高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算
极限的概念与计算
极限的概念与计算极限是微积分中的重要概念之一,它使我们能够准确描述和计算函数在某个点附近的行为。
通过研究函数的极限,我们可以更好地理解函数的特性,并应用于实际问题的求解中。
本文将会详细介绍极限的概念以及常用的计算方法。
一、极限的概念极限是数学分析中用于描述函数在某个点的邻域内的行为的概念。
如果函数f(x)在x趋近于a的过程中,无论a的左右两侧取值多么接近,但f(x)都逐渐趋近于一个确定的值L,那么我们称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限,记作lim(x→a)f(x) = L。
在极限的定义中,我们可以看到两个重要的要素:点a和趋近。
点a表示我们要研究的是函数在这个点的邻域内的行为,而趋近表示我们关注的是函数在这个点附近的值的变化情况。
二、极限的计算方法为了计算函数的极限,我们常用以下几种方法:1. 代入法:当函数在某一点处有定义并且不会发生除数为零的情况时,我们可以直接通过代入该点的值来计算极限。
2. 分式法则:对于两个函数相除,若极限的分子和分母都存在有限极限,且分母的极限不为零,则它们的极限等于分子的极限除以分母的极限。
3. 基本初等函数的极限:对于常见的基本初等函数,我们可以利用它们的性质来计算极限,如指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 极限的运算法则:极限具有一些运算法则,如加减乘除法则、乘方法则、复合函数法则等,我们可以根据这些法则来简化极限的计算过程。
5. L'Hospital法则:当我们遇到形如0/0或∞/∞的不定型极限时,可以利用L'Hospital法则将其转化为形式相同但更容易计算的极限。
以上是常用的极限计算方法,需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。
三、极限的应用极限在各个科学领域都有广泛的应用,下面列举几个常见的应用:1. 导数的定义和计算:导数是极限的一种特殊形式,在微积分中广泛应用于研究函数的变化率、切线斜率等问题。
2. 无穷小量的概念:无穷小量的引入是为了更准确地描述极限的性质。
极限的定义与计算
极限的定义与计算在数学中,极限是一种重要的概念,它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
在这篇文章中,我们将讨论极限的定义和计算方法,以及应用极限的一些例子。
一、极限的定义在数学中,极限用来描述函数在某个点附近的行为。
通常情况下,我们用“lim”符号表示极限。
对于一个函数f(x),当自变量x逼近某个特定的值a时,函数f(x)的极限可以用以下定义来表达:lim (x→a) f(x) = L这里,lim表示取极限的操作,x→a表示x趋向于a,f(x)表示函数f在x点处的取值,L表示极限的结果。
二、极限的计算计算极限的方法有很多种,下面我们介绍几种常见的方法。
1. 代入法当给定函数的极限时,最简单的方法就是直接将x的值代入函数中,然后计算函数的值。
例如,对于函数f(x) = x^2,当x趋向于2时,我们可以通过代入来计算极限:lim (x→2) x^2 = 2^2 = 42. 因式分解法当函数存在因式分解的形式时,我们可以尝试进行因式分解,然后利用分解后的形式来计算极限。
例如,对于函数f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1),当x趋向于1时,我们可以进行因式分解:f(x) = (x+2)(x-1)/(x-1) = x+2然后将因式分解后的形式代入极限的定义,计算极限:lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x+2) = 33. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的计算极限的方法,它基于一个重要的性质:如果一个函数f(x)在某个点附近被两个其他函数g(x)和h(x)夹住,并且这两个函数的极限相等,那么函数f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例如,对于函数f(x) = sin(x)/x,当x趋向于0时,我们可以使用夹逼定理计算极限:-1 ≤ sin(x)/x ≤ 1由于-l ≤ sin(x)/x ≤ 1,根据夹逼定理,我们可以得到:lim (x→0) (sin(x)/x) = 1三、极限的应用极限在数学中有广泛的应用,下面我们介绍几个常见的例子。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中,极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时,函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时,函数f(x)的取值无限接近某个值L,我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L,记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性:如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L,那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性:如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0,那么在a的邻域内,函数f(x)的取值也大于0;同理,如果极限L小于0,那么在a的邻域内,函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理:如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中,存在一点x_0使得当x靠近x_0时,f(x)≤g(x)≤h(x),并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L,那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法:当函数在某个点存在定义时,可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如,对于函数f(x)=2x+3,当x趋近于2时,可以将x=2代入函数中计算,得到极限值为7。
2. 分析法:利用函数的性质和极限特性,通过分析函数在极限点附近的取值趋势,来求解极限。
例如,对于函数f(x)=x^2+3x-1,当x趋近于2时,可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限:有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如,对于函数f(x)=(e^x-1)/x,当x趋近于0时,可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则:对于一些特殊的函数形式,如0/0或∞/∞,可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
