数学建模-鱼模型测量
数学建模-鱼模型测量
鱼模型测量数学089班王敬华丘创权黄建其摘要分析题目可得知只有三组数据：身长，胸围，重量。
需要得出的是用身长和胸围去表示重量，我们可以先分析这三组数据，在综合考虑它们之间会有什么关系？首先看身长与重量的关系，可以得到它们大体上是正相关的关系，再看一下胸围和重量的关系也是正相关的，因此我们可以得到重量与身长，胸围两者的关系是正相关的。
在这里我们把鱼比拟成一个类似于两个有共同底面的圆锥，所以我们建立一个以圆锥体的底面周长、两个高之和分别为鱼的胸围、鱼长。
并且可以用MATLAB 进行拟合求解。
根据拟合数据的所得的鱼模型函数来估计出：当鱼的长度和胸围分别为40.2cm、26.3cm时鱼的重量为904.3g。
一、问题的提出鱼的重量和鱼的长度和胸围有关。
现有一种鱼，并且测量得到其中8条鱼长度、胸围和重量（胸围指鱼身的最大周长）如下表：试建立模型按照测量的长度和胸围来估计鱼的重量。
现有一条鱼的长度和胸围分别为40.2cm和26.3cm，请用你的模型计算出这条鱼的重量。
二、问题分析分析题目可得知只有三组数据：身长，胸围，重量。
需要得出的是用身长和胸围去表示重量，我们可以分析这三组数据，在综合考虑它们之间会有什么关系？首先看身长与重量的关系，可以得到它们大体上是正相关的关系，再看一下胸围和重量的关系也是正相关的，因此我们可以得到重量与身长，胸围两者的关系应该都是正相关的关系。
并且可以用MATLAB进行拟合求解。
三、模型假设1、假设这些数据测量的是同一种鱼,且密度是不变的。
2、假设鱼的最大周长指的是胸围3、假设都是在同一条件下测量4、假设模型建立在理想状态下其它的影响因素忽略不计四、符号意义W代表重量L代表身长C代表胸围P表示密度五、模型建立与求解对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体相同，把鱼的形状看作类似于两个有共同底面的圆锥所构成，其中鱼的最大周长为胸围，那么有W=P*S*H/3=P*L*C^2/(12PI())=KX(其中K=P/(12PI()),X=L*C^2) 因此我们可以得到如下的表格数据依照上面的假设和定义，我们可以构造如下模型：Y=KX我们借助MATLAB 进行拟合。
微分方程竞赛模型(捕鱼模型)共33页
(3) “自然死亡率(1/年) ”. 注意, 这是一个有量纲的
量, 它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率.
实际上它是百分比率的变化率. 它应该理解为以每年
死亡80%的速率减少, 并不是在一年内恰好死亡80%.
另外, 题目中没有说明四龄以上的鱼如何处理. 我们
可以假设这种鱼只活到四龄, 以后它就死掉了. 也可
[N(t) N(t+ ∆t)]/ ∆t qN(t) 这个关系应该对任何时间间隔∆t都成立。
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于是, 令∆t→0就得到方程 dN/dt qN, 捕捞系数应该理解为满足这个关系的量q. 如果直接把 它理解为捕捞的百分率是不恰当的.
(2)“季节性集中繁殖”. 题目中说产卵孵化期是每年 的最后四个月, 而且是集中繁殖, 那末假设时间服从均 匀分布是不合适的(这时鱼类个体每1.2分钟产一个卵). 在不失生物学的真实的前提下, 使模型分析尽量简单 的假设应该是假设: 鱼群的个体在后四个月的第一天 集中一次产卵.
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所以 (1)当 1.221011时 , 若 n (T )1.221011时 ,n 关 于 T 单 调 递 增 ; 若 n (T )1.221011时 ,n 关 于 T 单 调 递 减 .
这表明无论 n(T) 初值如何 , 最后必将趋于1.221011,
即, 达到(N1, N2, N3, N4)平衡状态.
