人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)
人教版高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
數學試卷一、選擇題（每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意，請將正確答案的序號寫在括弧內.）1.已知集合，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】, 因為，所以，選C.2.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等於（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從三視圖中提供的圖形資訊與數據資訊可知該幾何體是正方體去兩個相同的三棱錐（虛線表示的部分），因為正方體的體積是，每個小的三棱錐的體積，則三視圖所代表的幾何體的體積，應選答案A。
所以函數在處取最小值，結合函數的圖像可知當且，即時，方程有且僅有四個實數根，應選答案B。
3.執行如圖所示的程式框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數的可能取值的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】迴圈依次為，所以可能取值的集合是，選A.4.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，選C.5.已知向量，，若與共線，則等於（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據向量平行座標表示得方程，解得結果.【詳解】因為與共線，所以，選A.【點睛】向量平行：，向量垂直：，向量加減：6.已知函數（）的圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為，則當時，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以當時，，的最大值為，選A.點睛：已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的週期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.7.設，是不同的直線，，，是不同的平面，有以下四個命題①；②；③；④.其中正確的命題是（）A. ①④B. ①③C. ②③D. ②④【答案】B【解析】試題分析：根據面面平行的性質可知①正確；②中與可能垂直也可能平行，故②不正確；根據直線和平面平行、線面垂直的性質可知③正確；④中與可能平行或在內，故④不正確，故選C．考點：空間直線與平面間的位置關係．8.設，且，，則等於（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】試題分析：，，,兩式平方相加得，考點：三角函數化簡求值點評：求角的大小通常先求角的某一三角函數值，結合角的範圍求其值9.已知為的導函數，若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：,,所以，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以則的最小值為.考點：1.導數運算；2.定積分運算；3.基本不等式.【名師點睛】本題考查導數運算、積分運算及基本不等式的應用，屬中檔題；導數與基本不等式是高考的重點與難點，本題將兩者結全在一起，並與積分運算交匯，考查學生運算能力的同時，體現了學生綜合應用數學知識的能力.10.已知函數是週期為的偶函數，若時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，選A.點睛：利用函數性質比較兩個函數值或兩個引數的大小，首先根據函數的性質構造某個函數，然後根據函數的奇偶性轉化為單調區間上函數值，最後根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行11.若圓（）上僅有個點到直線的距離為，則實數的取值範圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓心到直線距離為，所以要有個點到直線的距離為，需，選B.點睛：與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．12.已知函數，，實數，滿足，若，，使得成立，則的最大值為（）A. 4B.C.D. 3【答案】D【解析】試題分析：因，則時，；當時，．所以，，令，設，作函數的圖像如圖所示，由得或，的最大值為.故應選D.考點：導數的知識與函數的圖象等知識的綜合運用.【易錯點晴】本題是以函數為背景,設置了一道考查函數的圖像和基本性質的綜合性問題.解答時充分借助題設中條件,合理挖掘題設條件中蘊含的有效資訊:，使得成立.本題解答的另一個特色就是數形結合思想的運用和轉化化歸的數學思想的運用.求解時是先運用導數求出了函數的最大值.然後通過解方程()求出或,最終求出的最大值是.本題的求解體現了函數方程思想、轉化化歸思想、數形結合思想等許多數學思想和方法具體應用.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知數列滿足則的最小值為__________.【答案】【解析】14. 某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果，企業統計員作了如下統計表格。
高二下学期期末考试数学(理)试题及答案
第二学期高二数学（理）期末考试试卷一、选择题：（共10个小题，每小题4分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项代号填入答题卡对应符号栏内）1.已知集合}{2,A x x x R =≤∈,{|4,}B x x x Z =≤∈,则A B ⋂= （ ）(A)(0,2) (B) {0,1,2} (C){}0,2 (D) [0,2]2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线22154y x -=的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ( ) A ．24=x y B ．24=-x y C ．212=-x y D ．212=-y x 3.已知向量()2,1=a ，()3,2-=b ，若向量c 满足()b a c //+，()b ac -⊥，则向量c = ( ) A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--177,1735 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛1735,177 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛177,1735 D.⎪⎭⎫⎝⎛--1735,1774.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限5. 下列命题中，真命题是 ( ) A. 存在[0,],sin cos 22∈+≥x x x π; B. 任意2(3,),21∈+∞>+x x x ;C. 存在2,1∈+=-x R x x ;D. 任意[,],tan sin ;2∈>x x x ππ6．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当），（20∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为 （ ） A ．2 B ．2 C ．12 D ．127．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中错误的是 ( )A ．若⊥a α，⊥a β,则//αβB ．若b 是β内任意一条直线，aα，a b 则αβC ．若a α，b ⊥α，则a bD ．若a//α，b α，则a //b8.在在ABC 中，AB3,AC4,BC13，则AC 边上的高为 （ ）A.223 B. 233 C. 23D. 33 9．设函数()sin(2)cos(2)44=+++f x x x ππ，则A ．()=y f x 在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4=x π对称B ．()=y f x 在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2=x π对称C ．()=y f x 在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4=x π对称D ．()=y f x 在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2=x π对称 10．直线20(0)-+=≥ax y a a 与圆229+=x y 的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 二、填空题（共四个小题，每小题4分）11.已知函数()bx x x f 22+=过（1， 2）点，若数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧n f 1的前n 项和为n S ，则2012S 的值为_________.12.若将()()x a x b --逐项展开得2x ax bx ab --+，则2x 出现的概率为14，x 出现的概率为12，如果将()()()()()x a x b x c x d x e -----逐项展开，那么3x 出现的概率为 .13.对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0≠a ），定义：设)(x f ''是函数()y f x =的导数'()y f x =的导数，若方程)(x f ''＝0有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数3231()324f x x x x =-+-，则它的对称中心为_____；正视图 侧视图 俯视图 3 1 2 2 3 2 B A C S （第14题图）14.三棱锥S ABC 的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）．则这个三棱锥的体积为 _________;参考答案一、选择题(本题共10小题，每题4分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BCAD BAD BD B二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 题号11 1213 14答案20132012516(12, 1) 34m三、解答题15．(本题满分10分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210.⑴求α-βtan()的值； ⑵若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.解：⑴由三角函数的定义知43tan α=-又由三角函数线知210sin β=,∵β为第一象限角,∴17tan β=,∴41--tan α-tan β3137tan(α-β)===-411+tan αtan β171+(-)37. ……5分 ⑵∵35cos α=-,2παπ<<,∴45sin α=.又210sin β=,20πβ<<,∴2721sin 10cos ββ-==. …7分∴4723225105102sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=⨯-⨯=.由2παπ<<,20πβ<<,得322ππαβ<+<,∴34παβ+=. ……10分（2）2583n 138n a a a a a -+、、是首项为22a =，公比为8，项数为n+8项的等比数列，882583n 1382(18)2(81)187n n n a a a a a ++-+-++++==--++17．（本小题满分10分）学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生。
新改版人教高二数学(理)下学期期末试卷含答案
新改版人教高二数学（理）下学期期末试卷含答案一、单选题1．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（）A．7B．6C．5D．42．在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a＝，b＝3，B＝60°，则A= A．45°B．45°或135°C．135°D．60°或120°3．若且，则（）A．B．C．D．4．对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为A．B．C．D．5．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（）A．，0B．4，C．16，0D．4，06．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量的样本，则样本中女运动员人数是（）A．B．C．D．7．正四棱锥的侧棱和底面边长都等于，则它的外接球的表面积为（）A．B．C．D．8．复数z，则共轭复数的虚部是（）A．﹣1B．1C．D．9．已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作圆的一条切线，切点为P，且交双曲线C的右支点Q，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数为偶函数，当时，，设，，，则（）A．B．C．D．11．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱住的侧视图的面积为（）A．B．C．D．12．已知集合，，则（）A．B．C．D．二、填空题13．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数，已知函数的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，若函数在是减函数，则的最大值是______.14．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为______.15．若，满足约束条件,则的最大值为__________.。
高二数学(理科)下学期期末考试试题(带参考答案)
高二数学（理科）下学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程31x ax be ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程31x ax be ++=没有实根 B ．方程31x ax b e ++=至多有一个实根 C ．方程31x ax be++=至多有两个实根 D ．方程31x ax b e ++=恰好有两个实根2．设i 是虚数单位，若2i 1iz=+-，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．2i + C ．3i - D ．3i + 3．13aedx x=⎰，则a =（ ） A ．212e B ．4e C ．3e D ．2e 4．已知随机变量ξ服从正态分布(),16N μ，且()()261P P <-+≤=ξξ，则=μ（ ） A ．4- B ．4 C ．2- D ．25．已知直线l 过点()1,1P ，且与曲线3y x =在点P 处的切线互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．340x y ++= B ．340x y +-= C ．320x y -+= D ．320x y --= 6．用数学归纳法证明“11112321n n ++++<-L （2n ≥）”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为（ ） A ．12k - B ．21k - C ．2k D ．21k+7．一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是（ ）A ．0.81B ．0.82C ．0.90D ．0.918．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的22⨯列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”9．如果42a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是（ ）A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．已知()2cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止.若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是（ ） A ．24 B ．72 C ．96 D ．36012．已知()y f x =为定义在R 上的单调递增函数，()y f x '=是其导函数，若对任意x ∈R 总有()()12017f x f x <'，则下列大小关系一定正确的是（ ）A ．()102017f e f ⎛⎫>⋅⎪⎝⎭ B ．()102017f e f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭C ．()2102017f e f ⎛⎫>⋅⎪⎝⎭D ．()2102017f e f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线2y x =与y =所围成的封闭图形的面积为 ．14．设某种机械设备能够连续正常工作10000小时的概率为0.85，能够连续正常工作15000小时的概率为0.75，现有一台连续工作了10000小时的这种机械，它能够连续正常工作到15000小时的概率是 ． 15．若()2017201212x a a x a x -=++20172017a x ++L （x ∈R ），则12323111222a a a ++2017201712a ++L 的值为 ．16．