人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
新人教版 八年级期末总复习 数学——分式
第一局部：概念类 考点1、分式的概念:分式：分母中含有字母的式子；整式：不含分母或分母中不含字母例题：〔1〕 在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+ 、 3a 2－12b 、23m m 中是分式的有〔2〕.以下各式中，是分式的有〔 〕2x ，〔x+3〕÷〔x-5〕，-a 2，0，234xy ，b 1，2-πm A.1个 B.2个 C.3个 D.4个易错题：式子aa 2和112+-x x 是式〔填“分〞或“整〞〕 分式有意义的条件例题：〔3〕当x 取何值时以下分式有意义？23x x -+, 211x x --, 23x x ++, 211x x -+(4).分式22yx y x +-有意义的条件是( ) A. x ≠0 B.y ≠0 C.x ≠0或y ≠0 D.x ≠0且y ≠0期末总复习〔一〕——分式(5)．假设A=x+2，B=x-3，当x______时，分式B A 无意义。
易错题：以下各分式一定有意义的是〔 〕A ．21x B ．11-x C ．112-x D ．112+x分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.例题：〔6〕以下等式成立的是〔 〕A ．22m n m n =B ．)0(≠++=a am a n m n C ．)0(≠--=a am a n m n D ．)0(≠=a ma na m n (7)如果正数x 、y 同时扩大10倍，那么以下分式中值保持不变的是( )A.11--y xB.11++y xC.32yx D.y x x + (8). 假设等式A x x x x 111222-=-+-成立，那么A=_______. (9). 以下化简结果正确的选项是( )A.222222z y z x y x -=+-B.))((22b a b a b a -+--=0 C.yx y x 263=3x 3D.12-+m m a a =a 3B =0 的条件________B >0 的条件________A B<0的条件________ 例题：(11) 当x 时，分式11x 2+-x 的值为零。
新人教版初中数学——分式方程-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——分式方程知识点归纳及典型题解析1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．考向一 解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．典例1 解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2， 解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 典例2 方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-， 解得1x =，检验：1x =时，20x -≠， 所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．1．解分式方程13211x x-=--，去分母得 A ．12(1)3x --=-B ．12(1)3x --=C ．1223x --=-D ．1223x -+=2．方程24222x x x x =-+--的解为 A ．2B ．2或4C ．4D ．无解考向二 分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解. （3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例3 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6B ．0C ．1D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3， 解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去）， 则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．典例4 若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠．3．若关于x 的方程21111a x x -=++有增根，则a 的值为 A ．－12B ．12C ．2D ．2-4．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a =A ．1B ．3C ．-1D ．-3考向三 分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例5 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．201015x x+=D ．201015x x-= 【答案】A【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+．故选A ．典例6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以300400260120)%(x x+=+，解得 2.5x =元． 故选B ．5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x=-+D ．10801080615x x=++6．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A 、B 两种玩具，其中A 类玩具的进价比B 玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同（1）求A 、B 的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A 、B 两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？1．下列关于x 的方程： ①153x -=，②121x x =-，③()111x x x -+=，④31x a b =-中，是分式方程的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个2．方程2131x x 的解为 A ．3x B ．4x C ．5xD ．5x3．解分式方程11222x x x-+=-- A ．2x =是方程的解 B ．3x =是方程的解 C ．4x =是方程的解 D ．无解 4．若关于x 的方程223ax a x =-的解为x =1，则a 等于 A ．0.5B ．-0.5C ．2D ．-25．若代数式12x -和321x +的值相等，则x 的值为 A ．x =-7B ．x =7C ．x =-5D ．x =36．若关于x 的方程3111k x x=---有增根，则k 的值为 A ．3 B ．1 C ．0D ．1-7．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m = A ．1- B ．3- C ．0D ．2-8．关于x 的方程2211x a ax x++=--的解不小于0，则a 的取值范围是 A ．2a ≤且1a ≠ B ．2a ≥且3a ≠ C ．2a ≤D ．2a ≥9．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x 千米/时，则可列出的方程为A ．906022x x =+-B ．906022x x =-+ C ．90602x x += D ．60902x x+=10．若分式方程22111x m x x x x x++-=++有增根，则m 的值是A ．-1或1B ．-1或2C ．1或2D ．1或-211．已知关于x 的分式方程212x ax +=--的解为非负数，则a 的取值范围是 A ．a ≤2B ．a <2C ．a ≤2且a ≠-4D ．a <2且a ≠-412．一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙队单独做需多少天完成？若设乙单独做需x 天完成，则可得方程A ．1112012x += B ．2012x x +=1 C ．111220+=xD ．1112012x +=13．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程得A ．1501503012x x -=． B ．1501503012x x +=． C ．1501150212x x-=．D ．1501150212x x+=． 14．整数a 满足下列两个条件，使不等式-2≤352x +<12a +1恰好只有3个整数解，使得分式方程13522ax x x x-----=1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为 A ．2B ．3C ．5D ．615．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“……”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-．根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为 A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成16．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是 A ．20元B ．18元C ．15元D ．10元17．分式方程xx 412=+的解为_______________． 18．