第15章第1节极值与最小二乘法

解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点 x 8,
由于在这个问题中，最大值必达到，因此当

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x 8厘米, 600
时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为
3 S 96 48 3 83 厘米2 2
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§15.1. 极值与最小二乘法 二、最小二乘法
根据实际测量得到的数据找函数关系(经验公式)的方法.
f x ( x 0 , y0 ) 0 ，
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
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证明
不妨设 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 )处有极大值,
则对于 ( x0 , y0 )的某邻域内任意
( x , y ) ( x0 , y0 )
都有
f x, y f x0 , y0
n n 2 n n Ti xi xi xiTi i 1 i 1 i 1 i 1 b 2 n n 2 n xi xi i 1 i 1
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§15.1. 极值与最小二乘法
问题归结为求 S 的最大值，先求稳定点
S 24 x sin 4 x sin 2 x sin cos 0 x S 24 x cos 2 x 2 cos x 2 sin 2 x 2 cos 2 0
故当 y y0 ， x x0 时， 有
f x, y0 f x0 , y0 .
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§15.1. 极值与最小二乘法
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x0 处有极大值,
必有
类似地可证
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
§15.1. 极值与最小二乘法 一、极值
1、二元函数极值的定义
设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于 ( x0 , y0 )的点 ( x , y ) ： 若满足不等式 若满足不等式
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
A f x 2 x0 , y0 , B f xy x0 , y0 , C f y 2 x0 , y0 ,
则
f xx x0 x, y0 y A
f xy x0 x, y0 y B
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§15.1. 极值与最小二乘法
极小值 f (1,1) 13 13 3 1 1 1.
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§15.1. 极值与最小二乘法
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，
偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如，函数
z
x2 y2
在(0, 0) 处取得极小值. 但函数在(0, 0) 处偏导数
不存在。
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§15.1. 极值与最小二乘法 3、多元函数的最值
(0, 0) 不是极值点.
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§15.1. 极值与最小二乘法
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0,
B f xy (1,1) 3, C f yy (1,1) 6.
AC B 2 6 6 ( 3)2 27 0.
因此，驻点
(1, 1) 是极小值点.
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§15.1. 极值与最小二乘法
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 注意： 偏导数存在的极值点
例如，点(0, 0) 是函数 z xy 的驻点，
驻点
z x y, z x (0,0) 0;
z y x , z y (0,0) 0.
但点 (0, 0) 不是极值点.
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§15.1. 极值与最小二乘法 函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值。
x, x 0, 例： z x, x 0. 显然，x 0的点都是极小点，但 z z z x 0时， 1, x 0时， 0时, 1 x x x 因此, 在x 0时偏导数不存在.
f xx ( x , y ) 6 x ,
f xy ( x , y ) 3,
f yy ( x , y ) 6 y .
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0, B f xy (0,0) 3,
C f yy (0,0) 0.
因此，驻点
AC B 2 9 0.
简单介绍一种找直线型经验公式的方法.
设测得一组数据为 x1 , T1 , x2 , T2 , ..., xn , Tn , 找t ax b 用 1＝T1 ax1 b, 2＝T2 ax2 b, , n＝Tn axn bn ,
表示与t=ax+b的偏差, 这些偏差的平方和叫做总偏差， 记为 ,即
解 令
( x 2 y 2 1) 2 x ( x y ) zx 0, 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)
得驻点 ( 1 , 1 ) 和 ( 1 , 1 ) , 2 2 2 2 x y 0 (求边界点处函数值) 因为 lim 2 2 x x y 1
存在M 0 x0 , y0 的一个邻域，使得在这个邻域内， f 的符号与Kf 的符号相同.
记 H AC B 2
对于二次型Kf Ax 2 2Bxy C y 2，
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§15.1. 极值与最小二乘法
利用高等代数的知识，得到下面的结论。
（1）H 0, A 0, 取到极大值； （2）H 0, A 0, 取到极小值； （3）H 0, 无极值； （4）待定.
推广：如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必 要条件为
f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ，
f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
例6 有一块薄铁皮，宽24厘米，把两边折起，做成一槽， 求x和倾角，使槽的梯形截面的面积最大?
解
x
24厘米
x
x
24 2 x
x
槽的梯形截面面积为 (建立函数关系)
1 S ( x , ) [(24 2 x ) (24 2 x 2 x cos )] x sin 2 (24 2 x x cos ) x sin 24 x sin 2 x 2 sin x 2 sin cos
＝f（a，b）= Ti axi b
i 1
n
2
选择适当的a和b使总偏差最小.
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§15.1. 极值与最小二乘法
由极值的必要条件, 令
n n n 0 n xiTi xi Ti a i 1 i 1 解之,得 a i 1 2 n n 0 2 n xi xi b i 1 i 1
，
则称函数在 ( x0 , y0 )有极大值；
f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ，
则称函数在 ( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
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§15.1. 极值与最小二乘法
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2 (1)
在 (0,0) 处有极小值．
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大 者即为最大值，最小者即为最小值.
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§15.1. 极值与最小二乘法
x y 例5 求 z 2 的最大值和最小值. 2 x y 1
f yy x0 x, y0 y C
且当x 0, y 0时， 0， 0， 0
1 1 2 2 f ( Ax 2 Bxy C y ) (x 2 2xy y 2 ) 2 2
当Kf Ax 2 2Bxy C y 2 0时，
令
f xx ( x0 , y0 ) A，
f yy ( x0 , y0 ) C ，则
(1) AC B 2 0 时具有极值，且 当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； (2) AC B 2 0 时没有极值； (3) AC B 2 0 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
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§15.1. 极值与最小二乘法
设f x, y 在点 x0 , y0 取到极值，则
f f x0 x , y0 y f x0 , y0
1 ( f x 2 x0 x , y0 y x 2 2 f xy x0 x , y0 y xy 2 f yy x0 x , y0 y y 2 )
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§15.1. 极值与最小二乘法
3 3 f ( x , y ) x y 3 xy 的极值。 例4 求函数
解
f x ( x, y ) 3 x 2 3 y,
f y ( x, y) 3 y 2 3 x.
2 x y, 2 y x.
2 3 x 3 y 0, 求解方程组： 2 3 y 3 x 0. 得驻点 (0, 0), (1, 1).
(抛物面)
例２ 函数 z x 2 y 2
在 (0,0) 处有极大值．
(锥面)
(2)
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(马鞍面)
(3)
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§15.1. 极值与最小二乘法 2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
定理2 : 极值点必为驻点或至少有 一个偏导数不存在的点.
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§15.1. 极值与最小二乘法
定理 3 （充分条件） : 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又
f x ( x 0 , y0 ) 0 ,
f y ( x 0 , y0 ) 0 ， f xy ( x0 , y0 ) B ，
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§15.1. 极值与最小二乘法
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组
f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出所有驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 2 的符号，再判定是否是极值.
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§15.1. 极值与最小二乘法
有了a, b, 就可以确定最小二乘关系式 T ax b
注：最小二乘法主要用在生产实践中。
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§15.1. 极值与最小二乘法
y
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§15.1. 极值与最小二乘法
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , 2 2 2 z ( 1 , 1 ) 1 , 2 2 2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外， 并无其他条件.
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§15.1. 极值与最小二乘法