h i 0 2 3 E i N i ( t ) d t r E i E iN 0 [ 1 e 2 3 ( r E i ) ] ,i 3 , 4 (1)
在后四个月，只有存活率起作用，因而微分方程为
dNi dt
rNi ,
得
N i(t) N 0e r t (2)
N0为第八个月末的 i 龄鱼总数。
数学建模—最佳捕鱼方案
三、 符号说明
;当k 1 x ：表示 i 龄鱼第 j 年的年初（或年末）的鱼量（ k 0或1， 当k 0时， 表示年初 时表示年末。 i 1,2,3,4; j 1,2, ） 条 ； r ：表示各年龄组鱼群的死亡率： 0.8(1 年) ； ：表示 4 龄鱼的捕捞强度系数，则 3 龄鱼的捕捞强度系数为 0.42 ； n ：产卵总量 个 ； Z：捕鱼总重量 g ； xij t ：表示第 j 年 t 时刻 i 龄鱼的数量 条 ； j ：表示第 j 年的捕鱼总量；
4
年 收 获 总 量 （ g）
4.2 4.15 4.1 4.05 4 3.95 3.9 3.85
x 10
11
3.8 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
死 亡 率 （ 1/ 年 ）
由上图可直观地看出：死亡率与年收获总量成正比例关系，即当死亡率增加时， 年收获总量则减少；反之，增加。由此可知，死亡率对年收获总量有显著的影响。 2．对模型中捕捞强度系数 的灵敏度分析 模型中其它因素不变， 只考虑 从 10 变到 19 时最大的年收获总量的变化情况， 分析 的变化对模型的影响（见下图）
年 收 获 总 量 （ g）
3.95 x 10
11
3.9
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
3.6
3.55
3.5 10
11பைடு நூலகம்
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4龄 鱼 的 捕 捞 强 度 系 数
由上图可直观地看出：捕捞强度系数也是影响年收获总量的重要因素，年收获总量 随捕捞强度系数的增加而增加。只是增长速率逐渐减慢。 七、 模型评价与推广 模型的评价： 优点：1. 本文建立的模型与实际相联系，考虑到一些实际情况，从而使模型较贴近实 际；通用性.，推广性较强。 2．模型方便、直观，可以实现计算机模拟。 缺点： 1．模型虽然考虑到了很多因素，但为了建立模型，忽略了一些影响因素，具有 一定的局限性。 2．在建模过程中，简化了一些因素，得到了最优方案可能与实际有一定的出入。 模型的推广： 模型建立思想不但适合捕鱼方面，而且适合其它相关方面，只需稍加改动即可。
数学建模作业垂钓问题及回归模型假设检验
数学建模作业垂钓问题及回归模型假设检验****⼤学学⽣数学建模作业指导教师作者姓名班级学号上交⽇期2010-12-24注：上课时间周六上午第⼀讲1、⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将钓上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法，假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的解：我们假定池中只有⼀种鱼。
对于这⼀种鱼其体型和形状是相似的，密度也⼤体上是相同的。
⼀、模型建⽴主要符号说明如下:W——鱼的重量、l——鱼的⾝长、d----鱼的胸围即鱼的最⼤周长、K1---第⼀种数学估计模型中的系数K2---第⼆种数学估计模型中的系数１，建⽴的第⼀种数据估计模型为：重量ｗ与⾝长ｌ的⽴⽅成正⽐，即W＝K13l2，建⽴的第⼆种数据估计模型为：横截⾯积与鱼⾝最⼤周长的平⽅成正⽐，即W=K22d l（⼀）第⼀种数据估计模型对于同⼀种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也⼤体上相同，所以重量w与⾝长l的⽴⽅成正⽐，即W＝K13l,K1为⽐例系数。
把实际测得的数据代⼊W＝K13l计算⽐例系数K1。
计算出实际测得的⾝长的平均值为: 36.8计算出实际测得的重量的平均值为：765.375把W=765.375,l=36.8代⼊W＝K13l计算得：K1≈0.0153（⼆）第⼆种数据估计模型常调得较肥的鱼的垂钓者不⼀定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假设鱼的模截⾯是相似的，则横截⾯积与鱼⾝最⼤周长的平⽅成正⽐，于是W=K22d l，K2为⽐例系数。
把实际测得的数据代⼊W=K22d l计算⽐例系数K2。
计算出实际测得的胸围的平均值为：24.5875把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代⼊W=K22d l计算得：K2≈0.0344 （三）第⼀种数据估计模型和第⼆种数据估计模型与实际情况的⽐较⽐较第⼀种数据估计模型和第⼆种数据估计模型与实际情况的差别，并计算误差。
鱼模型
《数学模型》作业P56.81、 问题假设及符号说明1） 水中鱼的密度相同，鱼的形状相同； 2） 鱼的重量记为G 、身长记为1x 、胸围记为2x ；3） G 只与1x 、2x 有关，1x 、2x 相互独立；4） 参数210βββ、、为常数。