若关于x 的分式方程33x ax x+--=2a 无解，则a 的值为__________． 19．关于x 的方程123(2)(3)x x x ax x x x ++-=-+-+的解为非正数，则a 的取值范围为__________． 20．分式72x -与2x x-的和为4，则x 的值为_______________． 21．已知x =3是方程211kx k x x---=2的解，那么k 的值为__________． 22．某物流仓储公司用A ，B 两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20 kg ，A 型机器人搬运1000 kg 所用时间与B 型机器人搬运800 kg 所用时间相等，设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，列出关于x 的方程为_______________．23．解下列方程：（1）1233x x x=+--； （2）2316111x x x +=+--；（3 （4）241111x x x +=---．24．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用1500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用2700元购进第二批，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，求第二批玩具每套的进价是多少元？25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？26．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件．（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．A ．x =1B ．x =-1C ．x =2D ．x =-2A ．x =-1B ．x =1C ．x =2D ．x =-23．解分式方程21x x -+212x-=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +2=3B ．x -2=3C ．x -2=3（2x -1）D ．x +2=3（2x -1）A ．m ≤3B ．m <3C ．m >-3D ．m ≥-35．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．120150= D ．120150=7．方程1x -+21x -=1的解是__________．8．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相同，则江水的流速为__________km /h ．9．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A -B -C 横穿双向行驶车道，其中AB =BC =6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：__________．10．解分式方程：21x-=251x-．12．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？13．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．14．列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．15．为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.16．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．1．【答案】A【解析】方程两边同乘以1x -得到12(1)3x --=-， 故选A ． 2．【答案】C【解析】去分母得：2x =（x -2）2+4，分解因式得：（x -2）[2-（x -2）]=0， 解得：x =2或x =4，经检验x =2是增根，分式方程的解为x =4， 故选C ． 3．【答案】B【解析】方程21111a x x -=++两边同时乘以(1)x +，可得211a x -=+， 因为方程21111a x x -=++有增根，所以最简公分母10x +=，即增根是1x =-， 把1x =-代入整式方程，可得12a =．故选B ． 4．【答案】D【解析】把x =1代入原方程得：23314a a +=-， 去分母得，8a +12=3a -3， 解得a =-3， 故选D ． 5．【答案】C【解析】设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书(15)x +本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得10801080615x x=-+， 故选C ．6．【解析】（1）设B 类玩具的进价为x 元，则A 类玩具的进价是(3)x +元，由题意得：9007503x x=+， 解得：15x =，经检验：15x =是原方程的解． 所以15+3=18（元）．答：A 类玩具的进价是18元，B 类玩具的进价是15元．（2）设购进A 类玩具a 个，则购进B 类玩具(100)a -个，由题意得：1210(100)1080a a +-≥，解得：40a ≥，答：该淘宝专卖店至少购进A 类玩具40个．1．【答案】C【解析】关于x 的方程①153x -=，该方程分母中不含未知数，不是分式方程． 关于x 的方程②121x x =-，该方程分母中含有未知数，是分式方程． 关于x 的方程③()111x x x -+=，该方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x 的方程④31x a b =-中，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．综上，是分式方程的有②、③，共2个． 故选C ． 2．【答案】C【解析】方程两边同乘()(31)x x +-，可得()213x x -=+，即223x x -=+，即5x =， 检验：当5x =时，1)03()(x x -≠+，所以5x =是原方程的根， 故选C ． 3．【答案】D【解析】方程两边分别乘以x -2得：1-x +2（x -2）=-1， 去括号整理得：x =2， 经检验x =2是方程的增根， 故原方程无解． 故选D ． 4．【答案】B【解析】把x =1代入方程223ax a x =-得：2213a a =-， 解得：a =-0.5，经检验a =-0.5是原方程的解， 故选B ． 5．【答案】B【解析】根据题意得：13221x x =-+， 去分母得：3x -6=2x +1， 解得：x =7，经检验x =7是分式方程的解． 故选B ． 6．【答案】A【解析】将方程的两边同时乘以(1)x -，可得31x k =-+，解得4x k =-，根据方程有增根可得1x =，即41k -=，所以3k =．故选A ． 7．【答案】B【解析】去分母，可得32(1)x m x =++，解得2x m =+， 因为分式方程3211x mx x =+++无解，所以12130x m m +=++=+=，解得3m =-， 故选B ． 8．【答案】A 【解析】2211x a ax x++=-- 方程两边同时乘以（x -1）得：x +a -2a =2（x -1）， 解得：x =2-a ，∵方程的解不小于0，∴2-a ≥0，解得：a ≤2， ∵分式方程分母不为0，∴2-a ≠1，解得：a ≠1， 即a 的取值范围是：a ≤2且a ≠1， 故选A ． 9．【答案】A【解析】因为船在静水中的速度为x 千米/时，所以由题意可得906022x x =+-， 故选A ． 10．【答案】D【解析】方程两边都乘x （x +1），得2x 2-（m +1）=（x +1）2， ∵最简公分母x （x +1）=0， ∴x =0或x =-1． 当x =0时，m =-2；当x =-1时，m =1．故选D ． 11．【答案】C 【解析】212x ax +=--， 去分母可得：22x a x +=-+， 移项可得：22x x a +=- ， 合并同类项可得：32x a =-， 系数化为1可得：23ax -=， 根据分式方程的解为非负数和分式有解可得：203a -≥，且223a-≠，解得：a ≤2且a ≠-4， 故选C ． 12．【答案】D【解析】设乙单独做需x 天完成， 由题意得：1112012x +=，故选D ． 13．【答案】C【解析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时， 根据题意可得：1501150212x x-=．． 故选C ． 14．【答案】C【解析】由不等式组-2≤352x +<12a +1，可知-3≤x <33a -， ∵x 有且只有3个整数解，∴-1<33a -≤0，∴0<a ≤3， 由分式方程可知：x =-64a -，将x =-64a -代入x -2≠0，∴a ≠1，∵关于x 的分式方程有整数解，∴6能被a -4整除， ∵a 是整数，∴a =2、3、5、6、7、10、-2； ∵0<a ≤3，∴a =2或3，∴所有满足条件的整数a 之和为5， 故选C ．【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道(10)x -米，即实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成， 故选C ． 16．【答案】A【解析】设文学类图书平均价格为x 元/本，则科普类图书平均价格为1.2x 元/本， 依题意得：12000120001001.2x x-=， 解得：x =20，经检验，x =20是原方程的解，且符合题意． 故选A ． 17．【答案】2x =【解析】方程x x 412=+两边都乘以x ，可得24x +=，解得2x =，检验：当2x =时，0x ≠，即2x =是原方程的解，故答案为：2x =． 18．