极限的定义与极限运算法则
极限的定义与极限运算法则极限是微积分中的重要概念,它描述了函数在某一点或无穷远处趋向于某个特定值的行为。
极限与连续性、导数等概念密切相关,对于数学分析和实际问题求解都具有重要意义。
本文将围绕极限的定义和极限运算法则展开讨论,以便更深入地理解这一概念。
一、极限的定义从数学的角度来看,极限可以用更加精确的定义来描述。
假设函数f(x)在某一点a的某一邻域内定义,并且对于任意给定的ε > 0,存在相应的δ > 0,使得当0 < |x - a| < δ时,有|f(x) - L| < ε,其中L为实数。
如果这一性质成立,我们就说函数f(x)在x趋向于a的过程中极限为L,记作lim(x→a) f(x) = L。
这个定义表明,极限L是函数f(x)在x趋向于a时f(x)的“极限”,即函数在逼近某一数值时的稳定性。
二、极限运算法则运用极限来分析函数的性质和求解问题时,需要借助一些基本的极限运算法则。
以下列举了几个常用的极限运算法则:1. 基本极限法则- 常数极限法则:lim(x→a) c = c,其中c为常数。
- 自变量极限法则:lim(x→a) x = a。
- 乘积极限法则:lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x),即两个函数的极限的乘积等于各自极限的乘积。
- 商极限法则:lim(x→a) [f(x) / g(x)] = [lim(x→a) f(x)] / [lim(x→a)g(x)],其中lim(x→a) g(x) ≠ 0。
2. 复合函数的极限法则- 复合函数极限法则:lim(x→a) f[g(x)] = lim(y→L) f(y),其中lim(x→a) g(x) = L。
3. 无穷极限法则- 无穷极限法则:lim(x→∞) f(x) = L,其中L为实数。
通过运用极限运算法则,我们可以更加方便地求解复杂函数的极限。
极限的定义与计算方法
极限的定义与计算方法极限是微积分学中的重要概念,用于描述函数在某一点或者无穷远处的行为。
它在物理学、工程学以及其他应用领域中有着广泛的应用。
本文将介绍极限的定义以及计算方法,并对其在实际问题中的应用进行讨论。
一、极限的定义在微积分学中,极限是用来描述函数在某一点或者无穷远处的趋势的数学概念。
通常用符号lim表示。
给定函数f(x),当自变量x无限接近某一点a时,如果函数f(x)的取值趋近于一个固定的值L,那么就说函数f(x)在x趋近a的过程中有极限,即lim(x→a) f(x) = L。
二、函数极限的计算方法要计算函数的极限,可以使用以下主要的方法:1. 代入法:针对简单的函数,我们可以直接将x的值代入函数,然后计算函数的取值。
例如,要计算lim(x→2) (3x^2 + 2x -1),我们可以将x替换为2,然后计算出函数的值。
2. 分式的化简:当函数为分式形式时,可以通过化简的方法得到更简单的表达式,然后再进行计算。
例如,要计算lim(x→1) (x^2-1)/(x-1),我们可以对分子进行因式分解,然后化简分式,最后再代入x=1进行计算。
3. 极限的性质:极限有一些常用的性质,例如四则运算、乘法法则、除法法则等。
根据这些性质,我们可以将复杂的函数转化为简单的函数,然后再进行计算。
例如,要计算lim(x→0) 2x^3 + 3x^2 - 4x,我们可以将函数拆分为lim(x→0) 2x^3 + lim(x→0) 3x^2 - lim(x→0) 4x,然后分别计算每个部分的极限。
4. 单侧极限:当函数在某点处的左极限和右极限不相等时,我们可以使用单侧极限来描述该点的极限。
左极限表示x从左侧趋近于该点时的极限,右极限表示x从右侧趋近于该点时的极限。
三、极限在实际问题中的应用极限的概念不仅仅是数学中的一个抽象概念,它也具有实际应用价值。
以下是几个极限在实际问题中的应用案例:1. 建模和预测:在物理学或者经济学等领域中,研究人员常常需要建立数学模型来描述各种现象和趋势。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中,函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位,而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解,帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时,函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说,对于函数f(x),当x趋于无穷大或者某个特定值a时,如果存在一个常数L,使得当x趋于无穷大或者a时,f(x)趋于L,那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性:如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在,那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性:如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在,那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性:如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于(或小于)0,那么它的函数值在某个邻域内都大于(或小于)0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时,我们常常会遇到一些特殊的极限形式,如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1:计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析:当x趋于0时,sinx/x的极限形式为0/0,这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先,我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数,即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...,那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时,高次项的幂都趋于0,因此我们只需要保留x的一次幂的项,即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2:计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析:当x趋于无穷大时,x/(x+1)的极限形式为∞/∞,这也是一个不定型。
极限的概念和运算法则宣讲培训
06 案例分析
案例一:极限在解决数学问题中的应用
总结词
通过具体数学问题,展示极限概念在解 决数学问题中的重要性和应用。
VS
详细描述
极限是数学分析中的基本概念,它在解决 数学问题中具有广泛的应用。例如,在求 解函数的极限、导数和积分时,都需要用 到极限的概念和运算法则。通过具体问题 的解析,可以深入理解极限的概念和运算 法则,提高解决数学问题的能力。