如果对定义在区间D 上的函数()f x ，对区间D 内任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()1122x f x x f x +()()1221x f x x f x >+，则称函数()f x 为区间D 上的“H 函数”.给出下列函数及函数对应的区间 ①()32111322f x x x x =-+，（x ∈R ）；②()3cos sin f x x x x =+-，0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π； ③()()1xf x x e -=+，(),1x ∈-∞；④()ln f x x x =，10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.以上函数为区间D 上的“H 函数”的序号是 ．（写出所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知复数()22431233a a z a a i a --=++-+（a ∈R ）. （Ⅰ）若z z =，求a ；（Ⅱ）a 取什么值时，z 是纯虚数. 18．已知函数()321233f x x x x b =-++（b ∈R ）. （Ⅰ）当0b =时，求()f x 在[]1,4上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.19．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量y 关于x 的回归方程模型，其对应的数值如下表：（Ⅰ）请用相关系数r 加以说明y 与x 之间存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立y 关于x的回归方程并预测当9x =时，对应的y 值为多少（ˆb精确到0.01）.附参考公式：回归方程ˆˆa =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆ=-ay bx ，相关系数r公式为：ni ix y nx yr -=∑参考数据：6147.64i ii x y==∑，621139i i x ==∑ 4.18= 1.53=.20．近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为12，后2天均为45，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨. （Ⅰ）求至少有一天需要人工降雨的概率； （Ⅱ）求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos x y =⎧⎪⎨=⎪⎩αα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ（Ⅰ）求直角坐标系下曲线1C 与曲线2C 的方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最大值，并求此时点P 的坐标. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x a =++-. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()5f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()21f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5:ADBDB 6-10:CBDCA 11、12：CA二、填空题13．13 14．151715．1- 16．①② 三、解答题17．解：（Ⅰ）230230a a a +≠⎧⎨+-=⎩解得331a a a ≠-⎧⎨=-=⎩或所以1a =（Ⅱ）22304310230a a a a a +≠⎧⎪--=⎨⎪+-≠⎩解得311413a a a a a ≠-⎧⎪⎪==-⎨⎪≠≠-⎪⎩或且所以14a =-18．解：（Ⅰ）当0b =时，()321233f x x x x =-+，()243f x x x '=-+=()()13x x --， 当()1,3x ∈时，()0f x '<，故函数()f x 在()1,3上单调递减， 当()3,4x ∈时，()0f x '>，故函数()f x 在()3,4上单调递增. 由()30f =，()()4143f f ==. ∴()f x 在[]1,4上的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()243f x x x '=-+()()13x x =--，由()0f x '<得13x <<，由()0f x '>得1x <或3x >所以()f x 在()1,3上单调递减，在(),1-∞，()3,+∞上单调递增；所以()()413f x f b ==+极大值，()()3f x f b ==极小值 所以当403b +>且0b <，即403b -<<时，()10,1x ∃∈，()21,3x ∈，()33,4x ∈.使得()()()1230f x f x f x ===. 由()f x 的单调性知，当且仅当4,03b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 有三个不同零点. 19．解：（Ⅰ）由题意，计算()1234567 4.56x =⨯+++++=， ()13 2.48 2.08 1.86 1.48+1.10=26y =⨯++++，且6147.64i ii x y==∑4.18=1.53=ni ix y nx yr -=∑47.646 4.52 6.36=4.18 1.53 6.3954-⨯⨯=-⨯0.99≈-；∵0.81r >，说明y 与x 之间存在线性相关关系；（Ⅱ）1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑247.646 4.52 6.360.361396 4.517.5-⨯⨯==-≈--⨯， ∴ˆˆ2ay bx =-=+0.36 4.5 3.62⨯= ∴y 与x 的线性回归方程是ˆ0.369 3.62y=-⨯+， 将9x =代入回归方程得ˆ0.369 3.620.38y=-⨯+=. 20．解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是3211422525P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故至少有1天需要人工降雨的概率是123125P -=.（Ⅱ）X 的取值是0，1，2，3，4，5()32111025200P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()321311125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31211411255200C ⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭()32321331112252P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121455C ⨯⨯⨯+32144325200⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()321314325P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32132114255C C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⎪⎝⎭32117325200⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3121414255P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3223145672520025C ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3214252525P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不需要人工降雨的天数X 分布列是不需要人工降雨的天数X 的期望是()11143012200200200E X =⨯+⨯+⨯7372345 3.12002525+⨯+⨯+⨯= 21．解：（Ⅰ）()211ax f x ax x x-'=-=，函数()f x 的定义域为()0,+∞当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增 当0a >时，令()0f x '=，则x =当0x <<()0f x '>，()f x 为增函数；当x >()0f x '<，()f x 为减函数.∴当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间. 当0a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭（Ⅱ）由()21ln 112x ax a x -≤--得()()22ln 12x x a x x ++≤+ ∵0x >∴原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在()0,+∞上恒成立.令()()22ln 12x x g x x x++=+， 则()()()()22212ln 2x x x g x xx -++'=+令()2ln h x x x =+，则()h x 在()0,+∞上单调递增 由()110h =>，112ln 2022h ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()00h x =，002ln 0x x += ∴当00x x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数 当0x x >时，()0g x '<，()g x 为减函数 ∴0x x =时()()002max 002ln 12x x g x x x ++==+()0000112x x x x +=+ ∴01a x ≥又01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()011,2x ∈由a ∈Z ，所以2a ≥ 故整数a 的最小值为2.22．解：（Ⅰ）由曲线1C：cos x y =⎧⎪⎨=⎪⎩αα，可得cos sin x =⎧⎪=αα，两式两边平方相加得：2213y x +=， 即曲线1C 在直角坐标系下的方程为：2213y x +=. 由曲线2C：()sin sin cos 4⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πρθθθ，即s i n c o s 80+-=ρθρθ，所以80x y +-=，即曲线2C 在直角坐标系下的方程为：80x y +-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆1C 与直线2C无公共点，椭圆上的点()cos P αα到直线80x y +-=的距离为d ==46⎛⎫=+- ⎪⎝⎭πα，∴当sin 16⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα即43=πα时，d的最大值为 此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 23．解：（Ⅰ）当3a =时，()135f x x x =++->，等价于：①1135x x x ≤-⎧⎨---+>⎩，得32x <-；②13135x x x -<<⎧⎨+-+>⎩，无解；③3135x x x ≥⎧⎨++->⎩，得72x >；综上，解集为32x x ⎧<-⎨⎩或72x ⎫>⎬⎭. （Ⅱ）()1f x x x a =++-=1x a x ++-≥1x a x ++-121a a =+≥-，则121a a +≥-或()121a a +≤--，11 得2a ≤，所以a 的取值范围为(],2-∞.。
高二下学期期末考试数学(理)试题(附答案)
高二下学期期末考试数学（理）试题(附答案)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷 选择题 （共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01， B ．(]02， C ．()1,2 D ．(]12，2.己知实数b a ,满足0>ab ,则“b a 11<成立”是“b a >成立”的（ ）.A.充分非必要条件．B.必要非充分条件．C.充要条件．D.既非充分又非必要条件． 3.下列选项中，说法正确的是A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题；B.设,a b 是向量，命题“若,a b a b =-=则”的否命题是真命题；C. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件.D.命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”.4．已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞31B ．－12＜a ≤0C ．－12＜a ＜0D ．a ≤315．某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1000粒，对于没发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A ．100B ．200C ．300D ．4006. 已知函数()f x 是R 上的奇函数，若对于0x ≥，都有()2()f x f x +=，[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时，()()20132012f f -+的值为 A.2- B.1- C.1 D.2附表：参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”8．若,0(0,0,3)(>⎩⎨⎧≥<+-=a x a x a x x f x且)1≠a ，在定义域R 上满足0)()(2112>--x x x f x f ，则a 的取值范围是（ ） A ．（0,1） B ．[13，1） C ．（0，13]D ．（0，23]9．曲线C ：x e y =在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C 、直线l 、y 轴围成的图形面积为（ ）A ．12e- B ．2eC ．12e + D ． 312e - 10．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x ∈[0，1]时2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为A ．0B ．2C ．4D ．811．已知1x 是方程210--=x x的解, 2x 是方程2lg --=x x 的解,函数()()21)(x x x x x f --=，则（ ）A ． )3()2()0(f f f <<B . (2)(0)(3)f f f =<C ．)2()0()3(f f f =<D ．)2()3()0(f f f << 12.已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ()()34f ππ-<- B ()()34f ππ<C ．(0)2()3f f π< D ．(0)()4f π>第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13．设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．14. 在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为+=a x y 36.0，则根据此线性回归方程估计数学 得90分的同学的物理成绩为 .（四舍五入到整数）15．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰截机起降飞行训练中，有5架歼15-飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不 同的着舰方法____ ___16．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为 ．三．解答题17．（本小题满分12分）已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，2()2f x x x =-． (l)写出函数()y f x =的解析式：(2)p :方程()f x a =恰有1个解，q :函数ax x l x x g n -+=2)(在(0,1)内有单调递增,若命题q p ∧是假命题，命题q p ∨是真命题，求a 的取值范围。
人教版高二数学下学期期末理试题(解析版)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据正态分布密度曲线的对称性可知，若 ，函数的对称轴是 ，所以 ，故选B.
3.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（）.
A. B. C. D.
18.某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分，某考试每道都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道能排除两个错误选项，另2题只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项做答，且各题做答互不影响．
(Ⅰ)求该考生本次测验选择题得50分的概率；
(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．
9.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务，已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有（）
因此由加法计数原理得知，满足题意的不同搜寻方案有30+10=40(种)，
故选：B.
【点睛】本题主要考查排列与组合，在平均分组的情况要记得除以组数的阶层.