【答案】1或12【解析】去分母得：x -a =2a （x -3）， 整理得：（1-2a ）x =-5a ， 当1-2a =0时，方程无解，故a =12； 当1-2a ≠0时，x =521aa -=3时，分式方程无解，则a =3， 则a 的值为：1或12；故答案为：1或12．19．【答案】a ≤3且a ≠-12【解析】去分母，得：（x +1）（x +3）-x （x -2）=x +a ，解得x =35a -， 由题意知35a -≤0且35a -≠-3， 解得：a ≤3且a ≠-12， 故答案为：a ≤3且a ≠-12．【解析】首先根据分式72x -与2xx-的和为4，可得7422x x x +=--，去分母，可得748x x -=-，解得3x =，经检验3x =是原方程的解，故x 的值为3．故答案为：3．21．【答案】2【解析】当x =3时，有321223k k --=， 去分母得：9k -4k +2=12，5k =10， 解得：k =2，故答案为：2． 22．【答案】100080020x x=+ 【解析】设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x +20）kg 物品，根据题意可得100080020x x =+，故答案为：100080020x x=+．23．【解析】（1）去分母，可得126x x =--，解得7x =，经检验7x =是分式方程的解， 所以方程1233x x x=+--的解为7x =． （2）去分母，可得3316x x -++=，解得2x =， 经检验2x =是分式方程的解，所以方程2316+=的解为2x =．（3 即5（4）2111x x =---，去分母得2241(1)x x =-++，化简得321x =+，解得1x =， 经检验1x =为方程的增根， 所以方程无解．24．【解析】设第一批玩具每套的进价是x 元，则1500x×1.5=270010x +，解得：x =50．经检验：x =50是原方程的解，则第二批玩具每套的进价是x +10=60（元）． 答：第二批玩具每套的进价为60元．25．【解析】（1）设乙种款型T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进1.5x 件，根据题意：78006400301.5x x+=， 解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，1.560x =．答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件． （2）6400160x=，16030130-=（元）， 13060%6016060%(402)160[1(160%)0.5](402)⨯⨯+⨯⨯÷-⨯-+⨯⨯÷468019206405960=+-=（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元．26．【解析】（1）设甲种商品的进价为x 元/件，则乙种商品的进价为0.9x 元/件，36003600100.9x x+=， 解得，x =40，经检验，x =40是原分式方程的解， ∴0.9x =36，答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件．（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进（80-m ）件，总利润为w 元， w =（80-40）m +（70-36）（80-m ）=6m +2720， ∵80-m ≥3m ， ∴m ≤20，∴当m =20时，w 取得最大值，此时w =2840， 答：该商店获得的最大利润是2840元．经检验x=-1是原方程的根；故选B．2．【答案】A【解析】方程两边同时乘以x（x-1）得，x（x-5）+2（x-1）=x（x-1），解得x=-1，把x=-1代入原方程的分母均不为0，故x=-1是原方程的解．故选A．3．【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．7．【答案】x=-2【解析】2121 1(1)(1)xx x x--=-+-，去分母，得（2x-1）（x+1）-2=（x+1）（x-1），去括号，得2x2+x-3=x2-1，移项并整理，得x2+x-2=0，所以（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1，经检验，x=-2是原方程的解．故答案为：x=-2．8．【答案】10【解析】设江水的流速为x km/h，根据题意可得：12030x+=6030x-，解得：x=10，10．【解析】两边都乘以（x+1）（x-1），得：2（x+1）=5，解得：x=32，检验：当x=32时，（x+1）（x-1）=54≠0，∴原分式方程的解为x=32．11．【答案】x=2【解析】方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母得x（x+1）-（x2-1）=3，即x2+x-x2+1=3，解得x=2．检验：当x=2时，（x+1）（x-1）=（2+1）（2-1）=3≠0，∴x=2是原方程的解，故原分式方程的解是x=2．12．【解析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：96x+720.6x=27，解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．14．【解析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均15．【解析】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x km/h．根据题意得24027011.5x x-=，解得x=60，经检验，x=60是原分式方程的解，1.5x=90．答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60 km/h和90 km/h．16．【解析】设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：1200x-4=30003x，解得：x=50，经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题[1]
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2014秋分式的知识点及典型例题练习1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？5a -； 234x +；3y y； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+.2、分式有无意义，总有意义：（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25xx - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.33、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A 0=xB 1=xC 0=x 或1=xD 0=x 或1±=x例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若01=+aa,则a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及根本性质;2.与分式运算有关的运算法那么3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法那么【主要公式】1.同分母加减法那么:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法那么:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法那么:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2〔一〕、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】以下代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，以下分式有意义〔1〕44+-x x 〔2〕232+x x 〔3〕122-x 〔4〕3||6--x x〔5〕xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，以下分式的值为0.〔1〕31+-x x〔2〕42||2--x x 〔3〕653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】〔1〕当x 为何值时，分式x-84为正； 〔2〕当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；〔3〕当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 练习：1．当x 取何值时，以下分式有意义：〔1〕3||61-x〔2〕1)1(32++-x x 〔3〕x111+2．当x 为何值时，以下分式的值为零：〔1〕4|1|5+--x x〔2〕562522+--x x x3．解以下不等式 〔1〕012||≤+-x x 〔2〕03252>+++x x x〔二〕分式的根本性质及有关题型1．分式的根本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法那么：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.〔1〕y x yx 41313221+- 〔2〕ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把以下分式的分子、分母的首项的符号变为正号.