判定方法
通过分析函数在某点附近的取值情况 ,结合极限的定义和性质,判断函数 在该点处的极限是否存在。
02 极限的运算法则
极限的四则运算法则
01
02
03
04
加法定理
lim(f(x)+g(x))=lim(f(x))+lim (g(x))
减法定理
lim(f(x)-g(x))=lim(f(x))lim(g(x))
案例二:极限在解决实际问题中的应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
通过实际问题的解决,展示极限概念在解决实际问题中的 重要性和应用。
极限概念不仅在数学中有广泛应用,在解决实际问题中也 有重要的应用。例如,在物理学、工程学和经济学的许多 问题中,都需要用到极限的概念和运算法则。通过具体实 际问题的解析,可以深入理解极限的概念和运算法则,提 高解决实际问题的能力。
级数与积分的关系
通过级数可以研究函数的积分性 质,反之亦然。
05 实际应用中的极限思想
金融中的极限思想
金融市场中的极限思想
在金融市场中,极限思想被用于分析市场趋势和预测价格波动。通过研究历史 数据和市场走势,投资者可以了解市场趋势的极限,从而做出更准确的投资决 策。
风险管理中的极限思想
高中数学中的极限概念详解
高中数学中的极限概念详解在高中数学中,极限是一个关键的概念,它为我们理解数学的连续性和趋势提供了基础。
在本文中,我们将详细解释极限的概念、计算方法和应用。
首先,我们来了解极限的定义。
在数学中,极限表示一个函数在自变量无限接近某一特定的值时的趋势。
当自变量趋近于这个特殊值时,函数的取值也会逐渐接近于一个确定的数值。
这个特殊值被称为极限点,而函数在极限点处的取值则称为极限。
数学上用符号“lim”来表示极限,例如lim f(x) = L表示当x趋近于某一值时,f(x)的极限为L。
接下来,我们来看一些常用的极限计算方法。
在高中数学中,有几种常见的方法可以计算极限。
首先是代入法,即将自变量的值代入函数中计算。
如果得到的结果存在一个有限值,那么这个有限值即为函数在该点的极限。
如果得到的结果是无穷大(正无穷大或负无穷大),则说明函数在该点不存在极限。
其次是夹逼定理,它用于计算特定类型的极限。
夹逼定理基于一个原则:如果一个函数在两个连续的点之间被夹在两个其他函数之间,并且这两个函数的极限相等,那么这个函数的极限也等于这个公共极限。
另外还有无穷小量的概念,即当自变量趋近于某一值时,函数取值可以无限接近于零。
利用无穷小的性质,我们可以推导出一些特定类型的极限。
然后,我们来探讨极限的应用。
极限在数学中有广泛的应用,尤其在微积分和解析几何中。
在微积分中,极限是求导和积分的基本工具。
通过极限的概念,我们可以推导出导数的定义并计算各种函数的导数,进而研究函数的变化趋势。
在解析几何中,极限可以用来计算曲线的切线和曲率。
通过求解极限,我们可以确定曲线上某一点的切线斜率以及曲线在该点的曲率大小,从而揭示出曲线的几何性质。
最后,我们来总结一下。
高中数学中的极限概念是我们理解数学中连续性和趋势的基础。
极限的定义为我们提供了一种数学语言来描述函数在特定点的趋势。
我们可以通过代入法、夹逼定理和无穷小量的应用等方法计算极限。
极限的应用广泛,特别是在微积分和解析几何中。
极限的基本概念与计算
无穷小乘以无穷 大不一定等于0, 取决于无穷大的
变化速度。
无穷小除以无穷 小也不一定等于0,
取决于无穷小的 变化速度。
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极限运算的优先级
先进行幂次运算 然后进行加减运算 最后进行乘除运算 括号内的运算优先级最高
20XX
THANK YOU
汇报人:XX
(x)/limg(x)
03
极限的计算方法
直接代入法
直接代入法:将x=a代入函数f(x)中,求得f(a)的值,即为函数在x=a处的极限。 特殊值法:通过取特殊值来判断函数在某点的极限是否存在。
夹逼准则:通过比较函数在某点附近的取值范围,判断函数在该点的极限是否存在。
洛必达法则:当x趋近于某值时,分子分母的导数之商的极限即为所求的极限值。
极限是函数图像在某点的切 线斜率
极限的几何解释有助于直观 理解极限的概念和性质
极限的几何解释在解决实际 问题中具有广泛应用
02
极限的性质
极限的唯一性
极限定义:在某点处的极限值 是唯一的
唯一性的重要性:在数学 分析中,唯一性是极限的 基本性质之一,它确保了 数学分析的严谨性和准确
性
证明方法:利用极限的精确定 义和性质进行证明
定义:洛必达法则是求极限 的一种方法,通过求导数来 简化极限的计算。
计算步骤:先求分子和分母 的导数,然后将导数带入原
极限表达式中进行计算。
应用范围:适用于多种类型 的极限计算,尤其是一些复
杂函数的极限计算。
等价无穷小替换法
等价无穷小替换法:在计算极限时,将无穷小量替换为等价的有限量,从而简化计算 洛必达法则:求未定式极限的常用方法,通过分子分母同时求导来求解 泰勒展开法:将函数展开成多项式,从而将复杂的函数极限转化为多项式极限的计算 夹逼准则:通过比较函数与上下界函数在同一点处的值来求解极限
高考数学极限运算方面精讲
高考数学极限运算方面精讲在高考数学中,极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。
在这篇文章中,将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点,帮助学生更好地掌握这一难点。
一、极限的概念首先,我们需要了解什么是极限。
极限是指函数在自变量趋近于某个值时,相应的函数值也趋近于某个确定的值。
通俗地说,如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值,那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。
通常用符号“lim”表示。
例如:lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候,函数值的极限是2。
在高中数学课程中,我们已经学习了一些基础的极限运算,包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。
这里我们不再赘述。
二、常用的极限公式除了基本的极限运算,高中数学还有一些常用的极限公式,下面分别介绍。
1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。
它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。
具体而言,如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时,我们可以对这个不定式进行求导,再重新计算极限,如果新的极限存在,那么它就是原不定式的极限。
例如:lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。
我们对它求导得到:lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此,原不定式的极限为1。
需要注意的是,洛必达法则是一种常用的方法,但并不是所有的不定式都可以用它来求解。
对于其他类型的不定式,我们需要采取不同的方法。