高中高二数学下学期期末试题 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣72．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．103．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．724．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±35．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣16．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.59．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC210．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣403411．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．14．（）dx=．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）=．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：曰需48 49 50 51 52 53 54求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．2016-2017学年某某省某某市普通高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.1．若复数a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】A2：复数的基本概念．【分析】直接由题意求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵a+bi（a，b∈R）与2﹣3i互为共轭复数，∴a=2，b=3，则a﹣b=﹣1．故选：B．2．设随机变量ξ～N（l，25），若P（ξ≤0）=P（ξ≥a﹣2），则a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性即可得出a﹣2=2．【解答】解：∵随机变量ξ～N（l，25），∴P（ξ≤0）=P（ξ≥2），∴a﹣2=2，即a=4．故选A．3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在2、4之中任选1个，安排在个位，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求五位数为偶数，需要在2、4之中任选1个，安排在个位，有2种情况，②、将剩下的4个数字安排在其他四个数位，有A44=24种情况，则有2×24=48个五位偶数，故选：B．4．在二项式（x+a）10的展开式中，x8的系数为45，则a=（）A．±1 B．±2 C．± D．±3【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项式（x+a）10的展开式中，令x的幂指数等于8，求得r的值，可得x8的系数，再根据x8的系数为45，求得a的值．【解答】解：二项式（x+a）10的展开式的通项公式为 T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=8，求得r=2，可得x8的系数为•a2=45，∴a=±1，故选：A．5．计算（e x+1）dx=（）A．2e B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】67：定积分．【分析】由题意首先求得原函数，然后利用微积分基本定理即可求得定积分的值．【解答】解：由微积分基本定理可得．故选：C．6．甲、乙二人参加一项抽奖活动，每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意利用条件概率的计算公式，求得甲中奖的前提下乙也中奖的概率．【解答】解：每人抽奖中奖的概率均为0.6，两人都中奖的概率为0.4，设甲中奖概率为P（A），乙中奖的概率为P（B），两人都中奖的概率为P（AB），则P（A）=0.6，P（B）=0.6，两人都中奖的概率为P（AB）=0.4，则已知甲中奖的前提下乙也中奖的概率为P（B/A）===，故选：D．7．由抛物线y=x2与直线y=x+4所围成的封闭图形的面积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的实际应用，首先求得交点坐标，然后结合题意结合定积分的几何意义计算定积分的数值即可求得封闭图形的面积．【解答】解：联立直线与曲线的方程：可得交点坐标为（﹣2，2），（4，8），结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为：．故选：D．8．已知x，y的取值如表，画散点图分析可知，y与x线性相关，且求得回归直线方程为=x+1，则m的值为（）x 0 1 2 3 4y 1.2 m 2.9 4.1 4.7A．1.8 B．2.1 C．2.3 D．2.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表中数据计算、，代入回归直线方程中求出m的值．【解答】解：根据表中数据，计算=×（0+1+2+3+4）=2，=×（1.2+m+2.9+4.1+4.7）=，代入回归直线方程=x+1中，得=2+1，解得m=2.1．故选：B．9．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，斜边为c，则由勾股定理知c2=b2+a2，则在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，类比勾股定理，类似的结论为（）A．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2B．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2C．S△ABC2=S△PAB2+S△PAC2+S△PBC2D．S△PBC2=S△PAB2+S△PAC2+S△ABC2【考点】F3：类比推理．【分析】由题意结合平面与空间类比的关系即可得出题中的结论．【解答】解：平面与空间的对应关系为：边对应着面，边长对应着面积，结合题意类比可得．故选：C．10．已知（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，则a1+2a2+3a3+…+2017a2017=（）A．1 B．﹣1 C．4034 D．﹣4034【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，两边同时对x求导，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017 的值．【解答】解：在（3﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017中，两边同时对x求导，可得﹣2×2017（3﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016，再令x=2，可得a1+2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034，故选：D．11．已知函数f（x）=x2﹣cos（π+x）+l，f′（x）为f（x）的导函数，则y=f′（x）的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f′（x）的解析式，判断奇偶性，再根据f″（x）的单调性得出f′（x）的增长快慢变化情况，得出答案．【解答】解：f′（x）=x+sin（x+π）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f′（x），∴f′（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；∵f″（x）=1﹣cosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）在（0，π）上的增加速度逐渐增大，排除C，故选A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（）A．（﹣2，3）B．（2，+∞）C．（，3）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可．【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x），∴[（x+1）•f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）•f（x）在（0，+∞）上是增函数，由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得：（x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5），即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5），∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知离散型随机变量ξ～B（5，），则D（ξ）=．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布的性质求解即可．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（5，），Dξ=5×=，故答案为：．14．（）dx=．【考点】67：定积分．【分析】本题考查定积分的几何意义，首先确定被积函数表示的几何图形，然后结合图形的形状和圆的面积公式即可求得定积分的数值．【解答】解：函数即：（x﹣1）2+y2=1（x≥1，y≥0），表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆在x轴上方横坐标从1到2的部分，即四分之一圆，结合定积分的几何意义可得．故答案为．15．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（﹣）= ﹣9 ．【考点】63：导数的运算．【分析】由题意首先求得f'（2）的值，然后结合导函数的解析式即可求得最终结果．【解答】解：由函数的解析式可得：∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1），∴f′（2）=4+f′（2）（﹣1），解得f′（2）=，则∴．故答案为：﹣9．16．已知曲线C： +y2=1与直线l：（t为参数）相交于A、B两点，则线段|AB|的长度为．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】由曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t1﹣t2|，化简整理即可得到所求值；【解答】解：把代入+y2=1可得：，整理得：8t2+4t﹣3=0，，|AB|=|t1﹣t2|==．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…以此归纳出S n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【分析】归纳S n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．【解答】解：记数列{a n}的前n和为S n，且满足以下规律：a1=12﹣22，a2=32﹣42，…，a n=（2n﹣1）2﹣（2n）2S1=12﹣22=﹣1×（2×1+1），S2=l2﹣22+32﹣42=﹣2×（2×2+1），S3=l2﹣22+32﹣42+52﹣62=﹣3×（2×3+1），…S n=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n×（2n+1），证明如下：①当n=1时，显然成立，②假设当n=k时，等式成立，即S k=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k×（2k+1），那么当n=k+1时，即S k+1=l2﹣22+32﹣42+52﹣62+…+（2k﹣1）2﹣（2k）2+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k×（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（2k2+5k+3）=﹣（k+1）（2k+3）即n=k+1时，等式也成立．故由①和②，可知等式成立．18．已知函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值的定义，可得所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）= [（x﹣5）2+121nx]的导数为f′（x）=x﹣5+=，可得y=f （x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，8），即有切线的方程为y﹣8=2（x﹣1），即为2x﹣y+6=0；（Ⅱ）由f′（x）=x﹣5+=，结合x＞0，由f′（x）＞0，可得x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；由f′（x）＜0，可得2＜x＜3，f（x）递减．则f（x）在x=2处取得极大值，且为；f（x）在x=3处取得极小值，且为2+6ln3．19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．优秀非优秀合计甲班10乙班30合计（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K20.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001≥k）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考数据：（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）首先由题意求得优秀的人数，据此结合列联表的特征写出列联表即可；（Ⅱ）结合（1）中的列联表结合题意计算K2的值即可确定喜欢数学是否与性别有关．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：所有优秀的人数为：人，据此完成列联表如下所示：优秀非优秀合计甲班10 30 40乙班30 30 60合计40 60 100（Ⅱ）由列联表中的结论可得：，则若按99%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．20．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（Ⅰ）求曲线C的参数方程；（Ⅱ）若曲线C与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A、B，在曲线C上任取一点P，求点P到直线AB的距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为，由此能求出曲线C的参数方程；（Ⅱ）求得直线AB的方程，设P点坐标，根据点到直线的距离公式及正弦函数的性质，即可求得点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即；∴曲线C的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直线AB的方程：x+2y﹣2=0，设P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，则P 到直线AB的距离d==丨sin（φ+）﹣1丨，∴当φ+=π，即φ=时d取最大值，最大值为（+1）．点P到直线AB的距离的最大值（+1）．21．某某市区某“好一多”鲜牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作垃圾回收处理．（1）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：盒，n∈N*）的函数解析式．（2）牛奶店老板记录了 100天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：48 49 50 51 52 53 54曰需求量频数10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望；（ⅱ）若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）（i）求出利润的可能取值及其对应的概率，得出分布列和数学期望；（ii）求出n=51时对应的数学期望，根据利润的数学期望大小得出结论．【解答】解：（1）当n≤50时，y=5n﹣50×3=5n﹣150，当n＞50时，y=50×（5﹣3）=100，∴y=．（2）（i）由（1）可知n=48时，X=90，当n=49时，X=95，当n≥50时，X=100．∴X的可能取值有90，95，100．∴P（X=90）==，P（X=95）==，P（X=100）==，∴X的分布列为：X 90 95 100P∴E（X）==98．（ii）由（i）知当n=50时，E（X）=98，当n=51时，y=，∴当n=48时，X=87，当n=49时，X=92，当n=50时，X=97，当n≥51时，X=102，∴P（X=87）=，P（X=92）=，P（X=97）==，P（X=102）=．∴E（X）=87+++=97.7．∵98＞97.7，∴每天应购进50盒比较合理．22．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：x＞0，x＜（x+l）ln（x+1），（Ⅲ）比较：（）100，e的大小关系，（e为自然对数的底数）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的X围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，问题等价于：lnt＞，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）根据＜1，令x=，得到（1+）ln（x+1）＞1，判断大小即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f'（x）＜0得0＜x＜a，由f'（x）＞0得x＞a，所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：①因为x＞0，x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＞，令t=x+1，则x=t﹣1，由x＞0得t＞1，所以不等式ln（x+1）＞（x＞0）等价于：lnt＞，即：lnt﹣＞0（t＞1），由（Ⅰ）得：函数g（t）=lnt﹣在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，即：ln（x+1）＞；②因为x＞0，不等式 x＜（x+l）ln（x+1）等价于ln（x+1）＜x，令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）=﹣1=，所以h'（x）＜0，所以函数h（x）=ln（x+1）﹣x在（0，+∞）上为减函数，所以h（x）＜h（0）=0，即ln（x+1）＜x．由①②得：x＞0时，x＜（x+l）ln（x+1）；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x＞0时，＜1，所以令x=，得100×ln（+1）＜1，即ln（）100＜1，所以（）100＜e；又因为＞（x＞0），所以（1+）ln（x+1）＞1，令x=得：100×ln＞1，所以ln（）100＞1，从而得（）100＞e．所以（）100＜（）100．。
高二数学下学期期末考试理科试题含答案
第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（ ）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（ ）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（ ）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（ ）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（ ）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（ ）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表； （1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分） 已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围； （2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >， 故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立， 所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++， 因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<； 同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--， 所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-， 令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞， 所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数， 所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立， 则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。
人教版高二数学下学期期末考试理科试题(解析版)
“若 为等边三角形，则 ”为真命题，所以正确.
③命题“若 ，则 ”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确.
④“若 ，则 的解集为 ”的逆命题为：
“若 的解集为 ，则 ”
当 时， 不是恒成立的.
当 时,则 解得： ，所以正确.
故选：A
【点睛】本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题.
【答案】A
【解析】
试题分析：首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出a的值
解：∵ =4.5，
∴这组数据的样本中心点是（2，4.5）
∵y与x线性相关，且 =0.95x+ ，∴4.5=0.95×2+a，∴a=2.6，
故选A．
考点：线性回归方程．
12.已知函数 的定义域为 ，且 ，若方程 有两个不同实根，则 的取值范围为（）
A.①②③④B.①②④C.②④D.①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
①写出其否命题，再判断真假；②写出其逆命题，再判断真假；③根据原命题与逆否命题真假性相同，直接判断原命题的真假即可；④写出其逆命题，再判断真假.
【详解】①命题“若 ，则方程 无实根”的否命题为：
“若 ，则方程 有实根”,为真命题，所以正确.