〔1〕y x yx --+- 〔2〕b a a --- 〔3〕b a ---题型三：化简求值题【例3】：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】：21=-x x ，求221xx +的值. 【例5】假设0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把以下分式的分子、分母的系数化为整数.〔1〕yx yx 5.008.02.003.0+-〔2〕b a ba 10141534.0-+ 2．：31=+x x ，求1242++x x x 的值. 3．：311=-ba ，求a ab b b ab a ---+232的值.4．假设0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.〔三〕分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将以下各式分别通分. 〔1〕cb ac a b ab c 225,3,2--； 〔2〕a b b b a a 22,--； 〔3〕22,21,1222--+--x x x x xx x ； 〔4〕aa -+21,2 题型二：约分【例2】约分： 〔1〕322016xy y x -；〔3〕n m m n --22；〔3〕6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：〔1〕42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；〔2〕22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； 〔3〕mn mn m n m n n m ---+-+22；〔4〕112---a a a ；〔5〕874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； 〔6〕)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； 〔7〕)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值〔1〕：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；〔2〕：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值； 〔3〕：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值. 题型五：求待定字母的值【例5】假设111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算〔1〕)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；〔2〕a b abb b a a ----222； 〔3〕ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；〔4〕b a b b a ++-22；〔5〕)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； 〔6〕2121111x x x ++++-； 〔7〕)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值〔1〕1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .〔2〕3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值. 3．：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.〔四〕整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：〔1〕3132)()(---⋅bc a〔2〕2322123)5()3(z xy z y x ---⋅ 〔3〕24253])()()()([b a b a b a b a +--+--〔4〕6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】51=+-x x ，求〔1〕22-+x x 的值；〔2〕求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：〔1〕223)102.8()103(--⨯⨯⨯；〔2〕3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：〔1〕20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- 〔2〕322231)()3(-----⋅n m n m〔3〕23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab〔4〕21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．0152=+-x x ，求〔1〕1-+x x ，〔2〕22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.〔一〕分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解以下分式方程 〔1〕x x 311=-；〔2〕0132=--x x ；〔3〕114112=---+x x x ；〔4〕x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解以下方程 〔1〕4441=+++x x x x ； 〔2〕569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：〔1〕换元法，设y x x =+1；〔2〕裂项法，61167++=++x x x . 【例3】解以下方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】假设关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】假设分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：〔1〕d c b a ,,,是数；〔2〕0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解以下方程： 〔1〕021211=-++-xxx x ； 〔2〕3423-=--x x x ； 〔3〕22322=--+x x x ； 〔4〕171372222--+=--+x x xx xx〔5〕2123524245--+=--x x x x〔6〕41215111+++=+++x x x x 〔7〕6811792--+-+=--+-x x x x x x x x 2．解关于x 的方程： 〔1〕bx a 211+=)2(a b ≠；〔2〕)(11b a x b b x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. 〔二〕分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比拟法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、别离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x〔三〕分式方程求待定字母值的方法例1．假设分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果 B 的值为零，那么分式就没有意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1)／（x 2) 都是分式，而 1/2 （分母 2 为常数，不含字母）就不是分式。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
即对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，x 1 ≠ 0 ，解得x ≠ 1 。
三、分式的值为零的条件分式的值为零需要同时满足两个条件：分子为零，分母不为零。
即当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为零。
例如：若分式(x 2)／（x ＋ 2)的值为零，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0 ，解得 x ＝ 2 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝（A×C)／（B×C) ，A/B ＝（A÷C)／（B÷C)（C 为不等于零的整式）例如：化简分式 2a/（3b) ，可以将分子分母同时乘以 2 ，得到 4a/（6b) ；或者将分子分母同时除以 a ，得到 2/（3b/a) 。
五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
确定公因式的方法：1、如果分子分母都是单项式，先找出系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂。
2、如果分子分母是多项式，先因式分解，再找公因式。
例如：约分（2x ＋ 2)／（x²＋ 2x ＋ 1) ，先将分子因式分解为 2(x ＋ 1) ，分母因式分解为（x ＋ 1)²，然后约去公因式 x ＋ 1 ，得到 2/（x ＋ 1) 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和典型题型
.