2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式,它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。
具体而言,如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候,它的面积趋近于某个确定的值,那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。
例如:lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n,等差为1/n的序列。
极限的概念和计算方法
极限的概念和计算方法极限是微积分中的核心概念之一,它可以描述一个函数在某一点附近的行为特征。
本文将介绍极限的基本概念,并探讨一些常见的计算方法。
一、极限的概念在数学中,极限可以理解为一个函数在某一点趋于某个值(通常为无穷大或无穷小)。
为了准确定义极限,我们引入以下定义:设函数f(x)在x=a的某个去心邻域内有定义,如果对于任意给定的正数ε,总存在另一个正数δ,使得当0<|x-a|<δ时,有|f(x)-L|<ε,则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L,记作:lim(x→a) f(x) = L这个定义可以形象地理解为:当自变量x足够靠近a时,函数f(x)的取值趋近于L。
二、极限的计算方法1. 代入法最简单的计算极限的方法就是利用代入法。
当函数在某一点a的确有定义时,我们可以直接将a带入表达式中计算函数的值。
例如,要计算函数f(x)=2x^2+3x-1在x=2处的极限,我们可以代入x=2,得到:f(2) = 2(2)^2 +3(2)-1 = 15因此,lim(x→2) f(x) = 15。
2. 分解因式法有时候我们可以通过分解因式的方法来简化极限的计算。
例如,要计算函数f(x)=(x^2-4)/(x-2),我们可以将分子因式分解得到:f(x) = (x+2)(x-2)/(x-2)若x≠2,则可以化简为:f(x) = (x+2)因此,lim(x→2) f(x) = 4。
3. 极限的性质极限满足一些基本的性质,利用这些性质可以简化计算过程。
以下是一些常见的性质:a) 常数性质:lim(x→a) c = c,其中c为常数。
b) 乘法性质:lim(x→a) cf(x) = c·lim(x→a) f(x),其中c为常数。
c) 和差性质:lim(x→a) [f(x)±g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a)g(x)。
d) 乘积性质:lim(x→a) [f(x)·g(x)] = lim(x→a) f(x) · lim(x→a)g(x)。
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在,则它们的和在 该点的极限也存在,且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零,则它 们的积在该点的极限也存在,且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在,则它们的差在 该点的极限也存在,且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法,将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质,其中收敛性是指当n趋近于无穷大时, 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限,可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式,从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数 ε,总存在正整数 N, 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p,都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛,如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性,其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中,如果函数 $f(x)$是无穷小量,且函数 $g(x)$是有界量,那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量;如果 函数$f(x)$是无穷大量,且函 数$g(x)$是有界量但不为零, 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质,可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高中数学知识点精讲——极限和导数
[证明] 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且F(a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0,即
15.曲线凸性的充分条件:设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数,(1)如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的;(2)如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。
12.极值的第二充分条件:设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导,在x=x0处二阶可导,且 。(1)若 ,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若 ,则f(x)在x0处取得极大值。
13.罗尔中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使
9.导数与函数的性质:(1)若f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上连续;(2)若对一切x∈(a,b)有 ,则f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切x∈(a,b)有 ,则f(x)在(a,b)单调递减。
10.极值的必要条件:若函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则
11.极值的第一充分条件:设f(x)在x0处连续,在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导,(1)若当x∈(x-δ,x0)时 ,当x∈(x0,x0+δ)时 ,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若当x∈(x0-δ,x0)时 ,当x∈(x0,x0+δ)时 ,则f(x)在x0处取得极大值。
⑥ 已知数列 的首项 ,其前 项的和为 ,且 ,则 =.