对于B， ，其定义域为 ，有 ，是偶函数，
其导数 ，在区间 上， ， 为增函数，符合题意；
对于C， ，其定义域为 ，有 ，是偶函数，而 ，
，在 上不是增函数，不符合题意；
对于D， ，其定义域为 ，有 ，是偶函数，
而 ， ，在 上不是增函数，不符合题意；
故选：B．
人教版高二数学下学期期末考试理科试题(解析版)
【详解】（1） ， ， ，
①若 ，则 ，∴ ；
②若 ，则 ，∴ ，综上 .
（2） ，∴ ，∴ .
【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.
A.p∧qB.p∨qC.p∧( q)D. q
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断命题p,q的真假，再得到命题 的真假，最后逐一判断选项的真假.
【详解】由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，
∴命题p是假命题．
由3x>0，得3x＋1>1，所以0< <1，
所以函数y＝ 的值域为(0，1)，故命题q为真命题．
18.已知函数
（1）若 ，在R上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由二次不等式 恒成立可得 ，于是可求得 的取值范围；（2）分离参数得 在区间 上有解，转化为求 在区间 上的最大值求解即可．
【详解】（1）由题意得 在R上恒成立，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
基本事件总数n 6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．
【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，
则基本事件总数n 6，
他们选课相同包含的基本事件m＝1，
∴他们选课相同的概率p ．
故选D．
【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.
最新人教版高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
最新人教版高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={4,5，7，9}，B={3,4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】解：A∪B={3,4，5，7，8，9}，A∩B={4,7，9}∴∁U(A∩B)={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)故选：A．根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．本题考查集合的基本运算，较简单．2.复数3+2i2−3i=()A. 1B. −1C. iD. −i【答案】C【解析】解：复数3+2i2−3i =(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=13i13=i，故选：C．两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个复数的乘法法则化简．本题考查两个复数的除法法则的应用以及两个复数乘法法则的应用．3.已知m⃗⃗⃗ =(a,−2)，n⃗=(1,1−a)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，则a=()A. −1B. 2或−1C. 2D. −2【答案】B【解析】解：∵m⃗⃗⃗ =(a,−2)，n⃗=(1,1−a)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，∴a(1−a)−(−2)×1=0，化简得a2−a−2=0，解得a=2或a=−1；∴a的值是2或−1．故选：B．根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值即可．本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．4.在区间[−1,1]上随机选取一个实数x，则事件“2x−1<0“的概率为()A. 12B. 34C. 23D. 14【答案】B【解析】解：由2x−1<0，得x<12．∴在区间[−1,1]上随机选取一个实数x，则事件“2x−1<0“的概率为12−(−1)1−(−1)=322=34．故选：B．求解一元一次不等式得x的范围，再由测度比为长度比得答案．本题考查几何概型，关键是明确测度比为长度比，是基础题．5.已知tana=4，cotβ=13，则tan(a+β)=()A. 711B. −711C. 713D. −713【答案】B【解析】解：∵tana=4，cotβ=13，∴tanβ=3∴tan(a+β)=tana+tanβ1−tanatanβ=4+31−3×4=−711故选：B．由已知中cotβ=13，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．6.(x−2y)6的展开式中，x4y2的系数为()A. 15B. −15C. 60D. −60【答案】C【解析】解：(x−2y)6展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅x6−r⋅(−2y)r，令r=2，得T3=C62⋅x4⋅(−2y)2=60x4y2，所以x4y2的系数为60．故选：C．根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题目．7.执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是()A. 2B. 1C. 12D. −1【答案】A【解析】解：当a=2，k=0时，执行循环a=−1，满足继续循环的条件，k=1；，满足继续循环的条件，k=2；执行循环a=12执行循环a=2，满足继续循环的条件，k=3；执行循环a=−1，满足继续循环的条件，k=4；执行循环a=1，满足继续循环的条件，k=5；2执行循环a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案；本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.设非零向量a⃗、b⃗ 、c⃗满足|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|,a⃗+b⃗ =c⃗，则<a⃗,b⃗ >=()A. 150∘B. 120∘C. 60∘D. 30∘【答案】B【解析】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴a⃗、b⃗ 可构成菱形的两条相邻边，∵a⃗+b⃗ =c⃗∴a⃗、b⃗ 为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120∘，故选：B．根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题.向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种【答案】D【解析】解：分两类(1)甲组中选出一名女生有C51⋅C31⋅C62=225种选法；(2)乙组中选出一名女生有C52⋅C61⋅C21=120种选法.故共有345种选法．故选：D．选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！10.下列4个命题中正确命题的个数是(1)对于命题p：∃x0∈R，使得x02−1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2−1>0(2)已知X～N(2,σ2)，P(x>2)=0.5(3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y∧=2x−3(4)“x≥1”是“x+1x≥2”的充分不必要条件.()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：(1)对于命题p：∃x0∈R，使得x02−1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2−1>0，正确；(2)已知X～N(2,σ2)，P(x>2)=0.5，正确；(3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y∧= 2x−3，正确；(4)“x≥1”可得“x+1x ≥2”“x+1x≥2”不能得出“x≥1”，比如x=12，则“x≥1”是“x+1x≥2”的充分不必要条件，正确．故选：D．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11.正方体ABCD−A1B1C1D1中，若△D1AC外接圆半径为2√63，则该正方体外接球的表面积为()A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】C【解析】解：如图，设正方体的棱长为a，则△D1AC是边长为√2a的等边三角形，设其外接圆的半径为r，则√2asin60∘=2r，即r=√63a．由√63a=2√63，得a=2．∴正方体外接球的R=12√22+22+22=√3．∴正方体外接球的表面积为4π×(√3)2=12π．故选：C．由题意画出图形，设正方体的棱长为a，则△D1AC是边长为√2a的等边三角形，由正弦定理列式求得△D1AC外接圆半径，进一步求得a值，再由正方体体对角线长的平方等于过一个顶点的三条棱的平方和求得正方体外接球的半径，则答案可求．本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知奇函数f(x)的导函数为，当x≠0时，0'/>，若a=1e f(1e)，b=−ef(−e)，c=f(1)，则a，b，c的大小关系正确的是()A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. a<c<b【答案】D【解析】解：令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)．∵当x≠0时，f′(x)+f(x)x>0，∴当x>0时，xf′(x)+f(x)>0．即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增，∵e>1>1e，∴g(e)>g(1)>g(1e)，∵函数f(x)为奇函数，∴g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，故b=−ef(−e)=g(e)，故b=g(e)>c=g(1)>a=g(1e)，故选：D．令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x).由于当x≠0时，f′(x)+f(x)x>0，可得：当x>0时，xf′(x)+f(x)>0.即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增.即可得出．本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.能够说明“e x>x+1恒成立”是假命题的一个x的值为______．【答案】0【解析】解：当x=0时，e x>x+1，不成立，故答案为：0．利用反例判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．14.如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为______．【答案】13【解析】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：S=∫(11−√x)dx=(x−23x32)|01=13，由几何概型计算公式可得：黄豆落在阴影部分的概率为p=131×1=13，故答案为：13．利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式求解．本题考查定积分的几何意义，几何概型计算公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．15.设实数x，y满足{x−y+1≥0y+1≥0x+y+1≤0，则2x−y的最小值为______．【答案】1【解析】解：不等式组对应的平面区域如图，设z=2x−y，当此直线经过图中B(0,−1)时，在y轴的截距最小，即z最小，所以z的最小值为1；故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，设z=2x−y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最小值本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16.设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=______．【答案】24【解析】解：∵s9=9(a1+a9) 2=9a5=72∴a5=8又∵a2+a4+a9=3(a1+4d)=3a5=24故答案是24先由S9=72用性质求得a5，而3(a1+4d)=3a5，从而求得答案．本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=sinx−acosx的一个零点是π4．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx，若x∈[0,π2]，求g(x)的值域．【答案】(Ⅰ)解：依题意，得f(π4)=0，即sinπ4−acosπ4=√22−√2a2=0，解得a=1.(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得f(x)=sinx−cosx．g(x)=f(x)⋅f(−x)+2√3sinxcosx=(sinx−cosx)(−sinx−cosx)+√3sin2x =(cos2x−sin2x)+√3sin2x=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6).由x∈[0,π2]得π6≤2x+π6≤7π6∴当2x+π6=π2即x=π6时，g(x)取得最大值2，当2x+π6=7π6即x=π2时，g(x)取得最小值−1．所以g(x)的值域是[−1,2]．【解析】(I)根据f(π4)=0计算a的值；(II)化简f(x)的解析式，再根据这些函数的单调性得出g(x)的最值即可．本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，属于中档题．18.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(Ⅰ)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；(Ⅱ)根据表和图，对两套设备的优劣进行比较；(Ⅲ)将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E(X)．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】解：(Ⅰ)根据表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100…(3分)将列联表中的数据代入公式计算得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×7−2×43)250×50×91×9≈3.053；…(5分)∵3.053>2.706，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；…(6分) (Ⅱ)根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；…(9分)(Ⅲ)由题知，不合格品的概率为P=250=125，且X～B(3,125)，…(11分)∴X的数学期望为E(X)=3×125=325.…(12分)【解析】(Ⅰ)根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(Ⅱ)根据表1和图1分析数据特征与离散程度，即可得出结论；(Ⅲ)由题知X～B(3,125)，求出数学期望即可．本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19. 如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF//DE ，DE =3CF ，BE 与平面ABCD 所成的角为45∘． (1)求证：平面ACE ⊥平面BDE ； (2)求二面角F −BE −D 的余弦值． 【答案】(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ． ∴DE ⊥AC ． 又底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， 又BD ∩DE =D ， ∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面BDE ． (2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，∵BE 与平面ABCD 所成的角为45∘，即∠EBD =45∘， ∴DE =BD =√2AD =3√2，CF =13DE =√2．∴A(3,0，0)，B(3,3，0)，C(0,3，0)，E(0,0，3√2)，F(0,3，√2)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，√2)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−2√2)， 设平面BEF 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +√2z =03y −2√2z =0， 令z =3√2，则n⃗ =(2,4，3√2). 又AC ⊥平面BDE ，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3，0)为平面BDE 的一个法向量． ∴cos <n ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√38⋅3√2=√1919． ∵二面角F −BE −D 为锐角， ∴二面角F −BE −D 的余弦值为√1919．【解析】(1)根据AC ⊥BD ，AC ⊥DE 可得AC ⊥平面BDE ，故而平面ACE ⊥平面BDE ； (2)建立空间坐标系，求出平面BDE 和平面BEF 的法向量，根据法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的性质，空间向量的应用，属于中档题．20. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,−√3)，(0,√3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． (Ⅰ)写出C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A ，B 两点.k 为何值时OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？此时|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值是多少？． 【答案】解：(Ⅰ)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0,−√3),(0,√3)为焦点， 长半轴为2的椭圆.它的短半轴b =√22−(√3)2=1，故曲线C 的方程为x 2+y 24=1.(4分)(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.消去y 并整理得(k 2+4)x 2+2kx −3=0， 故x 1+x 2=−2kk 2+4,x 1x 2=−3k 2+4.(6分)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1， 于是x 1x 2+y 1y 2=−3k 2+4−3k 2k 2+4−2k 2k 2+4+1=−4k 2+1k 2+4．所以k =±12时，x 1x 2+y 1y 2=0，故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(8分) 当k =±12时，x 1+x 2=∓417，x 1x 2=−1217．|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)(x 2−x 1)2，而(x 2−x 1)2=(x 2+x 1)2−4x 1x 2=42172+4×4×317=43×13172，所以|AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√6517.(12分) 【解析】(Ⅰ)设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是椭圆.从而写出其方程即可； (Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k 值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，从而解决问题．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．21. 设函数f(x)=x(k −lnx)，(k 为常数)，g(x)=1x −1xf(x).曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行． (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求g(x)的单调区间和最小值；(Ⅲ)若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)f(x)=x(k −lnx)的导数为f′(x)=k −lnx −1， 因为曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行， 所以f′(1)=k −1=0， 所以k =1；(Ⅱ)g(x)=1x −1x f(x)=1x −1+lnx ，定义域为{x|x >0}， 导数g′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，令得x =1，当x 变化时，和g(x)的变化如下表：由上表可知g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)， 最小值为g(1)=0；(Ⅲ)若g(a)−g(x)<1a 对任意x >0成立， 则g(a)−g(x)min <1a ， 即1a −1+lna −0<1a ， 即lna <1，解得0<a <e ．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得k 的值； (Ⅱ)求得g(x)的解析式和导数，以及单调区间，可得极值和最值； (Ⅲ)由题意可得g(a)−g(x)min <1a ，代入计算即可得到所求a 的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．22. 在直角坐标系xOy 中，以原点为O 极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)．(1)将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求1|PA|+1|PB|的值． 【答案】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)，展开可得：ρ2=4√2×√22ρ(cosθ−sinθ)，可得直角坐标方程：x 2+y 2−4x +4y =0． (2)直线l 的参数方程为：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，代入上述方程可得：t 2+2√2t −4=0．t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=−4， 则1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√8−4×(−4)4=√62． 【解析】(1)圆C 的极坐标方程为ρ=4√2cos(θ+π4)，展开可得：ρ2=4√2×√22ρ(cosθ−sinθ)，利用互化公式即可得出直角坐标方程． (2)直线l 的参数方程为：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，代入上述方程可得：t 2+2√2t −4=0．1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|．本题考查了极坐标方程化为参数方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数f(x)=|2x+a|+|2x−1|，g(x)=|x−1|+2．(1)解不等式g(x)≥4；(2)若对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵g(x)=|x−1|+2.g(x)≥4，∴由|x−1|+2≥4，得|x−1|≥2，解得x≤−1或x≥3．故不等式g(x)≥4的解集为{x|x≤−1或x≥3}．(2)∵对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，∴{y|y=g(x)}⊆{y|y=f(x)}．又∵g(x)=|x−1|+2≥2，f(x)=|2x+a|+|2x−1|≥|(2x+a)−(2x−1)|=|a+ 1|．∴|a+1|≤2，解得−3≤a≤1，∴实数a的取值范围为[−3,1]．【解析】(1)由g(x)≥4，得|x−1|≥2，由此能求出不等式g(x)≥4的解集．(2)推导出{y|y=g(x)}⊆{y|y=f(x)}.利用g(x)=|x−1|+2≥2，f(x)=|2x+a|+ |2x−1|≥|(2x+a)−(2x−1)|=|a+1|.得到|a+1|≤2，由此能求出实数a的取值范围．本题考查不等式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
人教版高二数学下学期期末考试理试题(解析版)
【答案】
【解析】
由已知 为二次函数且对称轴为 轴，∴ ，即 ．再根据函数在 单调递增，可得 ．令 ，求得 或 ，故由 ，可得 或 ，故解集为 ．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.设数列 的前 项和为 ，且 .
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意作图如下：
设 .
∵
∴
∵由双曲线焦半径公式知 ，
∴
∴
故选C.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
8.函数 的部分图像如图所示，为了得到 的图像，只需将函数 的图像（）
A. 向左平移 个单位长度B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度D. 向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由 在函数图象上，结合 的范围求出 的值，可得函数的解析式．再根据函数 的图象变换规律，可得结论．
详解】解：由图可知 ，∵ ，
∴ ，解得： ，可得 ，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ， ，
故可将函数 的图像向左平移 个单位长度得到 的图像.
故选：B.
【点睛】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，函数 的图象变换规律，属于基础题．
高二(下)期末数学试卷(理科)带答案
高二（下）期末数学试卷（理科）带答案一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）1．（5分）已知复数z=1﹣，则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若随机变量X的概率分布列为（）且p1=p2，则p1等于（）A．B．C．D．3．（5分）小明去和济小区送快递，该小区共有三个出入口，每个出入口均可进出，则小明进出该小区的方案最多有（）A．6种 B．8种 C．9种 D．12种4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）=0.6，则P （0＜X＜2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．（5分）设函数f（x）=+ln x，则f（x）的极小值为（）A．1 B．2 C．1+ln2 D．2+ln26．（5分）设（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a0+a2+a4+a6=（）A．1 B．﹣1 C．365 D．﹣3657．（5分）|x|dx等于（）A．﹣1 B．1 C．D．8．（5分）观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12，…，则|x|+|y|=16的不同整数解（x，y）的个数为（）A．56 B．60 C．64 D．689．（5分）设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．≥B．a2+≥a+C．a﹣b+≥2 D．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|10．（5分）集合A={x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，从A中随机取出一个元素m，设ξ=m2，则Eξ=（）A．B．C．D．11．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）dx=（）A．+1 B．+2 C．π+1 D．π+212．（5分）集合M={x∈R|e x（2x﹣1）≤ax﹣a}，其中a＞0，若集合M中有且只有一个整数，则实数a的取值范围为（）A．（，1）B．（，1）C．[，1）D．（，1]二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5分）已知复数Z满足（1+i）Z=﹣i，则|Z|=．14．（5分）已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含x3项的系数为．15．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给3人，每人至少1张至多2张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．16．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17．（10分）甲、乙是一对乒乓球双打运动员，在5次训练中，对他们的表现进行评价，得分如图所示：（1）求乙分数y的标准差S；（2）根据表中数据，求乙分数y对甲分数x的回归方程；（附：回归方程y=bx+a中，a=﹣，b=）18．（12分）在平面直角坐标系中，直线L的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线L的倾斜角α和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线L交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．19．（12分）设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e为自然对数的底数），g（x）=x2+4x+b，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数y=f（x）的增区间；（2）求曲线y=g（x）和直线y=x+2所围成的图形的面积．20．（12分）随着移动互联网时代的到来，手机的使用非常普遍，“低头族”随处可见．某校为了解家长和教师对学生带手机进校园的态度，随机调查了100位家长和教师，得到情况如下表：（1）是否有95%以上的把握认为“带手机进校园与身份有关”，并说明理由；（2）把以上频率当概率，随机抽取3位教师，记其中反对学生带手机进校园的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：21．（12分）已知函数，a＞0．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），若函数h（x）在上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）若f（x）≥g（x）+lnx在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数（a为常数），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直．（1）求实数a的值；（2）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数m的最大值；（3）求证：ln2018＞2017．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）1．（5分）已知复数z=1﹣，则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】根据题意，由复数的计算公式可得z，进而由共轭复数的概念即可得答案．【解答】解：根据题意，复数z=1﹣=1+i，则其共轭复数=1﹣i；故选：D．【点评】本题考查复数的混合运算，涉及共轭复数的概念，关键是掌握复数的计算公式．2．（5分）若随机变量X的概率分布列为（）且p1=p2，则p1等于（）A．B．C．D．【分析】由随机变量X的概率分布列中概率之和为1及p1=p2，能求出p1．【解答】解：由随机变量X的概率分布列，且p1=p2，知：=1，解得p2=，∴p1=p2==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．3．（5分）小明去和济小区送快递，该小区共有三个出入口，每个出入口均可进出，则小明进出该小区的方案最多有（）A．6种 B．8种 C．9种 D．12种【分析】根据题意，分析可得小明进入小区有3种情况，出小区也有3种情况，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，该小区共有三个出入口，每个出入口均可进出，则进入小区有3种情况，出小区也有3种情况，则小明进出该小区的方案有3×3=9种方案；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意每个出入口均可进出，不能用排列数公式分析．4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X＜4）=0.6，则P （0＜X＜2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】先计算P（2＜X＜4），再根据对称性得出P（0＜X＜2），【解答】解：P（2＜X＜4）=P（X＜4）﹣P（X＜2）=0.6﹣0.5=0.1，∴P（0＜X＜2）=P（2＜X＜4）=0.1．故选A．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．5．（5分）设函数f（x）=+ln x，则f（x）的极小值为（）A．1 B．2 C．1+ln2 D．2+ln2【分析】f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=﹣+=，由此利用怕数性质能求出f（x）=f（2）=1+ln2．极小值【解答】解：∵f（x）=+ln x，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=﹣+=，由f′（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．=f（2）=1+ln2．∴当x=2时，f（x）极小值故选：C．【点评】本题考查函数的极小值的求法，考查导数、函数单调性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．6．（5分）设（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a0+a2+a4+a6=（）A．1 B．﹣1 C．365 D．﹣365【分析】分别令x=1和x=﹣1，代入展开式中，再两式相加求出a0+a2+a4+a6的值．【解答】解：（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中，令x=1，得（1﹣2）6=a0+a1+a2+…+a6=1；令x=﹣1，得（1+2）6=a0﹣a1+a2﹣…+a6=36；则2（a0+a2+a4+a6）=1+36=730，∴a0+a2+a4+a6=365．故选：C．【点评】本题考查了赋值法求二项式展开式的部分系数和的应用问题，是基础题．7．（5分）|x|dx等于（）A．﹣1 B．1 C．D．【分析】根据绝对值的意义，则|x|dx=（﹣x）dx+xdx，求出积分值即可．【解答】解：|x|=，则|x|dx=（﹣x）dx+xdx=﹣x2+x2=，故选：D．【点评】本题考查定积分的运算，考查分类讨论思想，属于基础题．8．（5分）观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12，…，则|x|+|y|=16的不同整数解（x，y）的个数为（）A．56 B．