nonlinear(有限元非线性问题)
线性和非线性有限元
目
CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近 似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域 ，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方 程的近似解。
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感谢聆听
在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适 的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多 种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元 求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技 术，以适应复杂几何形状和边界 条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度 相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题 。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但 能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问 题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些 复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合 问题中的应用，如流体-结构、电 磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法， 以更精确地描述复杂非线性行 为。
非线性有限元分析
轨道结构的非线性有限元分析姜建华 练松良摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。
钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。
根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。
关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析1 引言实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。
材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。
通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。
实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。
比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。
所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。
以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。
不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。
所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。
本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。
作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。
ANSYS教程,非线性结构分析过程
ANSYS教程，非线性结构分析过程尽管非线性分析比线性分析变得更加复杂，但处理基本相同。
只是在非线形分析的适当过程中，添加了需要的非线形特性。
非线性结构分析的基本分析过程也主要由建模、加载并求解和观察结果组成。
下面来讲解其主要步骤和各个选项的处理方法。
建模这一步对线性和非线性分析都是必需的，尽管非线性分析在这一步中可能包括特殊的单元或非线性材料性质，如果模型中包含大应变效应，应力─应变数据必须依据真实应力和真实（或对数）应变表示。
加载求解在建立好有限元模型之后，将进入ANSYS求解器(GUI：Main Menu | Solution)，并根据分析的问题指定新的分析类型(ANTYPE)。
求解问题的非线性特性在ANSYS中是通过指定不同的分析选项和控制选项来定义的。
非线性分析不同于线性分析之处在于，它通常要求执行多荷载步增量和平衡迭代。
下面就详细讲解一下进行非线性结构分析需要定义的各个求解选项、分析选项和控制选项是如何设置的，以及他们的意义是什么。
求解控制对于一些基本的非线性问题的分析选项，可以通过ANSYS提供的求解控制对话框中的选项设置来完成。
选择菜单路径：Main Menu | Solution | Analysis Type | Sol’n Controls，将弹出求解控制(Solution Controls)对话框，如下图所示。
从图中可以看出该对话框主要包括5个选项卡：基本选项（Basic）、瞬态选项（Transient）、求解选项（Sol’n Options）、非线性选项（Nonlinear）和高级非线性选项（Advanced NL）。
如果开始一项新的分析，在设置分析类型和非线性选项时，选择“Large Displacement Static”选项（不是所有的非线性分析都支持大变形）。
如果想要重新启动一个失败的非线性分析，则选择“Restart Current Analysis”选项。
