线是纸张对角线的痕迹。

折叠纸张时，我们将纸张沿对角线对折，使两侧的边缘完全重合。

在对角线折叠后，我们可以观察到两侧边缘的堆叠，形成一条明显的线。

练习二：折叠正方形1. 以一张方形纸为例，将其对折并展开，然后将四个顶点分别折叠至纸的中心点。

解析：这个过程中我们可以观察到纸张被分割成四块相等的小正方形，并且每个小正方形都是对称堆叠的。

这种折叠方法可以用于制作纸盒等日常用品。

练习三：折叠三角形1. 将一张纸对折，使两个对边边缘完全重合，并展开。

然后将纸的两个顶点分别折叠至纸的中心点。

解析：我们可以观察到纸的折痕形成了一个等边三角形。

在这个过程中，我们将纸的两个顶点折叠至中心点，形成了一个对称三角形。

这种折叠方法可以用于制作纸飞机等游戏工具。

练习四：折叠多边形1. 以一个等边三角形为例，将其两边的顶点向内折叠至底边的中点。

解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小等边三角形，它嵌套在原始的等边三角形内部。

这样的折叠方法可以被应用于设计艺术、3D模型制作等方面。

练习五：折叠圆1. 以一个正方形纸为例，将其对角线相交的两个顶点折叠至纸的中心点，并展开。

解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小圆，它完美地嵌套在原始的正方形内部。

这里展示了如何利用纸张折叠技巧来近似表示一个圆。

练习六：折叠动物1. 以一张正方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种动物形状，例如鸟、狗等。

解析：这个练习是一个创意练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种动物形状。

这个过程需要一定的想象力和手工技巧，可以激发创造力和动手能力。

练习七：折叠建筑1. 以一个长方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种建筑形状，例如房屋、桥梁等。

解析：这个练习是一个设计练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种建筑形状。

第2章三角形折叠问题专题练习（答案）

三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9．有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。

正方形的折叠问题

连结 BF 并延长交 CD 于点 G，若 AB 10 ，则 EG 的长为（）
4
A．
3
B． 2
5
C．
3
D． 3
7．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一点，DE 4 ， AE 8 ，将正方形边 CD
沿 CE 折叠到 CF ，延长 EF 交 AB 于点 G ，连接 CG ， AF ，如下 4 个结论：
D．（
3 2
，
4
2
3）
14．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 对折至 AFE ，
延长交 BC 于点 G，连接 AG. 则 BG 的长（）
A．1
B．2
C． 3
D．3
二、填空题
15．在矩形纸片 ABCD 中， AE CG 2 3 ，点 P，Q 分别是在边 AB，CD 上， BP DQ ，将 BGP 和 DEQ 分别沿 PG，EQ 翻折，点 D，B 的对应点分别是 D ，B ，若四边形 EDGB
10．如图．已知正方形 ABCD 的边长为12 ．BE EC ，将正方形的边 CD 沿 DE 折叠到 DF ，延长 EF 交 AB 于 G ，连接 DG ．现有如下 3 个结论；① AG EC GE ；② GDE 45 ； ③ △BGE 的周长是 24 ．其中正确的个数为（）
3
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
11．如图，已知在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，将正方形的边 CD 沿 DE 折叠到 DF，
延长 EF 交 AB 于点 G，连接 DG．现有如下 4 个结论：①AG＝GF；②AG 与 EC 一定不相
等；③ GDE 45 ；④△BGE 的周长是一个定值．其中正确的个数为（）

高中数学必修二专题强化练8 折叠问题 (2)