12 xy
（ 1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型二：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
（ 2）
a
ab
（3） a b
题型三：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值 .
b
:
c
bc a
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
|x| 2 （ 2） x2 4
x2 2x 3 （ 3） x2 5x 6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
“实际问题 ———
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
题型二：考查分式有意义的条件
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
（一）、分式定义及有关题型
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
分式典型知识点与例题总结
人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一：分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二：分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示 知识点四：分式中的符号法则用式子表示 知识点五： 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时， 知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示 除法法则： 用式子表示 知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式： 套 平方差公式： 2 . 公 完全平方和：式 完全平方差：知识点九：分式的加减法法则 加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值 【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
分式的知识点及典型例题分析
分式的知识点及典型例题分析分式的知识点及典型例题分析1a 1中分式的个数为(m⑵下列式子, 哪些是分式?7x ； 8 二' x xy x -2y1b 4 5例5： x， y 满足关系时，分式-—-无意义;x + yx +2A. x = 2B. x = -2C. x > -2D. x 2例&要是分式一口一没有意义，则x 的值为A. 2B.-1 或-3C. -1D.33、分式的值为零：1分式的定义:例：下列式子中,卫、8a 2b 、-^、士x y 23 2x - y3a 2 —b 24、2-2a1 5xy 1 1、、—m 6x22x 21 2(A ) 2练习题：(1) ⑴^7; x +5(B ) 3 (C )下列式子中，是分式的有⑵―丄；⑶担；⑷2S2 3 a4(D)2 2…x - 2b ；⑸ 2 -一bxy 2x 2y 2.2、分式有、无意义： (1) 使分式有意义：令分母工 (2) 使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解; 时，分式一有意义；x —5 0按解方程的方法去求解; 例2:分式红口中，当x= 时，分式没有意义;2 _x 例3:当例4:当时，分式J 有意义；x -1—时，分式￥有意义;—X 2+13xy 3、 --- 兀 x + y例6:无论x 取什么数时，总是有意义的分式是(_x 3xC.32x 1x 31B. C. D.x -52x例7 :使分式一'有意义的x 的取值范围为(使分式值为零：令分子=0且分母工0,注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。
例1:当x 时，分式2 2a的值为0；a 1例2:当x 时，分式X 1的值为0x 1例6:若—+1=0,则a 是(a分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0的整式，分式的值不变。
2xy =_ a aby6x( y z) 3(y z)25（3a°二5成立,则a 的取值范围是7（3a 1） 7 例2： ab 2 _a 3b 3 一 (b cb —c ( )例3：如果把分式扩大10倍中的a 和b 都扩大 a bB 、缩小10倍C 、10倍，那么分式的值（是原来的20倍 D 、不变例4：如果把分式卫三中的x ，y 都扩大10倍，贝扮式的值（x y A ?扩大100倍 x 3y例5:若把分式的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（2xA.扩大12倍 B ?缩小12倍 C. 例6:若x 、y 的值均扩大为原来的3xA 、B2y 3x 2y 2例3:如果分式a_2a—的值为为零，则a 的值为（）A. _2B.2C. -2D.以上全不对例4：能使分式 2污的值为零的所有x的值是（）=0 B x=1 C x=0 或 x =1 D x = 0或 x = 1 例5：要使分式 /—的值为0,则x 的值为（）x 「5x 6A.3 或-3B.3C.-3A.正数B. 负数C.4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：零 D.任意有理数不变2 倍,D.缩小6倍则下列分式的值保持不变的是（3x32y2A> -a B 、 a -b a b 2_. 4x x a 2 b 2b1 2m m m例5:下列式子正确的是（A.a a 0.1a —0.3b a —3ba 「b0.2a b 2a b例6:化简 2 m _3m 的结果是 9 一 mm m 3例7:约分：込? 6xy 2A 、m 3Dm -3 ；3_x ； 2x-9例&不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数, 例9:不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数,5、分式的约分及最简分式：① 约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式② 分式约分的依据：分式的基本性质.③ 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式. ④ 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
人教版八年级数学分式知识点及典型例题
分式的知识点及经典题型1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（ ） （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 (D) 8 2、分式有，无意义，总有意义：注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x 有意义； 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 3、分式的值为零：例1：当x 时，分式112+-x x 的值为0 例2：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对例3：能使分式122--x x x 的值为零的所有x 的值是 （ ） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x例4：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例5：若01=+aa ,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
例1:c b c b --=+- C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C例2：如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例3：如果把分式yx y x +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例4：若把分式x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（ ）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍 例5： 不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ； 5、分式的约分及最简分式：例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个例2：约分： =--2)(y x y x =-+22y x ay ax ；=++-1681622x x x ；=+-6292x x 23314___________21a bc a bc -= 232()3y x = （3222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b = 例3：分式3a 2a 2++，22b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、分式的乘，除，乘方： 乘法法测：b a ·d c =bd ac . 除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bcad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b a )n .分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(ba )n =n nb a (n 为正整数) 7、分式的化简、求值12.，其中2m =-．3．然后从22x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．45x=26范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．7.化简，再求值：x 满足2320x x -+=．8、已经两未知量的关系求代数式的值1.已知：43=y x ，求xyx y xy y xy x y x -+÷+--2222222的值。
人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。
例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。
考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。