选中下面的“Calculate prestress effects”单选按钮用于有预应力的模态分析时的预应力计算，具体内容见模态分析部分。
有限元非线性分析-正式课件-2011-01-06
屈服强度的影响因素
影响屈服强度的内在因素有：结合键、组织、结构、原子本性。 如将金属的屈服强度与陶瓷、高分子材料比较可看出结合键的影响 是根本性的。从组织结构的影响来看，可以有四种强化机制影响金 属材料的屈服强度，这就是：(1)固溶强化；(2)形变强化；(3)沉淀强 化和弥散强化；(4)晶界和亚晶强化。沉淀强化和细晶强化是工业合 金中提高材料屈服强度的最常用的手段。在这几种强化机制中，前 三种机制在提高材料强度的同时，也降低了塑性，只有细化晶粒和 亚晶，既能提高强度又能增加塑性。 影响屈服强度的外在因素有：温度、应变速率、应力状态。随 着温度的降低与应变速率的增高,材料的屈服强度升高，尤其是体心 立方金属对温度和应变速率特别敏感，这导致了钢的低温脆化。应 力状态的影响也很重要。虽然屈服强度是反映材料的内在性能的一 个本质指标，但应力状态不同，屈服强度值也不同。我们通常所说 的材料的屈服强度一般是指在单向拉伸时的屈服强度。
屈曲分析
屈曲分析 是一种用于确定结构开始变得不稳定时的临界 载荷和屈曲模态形状(结构发生屈曲响应时的特征形状)的技 术，特征值屈曲分析用于预测一个理想弹性结构的理论屈曲 强度(分叉点)。 非线性屈曲分析是一种典型而且重要的几何非线性分析， 比线性屈曲分析更精确。非线性屈曲分析的基本方法是，逐 步地施加一个恒定的载荷增量，直到解开始发散为止。尤其 重要的是，要一个足够小的载荷增量，来使载荷达到预期的 临界屈曲载荷。若载荷增量太大，则屈曲分析所得到的屈曲 载荷就可能不精确。在这种情况下，打开二分和自动时间步 长功能[ AUTOTS ,ON]有助于避免这种问题。
有限元-非线性分析
一．非线性结构分析简介 二．几何非线性（大应变、屈曲分析等） 三．材料非线性（弹塑性分析） 四．接触分析（高度非线性） 五．ANSYS的设置
有限元非线性分析
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）
大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx = ∂u/∂x，也就是说在表达式εx = ∂u/∂x + ...[(∂u/∂x)z + (∂v/∂x)z + (∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关 系也不一定是线性的。 2）材料非线性
材料非线性的特点
非线性材料（小位移）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。 可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。如果 变形可恢复，则材料为线弹性，如果变形不可恢复，则为塑性。如果温度效应对材料属性影响较大，则应该通过热弹性或热-塑性关系考虑结构和热之间的耦合效应。如果应变率对材料有明显影响，则应使用粘-弹性或粘-塑性理论。 上图是一个材料非线性的示例。 材料非线性的简单分类： 1. 非线性弹性 2. 超弹性 3. 理想弹-塑性 4. 弹性-时间无关塑性 5. 时间相关塑性（蠕变） 6. 应变率相关弹-塑性 7. 温度相关的弹性和塑性 如果考察上图中的应力-应变曲线，则材料非线性可以分为以下几类： 1. 线弹性-理想塑性 2. 线弹性-塑性。应力-应变曲线的塑性段与时间无关，还可细分为两种：
非线性有限元及结构力学模拟中的三类非线性问题
非线性有限元及结构力学模拟中的三类非线性问题1. 线性分析外加载荷与系统的响应之间为线性关系。
例如线性弹簧，结构的柔度阵（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。
通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。
此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。
这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况采用了相同的边界条件。
2. 非线性分析非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变。
所有的物理结果均是非线性的。
线性分析只是一种近似，它对设计来说通常已经足够了。
但是，对于许多结构包括加工过程的模拟（诸如锻造或者冲压）、碰撞分析以及橡胶部件的分析（诸如轮胎或者发动机支座），线性分析是不够的。
一个简单例子就是具有非线性刚度响应的弹簧。
线性弹簧，刚度是常数非线性弹簧，刚度不是常数由于刚度依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移。
在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。
在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。
非线性系统的响应不是所施加载荷的线性函数，因此不能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。
每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。
3. 非线性的来源在结构的力学模拟中有三种：材料非线性、边界非线性（接触）、几何非线性。
(1) 材料非线性大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可恢复的。
橡胶材料等也是一种非线性、可恢复（弹性）响应的材料。
材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。
应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。