专题强化练8折叠问题一、选择题1.(2020内蒙古呼和浩特第二中学高一上期末,)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.(2020湖南常德高三上期末,)将各边长均为2√3,锐角为60°的菱形沿较短的对角线翻折成120°的二面角,若该菱形翻折后所得到的三棱锥内接于一球,则该球的表面积为()A.7πB.28πC.36πD.52π3.(2020四川德阳高三二模,)△ABC是边长为2√3的等边三角形,E、F分别为AB、AC的中点,沿EF把△AEF折起,使点A翻折到点P的位置,连接PB、PC,当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时,四棱锥P-BCFE的体积为()A.5√34B.3√34C.√64D.3√644.(多选)(2020山东菏泽一中高三下月考,)如图,矩形ABCD中,M为BC的中点,将△ABM沿直线AM翻折成△B1AM,连接B1D,N为B1D的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.存在某个位置,使得CN⊥AB1B.翻折过程中,CN的长是定值C.若AB=BM,则AM⊥B1DD.若AB=BM=1,则当三棱锥B1-AMD的体积最大时,三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π二、填空题5.(2020浙江绍兴上虞高二上期末,)在Rt△ABC中,AC=√3,BC=1,点D是斜边AB上的动点,且不与两端点重合,将△BCD沿着CD翻折至△B'CD,使得点B'在平面ACD内的射影H恰好落在线段CD上,则翻折后AB'的最小值是.6.(2020河南信阳高一上期末,)已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=8,D、E分别是AB、AC的中点,将△ADE沿直线DE翻折至△PDE,形成四棱锥P-BCED,在翻折过程中,给出下列结论:①∠DPE=∠BPC;②PE⊥BC;③PD⊥EC;④平面PDE⊥平面PBC.其中不可能成立的结论是(填序号).三、解答题7.(2020安徽铜陵高二上期末,)如图,边长为4的正方形ABCD中,点E,F 分别为AB,BC的中点.将△AED,△BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点P.(1)求证:PD⊥平面PEF;(2)求二面角P-EF-D的余弦值.8.(2020浙江宁波镇海中学高二上期中,)如图1,△ABC为正三角形,且BC=CD=2,CD⊥BC,将△ABC沿BC翻折(如图2).(1)在翻折后的图形中,当AD=2时,求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)若点A 的射影在△BCD 内(包括边界),且直线AB 与平面ACD 所成的角为60°,求AD 的长.9.(2020陕西西安高新一中、交大附中、师大附中高三上联考,)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1-BCDE.(1)证明:CD ⊥平面A 1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36√2,求a的值.10.(2020吉林延边第二中学高一上第二次阶段检测,)如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=4,AD=2,DC=3,点E在CD上,且DE=2,将△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2),G为AE的中点.(1)证明:DG⊥平面ABCE;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP∥平面ADE?若存在,求出BP的值,并BD加以证明;若不存在,请说明理由.答案全解全析一、选择题1.B当平面BAC与平面DAC垂直时,三棱锥的高最大,由于底面积S△ACD为定值,所以此时其体积最大.取AC的中点E,连接BE,DE,如图,因为DE ⊥AC,所以由面面垂直的性质可得DE ⊥平面ABC, 所以∠DBE 是直线BD 和平面ABC 所成的角, 因为BE=DE, 所以∠DBE=45°. 故选B.2.B 根据题意,作出菱形ABCD,且AB=2√3,∠BCD=60°,按照题意翻折成三棱锥C-ABD,取BD 的中点F,且∠AFC=120°,如下图所示:设O 为△ABD 的中心,作CE ⊥平面ABD 于E, 易知CE 与AF 的延长线交于E. ∵BC=CD=2√3, ∴CF=2√3cos 30°=3,由∠AFC=120°,可知∠CFE=60°, ∴CE=CF×sin 60°=3×√32=3√32,EF=CF×cos 60°=3×12=32.易得OF=13AF=13×3=1,AO=23AF=23×3=2,由球的性质可知,球心O'在过O且与平面ABD垂直的直线上,作CG⊥OO'于G,连接O'A,O'C,则四边形CEOG为矩形,设OO'=h,O'A=O'C=r,则CG=EO=52,OG=CE=3√32,在Rt△O'CG与Rt△O'OA中,由勾股定理可得{CG2+O'G2=O'C2, OA2+OO'2=O'A2,即{(52)2+(ℎ-3√32)2=r2, 22+ℎ2=r2,解得{ℎ=√3, r=√7,∴球的表面积S=4πr2=28π.故选B.3.D如图1所示,取BC的中点O,连接EF、EO、FO,图1则△AEF、△EBO、△FOC、△EFO均为边长为√3的等边三角形,连接AO,交EF于G,则G为EF的中点,且AO⊥EF,AO⊥BC,AG=OG=32.当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时,球的半径最小.∵球心到E、F、B、C的距离相等,∴球心在过O且与平面BCFE垂直的直线上,故当球心为O时,球的半径取得最小值,为√3,如图2所示,图2此时,OP=√3,OG=PG=32,在△POG中,由余弦定理可得cos∠OGP=(32)2+(32)2-(√3)22×(32)2=13,∵GO⊥EF,GP⊥EF,GO∩GP=G,∴EF⊥平面OPG,又EF⊂平面BCFE,∴平面OPG⊥平面BCFE,∴点P到平面BCFE的距离d=PG·sin∠OGP=32×√1−(13)2=√2,∴V P-BCFE=13×12×(2√3+√3)×32×√2=3√64.4.BD对于A,取AD的中点E,连接CE、NE,设CE∩MD=F,连接NF,如图1所示,图1则NE∥AB1,∵NE⊄平面B1AM,B1A⊂平面B1AM,∴NE∥平面B1AM.易得四边形AMCE是平行四边形,∴CE∥AM,同理可证CE∥平面B1AM,又CE∩NE=E,且CE,NE⊂平面CNE,∴平面CNE∥平面B1AM,∴MB1∥平面CNE,又MB1⊂平面B1MD,平面B1MD∩平面CNE=NF,∴NF∥MB1,在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∴∠AB1M=90°,∴AB1⊥MB1,∴EN⊥NF,若CN⊥AB1,则EN⊥CN.∵NE、NF、NC共面且共点,∴这是不可能的,故A不正确.对于B,由等角定理可得∠NEC=∠MAB1,又NE=12AB1,AM=EC,∴在△CEN中,由余弦定理得NC2=NE2+EC2-2NE·EC·cos∠NEC是定值,∴NC的长是定值,故B正确.对于C,取AM的中点O,连接B1O,OD,如图2所示,图2若AB=BM,则AB1=B1M,∴AM⊥B1O,若AM⊥B1D,由于B1O∩B1D=B1,且B1O,B1D⊂平面ODB1,∴AM⊥平面ODB1,∵OD⊂平面ODB1,∴OD⊥AM,则AD=MD,易知AD≠MD,故AM⊥B1D不成立,故C不正确.对于D,根据题意知,只有当平面B1AM⊥平面AMD时,三棱锥B1-AMD的体积最大,取AD的中点E,连接OE、B1E、ME,如图2所示.易知B1O⊥AM,∵平面B1AM⊥平面AMD,平面B1AM∩平面AMD=AM,B1O⊂平面B1AM,∴B1O⊥平面AMD,∴B1O⊥OE,又AB1⊥B1M,AB1=B1M=1,∴AM=√2,B1O=12AM=√22,OE=12DM=12AM=√22,∴EB1=√(√22)2+(√22)2=1,∴EA=ED=EM=EB1=1,∴AD的中点E就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心,球的半径为1,表面积是4π,故D 正确.故选BD.二、填空题5.答案√4−√3解析如图,易知B'H⊥平面ACD,连接AH,设∠BCD=∠B'CD=α,α∈(0,π2),则有B'H=sinα,CH=cosα,∠ACH=π2-α,在△AHC中,由余弦定理得AH2=AC2+CH2-2CH×AC×cos∠ACH=3+cos2α-2√3cosαcos(π2-α)=3+cos2α-2√3sinαcosα,在Rt△AHB'中,由勾股定理得AB'2=AH2+B'H2=3+cos2α-2√3sinαcosα+sin2α=4-√3sin2α,∴当α=π4时,AB'取得最小值,为√4−√3.6.答案 ①②④解析如图所示:①易知tan ∠DPE=DE PD =23,∵DE ⊥PD,DE ⊥BD,PD ∩BD=D,∴DE ⊥平面PBD,∴BC ⊥平面PBD,∴BC ⊥PB,即∠PBC=90°,∵PB<PD+DB=12,∴tan ∠BPC=BC PB =8PB >23,∴①不成立;②∵DE ∥BC,∴PE 与BC 所成角即为∠PED,易知∠PED<90°,∴②不成立;③当PD ⊥BD 时,可得PD ⊥平面DBCE,∴PD ⊥EC,即③可能成立;④平面PDE 和平面PBC 交于点P,设两个平面的交线为l,由线面平行性质定理可知l ∥BC ∥DE,∴l ⊥PB,l ⊥PD,∴∠BPD 就是两个平面所成二面角的平面角,又∵PD=BD,∴∠BPD 为锐角,∴④不成立.综上所述,不可能成立的是①②④.三、解答题7.解析 (1)证明:因为四边形ABCD 是正方形,所以AD ⊥AE,CD ⊥CF,折起后即有PD ⊥PE,PD ⊥PF,又PE ∩PF=P,PE 、PF ⊂平面PEF,所以PD ⊥平面PEF.(2)如图,取线段EF 的中点G,连接PG 、DG.因为PE=PF,DE=DF,所以PG ⊥EF,DG ⊥EF,所以∠PGD 即为二面角P-EF-D 的平面角.由(1)可得PD ⊥PG,又PG=√2,DG=3√2,所以cos ∠PGD=PG DG =13.所以二面角P-EF-D 的余弦值为13.8.解析 (1)证明:若AD=2,又AB=AC=2,则A 在底面BCD 内的射影即为△BCD 的外心, 由题意知△BCD 为直角三角形,且∠BCD=90°,∴A 在底面BCD 内的射影即为BD 的中点,记射影为M,则AM ⊥平面BCD,而AM ⊂平面ABD,∴平面ABD ⊥平面BCD.(2)取BC 的中点O,BD 的中点E,连接AO 、OE 、AE,可得BC ⊥平面AOE,过A 作AH ⊥OE 于H,过H 作HN ∥BC 交CD 于N,连接AN,作HQ ⊥AN 于Q,得HQ ⊥平面ACD,点B 到平面ACD 的距离为2HQ,则sin 60°=2HQ AB =2HQ 2=√32,∴HQ=√32, 设AH=x,则√x 2+1×√32=x×1,解得x=√3,即AH=√3,又AO=√3,∴H 与O 重合,则AD=√22+12+(√3)2=2√2.9.解析 (1)证明:在题图1中,∵AB=BC=12AD=a,E 是AD 的中点,∠BAD=π2,∴易得BE ⊥AC,即在题图2中,BE ⊥A 1O,BE ⊥OC,又A 1O ∩OC=O,∴BE ⊥平面A 1OC.易知四边形BCDE 是平行四边形,∴BE ∥CD,∴CD⊥平面A1OC.(2)已知平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE.又由(1)知,A1O⊥BE,∴A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.易知A1O=√22a,S四边形BCDE=a·a=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=13×S四边形BCDE×A1O=13×a2×√22a=√26a3=36√2,解得a=6.10.解析(1)证明:∵G为AE的中点,AD=DE=2,∴DG⊥AE.∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DG⊂平面ADE,∴DG⊥平面ABCE.(2)存在,且BPBD =34.证明如下:过点C作CF∥AE交AB于点F,过点F作FP∥AD交DB于点P,连接PC.∵CF∥AE,AE⊂平面ADE,CF⊄平面ADE,∴CF∥平面ADE,同理可得PF∥平面ADE.又∵CF∩PF=F,∴平面PCF∥平面ADE.∵CP⊂平面CFP,∴CP∥平面ADE.∴在BD上存在点P,使得CP∥平面ADE.∵AE∥CF,AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形,∴AF=CE=1,∴FB=3,又PF∥AD,∴BPBD =BF AB=34.。