2、模型建立1）根据已知数据，分别作出鱼的身长与重量、胸围与重量之间的关系散点图（程序1见附页）：a 、鱼的身长与重量的关系散点图b 、鱼的胸围与重量的关系散点图由关系散点图可以知道：鱼的重量与身长、胸围线性相关，于是可以建立如下回归模型：22110x βx ββ++=GX1G20222426283032X2G3、模型求解、结果分析与检验根据已知数据，利用SAS 系统中的proc reg 过程（程序2见附页）可得如下分析结果（已经做了适当处理）：（1） 方差分析表方差来源 自由度 平方和（SS ） 均方（MS ） F 值 p 值 回归（R ） 2 813919 406959 578.56 0.0001误差（E ） 5 3516.99571 703.39914总和（T ） 7 817436由此可知，σ2的估计值2ˆσ=703.39914；线性回归关系显著性检验 H 0:0ββ21== H 1::21ββ、至少有一个非零的统计量的观测值F 0= 578.56，检验的p 值p 0=P(F ≥F 0)=0.0001，远小于默认值05.0=α，拒绝H 0。
另外，在方差分析之后还输出了复相关系数的平方R 2的值，即R 2=SSR/SST=0.9957.这些结果均表明G 与1x 、2x 之间的线性回归关系是高度显著的。
（2） 参数估计的有关结果如下表：参数 参数估计值 标准差估计值 t 值 p 值0β -1604.51545 72.22239 -22.22 0.0001 1β 32.98672 7.75222 4.26 0.0081 2β 47.01492 10.92563 4.30 0.0077由此输出结果立得回归方程为21x 01492.47x 98672.321604.51545- ˆ++=G4 、模型的优缺点及改进上述模型是通过粗略分析关系散点图而建立的，模型简单明了，但是缺乏说服力，比如根据上述模型，鱼的重量等于身长与胸围之和而非积，虽然模型经检验后证明是合理的，但仍给人牵强附会的感觉。
数学建模 养鱼问题的最优模型
养鱼问题的最优模型摘 要：本文是根据鱼本身的生长情况，求利润最大化的养鱼规划及解决养鱼问题的数学模型，并利用相关分析解决我们的养鱼问题。
利用线性回归、微分方程分析研究鱼苗的产值，来获取最佳综合效益。
关键词：养鱼模型 线性规划 最大利润 微分方程一、问题重述在某地有一个池塘，其水面面积约为100×1002m ，用来养殖某种鱼类。
在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。
①鱼的存活空间为1kg /2m ；②每1kg 鱼每天需要的饲料为0.05kg ，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg ；③鱼苗的价格忽略不计，每1kg 鱼苗大约有500条鱼；④鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg ；⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略；⑥若q 为鱼重，则此种鱼的售价为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<=25.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kgQ 元元元元⑦该池内只能投放鱼苗。
二、问题分析要设计获得最大利润的养鱼方案，首先不考虑鱼的制约条件，如环境，由各种竞争导致的灭亡。
由鱼塘的面积、鱼的存活空间，每1kg 鱼每天需要的饲料，以及鱼饲料的价格，分析鱼的价值取向来考虑和设计一个最佳的养鱼方案。
但是由于养鱼的复杂性，忽略部分影响养鱼的因素，并应用线性规划模型解决养鱼问题。
三、 模型假设1、鱼塘只有鱼苗；2、不考虑鱼的繁殖以及由生存环境、不受时间、季节的限制来构成的死亡因素；3、鱼苗成鱼的过程服从生长系数。
4、放入的鱼苗不受个体差异的影响，都能按照题目所给的条件生长，同时放入的 鱼苗在相同的时间内都能长到同样大。
5、鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg ；四、符号说明以下为本文中使用的符号：1 0q 最初放入的鱼的数量2 k 鱼每天增重的比例3 t 时间（第t 天）4 )(t q 每条鱼在t 天下的重量5 )(t C 每条鱼在养殖t 天的条件下需要的饲料费用6 M 三年的收益总额五、模型求解根据池塘的容量，由鱼苗长成成鱼时的质量为2kg ，每条鱼的存活空间为1kg/m 2,则最初放入的鱼的数量为0q ，可由已知条件得到以下微分方程：kq dtt dq )( （1）kte q t q 0)(= （2） 50010=q （3） 2)365(=q （4） 通过计算可以得出： 01983.0=k故 ：养殖t 天的条件下每条鱼的重量为)(t q ，则01983.05001)(e t q = （5）根据已知条件计算出：;2)365(;5.1)334(;75.0)313(;2.0)243(====q q q q每天每公斤鱼的成本：.01.02.005.0元=⨯鱼的重量和养殖时间的关系表我们知道，01983.0=k ，养殖t 天的条件下每条鱼的重量为)(t q ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<=25.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kgQ 元元元元设养殖t 天的条件下每条鱼需要的饲料费用为)(t C∑∑==+=⨯⨯+=ti i ti ik k t C 11)1(5000/12.005.0)1(500/1)( （6）三种鱼的情况分析：计算可得：每条鱼的平均利润为24.506667元。
数学模型课程设计捕鱼
数学模型课程设计捕鱼一、课程目标知识目标：1. 理解数学模型在解决实际问题中的应用，掌握构建数学模型的基本方法。
2. 运用所学生物知识，结合数学模型，分析捕鱼问题中的数量关系和变化规律。