材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。
(2) 边界非线性如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性有限元分析
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
非线性结构有限元分析
t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1
n
n
n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的 节点坐标值。
（10-25）
T T t T t t t e C e dv dv W e t tv t t t tv t tv t dv
此为改进的拉格朗日（ U·L ）公式。 三、非线性问题有限元基本方程 有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方 法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。
第一节
有限元基本方程
一、线性问题的基本方程 由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
T T T v v v s s
dv u q dv u q ds u R
T 0 0
mu u dv Du u dv
[M ]
t t
{u} [ D]
t t
{u} [ K ]t t {u} t t {R} （10-8）
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加 法求解。
二、非线性问题的基本方程 对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成 若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求 解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的） 要求出：t+△t步时的位移和应力。 ①全拉格朗日（T·L）公式 以t=0时刻状态为度量基准，求t+△t时刻的值。 由虚功方程： 其中：
非线性波动方程的有限元解法
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。 纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章 各向同性固体弹性介质中的一维
础····································１０ 第一节 应变矩阵和运动方
有限元方法中材料非线性计算综述
6
(non-associated flow)。关联流动中使用了屈服函数 作为流动势 。关 联流动用来描述由位错诱发的塑性流动， ABAQUS® 中除铸铁外的一般金属与 Cam-Clay 土力学模型采用了关联流动的格式。非关联流动在处理摩擦型塑性流 动方面比关联流动更好，Mohr-Coulomb 和 Drucker-Prager 等模型使用了非关联 流动。关联流动集成的刚度矩阵 K ep 是对称矩阵，在材料不出现软化现象的时候
, H 0
(3)
5
其中 H H1 , H 2 , 为后继屈服条件中的内变量，表征了材料的强化、粘性等各种 复杂性质，其表达形式也可以非常复杂。塑性力学中常用的 Tressca 屈服准则和 Mises 屈服准则是 的两种特殊形式。Mises 屈服准则的应用较多一些，其屈 服与金属拉伸试验结果吻合得更好，而且其函数形式比较光滑。 Mises 屈服准则为：
2
Newton-Raphson 方法要求在给定 u 的时候计算的切线刚度 K ep ， K ep f int u u 。
K ep 与材料的状态有关， K ep 的计算将在后文中提及，现在假定在给定 u 的情况下 K ep 已经算出。
(a) Newton-Raphson 法 图1
(b) Quasi-Newton 法
K ep 还是正定的，容易求解。而非关联流动集成的刚度矩阵是不对称的，容易导
致求解失败。 除了以上与率不相关的塑性流动外， 粘塑性计算中需要定义率相关的流动法 则，粘性流动率 通常是与应力相关的。常见的粘塑性流动法则有： Bingham 模型：
k , Mises 0 Mises Mises 0 0,
3
非线性有限元
研究生专业课程考试答题册
学号
姓名
考试课程非线性有限元
考试日期
西北工业大学研究生院
第二题
非线性问题分为三类：几何非线性、材料非线性和边界非线性。
下面以Patran/Nastran为例说明计算材料非线性的一般步骤。
1.建立有限元模型
非线性分析的计算量比较大，建立有限元模型时要将网格的数量控制在适当的范围内，实际计算时应当考虑模型是否可以简化。
2.定义材料属性和单元属性
非线性分析中如果包含了非线性材料兴致或者大应变效应，除了定义材料的常规性质，例如弹性模量、泊松比和密度等，还要按照材料的准则，给定塑性屈服的屈服点、硬化模量或者真实的应力-应变曲线。
例如，对塑性材料，用户可以选择非线性数据输入方式：Stress/Strain Curve 和Hardening Slope 两种方式，即真实应力-应变曲线输入方式和硬化模量方式，用户还要选择屈服方式和硬化准则，如图1-1所示。
图1-1
3.求解设置
非线性与线性分析的求解设置有所不同，其基本过程如下：
（1）选择分析类型
如图1-2 所示，在分析类型中选择Nonlinear Static单选按钮，在Solution Parameter 对话框中大变形Large Displacements 和追随力Follower Forces（默认选中）。
图1-2
（2）设置载荷步
在对话框中设置载荷增量步数和迭代次数，默认设置如图1-3所示。
如果选择使用弧长方法，则选择Arc-Length Method 并进行相关设置。
非线性有限元(河海教授-任青文)