平行四边形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案

平行四边形中的折叠问题专项练习题(自
选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练题（自选）附答案
问题一
已知平行四边形ABCD，其边长分别为AB = 8 cm，BC = 10 cm，AD = 6 cm。

在平行四边形的内部选取一点P，使得AP = 3 cm，BP = 4 cm，CP = 5 cm，DP = x cm。

求x的值。

解答一
根据平行四边形的性质，对角线互相平分。

由题意，可以得到
以下等式：
AP + CP = BP + DP
3 + 5 =
4 + x
8 = 4 + x
x = 4
所以，DP的值为4 cm。

问题二
已知平行四边形EFGH，其边长分别为EF = 6 cm，FG = 8 cm，GH = 12 cm。

在平行四边形的内部选取一点Q，使得EQ = 2 cm，FQ = 3 cm，GQ = x cm，HQ = 9 cm。

求x的值。

解答二
同样根据平行四边形的性质，由题意可以得到以下等式：
EQ + GQ = FQ + HQ
2 + x =
3 + 9
x + 2 = 12
x = 10
所以，GQ的值为10 cm。

总结
通过以上两个问题的解答，我们可以发现在平行四边形中的折叠问题中，如果在平行四边形内部选取的点与已知点之间的距离相等，那么可以利用平行四边形的性质求解未知量。

请注意，在实际折叠过程中，要确保折叠线与平行四边形的边平行，以保证折叠的正确性。

希望以上练习题对你有所帮助！。

折叠问题专题练

A B C D M N PQ 折叠问题1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____ 2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于______3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（）A ．110° B．115° C．120° D．130°4、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD 的度数为（） A ．15° B．20° C．25° D．30°5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度．6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝度.1 A EDCBF8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于_____________。

9.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’=_____。

10、将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为_________。

2022版数学人教A版必修二基础训练：第二章专题强化练5折叠问题Word版含解析

专题强化练5折叠问题一、选择题1.()如下图,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图②).在折起的过程中,以下说法中错误的个数是()①AC∥平面BEF;②B,C,E,F四点不可能共面;③假设EF⊥CF,那么平面ADEF⊥平面ABCD;④平面BCE与平面BEF可能垂直.二、填空题2.(2021贵州遵义高三一模,)如图,正方形ABCD中,AB=2√2,点E为AD的中点,现将△DEC沿EC折起形成四棱锥P-ABCE,那么以下命题中为真命题的是(填序号).①设点O为AC的中点,点M在线段PC上,假设MC=√2PM,那么在折起过程中,P、M、B、O 四点可能共面;②设OD与EC交于点F,那么在折起过程中AC与PF可能垂直;.③四棱锥P-ABCE体积的最大值为4√105三、解答题3.()如图①所示的等边三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠,使平面ADC⊥平面BDC,如图②所示.(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比.4.(2021山西名校高二上期中联考,)如下图,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF ⊥平面EFDC.(1)当BE=1时,在折叠后的AD上是否存在一点P,使得CP∥平面ABEF?假设存在,求出AP的值;假PD设不存在,说明理由;(2)设BE=x,当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.专题强化练5折叠问题一、选择题1.B ①连接AC ,取AC 的中点O ,BE 的中点M ,连接MO ,MF ,易证四边形AOMF 是平行四边形,所以AC ∥FM ,所以AC ∥平面BEF ,所以①正确;②假设B ,C ,E ,F 四点共面,因为BC ∥AD ,所以BC ∥平面ADEF ,可推出BC ∥EF ,所以AD ∥EF ,这与相矛盾,故B ,C ,E ,F 四点不可能共面,所以②正确;③连接CF ,DF ,在梯形ADEF 中,易得EF ⊥FD ,又EF ⊥CF ,所以EF ⊥平面CDF ,所以EF ⊥CD ,又CD ⊥AD ,所以CD ⊥平面ADEF ,那么平面ADEF ⊥平面ABCD ,所以③正确;④延长AF 至G ,使得FG =AF ,连接BG ,EG ,易得平面BCE ⊥平面ABF ,过F 作FN ⊥BG 于N ,那么FN ⊥平面BCE ,假设平面BCE ⊥平面BEF ,那么过F 作直线与平面BCE 垂直,其垂足在BE 上,前后矛盾,故④错误.综上所述,只有1个说法错误.应选B .二、填空题2.答案③解析因为点M 在线段PC 上,所以平面PMO 即为平面PAC ,又B ∉AC ,所以P 、M 、B 、O 不可能在同一平面内,所以①不正确.沿EC 折起过程中,假设PF ⊥AC ,因为AC ⊥OD ,所以AC ⊥平面PBF ,所以AC ⊥PB ,而这显然是不可能的,所以②不正确.易知当平面PEC ⊥平面ABCE 时,四棱锥P -ABCE 的体积最大,在Rt △DCE 中,设斜边CE 上的高为h ,那么DE ·DC =EC ·h ⇒h =2√105, 所以V P -ABCE =13×12×(√2+2√2)×2√2×2√105=4√105,所以③正确. 故真命题为③.三、解答题3.解析(1)AB ∥平面DEF.理由:∵E ,F 分别为AC ,BC 的中点,∴AB ∥EF ,∵AB ⊄平面DEF ,EF ⊂平面DEF ,∴AB ∥平面DEF.(2)以DA ,DB ,DC 为棱补成一个长方体,那么四面体A -DBC 的外接球即为长方体的外接球. 设球的半径为R ,那么a 2+a 2+3a 2=(2R )2,∴R =√52a , 于是球的体积V 1=43πR 3=5√56πa 3. 又V A -BDC =13S △BDC ·AD =√36a 3, V E -DFC =13S △DFC ·12AD =√324a 3, ∴V 1V D -ABFE =V 1V A -BDC -V E -DFC =20√15π9. 故四面体A -DBC 的外接球体积与四棱锥D -ABFE 的体积之比为20√15π9.4.解析(1)存在点P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时AP PD =32. 当AP PD =32时,AP AD =35, 过P 作MP ∥FD ,与AF 交于M ,连接ME ,那么MP FD =35,又FD =5,∴MP =3.∵EC =3,MP ∥FD ∥EC ,∴MP ∥EC ,且MP =EC ,故四边形MPCE 为平行四边形, ∴PC ∥ME ,∵PC ⊄平面ABEF ,ME ⊂平面ABEF ,∴CP ∥平面ABEF.(2)∵平面ABEF ⊥平面EFDC ,平面ABEF ∩平面EFDC =EF ,AF ⊥EF ,AF ⊂平面ABEF , ∴AF ⊥平面EFDC ,∵BE =x ,∴AF =x (0<x <4),FD =6-x ,故三棱锥A -CDF 的体积V =13×12×2×(6-x )x =-13(x -3)2+3,0<x <4.∴当x =3时,三棱锥A -CDF 的体积有最大值,最大值为3.。

