一元二次方程根的分布例题

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.
（3）在区间有且只有一个实根 例3．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范
围。 解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。
变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根 在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. 解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0) 和(1，2)内，则
解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - . f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)·f(2)<0 (5m+3) (m-2)<0 - <m<2. 综上得：m的取值范围是(- , - )∪(- , 2)． 3．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围． 解：令二次函数f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则m-1 ≠ 0，即m ≠ 1． f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 ∴ m的取值范围为． 4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2] 上，求实数a的取值范围． 解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当
（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情 况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y = (1<x<2)的值域． 解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1,
yx2-(3y+1)x+2y-1=0, ① 由题意，关于的方程①在(1,2)上有实根． 易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方 程①在(1,2)上有实根当且仅当 ，解得y≤-5-2. ∴ 原函数的值域为 (-, -5-2].
a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或 或a≥1. 所以实数a的取值范围是或a≥1. 解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又 ∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1Leabharlann Baidu1]上有解，问题转化为求 函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],， 设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取 值范围是，∴=0在[-1，1]上有解∈或。
， ∴实数m的范围是.
（4）在区间有两个实根 例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1) 内，求m的范围.
解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列 不等式组 - <m≤1-,
∴ 实数m的范围是. 变式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取 值范围． 解：设f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件 为
围。
变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根 在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
（4）在区间有两个实根 例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1) 内，求m的范围.
变式1：已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取 值范围．
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围． 解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, ① 由题意，方程①在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则 当且仅当 f(0)·f(1)<0或 m<0或 m≤3-2且m≠0． 故m的取值范围为 (-, 0)∪(0, 3-2]. 例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的 解。 分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有 解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问 题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方 程有解，则的值域． 解：（1）原方程为， ， 时方程有实数解； （2）①当时，，∴方程有唯一解； ②当时，. 的解为； 令 的解为； 综合①、②，得 1）当时原方程有两解：； 2）当时，原方程有唯一解； 3）当时，原方程无解。 变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围． 解：令，当时，． 由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的 值．因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为
解得 - ≤a<-1. ∴ a的取值范围是 [ - , -1)．
答案： 二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧 例1．已知方程有两个负根，求的取值范围． 解：依题意有 ． 变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。 解：由
或即为所求的范围。 变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围． 解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为
（1）即为，它的解集是． （2）即为，它的解集是． （3）的解集是． 所以，的取值范围是． 解二：二次方程有两个根的充要条件是． 设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为：
变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中
至少有一个根小于1，求m的取值范围．
（5） 在区间有实根 例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情 况，在其它的一些场合下也可以适当运用． 例6.1．求函数y = (1<x<2)的值域．
数的取值范围。 解：由 即 即为所求的范围。 变式2：求实数的范围，使关于的方程． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根，且满足． （３）至少有一个正根． 解：设．
（1） 依题意有，即，得． （2） 依题意有 解得：． （３）方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得，即． ②有一个正根，一个负根，此时可得，得． ③有一个正根，另一根为０，此时可得 ． 综上所述，得． 变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个 在原点的右侧，试求m的取值范围. 解：∵f(0)=1>0 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧， 符合题意. (2）当m>0时，则解得0＜m≤1
二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧 例1．已知方程有两个负根，求的取值范围．
变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。
变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围．
（2）两个根在实数的异侧 例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实 数的取值范围。
即
因此，方程两个根都小于1的充要条件是：
以下同解法一（略）． 解三：令，原方程转化为，即
（*） 因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其 充要条件是：
同样可求出的取值范围（略）． （2）两个根在实数的异侧 例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解：由 即 ，从而得即为所求的范围。 变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实
三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围．
2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的 根，求的取值范围．
3．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围．
4．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2] 上，求实数a的取值范围．
例6.2．已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点 的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围．
例6.3．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的
解。
变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围．
由（1）得： 由（2）得： 由（3）得： 由（4）得：
， ， 或， ．
，即的取值范围为．
三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围． 解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅 有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1< <1，即 m< - 或m> ，∴ m的取值范 围为 (-,- )∪( , +). 2．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的 根，求的取值范围．
变式2：求实数的范围，使关于的方程． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根，且满足． （３）至少有一个正根．
变式3：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个
在原点的右侧，试求m的取值范围.
（3）在区间有且只有一个实根 例3．已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范
- <m≤或≤m<. 故a的取值范围是 (- , ] ∪[ , )． 变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中 至少有一个根小于1，求m的取值范围． 解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m， 而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m<3 - <m< . （6） 在区间有实根 例5．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，