3. 能够运用数学模型预测捕鱼问题的解决方案，并解释结果的实际意义。
技能目标：1. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学思维和逻辑推理能力。
2. 培养学生运用生物知识分析生态问题的能力，提高跨学科综合分析问题的能力。
3. 提高学生合作探究、讨论交流的能力，培养团队协作精神。
情感态度价值观目标：1. 培养学生热爱科学、探索科学的精神，激发学生学习数学和生物的兴趣。
2. 增强学生的环保意识，让学生认识到保护生态环境的重要性。
3. 培养学生面对问题时，积极思考、主动探究的态度，提高学生的自主学习能力。
课程性质：本课程为跨学科综合实践活动，结合数学和生物知识，通过解决实际问题，培养学生综合运用知识的能力。
学生特点：六年级学生具备一定的数学和生物知识基础，具有较强的探究欲望和合作意识。
教学要求：注重培养学生的动手操作能力、合作交流能力和问题解决能力，将理论知识与实际应用相结合，提高学生的综合素养。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际生活，达到学以致用的目的。
二、教学内容本课程以“捕鱼问题”为背景，结合数学和生物教材，设计以下教学内容：1. 数学模型基础知识：- 函数关系：掌握函数的定义，理解自变量与因变量之间的关系。
- 方程与不等式：运用一元一次方程、不等式解决实际问题。
2. 生物知识：- 生态平衡：了解生态系统中各生物之间的相互关系，探讨捕鱼对生态平衡的影响。
- 物种多样性：掌握物种多样性的概念，分析捕鱼对生物多样性的影响。
3. 教学大纲：- 第一阶段：引入捕鱼问题，引导学生思考如何运用数学模型解决问题。
- 第二阶段：学习数学模型基础知识，探讨捕鱼问题中的数量关系。
- 第三阶段：结合生物知识，分析捕鱼对生态平衡和物种多样性的影响。
数学建模——最优捕鱼模型
最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
数学建模案例——最佳捕鱼方案
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
数学模型_捕鱼业的持续收获
F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
鱼模型数学实验教案
鱼模型数学实验教案教案标题：鱼模型数学实验教案教学目标：1. 通过进行鱼模型数学实验，培养学生对数学概念的理解和应用能力。
2. 培养学生的观察力、实验设计和数据分析能力。
3. 提高学生对数学实验的兴趣和学习积极性。
教学内容：1. 数学概念：几何形状、测量、比较、图表制作等。
2. 实验设计：制作鱼模型、测量鱼的长度、宽度和高度、比较不同鱼模型的特征。
3. 数据分析：根据测量结果制作图表，比较不同鱼模型的特征。
教学准备：1. 鱼模型制作材料：纸板、剪刀、胶水等。
2. 测量工具：尺子、直尺等。
3. 数据记录表和图表制作工具。
教学过程：1. 导入：通过展示一些鱼的图片，引发学生对鱼的形状和特征的讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 实验设计：向学生介绍鱼模型数学实验的目的和步骤，并分组让学生合作设计鱼模型的制作方法，鼓励他们发挥创造力。
3. 鱼模型制作：学生按照设计好的方法，使用纸板、剪刀和胶水制作鱼模型。
4. 测量鱼的特征：学生使用尺子或直尺测量鱼模型的长度、宽度和高度，并记录在数据记录表中。
5. 数据分析：学生根据测量结果制作图表，比较不同鱼模型的特征，并讨论其相似之处和差异之处。
6. 总结：引导学生总结实验的结果，强调数学概念的应用和实验过程中的观察和分析能力的重要性。
教学延伸：1. 鼓励学生设计更多不同形状的鱼模型，并进行比较分析。
2. 引导学生思考鱼模型的表面积和体积的计算方法，并进行相关实验和讨论。
3. 鼓励学生将实验结果与实际生活中的鱼进行比较，拓展他们的数学思维和应用能力。
教学评估：1. 观察学生在实验过程中的参与度和合作能力。
2. 检查学生的数据记录表和图表制作是否准确和完整。
3. 分析学生在讨论中的表达能力和对数学概念的理解程度。
教学反思：根据学生的实际情况和实验过程中的反馈，及时调整教学策略和指导方法，帮助学生更好地理解和应用数学概念。
同时，鼓励学生提出问题和进行自主探究，培养他们的创新能力和解决问题的能力。
鱼的重量和长度-数学建模考试小论文大学开放性作业Word版
生活中的数学——鱼的体量与长度作者05级班级学号目录目录 (2)摘要 (3)一、引言 (3)二、模型 (3)（一）问题的化简和假设 (3)（二）模型的建立 (4)三、分析 (4)（一）第一种数据估计模型 (4)（二）第二种数据估计模型 (4)（三）第一种数据估计模型和第二种数据估计模型与实际情况的比较 (5)四、结论 (5)五、进一步的探讨 (5)五、参考文献 (6)摘要本文将从分析如何根据鱼的身长来估计鱼的体重的方法出发，研究动物的身长和体重的关系。
本文建立了两种不同的鱼的身长和体重关系的数学模型，比较了用两种不同的方法计算的鱼的体重与实际称重情况的误差，并进一步推广到四足动物，用类比法建立四足动物身长和体重关系的模型。
关键词：鱼的体重与长度，初等数学模型，四足动物，类比法一、引言我们在初中时就学过正比例函数和反比例函数，当时我们也许并没有想过可以用它来解决生产生活中的实际问题，其实利用正比例函数和反比例函数建立初等数学模型来解决许多侥有兴趣的实际问题。
我们不用在乎它是不是太过于简单，因为衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。
