几何定值问题-第6讲几何中的学生版

第六讲 几何中的定值问题

一、基础知识

定值问题一般包括两类：一类是定量问题(如定长、定角、定和、定差、定积、定比、平方和或倒数

和为定值等)；

一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等）；

求解此类问题主要是抓住数学问题中的动与静、变与不变、特殊与一般间的相互关系，从中寻找不变

的量来联立求解.

二、例题部分

第一部分 隐含的定值问题

例1. 如图，△ABC 是⊙0的内接正三角形，弦PQ 同时平分AB 、AC ，则PQ BC 等于 ( ) A ．

45

B ．62

C ．312+

D ．52

例2. 如图，OA 、OB 为任意两条半径，从B 作BE ⊥OA 于E ，过E 作EP ⊥AB 于P ，若⊙O 的半径为R ，则2OP +2EP

等于 ( )

A ．2R

B ．2R

C ．42R

D ．14

2R

例3. 如图，AB 是⊙0的直径，C 为圆上一点，过C 点作CD ⊥AB 于D ，且∠COB=θ，则

AD BD ·2tan 2

θ＝ ．

例4. 如图，⊙O 的半径为2，A 、B 两点在⊙O 上，切线AQ 与BQ 相交于Q ，P 是AB 的延长线上任意一点，

QS ⊥OP 于S ，则OP·OS= ．

例5. 如图，⊙0与⊙O '内切于点A ，以大⊙0上一点P 向小⊙O '引切线PT ，连结PA 与 小⊙O '交于点B ，

若⊙0与⊙O '的半径分别为R 和r ，则2

2PT PA

＝ ．

第二部分 变化量定值问题

例6. 如图，在△A BC 中，AB=AC ，若P 为BC 边上任意一点，则点P 到两边AB 、AC 距离之和为

( )

A ．随点 P 的变化而变化

B ．

12

(AB+AC) C ．定值 D ．12(AB+BC)

例7. △A BC 是边长固定的正三角形。D 为BC 边上的动点，1O 和2O 分别为△ABD 和△ACD 的外心，1O 1E ⊥

BC 于1E ，2O 2E ⊥BC 于2E .则1O 2E +2O 2E 的值为 ．

例8. (2000年，湖北省初赛试题)已知等边△AB C 内接于圆，在劣弧AB 上 取异于A 、B 的点M ，设直线AC

与BM 相交于点K ，直线CB 与AM 相交 于 点 N ．证明：线段AK 和BN 的积与M 点的选择无关．

例9. 如图36-11，A 、B 为两定点，0为一动点，在AB 所在平面上异于0点的一侧取A '点及B '点，使

∠OAA '=∠OBB '=90，且BB '=OB ，AA '=OA ．设A 'B '的中点的O '．

(1)试问当0点在线段AB 的一侧移动时，A 'B '的中点O '的位置将怎样变化?

(2)请证明你的猜想．

例10. (1997年，北京市竞赛试题)如图，大小两个同心圆，0是圆心，作小圆的三条切线，分别交于A 、

B 、

C 三点，记△ABC 的面积为S ，以A 、B 、C 为顶点的三个阴影部分面积分别为1S 、2S 、3S ．试证：

1S +2S +3S -S 为定值．

三、课后练习

1. (1997年，全国联赛试题)从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是 ．

2. (1999年，济南市中考试题)如图，AB 为⊙0的一固定直径，它把⊙0分成上、下两半圆，自上半圆上一

点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在半圆(不包括A 、B 两点)上移动时，点P

( )

A ．到CD 的距离保持不变

B ．位置不变

C ．等分DB

D ．随C 点的移动而移动

3. 如图，已知AB ，CD 是半径为5的⊙0中的互相垂直的弦，垂足为P ，E 为AB 的中

点，PD=AB ，若OE ＝3，则CP+CE= ．

4. 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足．求

证：不管ST 滑到什么位置．∠SPM 是一定角．

5. 设H 是等腰三角形ABC 的垂心，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积

ABC S

·HBC S 的值变小，变大，还是不变?证明你的结论．