人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)

与数学期望．
附: K 2 ＝
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d )
源自文库
P(K 2 k ) 0．500 0．400 0．100 0．010 0．001
k
0．455 0．708 2．706 6．635 10．828
19. （本小题满分 12 分）
如图,某段铁路 AB 长为 80 公里， BC ⊥ AB ,且 BC = 10 公里，为将货物从 A
地运往 C 地, 现在 AB 上的距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运 费为每公里 2 元,公路运费为每公里 4 元. （1）将总运费 y 表示为 x 的函数. （2）如何选点 M 才使总运费最小？
-5-
-6-
11B-SX-0000001 20. （本小题满分 12 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1, Sn = n2an (n N+ )
-9-
- 10 -
11B-SX-0000001
参考答案及评分标准:
一. 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B D A D A A C C C B
二. 填空题：
4
13.
14. x − y − 2 = 0
5
二. 解答题：
15. 135
17.
⑴
a
=
b
=
1
；⑵
( ) ( ) ⑵ 若对任意的 t R ，不等式 f t2 − 2t + f 2t2 − k 0恒成立，求实数 k 的取
值范围．
18. （本小题满分 12 分）
为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了
50 人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：
优秀
非优秀
总计
学校：____________________ _______年_______班
姓名：____________________ 学号：________
- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -
11B-SX-0000001
（1）试求出 S1, S2 , S3, S4 ，并猜想 Sn 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 an 的表达式。
21. （本小题满分 12 分）
设函数 f (x) = x − (x +1) ln(x +1) ． （1）求 f (x) 的极值；
（2）当 a b 0 时，试证明： (1+ a)b (1+ b)a ．
14. 已知函数 f ( x) = 2ln x − x f '(1) ，则曲线 y = f ( x) 在 x = 1 处的切线方程是
__________________________ .
15. 设 (2 − x)6 = a0 + a1 (1+ x) + a2 (1+ x)2 + + a6 (1+ x)6 ， 则 a4 等 于




A.
B.
C.
D.




-1-
7. 已知函数 大致是( ).
，
是
的导函数，则
的图象
8. 如图，长方形的四个顶点坐标为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线 y = x 经过点
B,现将质点随机投入长方形 OABC 中，则质点落在图中阴影部分的概率为( )
2
A.
3
3
B.
-7-
-8-
11B-SX-0000001 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 cos 2 = 9 ，点 P(2 3, ) ．以极点 O 为 6
原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． （1）求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 OP 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，求 1 + 1 的值．
4
4
C.
5
5
D.
6
9. 若 x, y 0 且 x + y 2 ，则 1+ y 和 1+ x 的值满足（ ）
x
y
A. 1+ y 和 1+ x 都大于 2
x
y
B. 1+ y 和 1+ x 都小于 2
x
y
C. 1+ y 和 1+ x 中至少有一个小于 2
x
y
D. 以上说法都不对
10. 2013 年 8 月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体
) Sn−1 Sn
=
( n2
n2 −1 Sn−1 n

2)
a1
= 1,S1
=
a1
= 1,
S2
=
4 3
, S3
=
3 2
=
6 4
,
S4
=
8 5
,
……3 分
猜想
Sn
=
2n n +1
( ).
A. (−1, +)
B. (−1, 0)
C. (−2,0)
D. (−2, −1)
二. 填空题(本题有 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分) 13. 数学老师从 6 道习题中随机抽 3 道让同学检测，规定至少要解答正确 2 道题才
能及格。某同学只能求解其中的 4 道题，则他能及格的概率是______________ .
13
23 35，
7 33 9 ，
11
43 1157，....仿此，若 m3 的“分裂数”中有一个是 2017，则 19
m 的值为( ).
A. 44
B. 45
C. 46
D.47
-2-
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12. 已知函数 f ( x) = alnx + x2 − (a + 2) x 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是
4. 若 4 个人报名参加 3 项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种
数有( ).
A. A43
B. C43
C. 43
D. 34
5. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续 5 个年度的广告费和销 售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
广告费 x
2
3
4
5
6
销售额 y
29
41
50
∴
k