随着人们物质生活的越来越丰富，人们开始享受起休闲时光，垂钓就是一项非常受欢迎的休闲运动。
为了考虑到不破坏自然资源，一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，但俱乐部只准备了一把软尺用于测量，于是众垂钓者开始考虑按照测量的鱼的长度估计鱼的体重的方法。
建立一个简单易懂的数学模型是解决这个问题的最好办法。
侧得的八条鱼的数据如表１所示：二、模型（一）问题的化简和假设为了简化模型，假定鱼池中只有一种鲈鱼。
对于同一种鱼不访以为其整体形状是相似的，密度也大体上相同。
（二）模型的建立这个初等数学模型中的主要符号说明如下所示：W——鱼的体重ｌ——鱼的身长ｄ——鱼的胸围，即鱼的最大周长K1——第一种数学估计模型中的系数K2——第二种数学估计模型中的系数１，建立的第一种数据估计模型为：重量ｗ与身长ｌ的立方成正比，即W＝K13l2，建立的第二种数据估计模型为：d l横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即W=K22三、分析（一）第一种数据估计模型对于同一种鱼，不访认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长l的立方成正比，即W＝K13l,K1为比例系数。
生物数学捕鱼模型
• 3.在第一次世界大战期间，人类与战前相比， 减少了捕捞。按上面规律，鲨鱼的比数必 然增加。Volterra科学地完全地回答 D’Ancona的问题。这个模型是用数学研究 生物学的开端。
• 4.根据Volterra的捕鱼效应，对于正确地对 农作物灭虫是有好处的。病虫害发生之后， 根据生物规律，就形成了害虫与天敌两个 种群，这是一个捕食者——被捕食者系统。 喷洒农药是一种“捕捞”的行为，根据
• 捕捞效应会使被食鱼增长，所以不正确的 治虫，会使害虫增加，而天敌减少。
• 学习本模型，使学生认识到，生物种群的 发展是有规律的,在没有人为的干扰情况下， 该种群是处于平衡状态的，这是生物种群 千百万年以来所保持的规律性。正确的理 解生态平衡的概念和在捕鱼——被捕鱼系 统中的捕鱼效应。
• 由捕鱼效应还可以得到一个启示，看问题 不能表面化。喷洒农药治虫本来是正确的
x 1
x N
x
1
在具有什么性质时，解是稳定的？
先求平衡点： x 1
x N
x
0
x 0, x N
x 0无意义，不予考虑
渔业生态系统在捕捞过程中，如何体现稳定性？
x0
N
是稳定的.
根据定理1，当f x0 0时就在x x0是稳定的.
因
f
x
x 1
x N
x
故f
x
1
x N
• Volterra通过建立捕鱼与被捕鱼系统模型， 科学的解释D’Ancona提出的问题。
• 1.在一个捕鱼被捕鱼系统中，如果没有外部 因素干与，两个种群的数量都按周期变化， 周期相同。这种现象就是生态平衡。
• 2.如果有人为干扰（即有捕捞时），捕捞可 增加被食鱼，减少鲨鱼，即会使被食鱼的 比数增大。此称为捕捞效应。
(完整word版)数学建模 估计湖中鱼群的数量
课程论文首页估计湖中鱼的数量摘要本文是针对捕捞湖中鱼群并对鱼群数量进行估计的问题。
由于题目当中给出条件有两次从湖中钓出鱼，第一次是给鱼做上记号，而题目就是要从第二次从湖里钓出的x 条标有记号的鱼来估计湖中鱼的数量，由于第二次钓出的s 条鱼中情况复杂，有可能还没等有标记的和没标记混合时就开始捕捞，就会导致x 偏大，而相反的x 有可能又会偏小，所以我们必须通过假设，放回湖中的鱼在湖中是分布均匀的，这样就可以保证第二次钓出的带有标记的x 条鱼就是个随机变量，从而更加可以达到我们实验的准确性。
模型一：之后我们发现x 是服从超几何分布，用L(x,N)来表示，则通过使L 取到极大值的N 来作为估计值，运用概率统计中的极大似然原理，通过比值法最后可求出个极大值，最后可以确定它的估计值为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡x rs 或1rs +⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 。
模型二：我可以在假设放回湖中有标记的鱼分布是均匀的基础上，认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同，最后可以直接得到与模型一结果相同的一个结果，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x rs N .关键词：数理统计 极大值 比值法一：问题的提出题中问题可更明确的表示成：第一次从湖中钓出r 条鱼进行标记后放回，第二次再从湖中钓出s 条鱼，s 条鱼中有x 条鱼标有记号。
问：从两次的捕捞中如何更好地估计湖中鱼群的数量。
二：问题的分析由于鱼群的分布情况十分的复杂，在分布均匀的前提下，可以使用概率论与数理统计的模型，随即运用概率统计中的极大似然原理。
所以首先就可以确定其属于超几何分布，写出其公式，之后在通过比值法求比值A 的变化可以求出极大值，即可作为所求的估计值。
而模型二是直接通过客观的假设，假设湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同的情况下，直接得出的一个结果三：模型的假设对模型一的假设：必须假设放回湖中的有标记的鱼在湖中的分布是均匀的，即与没标记的鱼混合和分布均匀。
生物数学捕鱼模型
x0 x
x0
某一时刻t0使f x0 0 从而有x t0 x0
3 工程项目管理规划
x x t 向x0充分靠近。
当x0 x0时，总有xt 0, xt f x 0
当x0 x0时，总有xt 0, xt f x 0.