(奥数)展开与折叠专项强化

（奥数）展开与折叠专项强化学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共45小题）1．把如图所示的正方体的展开图围成正方体时，“对”字的相对面上的文字是（）A．诚B．信C．考D．试2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“潜”字所在的面相对的面上标的字是（）A．山B．市C．天D．柱3．当如图这个图案被折起来组成一个正方体，与数字2所在平面相对的平面上的数字是（）A．3B．4C．5D．64．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“建”相对的汉字是（）A．设B．丽C．青D．县5．如图是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字，与“我”字相对的面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了6．下列图形中不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．7．下列图形中，能折成正方体的是（）A．B．C．D．8．三个立体图形的展开图如图①②③所示，则相应的立体图形是（）A．①圆柱，②圆锥，③三棱柱B．①圆柱，②球，③三棱柱C．①圆柱，②圆锥，③四棱柱D．①圆柱，②球，③四棱柱9．一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（）A．图2B．图1或图2C．图2或图3D．图1或图310．如果有一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（）A．B．C．D．11．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（）A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱12．如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是（）A．①②③④B．②①③④C．③②①④D．④②①③13．下列图形（如图所示）经过折叠不能围成正方体的是（）A．B．C．D．14．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A．B．C分别填上适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A．B．C的三个数依次为（）A．1，﹣2，0B．0，﹣2，1C．﹣2，0，1D．﹣2，1，0 15．如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体的顶点有（）A．4个B．6个C．8个D．10个16．下列图形可以作为一个正方体的展开图的是（）A．B．C．D．17．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．三棱柱B．四棱锥C．长方体D．正方体18．下列图形中，不是正方体的展开图的是（）A．B．C．D．19．在全区“文明城市”创建过程中，小颖特别制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“文”字相对的字是（）A．全B．城C．市D．明20．如图所示正方体的平面展开图是（）A．B．C．D．21．下面的平面图形可以折成一个正方体的盒子，折好后，与1相对的数是（）A．3B．4C．5D．622．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，标有“☆“的一面相对面上的字是（）A．神B．奇C．数D．学23．某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“国”字相对的面上的汉字是（）A．厉B．害C．了D．我24．如图是一个表面分别标有“郑”、“州”、“中”、“心”、“城”、“市”字样的正方体展开图，则在原正方体中，与“州”相对的字是（）A．中B．心C．城D．市25．下列图形中，不可以作为一个正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D．26．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．文B．明C．肇D．庆27．如图图形不能围成正方体的是（）A．B．C．D．28．一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）A．正方体B．三棱锥C．四棱锥D．圆柱29．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（）A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱C．正方体，圆锥，四棱柱，圆柱D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱30．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．31．如图是正方体的平面展开图，每个面上都标有一个汉字，与“爱”字对应的面上的字为（）A．大B．美C．綦D．江32．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．美B．丽C．南D．海33．去年，深圳市顺利获评第五届“全国文明城市”，为此小刚同学特别制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“城”字相对的字是（）A．全B．文C．市D．明34．数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．一个正方体盒子，每个面上分别写一个字，一共有“数学核心素养”六个字，如图是这个正方体盒子的平面展开图，那么“素”字对面的字是（）A．核B．心C．学D．数35．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“海”字所在的面相对的面上标的字是（）A．教B．育C．腾D．飞36．如图所示的是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，有“粤”字一面的相对面上的字是（）A．澳B．大C．湾D．区37．正方体展开后，不能得到的展开图是（）A．B．C．D．38．下图中不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．39．如图是正方体的展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，则f在（）A．前面B．上面C．右面D．不确定40．如图是一个正方体的展开图，则“数”字的对面的字是（）A．核B．心C．素D．养41．下面哪个图形不能折成一个正方体（）A．B．C．D．42．如图所示正方体的展开图的是（）A．B．C．D．43．如图图形中，是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．44．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，可以剪去的一个是（）A．3B．4C．5D．645．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）46．一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成正方体后，“我”字对面的字是．47．如图是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“社”在相对面上的字是．48．如图是正方体的表面展开图，“我”的对面的汉字是．49．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是．50．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段：（写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段：（写出一对即可）．。

专题1.2 折叠问题(强化)(原卷版)