一点的位移f = [u v w]T与单元结点位移δ e 之间的关系：
f = Nδ e
(1-3)
Ni反映了单元内位移的分布形状，所以又称形函数。对于d个结点的三维单元，
⎡N1 0 0 N2 0 0
Nd 0 0 ⎤
N=
⎢ ⎢
0
N1
0
0 N2
0 "" 0 N d
0
⎥ ⎥
(1-4)
⎢⎣ 0 0 N1 0 0 N 2
x e =[x1 y1 z1 x2 y2 z2……xd yd zd]T 为单元各结点的整体坐标。
(1-7)
（2）单元的结点荷载 R e
[ ] [ ] 作 用 在 单 元 上 的 集 中 力 P = Px Py Pz T ， 体 力 p = X Y Z T 及 面 力
[ ] p = X Y Z T 必须转换成等效的单元结点荷载列阵 Re ，
其中 δ1,δ 2 ,",δ n 是未知量，ψ1,ψ2 ,",ψn 是 δ1,δ 2 ,",δ n 的非线性函数，现引用矢量记号 δ = [δ1 δ 2 " δ n ]T ψ = [ψ1 ψ 2 " ψ n ]T
上述方程组可表示为
ψ(δ) = 0
还可以将它改写为
ψ(δ) ≡ F (δ) − R ≡ K (δ)δ − R = 0 K (δ) 是一个 n × n 的矩阵，其元素 kij 是矢量 δ 的函数，R 为已知矢量。在位移有限元中, δ 代表未知的结点位移， F (δ) 是等效结点力， R 为等效结点荷载，方程 ψ(δ) = 0 表示结点
式中
4
∫ U e = 1 εT σdv V2
(1-25)
∫ ∫ V e = − f T P − f T pdv − f T pds
16第八章 非线性有限元分析简介
第七章非线性分析
非线性行为的原因 引起结构非线性的原因很多，它可以被分成三种主要类型：
状态变化（包括接触） 许多普通结构的表现出一种与状态相关的非线性行为,例如，一根只
能拉伸的电缆可能是松散的,也可能是绷紧的。轴承套可能是接触的,也 可能是不接触的, 冻土可能是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度 由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载荷直 接有关（如在电缆情况中）， 也可能由某种外部原因引起（如在冻土中 的紊乱热力学条件）。ANSYS程序中单元的激活与杀死选项用来给这种状 态的变化建模。
图5 铜圆柱体图解
第七章非线性分析
求解步骤： 步骤一：设置分析标题 1、选择菜单路径：Utility Menn>File>ChangeTitle。 2、键入文字“Coppery Cylinder Impacting a Rigid Wall” 3、单击OK。
第七章非线性分析
步骤二：定义单元类型 1、选择菜单路径Mail Menu>Preprocessor>Element Type>All/Edit/Delete。 2、单击Add。Library of Element Types(单元类型库）对话框出现。 3、在靠近左边的列表中，单击“Visio Solid”仅一次。 4、选靠近右边的列表中，单击“4node Plas 106”仅一次。 5、单击OK。Library of Element Types 对话框关闭。 单击Options (选项）。VISCO106 element type Options(visco106单元类型选项） 对话框出现。在关于element behavior（单元特性 ）的卷动柜中，卷动到 “Axisymmetric” 且选中它。 8、单击OK。 9、单击Element Types (单元类型）对话框中的Close。
材料非线性问题的有限元
一、材料非线性问题的有限单元法1．1 引言以前各章所讨论的均是线性问题。
线弹性力学基本方程的特点是1．几何方程的应变和位移的关系是线性的。
2．物性方程的应力和应变的关系是线性的。
3．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。
但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。
上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。
工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。
例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。
随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。
材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。
一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。
几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。
这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。
这对下一章也是必要的准备。
正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。
有限元求解非线性问题
• 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成 型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当 一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常 要考虑非线性边界条件。 • 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线 性问题。
由于从理论上还丌能提供能普遍接受的据有时非线性材料特性可用数学模型迚行模拟尽管这些模型总有他们的局限性
有限元求解非线性问题