60 C．64 D．68【分析】观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，则所求为第100项，可计算得结果【解答】解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n=4n，则所求为第100项，所以a16=64；故选C．【点评】本题考查归纳推理，分寻找关系式内部，关系式与关系式之间数字的变化特征，从特殊到一般，进行归纳推理．9．（5分）设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A．≥B．a2+≥a+C．a﹣b+≥2 D．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|【分析】利用基本不等式的性质、绝对值不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：a，b，c是互不相等的正数，利用基本不等式的性质可得：，＞2．可得﹣=＞0，即＞a+．利用绝对值不等式的性质可得：|a﹣c|+|b﹣c|≥|a﹣c﹣（b﹣c）|=|a﹣b|，因此A，B，D正确．对于C：若a﹣b＜0，则不成立．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）集合A={x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，从A中随机取出一个元素m，设ξ=m2，则Eξ=（）A．B．C．D．【分析】求出集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则ξ的可能取值为0，1，4，9，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：集合A={x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，从A中随机取出一个元素m，设ξ=m2，则ξ的可能取值为0，1，4，9，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=4）=，P（ξ=9）=，∴ξ的分布列为：Eξ==．故选：D．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查集合、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．11．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）dx=（）A．+1 B．+2 C．π+1 D．π+2【分析】判断P的轨迹，然后通过定积分的几何意义求解即可．【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B（原点为O）为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，则f（x）dx的几何意义是，P的轨迹与x=﹣1，x=1，以及x轴围成的几何图形的面积．所以f（x）dx=1×2+﹣=1+．故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．12．（5分）集合M={x∈R|e x（2x﹣1）≤ax﹣a}，其中a＞0，若集合M中有且只有一个整数，则实数a的取值范围为（）A．（，1）B．（，1）C．[，1）D．（，1]【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知，存在唯一的整数x0，使g （x0）在直线y=ax﹣a的下方，利用导数研究函数g（x）的单调性，又直线y=ax﹣a恒过点（1，0），且斜率为a，结合图象可知，a≤=1，且a＞=．即可得出．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知，存在唯一的整数x0，使g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴g min（x）=g（﹣）=﹣2；且g（0）=﹣1，g（1）=3e＞0，直线y=ax﹣a恒过点（1，0），且斜率为a，结合图象可知，a≤=1，且a＞=．解得，＜a≤1．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．（5分）已知复数Z满足（1+i）Z=﹣i，则|Z|=．【分析】求出复数z，求出z的模即可．【解答】解：∵（1+i）Z=﹣i，∴z===﹣i，故|z|==，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．14．（5分）已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含x3项的系数为240．【分析】根据展开式的二项式系数和为2n求出n的值，再二项展开式的通项公式求出展开式中含x3项的系数．【解答】解：（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，∴2n=64，解得n=6；∴（2x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•（2x）6﹣r•=（﹣1）r•26﹣r••，令6﹣=3，解得r=2；∴展开式中含x3项的系数为24•=240．故答案为：240．【点评】本题考查了二项展开式的二项式系数和与通项公式的应用问题，是基础题．15．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给3人，每人至少1张至多2张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是18．【分析】根据题意，分2步进行分析：先将5张电影票用列举法分成满足题意的3份，再将分好的3份对应对应3人，进行全排列；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将5张参观券分成3份，每份至少1张，至多2张，且2张参观券连号，有12﹣34﹣5，12﹣3﹣45，1﹣23﹣45，共3种情况，②、将分好的3份参观券对应3人，进行全排列，则共有3×A33=18种不同的分法；故答案为：18．【点评】本题考查分步计数原理的应用，关键是正确将5张参观券分成满足题意的3份16．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．【分析】根据绝对值的意义|x﹣2|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a﹣2|，可得答案．【解答】解：|x﹣2|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a﹣2|，由不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立知，a≤|a﹣2|，解得：a≤1故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求出|x﹣2|+|x﹣a|的最小值，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）17．（10分）甲、乙是一对乒乓球双打运动员，在5次训练中，对他们的表现进行评价，得分如图所示：（1）求乙分数y的标准差S；（2）根据表中数据，求乙分数y对甲分数x的回归方程；（附：回归方程y=bx+a中，a=﹣，b=）【分析】（1）计算y的均值、方差和标准差；（2）根据表中数据，计算、，求出、，即可写出回归方程．【解答】解：（1）乙分数y的均值为=×（87+89+89+92+93）=90，方差为s2=×[（﹣3）2+（﹣1）2+（﹣1）2+22+32]=，标准差为S==；（2）根据表中数据，计算=×（89+91+93+95+97）=93，=90，（x i﹣）（y i﹣）=（﹣4）×（﹣3）+（﹣2）×（﹣1）+0×（﹣1）+2×2+4×3=30，=（﹣4）2+（﹣2）2+02+22+42=40，∴===0.75，=﹣=90﹣0.75×93=20.25，∴y对x的回归方程为=0.75x+20.25．【点评】本题考查了平均数、方差与标准差的计算问题，也考查了线性回归直线的求法问题，是中档题．18．（12分）在平面直角坐标系中，直线L的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线L的倾斜角α和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线L交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【分析】（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得：直线L的普通方程，利用斜率与倾斜角的关系可得α．圆C的方程为，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+3t+4=0，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得：直线L的普通方程为x+y﹣3+=0，则tanα=﹣1，∴α=．圆C的方程为，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5．（Ⅱ）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+3t+4=0，设t1，t2是上述方程的两实数根，又直线L过点P（3，），A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|•|PB|=4．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程及其意义、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）设函数f（x）=ae x（x+1）（其中e为自然对数的底数），g（x）=x2+4x+b，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数y=f（x）的增区间；（2）求曲线y=g（x）和直线y=x+2所围成的图形的面积．【分析】（1）利用f（0）=g（0），f’（0）=g’（0）得到关于实数a，b的方程组，求解方程组可得函数的解析式，然后利用导函数讨论的单调增区间即可．（2）首先求得函数g（x）与函数y=x+2的交点坐标，然后利用定积分计算面积即可．【解答】解：（1）由题意可得：f'（x）=ae x（x+2），g'（x）=2x+4，结合函数的解析式有：f（0）=a，g（0）=b，且f'（0）=2a，g'（0）=4，函数在x=0处有相同的切线，故，即，解得：，据此可得函数的解析式：f（x）=2e x（x+1），g（x）=x2+4x+2．求解不等式f'（x）=2e x（x+2）＞0 可得函数y=f（x）的增区间是（﹣2，+∞）．（2）由（1）的结论可知：g（x）=x2+4x+2，求解方程：g（x）=x2+4x+2=x+2可得交点横坐标为：x1=﹣3，x2=0，则曲线y=g（x）和直线y=x+2所围成的图形的面积为．【点评】本题考查了导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的切线，定积分求解面积等，属于中等题．20．（12分）随着移动互联网时代的到来，手机的使用非常普遍，“低头族”随处可见．某校为了解家长和教师对学生带手机进校园的态度，随机调查了100位家长和教师，得到情况如下表：（1）是否有95%以上的把握认为“带手机进校园与身份有关”，并说明理由；（2）把以上频率当概率，随机抽取3位教师，记其中反对学生带手机进校园的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：【分析】（1）先求出K2=＜3.841，从而得到没有95%以上的把握认为“带手机进校园与身份有关”．（2）由题意得教师反对学生带手机进校园的概率为，X～B（3，），由此能求出X的分布列与E（X）．【解答】解：（1）∵K2===＜3.841，∴没有95%以上的把握认为“带手机进校园与身份有关”．（2）由题意得教师反对学生带手机进校园的概率为，X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）3=．∴X的分布列为：∵X～B（3，），∴E（X）=3×=2．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知函数，a＞0．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），若函数h（x）在上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）若f（x）≥g（x）+lnx在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出h′（x）=a﹣=，a＞0，由函数h（x）在上是减函数，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．（2）令μ（x）=h（x）﹣lnx=ax+﹣2a+1﹣lnx，x∈[1，+∞），则μ（1）=0，μ′（x）=，根据0＜a＜，a两种情况分类讨论，利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵，a＞0．∴h（x）=f（x）﹣g（x）=，a＞0，∴h′（x）=a﹣=，a＞0，∵函数h（x）在上是减函数，∴，解得a≥，∴实数a的取值范围是[，+∞）．（2）令μ（x）=h（x）﹣lnx=ax+﹣2a+1﹣lnx，x∈[1，+∞），则μ（1）=0，μ′（x）=a﹣﹣==，（i）当0＜a＜时，＞1，若1＜x＜，则μ′（x）＜0，μ（x）是减函数，∴μ（x）＜g（1）=0，上式不恒成立；（ii）当a时，≤1，若x＞1，则μ′（x）＞0，μ（x）是增函数，∴μ（x）＞μ（1）=0．综上所述，所求a的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数、构造法、函数单调性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，是中档题．22．（12分）已知函数（a为常数），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直．（1）求实数a的值；（2）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数m的最大值；（3）求证：ln2018＞2017．【分析】（1）f′（x）=（x＞0），由题意可得：f′（1）=0，解得a．（2）由（1）可得：f（x）=．当x≥1时，不等式化为：m≤（1+lnx），令g（x）=（1+lnx），利用导数研究其单调性即可得出．（3）由（2）可得：lnx≥﹣1=1﹣＞1﹣．（x＞1）．令x=1+，则ln（k+1）﹣lnk＞1﹣．分别令x=1，2，3，…，2018，利用累加求和即可得出．【解答】（1）解：f′（x）=（x＞0），由题意可得：f′（1）==0，解得a=1．（2）解：由（1）可得：f（x）=．当x≥1时，不等式化为：m≤（1+lnx）．令g（x）=（1+lnx），g′（x）=．令h（x）=x﹣lnx（x≥1），h′（x）=1﹣≥0，∴函数h（x）在[1，+∞）上单调递增．∴h（x）≥h（1）=1＞0，∴g′（x）＞0．∴g（x）在[1，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（1）=2．∴m≤2．∴实数m的最大值为2．（3）证明：由（2）可得：lnx≥﹣1=1﹣＞1﹣．（x＞1）．令x=1+，则ln（k+1）﹣lnk＞1﹣．分别令x=1，2，3， (2018)可得：ln2﹣ln1＞1﹣，ln3﹣ln2＞1﹣，ln4﹣ln3＞1﹣，…，ln2018﹣ln2017＞1﹣，累加求和可得：ln2018＞2017．【点评】本题考查了考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、等价转化方法、证明不等式、累加求和方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题题．。
全新人教高二数学(理)下学期期末试卷含答案
全新人教高二数学（理）下学期期末试卷含答案
一、单选题
1．如果关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．
2．已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，，且，，
两两互相垂直，则球的体积为（）
A ．B．C．D．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，则过定点的直线与圆，截得的最短弦长为（）
A ．B．C．D．
4．设集合，，则（）
A．B．C．D．
5．的三边，，的对角分别为，，，若是与的等差中项，，则的最大值为（）
A ．B．C．D．
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）
A ．B．C．D．
7．已知,是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（）
A．B．C．D．2
8．在中，，则（）
A．B．C．D．
9．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A．12B．10C．8D．6
10．已知i为虚数单位，若，则复数z的虚部是（）
A．B．C．3D．
11．已知向量，，且，则向量与夹角为
A．B．C．D．
12．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（）
A．2B．-18C．18D．-2。
人教版高二数学下学期期末(理科)试题(解析版)
点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围
7.已知 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ，则 等于
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题首先可以根据二项式 得出各项系数的和，然后根据二项式 得出各项二项式系数的和，最后根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ，即可得出结果．
由期望公式可知 ，而总体的概率 ，即可求得
【详解】由
∴ ，而
∴
故选：C
【点睛】本题考查了概率，理解期望的含义，利用期望公式求离散型变量的期望，并根据样本总体概率为1求期望值
5.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）
A.60个B.48个C.36个D.24个
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
由正弦定理得： ，所以 为最大边.