专题1.2 折叠问题【例题精讲】【例1】如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分AFC D 的面积为( )A ．12B ．10C ．8D ．6【例2】一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ．（1）求证：//AF CE ；（2）当BAC Ð= 度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．【题组训练】1．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，将ABE D 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( )A ．95B ．125C ．165D ．1852．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C¢处，点B落在点B¢处，其中9AB=，6BC=，则FC¢的长为( )A．103B．4C．4.5D．53．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B¢处，若2AE=，6DE=，60EFBÐ=°，则矩形ABCD的面积是( )A．12B．24C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，6OA=，将ABCD沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若30BACÐ=°，则点D的坐标为( )A．2)-B．3)-C．3)-D．(3,-5．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFN的值是( )A B1-C．2D．36．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若:2:1BE EC=，则线段CH的长是( )A．3B．4C．5D．67．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形9．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知1BE=，则EF的长为．10．如图，在矩形纸片ABCD中，6AB=，8BC=，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕，连接BF．（1）求证：四边形BGDF是菱形；（2）求折痕FG的长．11．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若4AB=，8BC=，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM CN=；（2）若CMND的面积与CDND的面积比为3:1，求MNDN的值．13．如图，在矩形ABCD中，15AB=，E是BC上的一点，将ABED沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将ADFD沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且45CE BE=．（1）求AD的长；（2）求FG的长．14．如图所示，在矩形ABCD中，8AB=，6BC=，P为AD上一点，将ABPD沿BP翻折至EBPD，PE与CD相交于点O，且OE OD=，BE与CD交于G点．（1）求证：AP DG=；（2）求线段CG的长．15．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且10AB cm=，8AD cm=，6DE cm=．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．16．如图，正方形ABCD中，6AB=，点E在边CD上，且3CD DE=．将ADED沿AE翻折至AFED，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：ABG AFGD@D；（2）求证：BG GC=；（3）求CFGD的面积．。

北师大版高中数学必修2 专题强化练 12 折叠问题

北师大版高中数学必修2 专题强化练12 折叠问题1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45∘，∠BAD=90∘，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面ABC2.如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．(1) 求证：平面PDE⊥平面PAD；(2) 求二面角P−AD−E的大小．3.已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC= a，得到三棱锥A−BCD，如图．(1) 当a=2时，求证：AO⊥平面BCD；(2) 当二面角A−BD−C的大小为120∘时，求二面角A−BC−D的正切值．⏜的中4.如图①，⊙O的直径AB=4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB=45∘，F为BC点．将⊙O沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图②）．(1) 求证：OF∥平面ACD；(2) 在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．答案1. 【答案】D【解析】因为在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=45∘，所以∠ADC=135∘，因为AD=AB，∠BAD=90∘，所以∠ADB=45∘，所以∠BDC=90∘，所以BD⊥CD．在四面体ABCD中，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD=D，所以AB⊥平面ACD，又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．【知识点】平面与平面垂直关系的判定2. 【答案】(1) 由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE．又因为AP∩DP=P，所以PE⊥平面PAD．又PE⊂平面PDE，所以平面PDE⊥平面PAD；(2) 取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD，所以∠PFE就是二面角P−AD−E的平面角．又PE⊥平面PAD，所以PE⊥PF．因为EF=AB=√2，PF=√(√2)2−12=1，所以cos∠PFE=PFEF =√22．所以二面角P−AD−E的大小为45∘．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角3. 【答案】(1) 在△AOC中，AC=a=2，易知AO=CO=√2，所以AC2=AO2+CO2，所以AO⊥CO．因为 AO ⊥BD ，BD ∩CO =O ，所以 AO ⊥平面BCD ．(2) 折叠后，BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，所以 ∠AOC 是二面角 A −BD −C 的平面角，即 ∠AOC =120∘．在 △AOC 中，AO =CO =√2，易得 AC =√6．如图，过点 A 作 CO 的垂线交线段 CO 的延长线于点 H ．因为 BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，CO ∩AO =O ，所以 BD ⊥平面AOC ．因为 AH ⊂平面AOC ，所以 BD ⊥AH ．又因为 CO ⊥AH ，CO ∩BD =O ，所以 AH ⊥平面BCD ，所以 AH ⊥BC ．过点 A 作 AK ⊥BC ，垂足为 K ，连接 HK ．因为 AK ∩AH =A ，所以 BC ⊥平面AHK ．因为 HK ⊂平面AHK ，所以 BC ⊥HK ．所以 ∠AKH 为二面角 A −BC −D 的平面角．在 Rt △AHO 中，易得 AH =√62，OH =√22，CH =3√22．在 Rt △CKH 中，易得 HK =√22CH =32．在 Rt △AHK 中，tan∠AKH =AH HK =√6232=√63．故二面角 A −BC −D 的正切值为 √63．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、二面角4. 【答案】(1) 连接 CO ，由 ∠CAB =45∘，知 ∠COB =90∘，因为点 F 为 BC⏜ 的中点，所以 ∠FOB =45∘，因此 OF ∥AC ，又 AC ⊂平面ACD ，OF ⊄平面ACD ，所以 OF ∥平面ACD ．(2) 存在，E 为 AD 的中点．理由如下：连接 OD ，OE ，CE ．因为 OA =OD ，所以 OE ⊥AD ．又 OC ⊥AB ，且两半圆所在平面互相垂直，AB 为两平面的交线，所以OC⊥平面OAD．又AD⊂平面OAD，所以OC⊥AD，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE．又AD⊂平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定。

椭圆形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案

椭圆形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案椭圆形中的折叠问题专项练题（自选）附答案问题一在给定的椭圆形纸张上，如何折叠以得到一个正方形？答案：1. 将椭圆形纸张对折，使得两个焦点对齐。

2. 将纸张按照对折线的方向再次对折，使得椭圆形的长轴与纸张的边缘重合。

3. 沿着纸张的边缘剪去多余的部分。

4. 打开剩下的部分，即可得到一个正方形。

问题二在给定的椭圆形纸张上，如何折叠以得到一个等腰三角形？答案：1. 将椭圆形纸张对折，使得两个焦点对齐。

2. 将纸张按照对折线的方向再次对折，使得椭圆形的长轴与纸张的边缘重合。

3. 沿着纸张的边缘剪去多余的部分。

4. 打开剩下的部分，即可得到一个等腰三角形。

问题三在给定的椭圆形纸张上，是否可能通过折叠得到一个完全相同的椭圆形？答案：从几何学的角度来看，不可能通过折叠得到一个完全相同的椭圆形。

因为折叠会改变原始纸张的形状和曲率，无法完全保留原始椭圆的特征。

问题四把一个椭圆形纸张沿着其中一条轴线折叠，能否得到一个长方形？答案：把一个椭圆形纸张沿着其中一条轴线折叠，可以得到一个长方形。

因为椭圆的两个轴线长度不同，所以沿着一个轴线折叠后，就可以得到一个长短边不相等的长方形。

问题五椭圆形的纸张能否折叠成一个正五边形？答案：从几何学的角度来看，椭圆形的纸张无法折叠成一个正五边形。

正五边形的内角是108度，而椭圆形的内角都大于180度，无法通过折叠达到正五边形的角度要求。

以上是关于椭圆形中的折叠问题一些专项练习题及其答案。

希望能对您的学习有所帮助！。

折叠问题练习题(含答案)