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1）材料非线性问题
• 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却 很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题 属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提 供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应 力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有 时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管 这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为 重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题，几何非线性问题是由于 位移之间存在非线性关系引起的
• 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线 性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力 和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位 移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位 移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题 。
3）非线性边界问题
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非线性有限元方法及实例分析
非线性有限元方法及实例分析梁军河海大学水利水电工程学院，南京（210098）摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。
关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析1引 言有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。
有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。
但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。
根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]：1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性）2 非线性方程组的求解在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]：()()()00021212211=……==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1）其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记号[]T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3）上述方程组（1.1）可表示为()0=δψ （1.4）可以将它改写为()()()0=−≡−≡R K R F δδδδψ （1.5）其中()δK 是一个的矩阵，其元素是矢量的函数，n n ×ijk R 为已知矢量。
在位移有限元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。
在线弹性有限元中，线性方程组0＝－R K δ （1.6）可以毫无困难地求解，但对线性方程组()0=δψ则不行。
一般来说，难以求得其精确解，通常采用数值解法，把非线性问题转化为一系列线性问题。
16第9章非线性问题有限元
pt { A e ( Fi u cu p iui ds i i )ui }d
Sp
（9-2-7）
由极值条件 pt 0 ，可证明它等价于大位移弹性动力问题的基本公式，就得到瞬时最小势能原理。 因为
pt { A e ( Fi u cu ui }d pi ui ds i i )
A ij eij
（ d）
则式（b ） 、 （c）就可化为平衡方程式（ 9-2-2 ）和力边界条件式（ 9-2-3） 。这就证明了满足 0 ，就 等于满足了平衡方程式（ 9-2-2）和力边界条件式（9-2-3 ） ，这样就可以肯定，用 取极值的方法求出 的位移 ui 就是真实的解。 下面要进一步证明这个极值是最小值。 设 ui 满足几何方程、位移边界条件并使 取最小值。设 u * i 也满足几何方程、位移边界条件，除此 以外， ui* 任意。并设
i
0
（在 V 内）
（9-2-2）
在小位移时，略去了 u i,k 中的 ui ,k 就还原为小位移应力平衡方程。 ik
207
外力已知的表面边界条件（在 S p 上）可以写成
u n
ik i, k kj
j
p i
（ 9-2-3）
如果把它和小位移条件相比，也是增添了可以在小位移中略去的 u i,k 。 位移已知的边界条件（在 S u 上）可以写成
Sp
（ e）
根据式（ 9-2-1）的应变位移关系
210
A 1 A A(e) eij ui , j u j ,i uk ,i uk , j uk , j u k ,i eij 2 eij A u k ,i uk, j ki eij
有限元 非线性.ppt
d
T
d
H d p
d p
d
p
上式可化为
T
T
H d p
[
D]
E
d
[D]e
d
p
•等效塑性应变增量和总应变增量的关系式
d p
T
De
T
d
d De d dp
H
De
d p