3t 2
−
2t
=
3 t
−
1
2

3
−
1 3
对
t

R
恒成立，……10
分
∴
k

−
1 3
．即实数
k
的取值范围是

−
，−
1 3

……12 分
- 11 -
18.
（1）有 99 %的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，
（1） K 2 = 110(40 30 − 20 20)2 6050 6050
男生
40
20
60
女生
20
30
50
总计
60
50
110
-3-
-4-
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（1）试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同
学中选 3 人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概
率为 2 ，若随机变量 X 表示这 3 人中通过预选赛的人数，求 X 的分布列 3
y = 2(80 − x) + 4 100 + x2 (0 x 80) .……6 分
（2） y ' = −2 +
4x 100 +
x2
(0

x
80) ,……8
分
令
y
'
=
0
,解得
x
=
10 3
3
,或
x
=
−
10 3
3
（舍）……10
分
当 0 x 10 3 时, y ' 0 ；当 10 3 x 80 时, y ' 0；
内碳 14 含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已
知碳 14 的“半衰期”为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原来的一半)，
由此可知，所测生物体内碳 14 的含量应最接近于（ ）
A．25﹪
B．50﹪
C．70﹪
D．75﹪
11. 对 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 形 式 的 “ 分 裂 ” ：
(
2 3
)(1) 3
2
=
2 9
P( X
=
2)
=
C32
(1)( 3
2 3
)2
=
4 9
P(X = 3) = (2)3 = 8 3 27
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
1
2
P
27
9
4
8
9
27
..…10 分
因为 X ~ B(3, 2) ， 3
所以 E(X ) = np = 3 2 = 2 3
……12 分
19.
59
71
由上表可得回归方程为 yˆ = 10.2x + aˆ ，据此模型，预测广告费为 8 万元时的
销售额约为( ).
A. 90.8
B. 72.4
C. 98.2
D. 111.2
6. 从1, 2,3, 4,5 中不放回地依次取 2 个数，事件 A 表示“第1次取到的是奇数”，事
件 B 表示“第 2 次取到的是奇数”，则 P(B | A) = ( ).
( ) 即 a 2x −1 = 2x −1对一切实数 x 都成立．
∴ a = 1，∴ a = b = 1 ．……5 分
f ( x) 是 R 上的减函数。……6 分
⑵ 不等式 f (t2 − 2t) + f (2t2 − k ) 0等价于 f (t2 − 2t) f (k − 2t2 ) ．
又 f ( x) 是 R 上的减函数，∴ t2 − 2t k − 2t2 ． ……8 分
的值是
2 +
_______ .
三. 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤）
17. （本小题满分 12 分）
已知定义在
R
上的函数
f
(x)
=
b − 2x 2x + a
是奇函数．
⑴ 求 a ，b 的值，并判断函数 f ( x) 在定义域中的单调性（不用证明）；
3
3
- 12 -
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故当 x = 10 3 时, y 取得最小值, 即当在距离点 B 为 10 3 公里时的点
3
3
M 处修筑公路至 C 时总运费最省.……12 分
20.
（1）
Sn
=
2n n +1
；（2）见解析.
（1）解：
an
=
Sn
−
( Sn−1 n

2)Sn
=
n2
(Sn
−
2. 已知复数 z = i2017 ，则复数 z 的虚部为(
).
1− 2i
A. − 2 5
B. 1 i 5
1
C.
5
D. − 1 5
3. 随机变量 X ～ N (1, 4) ，若 p ( x 2) = 0.2 ，则 p (0 x 1) 为( ).
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.6
| PA | | PB |
23． （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲
设函数 f (x) =| x − a | ，不等式 f (x) 2 的解集是x |1 x 5 ．
（1）求实数 a 的值； （2）若 f (2x) + f (x + 2) m 对一切 x R 恒成立，求 m 的范围．
7.822
……3 分
因为 K 2 7.822 6.635
P(K 2 6.635) = 0.01
所以有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．……6 分
（2） X 的可能取值为 0，1，2，3 ……7 分
P(X = 0) = (1)3 = 1 ， 3 27
P( X
= 1)
=
C31
（1） y = 2(80 − x) + 4 100 + x2 (0 x 80) ；
（2）当在距离点 B 为 10 3 公里时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省． 3
（1）依题意，铁路 AM 上的运费为 2(80 − x) ,公路 MC 上的运费为
4 100 + x2 , 则由 A 到 C 的总运费为

−
，−
1 3

.
⑴ ∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，
7 16. 2
∴ f (0) = b −1 = 0 ，∴ b = 1
a +1
……1 分
∴
f
(x)
=
1− 2x a + 2x
,
f
(−x)
=
2x −1 ,
a2x +1
f
(x)
=
−
f
(−x) ，
∴ a 2x +1 = a + 2x ，…… 3 分
_________________________ .
16. 先阅读下面的文字：“求 2 + 2 + 2 + 的值时，采用了如下的方式：
令 2 + 2 + 2 + = x ，则有 x = 2 + x ，两边平方，可解得 x =2（负值舍
去）”。那么，可用类比的方法，求出 2 +
2+
1 1
人教版高二数学下册期末考试
理科数学试题
（全卷共 10 页，满分 150 分，120 分钟完成）
题号
一
二
三
总分
得分
一．选择题(本题有 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个选项
符合题意)
1. 设集合 S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝(
).
A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]