专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE ；第二步：将△ABC 沿折痕 DE 展开，然后将△DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到△DFG ，点 E ，C 的对应点分别是点 F ，G ，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB 交于点 N ，线段 DG 与边 AC 交于点 P.数学思考：（1）求 DC 的长；（2）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究下列问题：① 如图 2，当 GF ∥BC 时，求 AM 的长；② 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为③ 当△DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线 GF ，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论；②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF 的值．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.4．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝√2AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（3）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（4）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（5）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝10 3√5【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AK AH =AMAC，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+BC2=√62+82=10，∴CD=12BC=5．（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH=AB⋅ACBC =245，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=95，∵KM∥CH，∴AKAH =AMAC，∴95245=AM8，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C ，∴∠MBC=∠C ，∴BM=MC ，设BM=MC=x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2=AB 2+AM 2，∴62+（8-x ）2=x 2，∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74．故答案为74.③尺规作图如图4-1所示．作DR 平分∠CDF ，在DR 上截取DG=DC ，分别以D ，G 为圆心，DE ，CE 为半径画弧，两弧交于点F ，△DFG 即为所求．如图4-1中，连接DM ，设DG 交AC 于T ，作TH ⊥CD 于H ，作DK 平分∠CDG 交TH 于K ，作KJ ⊥DG 于J ．易证△DEM ≌△DHK （AAS ），推出EM=HK ，只要求出HK 即可．∵TE ⊥DE ，TH ⊥DC ，DG 平分∠CDE ，∴TE=TH ，设TE=TH=x ，在Rt △TCH 中，x 2+22=（4-x ）2，∴x=32， ∴DT =√32+(32)2=32√5， ∵DK 平分∠CDT ，KJ ⊥DT ，KH ⊥CD ，∴KJ=KH ，设KJ=KH=y ，在Rt △KTJ 中，y 2+(32√5−3)2=(32−y)2∴y =3√5−6，∴EM=3√5−6∴AM =AE −EM =4−(3√5−6)=10−3√5．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF的值．【答案】（1）52；（2）①四边形AE M F 为菱形；②4√109；（3）32．【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE=x ，则EM=x ，CE=4﹣x ，先证明△CME ∽△CBA 得到==，解出x 后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；（3）如图③，作FH ⊥BC 于H ，先证明△NCE ∽△NFH ，利用相似比得到FH ：NH=4：7，设FH=4x ，NH=7x ，则CH=7x ﹣1，BH=3﹣（7x ﹣1）=4﹣7x ，再证明△BFH ∽△BAC ，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（6）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD ∽△ACB ，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C ， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D ∥BC ， ∴△PA′D ∽△PBC ，∴，∴，即∴PC=1．4．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝7，点P 是边AC 上不与点A 、C 重合的一点，作PD ∥BC 交AB 边于点D ．（1）如图1，将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，作AE ∥PD ．求证：AE ＝ED ；（2）将△APD 绕点A 顺时针旋转，得到△AP 'D '，点P 、D 的对应点分别为点P '、D '， ①如图2，当点D '在△ABC 内部时，连接P ′C 和D 'B ，求证：△AP 'C ∽△AD 'B ；②如果AP ：PC ＝5：1，连接DD '，且DD '＝√2AD ，那么请直接写出点D '到直线BC 的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D '到直线BC 的距离为176或536 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD ＝∠ADP ＝∠ADP '，即可得AE ＝DE ；（2）①由题意可证△APD ∽△ACB ，可得APAC =ADAB ，由旋转的性质可得AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，即∠P 'AC ＝∠D 'AB ，，则△AP 'C ∽△AD 'B ；②分点D '在直线BC 的下方和点D '在直线BC 的上方AP′AC =AD′AB两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD ＝356，通过证明△AMD '≌△DPA ，可得AM ＝PD ＝356，即可求点D '到直线BC 的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ， ∴∠ADP '＝∠ADP ， ∵AE ∥PD ， ∴∠EAD ＝∠ADP ， ∴∠EAD ＝∠ADP '， ∴AE ＝DE（2）①∵DP ∥BC ，∴△APD∽△ACB，∴APAC =ADAB，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，AP′AC =AD′AB，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC =PDBC=56，∵BC＝7，∴PD＝356，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝DFAD ＝12D′DAD=√22ADAD√22，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝356，∵CM＝AM﹣AC＝356﹣3，∴CM ＝176，∴点D '到直线BC 的距离为176若点D '在直线BC 的上方，如图，过点D '作D 'M ⊥AC ，交CA 的延长线于点M ，同理可证：△AMD '≌△DPA ， ∴AM ＝PD ＝356，∵CM ＝AC +AM ， ∴CM ＝3+356＝356，∴点D '到直线BC 的距离为356综上所述：点D '到直线BC 的距离为176或536；。