2、函数极限:
(1)公式: (C为常数); (p>0);
极限的基本概念及计算方法
极限的基本概念及计算方法极限是微积分的基本概念之一,是描述函数趋近某一特定值的概念。
在数学中,极限使用符号lim来表示,通过求取极限,我们可以研究函数的性质和行为,以及解决一些与变化相关的问题。
在本文中,我们将介绍极限的基本概念,并探讨一些常用的极限计算方法。
一、极限的定义在数学中,我们使用极限来描述函数在某一点或趋于无穷时的行为。
设函数f(x)定义在某一区间上,当自变量x无限接近某一值a时,如果函数值f(x)无限接近某一常数L,称函数f(x)在x趋于a的过程中的极限为L,记作:lim(f(x)) = Lx→a其中,lim表示极限运算,x→a表示自变量x趋于a的过程。
二、极限的性质在计算极限时,有一些基本的性质需要注意:1. 极限的唯一性:如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在,那么极限值L是唯一确定的。
2. 逼近性:当函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在时,函数值f(x)无限接近于L,但不一定等于L。
3. 有界性:如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且有限,那么函数f(x)在某个邻域内是有界的。
4. 保号性:如果函数f(x)在x趋于a的过程中的极限存在且不为零,那么函数f(x)在极限值L的邻域内具有相同的符号。
三、常用的极限计算方法在计算极限时,有几种常用的方法可以帮助我们求取极限:1. 代入法:对于一些简单的函数,可以直接将极限值代入函数中计算得到结果。
例如,当求取lim(x→3) (2x+1)时,可以直接将x=3代入函数得到结果。
2. 基本极限法则:根据一些基本的极限性质,我们可以将复杂的函数求极限的问题转化为求取一些基本的极限式子的问题。
例如,lim(x→0) (sin x / x)可以使用基本极限法则转化为求取lim(x→0) sin x / lim(x→0) x,而这两个极限都是已知的。
3. 张举法:对于一些复杂的函数,我们可以通过引入新的变量或变形来简化计算。
例如,当求取lim(x→∞) (x^2 + 3x - 2) / (2x^2 + 5)时,可以将分子和分母同时除以x^2,得到lim(x→∞) (1 + 3/x - 2/x^2) / (2 +5/x^2)。
极限的基本概念
极限的基本概念在数学中,极限是一个基本概念,它在微积分以及其他许多数学领域中扮演着重要的角色。
极限使我们能够研究函数的性质和行为,并解决实际问题。
本文将介绍极限的基本概念及其应用。
一、极限的定义在数学中,极限是指当自变量趋于某个特定值时,函数的值的趋势。
常用的极限符号是lim。
具体来说,对于一个函数f(x),当自变量x无限接近于某个实数c时,如果函数f(x)的值无限接近于一个常数L,我们就将L称为函数f(x)在x趋于c时的极限。
用符号表示为:lim (x→c) f(x) = L其中,lim表示极限,x→c表示x趋向于c,f(x)表示函数f关于x的取值,L表示极限的值。
二、极限的性质极限有一些基本的性质,我们可以利用这些性质来求解极限。
1. 极限的唯一性定理:如果函数f(x)在x趋于c时的极限存在,那么它是唯一的。
2. 极限的四则运算法则:- 两个函数的极限之和等于极限的和:lim (x→c) [f(x) + g(x)] = lim (x→c) f(x) + lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之差等于极限的差:lim (x→c) [f(x) - g(x)] = lim (x→c) f(x) - lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之积等于极限的积:lim (x→c) [f(x) * g(x)] = lim (x→c) f(x) * lim (x→c) g(x)- 两个函数的极限之商等于极限的商(假设除数不为0):lim(x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) f(x) / lim (x→c) g(x)3. 极限的复合运算法则:如果g(x)在x趋于c时的极限存在且lim (x→c) g(x) = L,而f(x)在x趋于L时的极限存在,则复合函数f(g(x))在x趋于c时的极限也存在,且lim (x→c) f(g(x)) = lim (x→L) f(x)。
三、极限的应用极限在微积分中具有广泛的应用。
高中数学中的数列极限定义及其求解法则
高中数学中的数列极限定义及其求解法则数列极限是高中数学课程中的一个重要内容,也是大学数学中的基础概念之一。
在高中阶段,我们需要学习数列极限的定义、判定和求解法则,理解其本质和应用,为进一步深入学习数学打好基础。
一、数列的极限定义在数学中,数列是按照一定规律排列的数的序列,表示为{an},其中an表示数列中第n个数。
如1,2,3,4……即为一个自然数数列。
当数列中的数逐渐趋向于一个确定的数L时,我们称L为该数列的极限,也称数列的极限存在。
数学上表示为:lim(n→∞)an = L其中lim表示“当n无限趋近于正无穷时的极限值”,an表示数列中的第n个数,L为数列的极限值。
二、常用的数列极限判定法则1. 夹逼准则夹逼准则是求解数列极限的常用方法,其核心思路是通过夹逼使得数列趋近于某个范围内的值。
具体来说,对于数列{an},如果有:an ≤ bn ≤ cn,且lim(n→∞)an = lim(n→∞)cn = L,则有lim(n→∞)bn= L。
其中,an和cn是分别代表着L的下限和上限的数列。
该方法的原理是利用如果一个数列逼近L,同时另外两个数列且夹在中间,则这两个数列同样逼近L。
例如:求解数列an =(n+2)/(2n+1)的极限。
将分子分母同时除以n,得到an = 1/2+3/(4n+2)。
由于lim(n→∞)3/(4n+2)= 0,所以an的极限等于lim(n→∞)1/2=1/2。
2. 单调有界准则单调有界准则是指如果数列{an}单调递增(或递减),且有一个数M使得|an|≤ M对于所有n成立,则该数列有极限。
此时,数列的极限就是其单调递增(或递减)的极限。
例如:求解数列an =(n+1)/n²的极限。
由于当n≥1时,有an ≤(n+1)/n,所以an为单调递减的数列。
同时,1/n是单调递减的有界数列,其最小值为0,所以an也是单调有界的。
因此,数列an有极限,其极限值等于an的单调递减极限:lim(n→∞)an=lim(n→∞)(n+1)/n²=0。
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算函数极限在高中数学学习中占据非常重要的地位。
它不仅是理解数学概念的基础,还在应用数学和其他学科中起到重要的作用。
本文将详细解析和计算高中数学中的函数极限,帮助读者深入理解和掌握相关知识。
1. 极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一值时,函数值的变化趋势。
根据定义,对于函数 f(x),它的极限可以用以下方式表示:lim(x→a)f(x) = L其中,x→a表示x趋近于a,L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下基本性质:- 唯一性:函数在某一点的极限是唯一确定的。