前一情况，x t 递增， x t x0 t
后一情况，x t 递减， x t x0 t
分析解的形象
xt
dx f x
x x0
dt
t
0
3 工程项目管理规划
练习：1.给定方程 dx dt
f
x,
f
x连续可微，且f
x0
0.
当x x0时，f x 0
x x0时，f x 0
试证该方程的一切解x x t 均有
x t x0 t .
3 工程项目管理规划
捕捞效应会使被食鱼增长，所以不正确的治虫，会使害虫增 加，而天敌减少。
学习本模型，使学生认识到，生物种群的发展是有规律的, 在没有人为的干扰情况下，该种群是处于平衡状态的，这 是生物种群千百万年以来所保持的规律性。正确的理解生 态平衡的概念和在捕鱼——被捕鱼系统中的捕鱼效应。
由捕鱼效应还可以得到一个启示，看问题不能表面化。喷洒 农药治虫本来是正确的
情况下，如何确定值，使捕获量最大？
捕获量为：
m
x0 ,
dm
d
0的点
m N N N 2
dm N 2N 令 dm 0，得=
d
d
2
故最大捕捞量为
m
x0
2
N
2
N
4
3 工程项目管理规划
二、Volterra模型 2.1问题的提出：1924年，意大利生物统计学家
数 学 建 模-捕鱼业问题
数学建模问题： 关于捕鱼业，当捕捞量最大时，利润不是最大的原因。
模型 记时刻t 渔场中鱼量为()t x , r 是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，()x f 表示单位时间的增长量，比例常数E 表示单位时间捕捞率（捕捞强度），则单位时间的捕捞量为 ()Ex x h = ， 而此时渔场鱼量满足方程()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，令()Ex N x rx t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1= 0得到两个平衡点 x 0= N(( 1 –rE ), x 1= 0不难算出()r E x x -=0, x (x 1) =E r - ，由平衡点稳定性准则知 E < r （若捕捞过度即E>r 时 , 渔场鱼量将趋向x 1=0 ，则持续产量为0，不符合捕捞要求）,因E 是捕捞率，r 是最大增长率，要使渔场鱼量持续产量最大， 则x x 0=, ()Ex x h = ，设鱼的销售量单价为常数p ,单位捕捞率（如每条出海渔船）的费用为常数c, 那么单位时间的收入T 和支出S 分别为()p E x x ph T ==,cEs = ，单位时间的利润为cE pEx S T R -=-=，在稳定条件x x 0= 下，()()()cE r E pNE E S E T E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=-=1 ，根据 ()()⎪⎭⎫⎝⎛-==N x rx t f t x 1 , ()Ex x h = ，作抛物线()x f y =和直线()Ex x h y == , 得 最大持续产量的坐标图如下所示：由图知 ，当x = 2N 时， h （x ）= h m时 ,捕捞量达到最大。
由 f ( x ) = rx ( 1 -Nx ) ,()Ex x h = ，x = 2N 联立方程组可得 h m=4rN ， E = 2r此时利润⎪⎭⎫⎝⎛-=-=c pN r cr rpN E R 2224)( ，由 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1令 R ′( E ) = 0, 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=pN c r E R 12，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c h rN R 22214 <h m将上式代入 ()cE r E pNE E R -⎪⎭⎫⎝⎛-=1 ，得()pNr c pN r E R c 4222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= >⎪⎭⎫⎝⎛-c pN r 22 ,以上分析表明 ，当捕捞量 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=N p c rN x h 22214 时 ，利润 R ( E )达到最大值 ，而此时的捕捞量小于捕捞量最大值h m ， 显然 ，当利润达到最大时，捕捞量不是最大；同样，当捕捞量达到最大时，利润不是最大 。
数学建模捕鱼模型
1．
模型为 。
（1）平衡点由F（x）=0确定；当h<rN/4时，有2个平衡点 (<N/2), (>N/2).经判断得 不稳定， 稳定。当h=rN/4时，平衡点 =N/2。由 不能判断其稳定性，但因为对于x> 及x< 均有F（x）<0,及 <0,所以 不稳定。
若将h=rN/4代入模型求解，可得 ，其中c由初始值确定，若x（0）<N/2,t趋近于无穷时，x(t)不会趋向N/2，即 不稳定。
(2)由图可知，要获得最大持续产量，应使池场鱼量x>N/2,且尽量接近N/2。
2.