强化训练图形的折叠问题

(建议用时45分钟)基础巩固1．(2022·烟台模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为()A．198B．2C．254D．74D解析：设CE＝x，则AE＝8－x＝EB．在Rt△BCE中，BE2＝CE2＋BC2，即(8－x)2＝x2＋62，解得x＝74．故选D．2．(2022·泰山区模拟)如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为()A． 5 B．35 2C．25D．45 C解析：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD．∴∠EFC＝∠AEF．由折叠得∠EFC ＝∠AFE ， ∴∠AFE ＝∠AEF ．∴AE ＝AF ＝5．由折叠得FC ＝AF ，OA ＝OC ， ∴BC ＝3＋5＝8．在Rt △ABF 中，AB ＝52－32＝4，在Rt △ABC 中，AC ＝42＋82＝45，∴OA ＝OC ＝25．故选C ．3．(2022·舟山)如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知∠AOB ＝120°，OA ＝6，则EF 的度数为________；折痕CD 的长为________．60° 46 解析：作O 关于CD 的对称点M ，连接MD 、ME 、MF 、MO ，MO 交CD 于N ，则ON ＝MN ．∵将CD ︵沿弦CD 折叠，∴点D 、E 、F 、C 都在以M 为圆心，半径为6的圆上．∵将CD ︵沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ，∴ME ⊥OA ，MF ⊥OB ． ∴∠MEO ＝∠MFO ＝90°．∵∠AOB ＝120°，∴四边形MEOF 中，∠EMF ＝360°－∠AOB －∠MEO －∠MFO ＝60°．即EF ︵的度数为60°．∵∠MEO ＝∠MFO ＝90°，ME ＝MF ，MO ＝MO ， ∴△MEO ≌△MFO (HL)．∴∠EMO ＝∠FMO ＝12∠FME ＝30°． ∴OM ＝ME cos ∠EMO ＝6cos 30°＝43．∴MN ＝23． ∵MO ⊥DC ， ∴DN ＝DM 2－MN 2＝62－(23)2＝26＝12CD ．∴CD ＝46．故答案为60°，46．4．(2022·东平月考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，M 是BC 上的点，且CM ＝3，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C ′处，折痕为MN ，则线段AN 的长是________．4 解析：连接PM ，如图．∵AB ＝6，BC ＝9，CM ＝3， ∴BM ＝BC －CM ＝9－3＝6．由折叠性质得，CD ＝PC ′＝6，∠C ＝∠PC ′M ＝∠PBM ＝90°，C ′M ＝CM ＝3，在Rt △PBM 和Rt △MC ′P 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝MP BM ＝CP， ∴Rt △PBM ≌Rt △MC ′P (HL)． ∴PB ＝C ′M ＝3．∴P A ＝AB －PB ＝6－3＝3．设AN ＝x ，则ND ＝9－x ＝PN ．在Rt △APN 中，AN 2＋AP 2＝PN 2，即x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4． ∴AN 的长是4．故答案为4．5．(2021·抚顺)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ，连接BO ．若AB ＝4，CF ＝5，则OB 的长为________．25 解析：连接AF ，过O 作OH ⊥BC 于H ，如图：∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ， ∴AF ＝CF ＝5，OA ＝OC ．在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝52－42＝3，∴BC ＝BF ＋CF ＝8．∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC，∴O为AC中点，OH∥AB．∴OH是△ABC的中位线．∴BH＝CH＝12BC＝4，OH＝12AB＝2．在Rt△BOH中，OB＝BH2＋OH2＝42＋22＝25．故答案为25．6．(2021·巴中)如图，矩形AOBC的顶点A，B在坐标轴上，点C的坐标是(－10,8)，点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于()A．34B．35C．33D．12D解析：∵四边形AOBC为矩形，且点C(－10,8)，∴AC＝OB＝8，AO＝BC＝10，∠C＝∠A＝∠EOB＝90°．∵△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，∴CD＝DE，BC＝BE＝10．在Rt△OBE中，OE＝BE2－OB2＝102－82＝6．设AD＝m，则CD＝DE＝8－m．∵∠ADE＋∠AED＝∠AED＋∠OEB＝90°，∴∠ADE＝∠OEB．∵∠A＝∠AOB，∴△ADE∽△OEB．∴DADE＝OEBE．即m8－m＝610．解得m＝3．∴DE＝8－3＝5．在Rt△BDE中，DE＝5，BE＝10，∴tan∠DBE＝510＝12．另一种思路：OE＝6，则AE＝4．在Rt△ADE中，(8－m)2＋42＝m2，解得m＝5．∴DE＝5．在Rt△BDE中，BE＝10，∴tan∠DBE＝510＝12．故选D．能力提升7．(2022·宁阳检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为()A．259B．258C．157D．207D解析：作DH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝32＋42＝5．∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE．∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH．∴∠DFH＝∠A．设DH＝3x．在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin A＝35，∴DF＝5x．∴BD＝5－5x．∵△BDH∽△BAC，∴BDAB＝DHAC．∴5－5x5＝3x4．∴x＝47．∴AD＝5x＝207．故选D．8．(2021·泰安)如图，将矩形纸片ABCD折叠(AD＞AB)，使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE．若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为______．4＋22解析：由翻折的性质可知，EB＝EB′，∠B ＝∠AB ′E ＝∠EB ′D ＝90°．在Rt △EBF 和Rt △EB ′D 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝ED EB ＝EB ′，∴Rt △EBF ≌Rt △EB ′D (HL)． ∴BF ＝B ′D ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝∠CDB ′＝∠EB ′D ＝90°． ∴四边形ECDB ′是矩形． ∴DB ′＝EC ＝2． ∴BF ＝EC ＝2．由翻折的性质可知，BF ＝FG ＝2，∠F AG ＝45°，∠AGF ＝∠B ＝90°，∴AG ＝FG ＝2．∴AF ＝22．∴AB ＝AB ′＝2＋22． ∴AD ＝AB ′＋DB ′＝4＋22．故答案为4＋22．9．(2022·岱岳区模拟)如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠得到△FBE ，BF 交AC 于点G ，求CG 的长．答案：327解析：延长BF 交CD 于H ，连接EH ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∠D ＝∠DAB ＝90°，AD ＝CD ＝AB ＝1． ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝12＋12＝2．由翻折的性质可知，AE ＝EF ，∠EAB ＝∠EFB ＝90°，∠AEB ＝∠FEB ． ∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ＝EF ．在Rt △EHD 和Rt △EHF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EH ＝EH ED ＝EF ，∴Rt △EHD ≌Rt △EHF (HL)． ∴∠DEH ＝∠FEH ． ∵∠DEF ＋∠AEF ＝180°， ∴2∠DEH ＋2∠AEB ＝180°． ∴∠DEH ＋∠AEB ＝90°． ∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°， ∴∠DEH ＝∠ABE ． ∴△EDH ∽△BAE ． ∴ED AB ＝DH EA ＝12． ∴DH ＝14，CH ＝34． ∵CH ∥AB ， ∴CG GA ＝CH AB ＝34． ∴CG ＝37AC ＝327．10．(2022·天津)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，点C(0,6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为33，则t的值可以是__________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)答案：(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3(3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<23即可)解析：(1)在Rt△POQ中，∠OQP＝90°－∠OPQ＝60°．根据折叠，知△PO′Q≌△POQ，∴O′Q＝OQ，∠O′QP＝∠OQP＝60°．∵∠O′QA＝180°－∠O′QP－∠OQP，∴∠O′QA＝60°．如图，过点O′作O′H⊥OA，垂足为H，则∠O′HQ＝90°．∴在Rt△O′HQ中，得∠QO′H＝90°－∠O′QA＝30°．由t＝1得OQ＝1，则O′Q＝1．在Rt△O′HQ中，QH＝12O′Q＝12，O′H＝O′Q2－QH2＝32．∴OH＝OQ＋QH＝3 2．∴点O′的坐标为(32，32)．(2)∵点A(3,0)，∴OA＝3．又∵OQ＝t，∴QA＝OA－OQ＝3－t．由(1)知O′Q＝t，∠O′QA＝60°．∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°．在Rt△EAQ中，∠QEA＝90°－∠EQA＝30°．∴QA＝12QE．∴QE＝2QA＝2(3－t)＝6－2t．∵O′E＝O′Q－QE，∴O′E＝3t－6．如图，当点O′落在AB上时，OQ＝O′Q＝t，∠AQO′＝60°，则∠AO′Q＝30°．∴AQ＝12O′Q＝12t．∴t＋12t＝3．解得t＝2．∴t的取值范围是2<t<3．(3)当点Q与点A重合时，AO′＝3，∠DAO′＝30°．∴AD＝AO′cos 30°＝23．则S△ADP＝12×23×3＝33．∴t＝3时，重合部分的面积是33．从t＝3之后重合部分的面积始终是33．当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan 30°＝23．∵P不能与C重合，∴t<23．∴3≤t<23都符合题意．拓展训练11．(2022·青岛)如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC 的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：________．(填写序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM ＝103；④EM∥AC．①④解析：∵AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝DC＝12BC＝8．故①正确．如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H．∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AD平分∠BAC．∴EH＝EF．∵BE是∠ABD的角平分线，ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED．∴EH＝ED＝4．故②不正确．∵将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合，∴EM＝MC，DM＋MC＝DM＋EM＝CD＝8．设DM＝x，则EM＝8－x．在Rt△EDM中，EM2＝DM2＋DE2，DE＝4，∴(8－x)2＝42＋x2．解得x＝3．∴EM＝MC＝5．故③不正确．设AE＝a，则AD＝AE＋ED＝4＋a，BD＝8，AB2＝(4＋a)2＋82．∵S△ABES△BDE＝12AB·EF12BD·ED＝12AE·BD12ED·BD，∴AEED＝ABBD．∴a4＝AB8．∴AB＝2a．∴(4＋a)2＋82＝(2a)2．解得a＝203或a＝－4(舍去)．∴tan C＝ADDC＝203＋48＝43．∵tan∠EMD＝EDDM＝43，∴∠C＝∠EMD．∴EM∥AC．故④正确．故答案为①④．12．(2022·肥城检测)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE 的长为()A．32B．322C．32或322D．322或355D解析：①当MB′＝13MN时，如图．Rt△AMB′中，AB′＝AB＝3，MB′＝13AB＝1，∴AM＝AB′2－MB′2＝22．∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四边形ABNM是矩形．∴BN＝AM＝22，MN＝AB＝3．设BE＝x，则B′E＝x，EN＝22－x．Rt△B′EN中，B′N＝MN－MB′＝2，EN2＋B′N2＝B′E2，∴(22－x)2＋22＝x2．解得x＝32 2．∴BE的长为32 2．②当NB′＝13MN时，如图：∵NB′＝13MN＝1，∴MB′＝2．∴AM＝5．设BE＝y，同①可得y＝355．∴BE的长为355．综上所述，BE的长为322或355．故选D．。