d p
d
De
De
T
T
De
d
H
De
•[D]P
记
Dp
De
T
De
任何具有一阶导数的连续函数Ψ(x)，在xn点的 一阶Taylor展开：
(
x)
(
xn
)
d dx
n
(
x
xn
)
非线性方程Ψ(x)=0在xn附近的近似方程是线性方程
(
xn
)
d dx
n
(
x
xn
)
0
xn1
(
xn
)
/
d dx
n
xn1 xn xn1
Newton-Raphson 迭代公式
➢ 针对结构平衡方程： Ψ(δ)=[K]{δ}-{R}={F (δ) } -{
[D]p
j n
d
V
•初应力转化得到的等效节点荷载，矫正荷载。
例8-1
➢ E，A，L，σs
➢ 杆I弹塑性，杆II弹性。
➢ 求3σsA作用下2点位移。
利用N-R公式，有：
d
d
n
n 1
(
n
)
d
d
KT
KT
n
非线性有限元基础
§1.2 线性有限元的回顾线性有限元的理论虽然不是本课程的重点，而线性有限元法是非线性有限元法的基础；非线性有限元法又是线性有限元法的发展。
因为非线性问题的求解通常是采用分段线性化的思想，使其成为一系列的线性问题。
因此有必要首先回顾线性有限元的一些基本内容。
主要是线性有限元的基本理论和方法，以及当前应用最广的等参元理论。
固体力学的理论（材力、弹力、结构力学，无论是线性还是非线性）是建立在本构方程、几何（运动）方程以及平衡方程三方面方程的基础上的，由此导出的控制方程的解是满足上述充分、必要条件的唯一解，而且是反映了结构真实受载后的运动状态（变形）。
在结构分析中许多情况下，本构和几何方程可以处理成线性，使控制方程线性化，求解也大大简化，同时可达到工程上的精度要求，这就是线性有限元的基本理论。
§1.2.1 线性本构关系（广义虎克定律）影响结构材料性能有诸多因素（应力、应变、变形率、温度、湿度、时效等），而通常建立本构方程时仅考虑应力、应变两个物理参数，认为两者成线性关系的经典的弹性理论，即著名的虎克定律。
各向同性材料的Hooke 定律ij ijkl kl D σε= 或 ij ijkl kl C εσ= ()1其中ijklD和ijkl C 分别为弹性阵和柔度阵。
由剪应力互等定理，弹性阵()99ijkl D ⨯独立材料参数的个数由81个减少为21个。
进而对于正交异性的材料参数为9个独立的参数，对于各向同性材料：01121,2,322(1),ei j i j ij EGG Ed dS d i j ννεσδ-+=+== ()2仅有两个独立的材料常数，即E 和ν，其中E 为弹性模量，ν为泊松比。
§1.2.2线性几何方程（小变形情况）线性（小变形）关系：()(){}1,,2ij TU U U i j j i ε+=∆= ()3 位移边界条件：u S 边界上 U U = 其中U 为位移向量，U 为边界u S 上的指定位移，()T ∆为微分算子。
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n
则n+1次近似解满足：
d n1 n n 0 d n
n KT n n 0
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NONLINEAR FEM
k 0.2 u P 0.006 u1
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NONLINEAR FEM
30
Load - Deflection
0.020
0.018
0.015
0.013
0.010
P
0.008
0.005
0.003
0.000 0 0.01 0.02 0.03 0.04 u 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
J.T.ODEN, 1972年。
《非线性有限元分析》，吕和洋，
化学工业出版社，1988年
《非线性橡胶材料的有限元分析》，杨晓翔，
石油工业出版社，1999年。
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NONLINEAR FEM
2
商 业 软 件
主要有德国的ASKA；
英国的PAFEC；
法国的SYSTUS； 美国的ALGOR、ABQUS、ADINA、ANSYS、 SAP90 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
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NONLINEAR FEM
11
INTRODUCTION
几何非线性 应变——位移关系是非线性的。 大位移小应变的情况 （梁或板壳的大挠度弯曲） 大位移大应变的情况 （橡胶材料、结构的非线性失稳） 求解 —— 相对比较复杂，需要修改基本方程。
平衡方程参考变形后的构形 几何关系应计入二次项
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NONLINEAR FEM
12
INTRODUCTION
状态非线性
许多普通结构的表现出一种与状态相关的非线性行为, 例如，一根只能拉伸的电缆可能是松散的,也可能是绷紧 的。轴承套可能是接触的,也可能是不接触的, 冻土可能 是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度由于系统状 态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载 荷直接有关（如在电缆情况中）， 也可能由某种外部原 因引起（如在冻土中的紊乱热力学条件）。
k u P
k k0 k N k0 kN
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constant function of u
NONLINEAR FEM 21
Problem Statement
k 0 k N u P
k N f ( u)
Given P find u. Assume f(u) is a known function.
