函数性态的研究(函数作图和曲率)

⌒
MM
s
s
所确定的点
M
处的切线正向与
x
轴
正
向的夹角为 ，称
―――弧
⌒
MM
的平均曲率
s
K lim ――曲线 L 在点M 处的曲率
s0 s
例 ？直线上各点处的曲率
直线上各点处的曲率都是零． y
L
例 13
半径为
R圆的上圆各上点各处点的处曲率的都曲相率等？，且MK
M
R1s．
y
DR
o
M
x
s
M
o
M
y
K
在曲线凹向一侧的法线上
取一点 D，使
| DM | 1 ，
K
以 D 为圆心， 为半径的圆 o
y f (x)
D
M
x
――曲线在点 M 处的曲率圆
曲率中心
曲率半径
曲率半径 : 1
K
例 15 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x2 ．现在 用砂轮磨削内表面，应用多大的砂轮比较合适．
分析： 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的
y a lim x2 1 , x x(1 x)
x
b
lim( x 1
x2
x)
1
y x2 1 x
y x 1为斜渐近线． x1
(5) 辅助点： A( 1,1 ) ；
22
B(2,
4 3
)
；C(
3, 2
9 2
)
；
2 1 o
y x1
x
D(3, 9 ) ． 2
设曲线 y f (x) 在点 M( x, y)处的曲率为 K （ K 0 ），
则曲线在点 M 处的 y 曲率半径 : 1
K
作曲线在点 M 处的法线并
在曲线凹向一侧的法线上
y f (x)
D
M
取一点 D，使
| DM | 1 ， o
x
K
半径为 R 的圆上各点的曲率 K 1
R
曲率半径 : 1
M M1
⌒ MN
⌒ MN1 ,
弧两端切线的夹角若相等，
弧大弯度小．
决定曲线弯曲程度的两个因素 (1) 曲线弧长 (2) 弧两端切线的夹角（转角）
曲线弧 M⌒N 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M
沿曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到 NT 所
转过的角， ――转角．
N
M
T T
1．曲率的定义
| (1
y | y2 )3/ 2
．
例 14
求椭圆
x 3cost y4sint
在
t
4
处的曲率．
d
y
| y |
K ds (1 y2 )3/ 2 (1 y2 )3/ 2
思考 抛物线 yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？
半径为 R 的圆上各点处的曲率 K 1
R
3 曲率圆与曲率半径 （仿圆）
(三) 函数作图 (自学)
例 12 作函数 f ( x) e x2 的图象． 解：step 1. 确定函数的定义域，
并讨论函数的奇偶性和周期性 定义域为(-，+)，
∵ f ( x) f (x) ， ∴ f ( x) ex2 是偶函数，图象关于 y 轴 对称．
Step 2. 讨论函数的单调性、极值点和极值
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x
曲率 K lim d
s0 s
ds
2 曲率的计算公式
设曲线limy s0 d
f(s1x)，y( dylisfm)(20xdd)x具，d有os(二ds阶) 导d数 ds，
而 (ds)2 (dx)2 (dy)2 (1 y2 )(dx)2 ，
ds 1 y2dx ，
∴
K
d
ds
y (1 y2 )3/ 2
x
step 5. 根据需要补充图像上的若干点（如与坐标轴的交点）
辅助点：( 2 ，0.61)，（1，0.37），（ 2 ，0.14）． 2
step 6. 绘图
y
1
yex2
2 1
o1
2x
四曲、线平的面弯曲曲线程的度曲率
N N
N1
1 M
⌒⌒ MN MN1
1 ,
弧长若相等，
角大弯度大．
N1
f ( x) 2xex2 ，令 f ( x) 0 ， 得驻点 x0 ， f (x) 2ex2 (2x2 1) ，令 f ( x) 0 ，得 x 2 ．
2
step 3. 讨论函数的凹凸性和拐点 列表讨论：
step 4. 图像的渐近线
∵ lim ex2 ＝0，∴ 直线 y0 为曲线的水平渐近线．
Def 1. 设曲线 L 光滑．
y
y f (x)
在 L 上取定一点 M ，
作为弧长计算的起点，
M
s
取定曲线的一个走向作为弧长
增加的方向．
⌒
o
M
sM
x
当弧长 S MM 确定之后，
点 M 的位置就随之确定（规定切线的正向与弧长增大
的方向一致），于是 是 s 的 函数． 对于任何s ，由弧
长
，
x2
．
y
(
2 x 1)3
无零点．
y
x22x ( x1)2
，
y
(
x
2 1)3
．
令
y0
，得
x0
，
x2 ．
y
(
x
2 1)3
无零点．
(3) 列表讨论如下：
x (, 2) -2 (2,1) -1 (1, 0)
0 (0, )
y +
0
-
-
0
+
y -
-
-
+
+
+
y
极大值
-4
间
极小值
断
0
(4) 渐近线： lim x2 x1为垂直渐近线， x1 x 1
那部分工件被磨去太多，砂轮的半径应 小于或等于抛物线上各点处曲率半径中的 最小值．
由思考题知，抛物线上顶点处的曲率最大，从而 曲率半径最小．
例 13 作函数 y x2 的图象． x1
解：(1) 函数的定义域为(-，-1)∪(-1，+)，
(2)
y
x22x ( x1)2
，
y
(
x
2 1)3
．
令
y0
，得
x0