模型为 ，如上图所示，有两个平衡点：x=0和 。可证x=0不稳定， 稳定（与E和r的大小无关）。最大持续产量为 ，相对应的 ，
。
绘制算法流程图
——学习一种经典算法（例如求解最短路问题的Dijkstra算法），绘制出该算法的流程图。
若将hrn4代入模型求解可得其中c由初始值确定若x0n2t趋近于无穷时xt不会趋向n2即hrn4hrn4hrn4rx1xn2由图可知要获得最大持续产量应使池场鱼量xn2且尽量接近n2
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长服从Logistic规律，而单位时间捕鱼数量为常数h。
（1）分别就h>rN/4,h<rN/4,h=rN/4这三种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及稳定状况。
（2）如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同。
2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型: ,其中r和N的意义与Logistic模型相同。
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex。讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 及获得最大产量的捕捞强度 和渔场鱼量水平 。
数学模型综合实验鱼模型.doc
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年3月13日实验目的通过对一个鱼类重量的问题的分析，使学生：1、 了解可以用高等数学的基础知识来解决这种类型的重要问题；2、 体验利用高等数学的思想、方法来分析和解决实际问题； 3、 接受写作研宂报告的初步训练； 4、 激发学生学习高等数学的兴趣。
实验内容1、 应用场景2、 问题分析3、 建立数学模型一、问题重述出于保护的M 的，垂钓俱乐部鼓励会员钓到鱼之后马上放生。
该俱乐部还希望根据钓到的鱼的总 重量给予奖励。
垂钓者怎样确定所钓到的鱼的重量呢？如果采用便携称，一方面，称起來不方便，另一方 面对于小鱼并不准确。
请根据某个容易量测的量來估计鱼的重量。
在大奖赛期间收集到得数据为:如果考虑腰围应该怎么做？付用如卜数据來做测试检验。
二、问题分析通过测量魚的长度估计魚的重量，我们不能陷入对魚复杂生理结构的研究，否则将复杂化，得不到有使用价值的模型，经过大量的分析研究，我们利用类比方法以及魚的体形都是相似的，找出小魚的身长和体重两者关系，或是大魚的身长，胸围和体重三者的比例关系，进而建立了测量鱼重量的模型。
进行以下模型假设：1、池塘里的鱼体型都是相似的；2、每条鱼被钓上的几率是相等的；3、魚肉的密度是相等的：4、不区别魚的雌雄且魚的肥瘦均匀；5、鱼的腰围指鱼身的最大周长：6、池塘的鱼都是在同一条件下生长；三、数学模型的建立与求解1、只有身长时，我们将鱼看作一个矩形，建立身长三次方与重量的关系函数，有身长和腰围时，将龟看作是上下两个圆锥拼Model One接而成，建立函数。
输入数据与程序，描绘出一个散点图50454035302520图i魚身长与重量一次拟合Model Two1600140012001000800600O4001 1.52 2.53 3.54 4.5 5x 104图2鱼身长，腰围与重S:—次拟合2、先建立一个一次拟合查看效果，如图2，图33、借助cftool工具箱，反复尝试比对一次二次及以上的拟合函数效果四、实验结果及分析经过cftool中的反复比较，主要比较了R-square这个值，发现在只有身长时，三次关系最符合，在有身长和腰围时，二次关系最符合。
数学建模
鱼摘要；本文通过对鱼的行程路径建立模型，运用三角函数对其进行分析计算，运用做功原理对其进行假设运算得出证明关系式，同时需进行正确的上下游动状态受力分析关键词：三角函数物体的受力分析功能原理一背景介绍观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性的，锯齿状地向下和向下滑行，可以认为这是在长期的进化过程中鱼类选择的消耗能量最小运动的方式，分析鱼从A点到到达处于同一水平线上的B点时，见图1，沿折线ACB运动消耗能量之比与沿水平AB运动消耗的能量之比为?二，模型的假设设鱼是以常速V运动，鱼在水中的净重W，向下滑行的阻力是W在运动方向的分力；向上游动时所需的力是W，在运动方向分力与游动受阻力之和而游动的阻力是滑行阻力的K倍，水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍。