-8/b。
11/b。
则第n 个分式为(3n-1)/b。
人教版初中数学专题复习--分式知识点和典型例习题(K12教育文档)
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第十六章分式知識點和典型例習題【知識網路】【思想方法】1．轉化思想轉化是一種重要の數學思想方法，應用非常廣泛，運用轉化思想能把複雜の問題轉化為簡單問題，把生疏の問題轉化為熟悉問題，本章很多地方都體現了轉化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加減運算の基本思想：異分母の分式加減法、同分母の分式加減法；解分式方程の基本思想：把分式方程轉化為整式方程，從而得到分式方程の解等．2．建模思想本章常用の數學方法有:分解因式、通分、約分、去分母等,在運用數學知識解決實際問題時，首先要構建一個簡單の數學模型,通過數學模型去解決實際問題，經歷“實際問題———分式方程模型-—-求解———解釋解の合理性”の數學化過程，體會分式方程の模型思想，對培養通過數學建模思想解決實際問題具有重要意義．3．類比法本章突出了類比の方法，從分數の基本性質、約分、通分及分數の運算法則類比引出了分式の基本性質、約分、通分及分式の運算法則，從分數の一些運算技巧類比引出了分式の一些運算技巧，無一不體現了類比思想の重要性，分式方程解法及應用也可以類比一元一次方程．第一講分式の運算【知識要點】1。
分式の概念以及基本性質；2。
人教版八年级数学第十六章分式知识点总结
第十六章 分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有未知数，那么式子BA 叫做分式。
二、在分式中，如果________,则分式AB 有意义；如果________,则分式A B无意义；如果________且_________不为零时，则分式A B的值为零；如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <； 例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3. 当x________时，分式2134x x +-的值为正数，当x________时，分式2134x x +-的值为负数 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
当x_________时，分式2361x x -+的值为负数。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________.分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变.四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。
约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。
最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。
（注意约分一定要彻底）五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
八年级数学 第16章《分式》知识要点复习及典型练习 新人教版
第16章《分式》知识要点复习一、本章主要内容本章主要内容是分式的概念；分式的基本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用． ★（一）概念1、分式的概念：BA （注明：A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母） 说明：分式比分数更具有一般性，如分式B A 可以表示为两个整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数。
2、分式的表示：B A （注明： B ≠0才有意义） 3、分式的值：⑴0=B A 时，A=0且B ≠0；⑵1=BA 时，A=B 且B ≠0。
4、最简分式： ★（二）分式的基本性质（类似分数的性质，运用类比数学思想）1．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，•正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下几点：（1）基本性质中的字母表示整数，（,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，M ≠0） （2）要特别强调M ≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M•就有等于零的可能性，因此，应用基本性质时，重点要考查M 的值是否为零．2.运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（三）分式运算（最后的结果要是最简分式，转化数学思想）1、分式的乘除法 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
（1）约分，约分的目的是化简，关键是找分子和分母的最高公因式，•即系数的最大公约数、相同因式的最低次幂．（2）如何找分子和分母的最高公因式n n n ba b a =)(bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;（3）分式的乘除法本质就是：①因式分解，②约分。
(人教版)八年级上册第十五章分式知识点总结及练习【精美版】
第十五章 分式一、知识概念： 1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bccc±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cbbdbd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a cac b dbd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad bdb cbc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷mnm na a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1nn a a-=（0a ≠，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式常考例题精选1.若分式2a+1有意义，则a 的取值范围是 ( ) A.a=0 B.a=1 C.a ≠-1D.a ≠02.把分式方程2x+4=1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( ) A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)3.分式方程12x −9-2x−3=1x+3的解为 ( ) A.3B.-3C.无解D.3或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg ，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg ，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg ，根据题意，可得方程 ( )A.8 600x= 9 800x+60B.8 600x= 9 800x−60C.8 600x−60=9 800xD.8 600x+60=9 800x5.若分式 2x−1 有意义，则x 的取值范围是 .6.若代数式 2x−1 -1的值为零，则x= ________.7.若关于x 的分式方程xx−1=3a2x−2-2有非负数解，则a 的取值范围是 .8.化简：(a −1a)÷a 2−2a+1a.9.先化简，再求值：(1m −1n )÷m 2−2mn+n 2mn，其中m=-3，n=5.10.某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变). (1)从运输开始，每天运输的货物吨数n(单位：t)与运输时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2)因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11.先化简，再求值：(x+2x−x−1x−2)÷x−4x −4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的负整数解.12.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题： 请求出篮球和排球的单价各是多少元?1．分式1x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x>1 B ．x ≠1 C ．x<1 D ．一切实数2．下列各分式与ba 相等的是( ) A .b 2a 2 B .b ＋2a ＋2 C .aba 2 D .a ＋b 2a3．下列分式的运算正确的是( ) A .1a ＋2b ＝3a ＋bB ．(a ＋b c )2＝a 2＋b 2c 2C .a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋bD .3－a a 2－6a ＋9＝13－a4．化简(a ＋3a －4a －3)(1－1a －2)的结果等于( ) A ．a －2c B ．a ＋2 C .a －2a －3 D .a －3a －25．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－36．已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x ＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( )A ．m>2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m>2且m ≠37．小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )A .24x ＋2－20x ＝1B .20x －24x ＋2＝1C .24x －20x ＋2＝1D .20x ＋2－24x ＝18．当x ＝1时，分式x －b x ＋a 无意义；当x ＝2时，分式2x －b3x ＋a 的值为0，则a ＋b＝ ．9．方程5x ＝7x －2的解是x ＝ ．10．若(x －y －2)2＋|xy ＋3|＝0，则(3x x －y －2x x －y )÷1y的值是 ．11.关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝ ．12．计算或化简：(1)38－2－1＋|2－1|；(2)2xx2－4－1x－2；(3)3－a2a－4÷(a＋2－5a－2)．