33
非线性问题的一般处理方法
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NONLINEAR FEM
10
INTRODUCTION
材料非线性(Nonlinear stress-strain behavior) 应力——应变关系是非线性的。 塑性屈服（ s ） 非线性弹性（塑料、岩石、土壤等） 蠕变（高温环境变形随时间增大） 求解 —— 相对比较简单，不需要修改基本方程。
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NONLINEAR FEM
22
P
Hardening kN > 0
(kN = 0)
Slope k0 Softening kN < 0
u
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NONLINEAR FEM
23
Direct Substitution Method
1. 2. 3. 4.
5. 6.
Let load PA be applied to a softening spring (kN<0) Assume kN = 0 for the first iteration. Compute first approximation to displacement: u1 = PA/k0 Use u1 to compute new stiffness: k = k0 +f(u1) Compute next approximation to displacement: u2 = PA/k Generate sequence of approximations.
P
PA
a
b c
1
2
3
u1 u2 u3
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uA
u
29
NONLINEAR FEM
Example:
P= k 0.2000000000 0.1700000000 0.1647058824 0.1635714286 0.1633187773 0.1632620321 0.1632492630 0.1632463884 0.1632457413 0.1632455955 0.1632455627 0.1632455553 0.1632455537 0.1632455533 0.1632455532
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NONLINEAR FEM
31
非线性问题的一般处理方法
Newton-Raphson法（N-R法）
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NONLINEAR FEM
32
非线性问题的一般处理方法
------ Newton-Raphson法（N-R法）
P f K f 0
0.006 u Del u 0.0300000000 0.0352941176 15.00000000% 0.0364285714 3.11418685% 0.0366812227 0.68877551% 0.0367379679 0.15445930% 0.0367507370 0.03474506% 0.0367536116 0.00782121% 0.0367542587 0.00176085% 0.0367544045 0.00039645% 0.0367544373 0.00008926% 0.0367544447 0.00002010% 0.0367544463 0.00000452% 0.0367544467 0.00000102% 0.0367544468 0.00000023% 0.0367544468 0.00000005%
K f
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NONLINEAR FEM
5
INTRODUCTION
K D R K K D R R D
Stiffness and Forces are not functions of displacements.
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NONLINEAR FEM
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非线性问题的一般处理方法
直接迭代法
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NONLINEAR FEM
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非线性问题的一般处理方法
------ 直接迭代法
K f 0
解法： 假定初始值 0
解线性方程组
1 K 01 f
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24
Sequence of Operations
u1 k P
u 2 k 0 k N1 u3
0
k
1 0 A
k N2
1 1
PA PA PA
25
u i 1 k 0 k Ni
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1
NONLINEAR FEM
P
P K
-f
-f
0 1 2 3
下凹一般收敛
0
n1 n n2
上凹一般发散
③ 每迭代一次需形成一次系数矩阵，并求解一次
线性方程组。 n K 11 f n
NONLINEAR FEM
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20
Typical Nonlinear Problem 1 D-O-F
接触 ——状态变化非线性类型形中一个特殊而重要的子集。
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NONLINEAR FEM
13
INTRODUCTION
材料非线性和几何非线性同时存在 （有时也存在接触） 塑性成型
（油箱冲压分析）
冲压导致的厚 度减薄
2014
NONLINEAR FEM
CHAPTER 9 非线性有限元分析
NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD
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NONLINEAR FEM
1
参 考 书 目
《非线性有限元分析》，张汝清，詹先 义，
重庆大学出版社，1990年。 《FINITE ELEMENTS OF NONLINEAR CONTINUA》
Stiffness and Forces are functions of displacements.
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NONLINEAR FEM
9
INTRODUCTION
Difficulty!
Nonlinear problems can cost as much as 10 to 100 times as much to solve as corresponding linear problems! We often try to approximate nonlinear solutions by linear solutions
状态变化（包括接触） Gaps opening or closing Phase changes Buckling
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8
INTRODUCTION
Nonlinear Problem
K D R K K D R R D