折叠问题的处理技巧八道例题

折叠问题解答技巧八道例题例1. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23，以AC 为轴翻折半平面，使二平面角B —AC —D 为120°，求：(1)翻折后，D 到平面ABC 的距离；(2)BD 和AC 所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解分别过B 、D 作AC 的垂线，垂足是E 、F ，过F 作FB ′∥BE ，过B 作BB ′∥AC ，交点B ′，则四边形EFB ′B 是矩形.∵AC ⊥DF ，AC ⊥B ′F ，∴AC ⊥平面B ′FD ，即∠DF ′B 就是二面角B —AC —D 的平面角，亦即∠DFB ′＝120°.过D 作DO ⊥B ′F ，垂足为O.∵DO ⊂平面DFB ′，AC ⊥平面DFB ′.∴DO ⊥AF ，DO ⊥平面ABC. 在Rt ΔADC 中，CD ＝2，AD ＝23，∴DF ＝3，OD ＝DF ·sin60°＝23.(2)在ΔDFB ′中，DB ′＝︒⋅'⋅⋅-'+120cos 22F B DF F B DF ＝3.又由(1)可知，AC ∥BB ′，AC ⊥平面DFB ′⊥平面DFB ′.∴BB ′⊥平面DFB ′，∴ΔDB B ′是直角三角形，又BB ′＝EF ＝2.∴tan ∠DBB ′＝23.∵AC ∥BB ′,∴AC 与BD 所成的角就是∠DBB ′，即为arctan 23.例2. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22ANAM+＝22)12(1++＝10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝︒⋅-+120cos 222AN AM ANAM＝21312)3(122⨯⨯⨯++＝34+∵34+＜10∴min MN ＝34+.如图，ABCDEF 为正六边形，将此正六边形沿对角线AD 折叠.(1)求证：AD ⊥EC ，且与二面角F —AD —C 的大小无关； (2)FC 与FE 所成的角为30°时，求二面角F —AD —C 的余弦值. 解析：(1)正六边形ABCDEF ，在折叠前有AD ⊥EC ，设AD 与EC 交于M ，折叠后即有AD ⊥ME ，AD ⊥MC.则AD ⊥平面EMC ，无论∠EMC 的大小如何，总有AD ⊥EC.(2)利用余弦定理，有cos ∠EMC ＝97例3（2005·湖南）如图７－１，已知A B C D 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角．（Ⅰ）证明：1ACBO ⊥；（Ⅱ）求二面角1O AC O --的大小．ABOCO 1D解法1（I ）证明：由题设知1O A O O ⊥，1OB OO ⊥．所以A O B ∠是所折成的直二面角的平面角，即O A O B⊥．故可以O 为原点，1,,O A O B O O 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关各点的坐标是(3,0,0)A，(0,3,0)B，C ，1(0,O ．从而(3,3)AC =-，1(0,BO =-，130AC BO ⋅=-+=．所以1AC BO ⊥．解法２（I ）证明：由题设知1O A O O ⊥，1OB OO ⊥，所以A O B ∠是所折成的直二面角的平面角，即O A O B ⊥．从而A O ⊥平面1O B C O ，O C 是A C在面1O B C O 内的射影．因为11tan O B O O B OO ∠==，111tan 3O C O O C O O ∠==，所以13O O B π∠=，16O O Cπ∠=，从而1OC BO ⊥，由三垂线定理得1ACBO ⊥．（II ）解由（I ）1OCBO ⊥，1AC BO ⊥，知1BO ⊥平面O A C ．设1O C O B E = ，过点E作EFAC⊥于F ，连结1O F （如图７－３），则E F是1O F 在平面A O C 内的射影，由三垂线定理得1O F AC⊥．所以1O FE ∠是二面角1O AC O --的平面角．由题设知113,1OA OO O C ===，所以ABC DFE GA'1O A==，AC ==，从而1332111=⋅=ACCO A O F O ，又11sin62O E O O π==，所以111sin 4O E O FE O F∠==，即二面角1O ACO --的大小是arcsin 4．一、折叠与展开中的垂直问题例4.如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ，过E 作FG ∥BC ，且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC ∴A 'E ⊥FG ∴A 'E ⊥BC 设A 'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：A 'D 2=A 'E 2+ED 2-2•A 'E •EDcos60°=3a 2 ∴ED 2=A 'D 2+A 'E 2 ∴A 'D ⊥A 'E ∴A 'E ⊥平面A 'BC例5如图：D 、E 是是等腰直角三角形ABC 中斜边BC 的两个三等分点，沿AD 和AE 将△ABD 和△ACE 折起，使AB 和AC 重合，求证：平面ABD ⊥平面ABE.ＥＤＢＡＥＤＣＢＡ解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝090；三、折叠与展开中的距离与体积问题例6.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23，以AC为轴翻折半平面，使二平面角B—AC—D为120°，求：翻折后，D到平面ABC的距离；解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解：分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，交点B′，则四边形EFB′B是矩形.∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，∠DFB′＝120°.过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO 平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC.3. 在RtΔADC中，CD＝2，AD＝23，∴DF＝3，OD＝DF·sin60°＝2例7. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点， N 为BC 的中点，在棱柱表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22ANAM+＝22)12(1++＝10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2.则MN ＝︒⋅-+120cos 222AN AM ANAM＝21312)3(122⨯⨯⨯++＝34+∵34+＜10∴min MN ＝34+.二、折叠与展开中的空间角问题例8. 矩形ABCD ，AB=3，BC=4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影A′落在BC 上，求二面角A —BD-—C 的余弦值。

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