【点睛】本题主要考查了同角的三角函数关系及两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于基础题．
18
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球2次均未命中的概率为 .
（Ⅰ）求乙投球的命中率 ；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期望.
设A点到 的距离为 ，则 ，
当 变大时，点A的横坐标变小， 变小，
当 时，直线l： ，
由 可得点 ，此时 有最大值 ；
当A与O重合，此时 ；
故 ， .
故选：D.
【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，考查了直线与抛物线交点的求解及转化化归思想，属于基础题.
12.已知函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式 的解集为（）
人教版高二下期末数学试卷(理)含答案解析
-河北省保定市定州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x||x﹣2|≤3，x∈R}，N={y|y=1﹣x2，x∈R}，则M∩（∁R N）=（）A．（1，5]B．（﹣1，5]C．[﹣1，1]D．[1，5]2．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+1D．y=2﹣|x|3．用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的4．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16B．18C．24D．325．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种6．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞2，且n∈N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中的两项，但又减少了另一项D．增加了A中的一项，但又减少了另一项7．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球8．若正△ABC的边长为a，其内一点P到三边距离分别为x，y，z，则S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC，于是ax+ay+az=S△ABC，x+y+z=．类比推理，求解下面的问题．正四面体棱长为2，其内一点M到各个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为（）A．B．C．D．9．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）10．某校组织高一、高二年级书法比赛，高一、高二年级参赛人数分别占60%、40%；并且高一年级获奖人数占本年级参赛人数的，高二年级获奖人数占本年级参赛人数的．现从所有参赛学生中任意抽取一人，记事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，则P（B|）的值为（）A．B．C．D．11．log2（C+C+…+C）的值为（）A．1007B．1008C．2014D．201512．函数f（x）=e x﹣，若实数m满足f（m2）+f（3m﹣4）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）△（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）△（1，+∞）D．（﹣4，1）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=________．14． +++…+=________．15．某班要从5名男生与3名女生中选出4人参加学校组织的书法比赛，要求男生、女生都必须至少有一人参加，则共有不同的选择方案种数为________．（用数字作答）16．已知函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限．（1）求z；（2）若z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．求cos∠ABC．18．某社会研究机构为了了解高中学生在吃零食这方面的生活习惯，随机调查了120名男生和80名女生，这200名学生中共有140名爱吃零食，其中包括80名男生，60名女生．请完成如表的列联表，并判断是否有90%的把握认为高中生是否爱吃零食的生活习惯与性别有关？女生男生总计爱吃零食不爱吃零食总计参考公式：K2=，n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.0500.010k0 2.706 3.841 6.63519．某种产品的质量分为优质、合格、次品三个等级，其数量比例依次为40%，55%，5%．其中优质品和合格品都能正常使用；而次品无法正常使用，厂家会无理由退货或更换．（△）小李在市场上购买一件这种产品，求此件产品能正常使用的概率；（△）若小李购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E （ξ）和方差D（ξ）．20．社会调查表明，家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了10个家庭，获得第i个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得x i=60，y i=15，x i y i=180，x=540．（△）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+；（△）若某家庭月收入为5千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：线性回归方程=x+中，=，=﹣，其中，为样本平均值．21．某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成A、B、C三组，如表所示：分组A B C用电量（0，80]（80，250]从调查结果中随机抽取了10个数据，制成了如图的茎叶图：（△）写出这10个数据的中位数和极差；（△）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（△）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，求n的值．说明：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年河北省保定市定州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x||x﹣2|≤3，x∈R}，N={y|y=1﹣x2，x∈R}，则M∩（∁R N）=（）A．（1，5]B．（﹣1，5]C．[﹣1，1]D．[1，5]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出关于集合M，N的范围，取交集即可．【解答】解：M={x||x﹣2|≤3，x∈R}={x|﹣3≤x﹣2≤3}={x|﹣1≤x≤5}=[﹣1，5]，N={y|y=1﹣x2，x∈R}={y|y≤1}=（﹣∞，1]，则M∩（∁R N）=[﹣1，5]∩（1，+∞）=（1，5]，故选：A．2．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+1D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据常见基本函数的性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数y=x3是定义域R上的奇函数，不合题意；对于B，函数y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递增函数，满足题意；对于C，函数y=﹣x2+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；对于D，函数y=2﹣|x|是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；故选：B．3．用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【考点】演绎推理的基本方法．【分析】指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的．【解答】解：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选A．4．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16B．18C．24D．32【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列A33，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选C．5．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D6．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞2，且n∈N*）的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了B中的两项，但又减少了另一项D．增加了A中的一项，但又减少了另一项【考点】数学归纳法．【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端++…+，那么当n=k+1时左端=+…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，故选：C．7．一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是（）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【考点】随机事件．【分析】根据独立事件的定义判断即可．【解答】解：一个口袋中装有3个白球和3个黑球，对于A：第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件，对于B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件，对于C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件，对于D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：C．8．若正△ABC的边长为a，其内一点P到三边距离分别为x，y，z，则S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC，于是ax+ay+az=S△ABC，x+y+z=．类比推理，求解下面的问题．正四面体棱长为2，其内一点M到各个面的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，可以结合由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．【解答】解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，可得：P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值，如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥P﹣ABC，P﹣ABD，P﹣ACD，P﹣BCD的体积分别为：V1，V2，V3，V4，由棱长为a可以得到BF=a，BE=BF=a，在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到AE2=AB2﹣BE2，即AE=a，即h=a，（其中h为正四面体A﹣BCD的高），故正四面体的体积V=，正四面体的四个面△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的面积均为则V=V1+V2+V3+V4=（h1+h2+h3+h4）解得：h1+h2+h3+h4=a，∴即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值a．又正四面体棱长为2，即a=2，∴定值为．故选：D．9．设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选B．10．某校组织高一、高二年级书法比赛，高一、高二年级参赛人数分别占60%、40%；并且高一年级获奖人数占本年级参赛人数的，高二年级获奖人数占本年级参赛人数的．现从所有参赛学生中任意抽取一人，记事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，则P（B|）的值为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，P（B|）表示来自高二的条件下，获奖的概率，即可得出结论．【解答】解：事件A表示该学生来自高一，事件B表示该学生获奖，P（B|）表示来自高二的条件下，获奖的概率．由题意，设参赛人数为x，则高一、高二年级参赛人数分别为0.6x.0.4x，高一年级获奖人数0.1x，高二年级获奖人数0.05x．∴P（B|）==，故选：A．11．log2（C+C+…+C）的值为（）A．1007B．1008C．2014D．2015【考点】组合及组合数公式；对数的运算性质．【分析】根据二项式定理和对数的运算性质即可求出．【解答】解：C+C+…+C=（C+C+…+C+…+）=×22015=22014，∴log2（C+C+…+C）=log222014=2014，故选：C．12．函数f（x）=e x﹣，若实数m满足f（m2）+f（3m﹣4）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）△（4，+∞）B．（﹣1，4）C．（﹣∞，﹣4）△（1，+∞）D．（﹣4，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据解析式求出f（x）的定义域和f（﹣x），由函数奇偶性的定义判断出f（x）是奇函数，由为y=e x在R上是增函数判断出f（x）的单调性，利用奇偶性和单调性转化不等式，求出m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣的定义域是R，因为f（﹣x）=﹣e x=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数，因为y=e x在R上是增函数，所以f（x）=e x﹣在R上是增函数，则f（m2）+f（3m﹣4）＜0为：f（m2）＜﹣f（3m﹣4）=f（﹣3m+4），即m2＜﹣3m+4，则m2+3m﹣4＜0，解得﹣4＜m＜1，所以m的取值范围是（﹣4，1），故选D．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（1，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），μ=1，∴正态曲线的对称轴x=1∴P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16．故答案为：0.16．14． +++…+=．【考点】数列的求和．【分析】根据：数列的通项公式为==﹣，利用裂项法进行求解即可．【解答】解：数列的通项公式为==﹣，则+++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．某班要从5名男生与3名女生中选出4人参加学校组织的书法比赛，要求男生、女生都必须至少有一人参加，则共有不同的选择方案种数为65．（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从8人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从8人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C84=70种情况；②选出的4人都为男生时，有C54=5种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共70﹣5=65种；故答案为：65．16．已知函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是﹣2≤a＜0．【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断a＜0，再分析x＜0，函数在x=时取得极大值﹣4，x=0时取得极小值﹣4，利用f（x）=恰有2个零点，即可得出结论．【解答】解：由题意，a＜0，x＜0，f（x）=x3﹣ax2﹣4，f′（x）=x（3x﹣2a）=0，可得x=0或，∴函数在x=时取得极大值﹣4，x=0时取得极小值﹣4，∵f（x）=恰有2个零点，∴﹣2≤a＜0，故答案为：﹣2≤a＜0．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．