- 有界性:如果函数在某一点的极限存在,则函数在该点附近有界。
- 保号性:如果函数在某一点的极限为正(负),则函数在该点的右邻域(左邻域)内的函数值也为正(负)。
3. 极限的计算方法在计算函数极限时,可以运用以下的计算方法:- 直接代入法:当函数在某一点连续时,可以直接将该点的值代入函数并计算函数值,得到极限值。
- 合并因子法:将复杂的函数分解为简单的因子,然后运用极限的性质进行化简和计算。
- 夹逼准则法:对于一个函数,如果它夹在两个极限已知的函数之间,那么它的极限也可以简单地确定。
- 等价无穷小代换法:当函数的极限形式无法直接计算时,可以通过等价无穷小的代换将其转化为可以计算的形式。
4. 函数极限的应用函数极限在图像的分析和应用问题中有着重要的作用。
以下是一些常见的应用:- 导数和微分的计算:导数的定义本质上就是一个函数极限,通过计算函数在某一点的极限,可以得到该点的导数。
- 泰勒展开和函数逼近:利用函数的极限,可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数,用于简化计算和分析。
- 无穷级数和收敛性分析:通过函数的极限,可以判断无穷级数是否收敛,并计算其收敛值。
5. 实例解析为了更好地理解函数极限的计算和应用,我们通过以下实例进行解析。
例题:计算函数lim(x→2)(3x^2 - 8x + 4) / (x - 2)解析:首先,我们可以应用直接代入法。
高三数学第二轮专题讲座复习:极限的概念及其运算
x 2 - x + 1 + ax + b导考生深入地理解极限的概念并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限0 高三数学第二轮专题讲座复习:极限的概念及其运算极限的概念及其渗透的思想 在数学中占有重要的地位 它是人们研究许多问题的工 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一本节内容主要是指重难点归纳运算法则中各个极限都应存在无限个lim(-1)n= 0,lim a n= 0(| a |< 1)⎧ a 0 ⎪ b,当k = l 时 n →∞nn →∞a x k + a x k -1 + + a ⎪⎪ 0 1k lim n →∞ b 0 x + b 1 xl -1 + + b 1 = ⎨0,当k < l 时 ⎪不存在,当k > l 时⎪ ⎪⎩例 1 已知 lim (-ax -b )=0,确定a 与b 的值 x →∞在数列与函数极限的运算法则中都有应遵循的规则也有可利用的规律因而本题重 点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能解决本题的 闪光点是对式 子进行有理化处理这是求极限中带无理号的式本题难点是式子的整理过程繁琐稍不注意就有可能出错 有理化处理lim (- ax - b ) =lim ( x 2 - x + 1) - (ax + b )2x →∞x →∞= lim (1 - a x →∞)x 2 - (1 + 2ab )x + (1 - b 2 )要使上式极限存在则 1-a 2=0,当 1-a 2=0 时- (1 + 2ab ) + 1 - bx 2 - x + 1 x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 + ax + b高考要求具 1 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 在商的运算法则中要注意对式子的恒等变形有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧如 典型题例示范讲解命题意图 既有章可循 有法可依 力知识依托 子常用的一种方法错解分析技巧与方法解 l 22上式= limx→∞ - (1 - 2ab)x + (1 - b2 ) =x2=- (1 + 2ab)1 + a由已知得- (1 + 2ab)= 01 + ax 2 - x + 1+ ax + b⎨ 1 2 n n n n n(3)当 0<b <1 时求极限 lim S n⎧1 - a 2 = 0 ⎪⎨- (1 + 2ab ) ⎪ = 0 ⎧a = 1解得 ⎪ 1 ⎪b = - ⎩ 1 + a⎩ 2 例 2 设数列 a ,a ,…,a ,…的前 n 项的和 S 和 a 的关系是 S =1-ba - 1(1 + b )n,其中 b (1)求 a n 和 a n -1 的关系式; (2)写出用 n 和 b 表示 a n 的表达式;n →∞历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式 前n 项和 S n等有紧密的联 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限 或先求出前 n 项和S n再求极限 错解分析本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及 n =1 与 n =2 时的式子不统一性抓住第一步的递推关系式去寻找规律(1)a =S -S=-b (a -a)-1+1 n n n -1 nn -1(1 + b )n(1 + b ) n -1bb b=-b (a n -a n -1)+(1 + b )n (n ≥2)解得 a n = a n -1 + 1 + b (1 + b )n +1(n ≥2)(2) a = S = 1 - ba - 1 ∴a =b1 1 1, 1 + b 1(1 + b )22∴a = b [ b a + b ] + 1 = b 2 a + b + b n 1 + b 1 + b n -2 (1 + b )n (1 + b )n +12( ) 1 + b n -2 (1 + b )n +1= ( b )2 1 + b [ b 1 + b a n -3 +b ] + (1 + b )n -12 3b + b (1 + b )n +1= ( b )2 a + b + b + b ,1 + b n -3 (1 + b )n +12 3n -1由此猜想a= ( b)n -1 a + b + b + b + + bn1 + b1(1 + b )n +1把a 1=b (1 + b )2代入上式得 ∴ 是与 n 无关的常数且 b ≠-1命题意图 系 本题考查学生的综合能力技巧与方法 解2n 2+ n - 1 =⎧ b - b n +1 n ⎪(b ≠ 1) a n = b + b 2 + + b (1 + b )n +1 ⎪(1 - b )(1 + b )n +1= ⎨ ⎪n⎪⎩ 2n +1 (b = 1)n +1 (3)S n = 1 - ba n - 1 (1 + b )n n +1= 1 - b ⋅ b - b (1 - b )(1 + b )n +1 - 1 (1 + b )n = 1 - 1 (1 + b )n- b (b - b 1 - b ) ( 1 1 + b )n +1 (b ≠ 1), 0 < b < 1时, lim b nn →∞= 0, lim ( n →∞ 1 )n 1 + b= 0,∴ lim S n n →∞= 1.