13．解分式方程：(1)1x－x－2x＝1; (2)12x－1＝12－34x－2.14．先化简(1＋1x－2) ÷x－1x2－4x＋4，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值；15．小明去离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？第1节探究电流与电压、电阻的关系实验(建议时间：20分钟)1. (2019铜仁)小李为了探究“电流与电压的关系”，请你与他合作并完成以下实验步骤．(1)请你在虚线框中设计出相应的电路图．第1题图(2)小李在探究电流与电压的关系时，要控制________不变．通过实验探究，得到以下数据，在进行数据分析时，小李发现表格中有一组错误的数据，请你找出第________组数据是错误的．序号 1 2 3 4 5电压U/V 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4电流I/A 0.16 0.24 0.32 0.44 0.48(3)为了分析电流与电压的定量关系，请你利用正确的数据，在坐标中绘制出电流与电压关系的图像．2. (2019巴中)同学们想探究“导体中电流跟导体两端电压的关系”：(1)小明同学通过学习知道了________是形成电流的原因，因此做出了如下三种猜想：A. 电流跟电压成反比B. 电流跟电压成正比C. 电流跟电压无关(2)为了验证猜想，小明设计了如图甲所示的电路图，其中电源为三节新干电池，电阻R为10 Ω，滑动变阻器R标有“50 Ω 1 A”字样，电压表电流表均完好．第2题图实验次数 1 2 3电压U/V 2 2.6 3电流I/A 0.20 0.26 0.30第2题图丙①根据甲电路图将乙图实物电路连接完整；②闭合开关前，小明应将滑动变阻器滑片移到________阻值处(选填“最大”或“最小”)；③他检查电路时发现电压表、电流表位置互换了，若闭合开关电流表________(选填“会”或“不会”)被烧坏；④排除故障后小明进行了实验，得到表格中的实验数据．分析数据，可得出的正确结论是：电阻一定时，________________________________．(3)小明还想用这个电路测量小灯泡的额定功率，于是他将电阻R换成一只额定电压是4 V 的小灯泡(阻值约为13 Ω)，电阻一定时，并将电压表量程更换为15 V，闭合开关S后，调节滑片至电压表示数为4.0 V时，电流表示数如图丙所示为______A，小灯泡的额定功率为________W.3. (2019临沂)在“探究电流与电阻关系”的实验中，小明依次选用阻值为5 Ω、10 Ω、20 Ω的定值电阻进行实验．第3题图(1)图甲是实验的实物连线图，其中有一条导线连接错误，请在该导线上打“×”并画出正确连线．(2)改正错误后闭合开关，电流表有示数而电压表无示数，电路故障可能是________．(3)排除故障后闭合开关，移动滑动变阻器的滑片至某一位置，电流表的示数如图乙所示，此时电路中的电流为________A.(4)断开开关，将5 Ω的定值电阻换成10 Ω的并闭合开关，此时应将滑动变阻器的滑片向______(选填“左”或“右”)端移动，这一过程中眼睛要一直观察________表示数的变化．(5)下表是实验中记录的数据，分析数据可知：①10 Ω定值电阻的功率为________W.②当导体两端的电压一定时，通过导体的电流与导体的电阻成________比．参考答案第十五章欧姆定律第1节探究电流与电压、电阻的关系实验1. (1)如答图甲所示第1题答图甲(2)电阻 4 (3)如答图乙所示第1题答图乙2. (1)电压(2)①如答图所示②最大③不会④导体中的电流与它两端的电压成正比(3)0.3 1.2第2题答图3. (1)如答图所示(2)R短路 (3)0.4 (4)右电压(5)①0.4 ②反第3题答图第十五章电流和电路摩擦起电：摩擦过的物体具有吸引轻小物体的现象——带电体==本质：电荷的转移正电荷：被丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷种类电荷负电荷：被毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷性质：同种电荷互相排斥，异种电荷互相排斥检验：验电器——原理：同种电荷互相排斥电量：q 单位：库伦简称：库符号：CC元电荷：最小电荷：e=1.6×1019组成：电源、开关、导线、用电器电源：提供电能开关：控制电路通断作用用电器：消耗电能导线：传输电能的路径导体：金属、人体、食盐水两种材料绝缘体：橡胶、玻璃、塑料电流产生条件①电路闭合②保持通路定义：正电荷移动的方向电路电流的方向在电源中电源的正极→用电器→电源的负极1617单位：A −→−310mA −→−310A μ 工具：电流表 ○A测量 使用方法 ①电流表必须和被测的用电器串联 电流的大小（I ） ②看清量程、分度值，不准超过电流表的量程 ③必须正入负出④任何情况下都不能直接连到电源的两极 电路的连接：先串后并，就近连线，弄清首尾 通路：接通的电路 三种状态 断路：断开的电路短路：电流不经过用电器直接回到电源的负极 两种类型：一、电荷1、物体有了吸引轻小物体的性质，我们就说物体带了电荷；换句话说，带电体具有吸引轻小物体的性质。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。
在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。
一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。
分式也可以是正数、负数或者零。
分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。
2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。
3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。
二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。
解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。
2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。
解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。
三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。
具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。
例如：将12/18简化为最简分式。
解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。
四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。
人教版八年级数学上册第十五章分式全章知识点总结及经典例题复习
分式全章知识点总结及经典例题复习知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ）②分式无意义：分母为0（0B）③分式值为0：分子为0且分母不为0（0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（00B A 或00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（0BA 或00BA ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）经典例题1、代数式14x是（）A.单项式B.多项式C.分式D.整式2、在2x，1()3x y ，3，5ax，24x y中，分式的个数为（）A.1B.2C.3D.43、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克元，总价9元的甲种糖果的质量为千克.4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（）A.1a aB.21a aC.211a aD.211a a5、当1x 时，分式①11x x ，②122x x，③211x x，④311x中，有意义的是（）A.①③④ B.③④ C.②④D.④6、当1a 时，分式211a a（）A.等于0B.等于 1C.等于－1D.无意义7、使分式8483x x 的值为0，则x 等于（）A.38B.12 C.83D.128、若分式2212x xx 的值为0，则x 的值是（）A.1或－1 B.1 C.－1D.－29、当x 时，分式11x x 的值为正数. 10、当x 时，分式11x x 的值为负数.11、当x时，分式132x x的值为 1.12、分式1111x有意义的条件是（）A.0xB.1x且0x C.2x 且0x D.1x 且2x 13、如果分式33x x的值为1，则x 的值为（）A.0xB.3xC.0x 且3x D.3x 14、下列命题中，正确的有（）①A 、B 为两个整式，则式子A B 叫分式；②m 为任何实数时，分式13m m有意义；③分式2116x有意义的条件是4x；④整式和分式统称为有理数. w ww.x kb1. comA.1个B.2个 C.3个D.4个15、在分式222x ax xx中a 为常数，当x 为何值时，该分式有意义？当x 为何值时，该分式的值为0？知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想,如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题-—-分式方程模型-——求解-——解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1。
分式的概念以及基本性质；2.与分式运算有关的运算法则 3。
分式的化简求值(通分与约分) 4。
幂的运算法则【主要公式】1。
同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2。
异分母加减法则：()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠；3。
分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=，b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方：（ab ）m= a mb n， （a m)n= amn7。