已知复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限．（1）求z；（2）若z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．求cos∠ABC．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）求出复数的对应点的坐标，然后通过三角形求解即可．【解答】解：（1）复数z=x+yi（x，y∈R），满足|z|=，z2的虚部是2，z对应的点A在第一象限，可得，解得：x=y=1．z=1+i．（2）z，z2，z﹣z2在复平面上对应点分别为A，B，C．A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），cos∠ABC===．18．某社会研究机构为了了解高中学生在吃零食这方面的生活习惯，随机调查了120名男生和80名女生，这200名学生中共有140名爱吃零食，其中包括80名男生，60名女生．请完成如表的列联表，并判断是否有90%的把握认为高中生是否爱吃零食的生活习惯与性别有关？女生男生总计爱吃零食不爱吃零食总计参考公式：K2=，n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.0500.010k0 2.706 3.841 6.635【考点】线性回归方程．【分析】根据列联表运用公式K2=，n=a+b+c+d，求出k值，根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，即可得出结论．【解答】解：将2×2列联表补充完整：女生男生总计爱吃零食6080140不爱吃零食204060总计80120200由题意可得，a=60，b=80，c=20，d=40，所以K2===1.587，因为1.587＜2.706，所以没有90%的把握认为高中生爱吃零食的生活习惯与性别有关．19．某种产品的质量分为优质、合格、次品三个等级，其数量比例依次为40%，55%，5%．其中优质品和合格品都能正常使用；而次品无法正常使用，厂家会无理由退货或更换．（△）小李在市场上购买一件这种产品，求此件产品能正常使用的概率；（△）若小李购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E （ξ）和方差D（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（△）根据题意，计算购买一件这种产品能正常使用的概率值；（△）根据题意，得出ξ的可能取值，求出对应的概率值，列出ξ的分布列，计算数学期望与方差．【解答】解：（△）根据题意，购买一件这种产品，此件产品能正常使用的概率为P=40%+55%=0.95；（△）购买此种产品3件，设其中优质产品件数为ξ，则ξ的可能取值为0、1、2、3，所以P（ξ=0）=•（1﹣0.4）3=0.216，P（ξ=1）=×0.4×（1﹣0.4）2=0.432，P（ξ=2）=×0.42×（1﹣0.4）=0.288，P（ξ=3）=×0.43=0.064；所以ξ的分布列如下表：ξ0123P0.2160.4320.2880.064ξ的数学期望为E（ξ）=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2，方差为D（ξ）=3×0.4×（1﹣0.4）=0.72．20．社会调查表明，家庭月收入x（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了10个家庭，获得第i个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得x i=60，y i=15，x i y i=180，x=540．（△）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+；（△）若某家庭月收入为5千元，预测该家庭的月储蓄．参考公式：线性回归方程=x+中，=，=﹣，其中，为样本平均值．【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出和，然后求出线性回归方程=0.5x﹣1.5；（2）通过x=5，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由=×x i=6，=×y i=1.5，===0.5，=﹣=1.5﹣0.5×6=﹣1.5，家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=0.5x﹣1.5；（2）当x=5时，=1，某家庭月收入为5千元，该家庭的月储蓄1千元．21．某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成A、B、C三组，如表所示：分组A B C用电量（0，80]（80，250]从调查结果中随机抽取了10个数据，制成了如图的茎叶图：（△）写出这10个数据的中位数和极差；（△）从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（△）用抽取的这10个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，求n的值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（△）由茎叶图得这10个数从小到大为46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，由此能求出这10个数据的中位数和这10个数据的极差．（△）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，从这10个数据中任意取出3个，来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，分另求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．（△）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，），由此能求出从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，能求出n．【解答】解：（△）由茎叶图得这10个数从小到大为：46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，位于中间的两个数是133和150，∴这10个数据的中位数是=141.5，这10个数据的极差为：256﹣46=210．（△）这10个数据中A组中有1个，B组中有8个，C组中有1个，∴从这10个数据中任意取出3个，其中来自B组的数据个数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的可能取值为：ξ123PEξ==．（△）设X为从全市依次随机抽取20户中用电量为B组的家庭数，则X～B（20，），P（X=k）=，k=0，1，2， (20)设t===，若t＞1，则k＜16.4，P（X=k﹣1）＜P（X=k）；若k＜1，则k＞16.4，P（X=k﹣1）＞P（X=k），∴当k=16或k=17时，P（X=k）可能最大，==＞1，∴从全市依次随机抽取20户，若抽到n户用电量为B组的可能性较大，则n=16．说明：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由代入消元法，可得直线l的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程；（2）求得直线l与y轴的交点，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义，即可得到所求值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t，由代入法可得直线l的普通方程为x﹣y+3=0；由ρ=2sinθ知，ρ2=2ρsinθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入上式，可得x2+y2=2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0；（2）直线l与y轴的交点为P（0，3），直线l的参数方程（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣2y=0，得：t2+2t+3=0，设A、B两点对应的参数为t1、t2，则t1t2=3，故|PA|•|PB|=|t1t2|=3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f （x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6}…（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…2016年9月7日。
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( ) 即 a 2x −1 = 2x −1对一切实数 x 都成立．
∴ a = 1，∴ a = b = 1 ．……5 分
f ( x) 是 R 上的减函数。……6 分
⑵ 不等式 f (t2 − 2t) + f (2t2 − k ) 0等价于 f (t2 − 2t) f (k − 2t2 ) ．
又 f ( x) 是 R 上的减函数，∴ t2 − 2t k − 2t2 ． ……8 分
内碳 14 含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已
知碳 14 的“半衰期”为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原来的一半)，
由此可知，所测生物体内碳 14 的含量应最接近于（ ）
A．25﹪
B．50﹪
C．70﹪
D．75﹪
11. 对 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 形 式 的 “ 分 裂 ” ：
地运往 C 地, 现在 AB 上的距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运 费为每公里 2 元,公路运费为每公里 4 元. （1）将总运费 y 表示为 x 的函数. （2）如何选点 M 才使总运费最小？
-5-
-6-
11B-SX-0000001 20. （本小题满分 12 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1, Sn = n2an (n N+ )
( ) ( ) ⑵ 若对任意的 t R ，不等式 f t2 − 2t + f 2t2 − k 0恒成立，求实数 k 的取
值范围．
18. （本小题满分 12 分）
为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了
50 人参加环保知识测试，统计数据如下表所示：
优秀
非优秀
总计
( ).
A. (−1, +)
B. (−1, 0)
C. (−2,0)
D. (−2, −1)
二. 填空题(本题有 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分) 13. 数学老师从 6 道习题中随机抽 3 道让同学检测，规定至少要解答正确 2 道题才
能及格。某同学只能求解其中的 4 道题，则他能及格的概率是______________ .
13
23 35，
7 33 9 ，
11
43 1157，....仿此，若 m3 的“分裂数”中有一个是 2017，则 19
m 的值为( ).
A. 44
B. 45
C. 46
D.47
-2-
11B-SX-0000001
12. 已知函数 f ( x) = alnx + x2 − (a + 2) x 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是
2. 已知复数 z = i2017 ，则复数 z 的虚部为(
).
1− 2i
A. − 2 5
B. 1 i 5
1
C.
5
D. − 1 5
3. 随机变量 X ～ N (1, 4) ，若 p ( x 2) = 0.2 ，则 p (0 x 1) 为( ).
A. 0.2ຫໍສະໝຸດ B. 0.3C. 0.4
D. 0.6
) Sn−1 Sn
=
( n2
n2 −1 Sn−1 n
2)
a1
= 1,S1
=
a1
= 1,
S2
=
4 3
, S3
=
3 2
=
6 4
,
S4
=
8 5
,
……3 分
猜想
Sn
=
2n n +1
与数学期望．
附: K 2 ＝
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d )
P(K 2 k ) 0．500 0．400 0．100 0．010 0．001
k
0．455 0．708 2．706 6．635 10．828
19. （本小题满分 12 分）
如图,某段铁路 AB 长为 80 公里， BC ⊥ AB ,且 BC = 10 公里，为将货物从 A
−
，−
1 3
.
⑴ ∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，
7 16. 2
∴ f (0) = b −1 = 0 ，∴ b = 1
a +1
……1 分
∴
f
(x)
=
1− 2x a + 2x
,
f
(−x)
=
2x −1 ,
a2x +1
f
(x)
=
−
f
(−x) ，
∴ a 2x +1 = a + 2x ，…… 3 分
y = 2(80 − x) + 4 100 + x2 (0 x 80) .……6 分
（2） y ' = −2 +
4x 100 +
x2
(0
x
80) ,……8
分
令
y
'
=
0
,解得
x
=
10 3
3
,或
x
=
−
10 3
3
（舍）……10
分
当 0 x 10 3 时, y ' 0 ；当 10 3 x 80 时, y ' 0；
59
71
由上表可得回归方程为 yˆ = 10.2x + aˆ ，据此模型，预测广告费为 8 万元时的
销售额约为( ).
A. 90.8
B. 72.4
C. 98.2
D. 111.2
6. 从1, 2,3, 4,5 中不放回地依次取 2 个数，事件 A 表示“第1次取到的是奇数”，事
件 B 表示“第 2 次取到的是奇数”，则 P(B | A) = ( ).
| PA | | PB |
23． （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲
设函数 f (x) =| x − a | ，不等式 f (x) 2 的解集是x |1 x 5 ．
（1）求实数 a 的值； （2）若 f (2x) + f (x + 2) m 对一切 x R 恒成立，求 m 的范围．
的值是
2 +
_______ .
三. 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤）
17. （本小题满分 12 分）
已知定义在
R
上的函数
f
(x)
=
b − 2x 2x + a
是奇函数．
⑴ 求 a ，b 的值，并判断函数 f ( x) 在定义域中的单调性（不用证明）；
学校：____________________ _______年_______班
姓名：____________________ 学号：________
- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -
11B-SX-0000001
3
3
- 12 -
11B-SX-0000001
故当 x = 10 3 时, y 取得最小值, 即当在距离点 B 为 10 3 公里时的点
3
3
M 处修筑公路至 C 时总运费最省.……12 分
20.
（1）
Sn
=
2n n +1
；（2）见解析.
（1）解：
an
=
Sn
−
( Sn−1 n
2)Sn
=
n2
(Sn
−
男生
40
20
60
女生
20
30
50
总计
60
50
110
-3-
-4-
11B-SX-0000001
（1）试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （2）为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同
学中选 3 人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概
率为 2 ，若随机变量 X 表示这 3 人中通过预选赛的人数，求 X 的分布列 3
-7-
-8-
11B-SX-0000001 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 cos 2 = 9 ，点 P(2 3, ) ．以极点 O 为 6
原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系． （1）求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 OP 与曲线 C 交于 A 、 B 两点，求 1 + 1 的值．
∴
k
3t 2
−
2t
=
3 t
−
1
2
3
−
1 3
对
t
R
恒成立，……10
分
∴
k
−
1 3
．即实数
k
的取值范围是
−
，−
1 3
……12 分
- 11 -
18.
（1）有 99 %的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，
（1） K 2 = 110(40 30 − 20 20)2 6050 6050