三模型的建立Cb ahA B由上述模型的假设，可分析知出上在向上，向下水平游动三种状态下的所受阻力向上βf 2=wsinβ+ksina 向下f 1=wsina水平Wf 0=kwsina四模型的求解从c点向A，B作出h。
根据相关文献知，物体在沿某一方向运动，所做出的功，为改方向所受的分力和与该方向总位移的乘积，这里我们引入公式W=F*S，进一步延伸扩展并分析此模型我们得到1，沿锯齿路线运动耗能（即从A-C-B）Q1=hβ+/sinβ(αsinkww*)sinh/sinβ=S(由于C到B不耗能，故只分析A-CAC2，沿水平路线运动耗能（即由A-B方向运动）Q2=KWsina(h*cos/sinB+hcosa/sina)上式中h*cosβ/sinβ+hcosa/sina =SAB3 则要求两者之比为;Q1/Q2=sinβ+sina/ksinasinβ(cosβ/sinβ+cosa/sina)=（sinβ+ksina）/ksina(a+β)注;从A点到B点过程中（即锯齿路线）同一水平位置古重力势能不做向下滑动也不做功，只有想上游动阻力做功，五模型的分析tana= 0.2,试对不同的K值（1.5 2 3）根据消耗能量最小的准则估计最佳的值β即代入线路Q1 (tana=0.2由三角函数分析知当tana 值较小可近似于tana=sinaQ1= （Wsinβ+ksina）*h/sinβ当Ｋ＝１．５时tana=sina＝０．２Ｑ０＝ｈｗ＋０．３ｈ／ｓｉｎβπ)即考查ｙ＝０．３ｈ／ｓｉｎβ的最小值（０＜β＜2π为最佳值。
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鱼模型测量
数学089班王敬华丘创权黄建其
摘要
分析题目可得知只有三组数据：身长，胸围，重量。
需要得出的是用身长和胸围去表示重量，我们可以先分析这三组数据，在综合考虑它们之间会有什么关系？
首先看身长与重量的关系，可以得到它们大体上是正相关的关系，再看一下胸围和重量的关系也是正相关的，因此我们可以得到重量与身长，胸围两者的关系是正相关的。
在这里我们把鱼比拟成一个类似于两个有共同底面的圆锥，所以我们建立一个以圆锥体的底面周长、两个高之和分别为鱼的胸围、鱼长。
并且可以用MATLAB 进行拟合求解。
根据拟合数据的所得的鱼模型函数来估计出：当鱼的长度和胸围分别为40.2cm、26.3cm时鱼的重量为904.3g。
一、问题的提出
鱼的重量和鱼的长度和胸围有关。
现有一种鱼，并且测量得到其中8条鱼长度、胸围和重量（胸围指鱼身的最大周长）如下表：
试建立模型按照测量的长度和胸围来估计鱼的重量。
现有一条鱼的长度和胸围分别为40.2cm和26.3cm，请用你的模型计算出这条鱼的重量。
二、问题分析
分析题目可得知只有三组数据：身长，胸围，重量。
需要得出的是用身长和胸围去表示重量，我们可以分析这三组数据，在综合考虑它们之间会有什么关系？
首先看身长与重量的关系，可以得到它们大体上是正相关的关系，再看一下胸围
和重量的关系也是正相关的，因此我们可以得到重量与身长，胸围两者的关系应该都是正相关的关系。
并且可以用MATLAB进行拟合求解。
三、模型假设
1、假设这些数据测量的是同一种鱼,且密度是不变的。
2、假设鱼的最大周长指的是胸围
3、假设都是在同一条件下测量
4、假设模型建立在理想状态下其它的影响因素忽略不计
四、符号意义
W代表重量L代表身长C代表胸围P表示密度
五、模型建立与求解
对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体相同，把鱼的形状看作类似于两个有共同底面的圆锥所构成，其中鱼的最大周长为胸围，
那么有W=P*S*H/3=P*L*C^2/(12PI())=KX
(其中K=P/(12PI()),X=L*C^2) 因此我们可以得到如下的表格数据
依照上面的假设和定义，我们可以构造如下模型：
Y=KX
我们借助MATLAB 进行拟合。
如下图：
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.5
5
x 10
4
400
600
800
1000
1200
1400
1600
利用MATLAB 求得系数K=0.030704，还得到一个常数A= 50.528 因此模型为：
W=0.030704*X+50.528=0.030704*L*C^2+50.528
所以当长度L=40.2cm,胸围C=26.3cm 时,
鱼的重量为W=0.030704*40.2*26.3^2+50.528=904.3克
六、 模型应用
此模型可以应用于实际的测量中，当然可以扩充到众多领域，不仅仅是测量鱼，只要是测量的这种模型都可以实际应用。