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第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；am●a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= ａmb ｎ, （a m)ｎ= aｍn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式(ａ+b ）(a-b ）= a2- b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2（一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： ．题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义(1)44+-x x ﻩ(2)232+x x(3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)31+-x x(2)42||2--x x ﻩ（3)653222----x x x x题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】（1)当x 为何值时，分式x-84为正； （２)当x 为何值时,分式2)1(35-+-x x 为负；(３）当x 为何值时,分式32+-x x 为非负数. 练习:1．当x 取何值时,下列分式有意义：（1)3||61-x(2）1)1(32++-x x ﻩﻩ（3)x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：(1）4|1|5+--x x(2)562522+--x x x3．解下列不等式 (１）012||≤+-x x （2)03252>+++x x x(二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质:MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数．(1)y x yx 41313221+- (2)ba ba +-04.003.02.0题型二:分数的系数变号【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+-ﻩ (2）b a a --- ﻩ（３)b a ---题型三:化简求值题【例3】已知：511=+y x ,求yxy x yxy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出yx 11+．【例4】已知：21=-x x ,求221xx +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ,求yx 241-的值.练习:１.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(１）yx y x 5.008.02.003.0+-ﻩ (2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值. 3．已知：311=-ba ,求a ab b b ab a ---+232的值．4．若0106222=+-++b b a a ,求ba ba 532+-的值.５.如果21<<x ,试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---．(三)分式的运算1.确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.２．确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （１)cb ac a b ab c 225,3,2--; （2)a b b b a a 22,--; (3)22,21,1222--+--x x x x xx x ; （4)aa -+21,2 题型二:约分【例2】约分: (1）322016xy y x -;（3)n m m n --22;（3）6222---+x x x x .题型三:分式的混合运算【例３】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-;ﻩ ﻩ（２）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+; (3)mn m n m n m n n m ---+-+22；ﻩﻩ(４）112---a a a ;（5)874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （６))5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ; (7))12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（１)已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；(2）已知:432z y x ==,求22232zy x xzyz xy ++-+的值; （3）已知:0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值. 题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ;ﻩﻩﻩ（2）ab abb b a a ----222； (3)b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232;ﻩ （4）ba b b a ++-22;(5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；ﻩ （6)2121111x x x ++++-； （7))2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2.先化简后求值（1)1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a ．(2)已知3:2:=y x ,求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值. 3.已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4.当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数,并求出这个整数值．（四)整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1)3132)()(---⋅bc a ﻩ ﻩ（2)2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3)24253])()()()([b a b a b a b a +--+--ﻩ（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求(1）22-+x x 的值;（２）求44-+x x 的值． 题型三:科学记数法的计算【例3】计算:(1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；(2)3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算:（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- (２)322231)()3(-----⋅n m n m（３)23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ,求(1）1-+x x ,（２）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母．3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一:用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 (1）x x 311=-；(2)0132=--x x ;(３)114112=---+x x x ；(4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例２】解下列方程 (1）4441=+++x x x x ； （2)569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示:(1)换元法,设y x x =+1;(2）裂项法，61167++=++x x x . 【例3】解下列方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三:求待定字母的值【例４】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围． 提示:032>-=ax 且2≠x ,2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例６】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示:（1）d c b a ,,,是已知数；（２）0≠+d c . 题型五:列分式方程解应用题练习： 1．解下列方程: (1)021211=-++-xxx x ;ﻩ （2）3423-=--x x x ; (3)22322=--+x x x ; ﻩ（4）171372222--+=--+x x xx xx（5）2123524245--+=--x x x x ﻩ(6)41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x 2.解关于x 的方程: （1)bx a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+.３.如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时,关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. ５．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解,试求a 的值． (二)分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程,可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程:231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程:)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程:417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程:87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法例７．解方程:41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1.若分式方程xmx x -=--221无解,求m 的值。