例 3 求 n n -1n →∞ 2n + an +1a n + 2n -1 解 :当a > 2或a < -2时, lim 21+ 1 ( 2 ) = lim a a 2n -1= 1 ; n →∞n+ a n +1n →∞( )n + a aa当- 2 < a < 2时, lima n + 2n -1 += ( a )n +1 2 2 a = 1 ; n →∞ 2n + a n 1n →∞ 2 + a ( )n 4 2当a = 2时, lima n + 2n -1 = lim3⋅ 2n -1 = 1 ; n →∞ 2n + a n +1 n →∞ 6 ⋅2n -12a n + 2n -1 (-2)n+ 2n -1⎧-2n+ 2n -1⎪⎪ 2n + 2n +1-2n -1 = 3⋅ 2n = - 1 (n 为奇数) 6 当a = -2时,= = ⎨2n + a n +1 2n + (-2)n +1 ⎪2n + 2n -1 ⎪⎩ - 3⋅ 2n -1 = - = - 3 (n 为偶数) 2n 2n +1 2n 2a n 是(1+x )n 展开式中含 x 2 的项的系数则1 1lim ( + n →∞ a 1 a 2+ + 1 ) 等于 a n2B0 C1D-1若三数 a ,1,c 成等差数列且 a ,1,c 又成等比数列则( a + c )n 的值是( )2 2 limn →∞ a 2 + c 2不存在lim ( n →+∞若 lim (a- nb ) =1,则ab 的值是 x + x + x x 学生巩固练习1A 2 A 0B 1 C0 或 1 D 34- )n →∞5在数列{a }中 已知 a = 3 ,a = 31 ,且数列{a - 1 a }是公比为 1的等比数列n 1 2 5 100 n +1 n10 2x (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求 lim S n1 ) =lim 2(1- 1 ) = 2 答案x1lim= . 答案C 2 1数列{lg(a n +1- 2(1)求数列{a n }的通项公式;n →∞a n = n = n (n -1) ,∴ 1 2 a n= 2( 1 - 1 ) n -1 n∴ lim ( 1 + 1 + + n →∞ a 1 a 2 a n n →∞ n2解析⎧a + c = 2 , 得 ⎧a + c = 2⎧a + c = 2 或⎨ a 2c 2⎨a 2 c 2 ⎨a 2 c 2 ⎩= 1⎩ += 2⎩ += 63lim ( - ) = limx →+∞1+ 1x →+∞x →+∞1+ 1+1 + 12 x3 x 224原式= lim a 2 (2n 2 + n -1) - n 2b 2 = lim (2a 2 - b 2 )n 2 + a 2 n - a 2= 1 ⎪⎧2a 2 - b 2= 0 n →∞⎧a = 2 n →∞⎨ ⇒ ⎨ ∴a ·b =8 ⎩⎪ 2 + b = 1解⎩b = 4 1 13 315(1)由{a n +1- a n }是公比为的等比数列且 a 1=,a 2= ,110 2 1 1 31 3 1 15 1001 1 n -1 1 ∴a n +1- 10 1 a n =(a 2- 10 1a 1)( )n -1=(2 - × 100 5 10 )( )n -1= ( ) 2 4 2 = , 2n +1∴a n +1= 10 a n +① 2n +11又由数列{lg(a n +1- a n )}是公差为-1 的等差数列2 1 且首项 lg(a 2- 2 a 1)=lg(1 31 100 - 1 ×3 2 5 )=-2,∴其通项 lg(a n +1 -x + x + x x + x + x - x x + x + x + xa 2n 2 + n -1 + nb a 2n 2+ n -1 + nb2 2 2a n }是公差为-1 的等差数列参考答案1 解析 答案 解析解析答案 AC= 1 81 a n)=-2+(n-1)(-1)=-(n+1),21∴a n+1-a n=10-(n+1),即a n+1=2a n+10-(n+1) ②2n ①②联立解得 a n = 5[( 2 1 )n +1-( 1 2 10)n +1]( 1 )2( 1 )2n 5 n 1 k +1 1 k +1 5 2 611 (2)S n = ∑a k = [∑( ) - ∑( ) ] ∴ lim S n = 2 [ - ] =k =1 2 k =1 2 k =1 10n →∞ 12 1 9 10。
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高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算高考要求极限的概念及其渗透的思想,在数学中占有重要的地位,它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念,并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无限个 在商的运算法则中,要注意对式子的恒等变形,有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧,如)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 典型题例示范讲解例1已知lim ∞→x (12+-x x -ax -b )=0,确定a 与b 的值命题意图 在数列与函数极限的运算法则中,都有应遵循的规则,也有可利用的规律,既有章可循,有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理,这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐,稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理解 bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在,则1-a 2=0, 当1-a 2=0时,1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→aab a ab ax b xx x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a 例2设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1-ba n -nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数,且b ≠-1(1)求a n 和a n -1的关系式;(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式;(3)当0<b <1时,求极限lim ∞→n S n命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式,前n 项和S n 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限,或先求出前n 项和S n 再求极限,本题考查学生的综合能力知识依托 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系错解分析 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性技巧与方法 抓住第一步的递推关系式,去寻找规律解 (1)a n =S n -S n -1=-b (a n -a n -1)-1)1(1)1(1-+++n n b b =-b (a n -a n -1)+nb b)1(+ (n ≥2)解得a n =11)1(1+-+++n n b b a b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时例3求1122lim +-∞→++n n n n n aa 111121()21:22,;lim lim 22()n nn n n n n n a a a a a a a a a--+→∞→∞++><-==++解当或时 111()212222,;lim lim 242()2n n n n n n n n a a a a a a -+→∞→∞++-<<==++当时 1112123212,;lim lim 262n n n n n n n n a a a --+-→∞→∞+⋅===+⋅当时 2,a =-当时11111111112221()2(2)22232622(2)22323()2222n n n n n n n n n nn n nn nn n n n n n a a n ----+++--+⎧-+-==-⎪+-+⎪+⋅==⎨++-+⋅⎪==-⎪⎩--为奇数为偶数学生巩固练习1 a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数,则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于 A 2 B 0 C 1 D -12 若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列,则nn c a c a )(lim 22++∞→的值是( )A 0B 1C 0或1D 不存在3 )(lim x x x x n -+++∞→ =_________4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________5 在数列{a n }中,已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1-101a n }是公比为21的等比数列,数列{lg(a n +1-21a n }是公差为-1的等差数列 (1)求数列{a n }的通项公式; (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n6 设f (x )是x 的三次多项式,已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值 (a 为非零常数)7已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列,公式分别为p 、q ,其中p >q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和,求1lim-∞→n nn S S 的值8 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和,T n =nnb S (n ∈N *) (1)求{T n }的通项公式; (2)当d >0时,求lim ∞→n T n参考答案 1 解析 )111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==, 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案 A2 解析 ⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案 C二、3 解析 xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案21 4 解析 原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82 答案 825 解 (1)由{a n +1-101a n }是公比为21的等比数列,且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1-101a n =(a 2-101a 1)(21)n -1=(10031-53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1-21a n )}是公差为-1的等差数列,且首项lg(a 2-21a 1)=lg(10031-21×53)=-2,∴其通项lg(a n +1-21a n )=-2+(n -1)(-1)=-(n +1),∴a n +1-21a n =10-(n +1),即a n +1=21a n +10-(n +1)②①②联立解得a n =25[(21)n +1-(101)n +1](2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6 解 由于ax x f a x 2)(lim 2-→=1,可知,f (2a )=0①同理f (4a )=0②由①②可知f (x )必含有(x -2a )与(x -4a )的因式,由于f (x )是x 的三次多项式,故可设f (x )=A (x -2a )(x -4a )(x -C ),这里A 、C 均为待定的常数,,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A -2aCA =-1③同理,由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a -2a )(4a -C )=1,即8a 2A -2aCA =1 ④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x -2a )(x -4a )(x -3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a aa x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列,知p >0,q >0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a pp b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p <1时,q <1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8 解 (1)a n =(n -1)d ,b n =2n a =2(n-1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n-1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1--∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d >0时,2d >1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd d d nd n nd n d nd n ndd n nd n n n T课前后备注。