高三数学定积分及其应用PPT优秀课件
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定积分及其应用ppt课件
n
xi 0, f (i )xi 0, i 1
|| T || max{x1, x2 , , xn }
n
b
lim
||T ||0
i 1
f (i )xi
f ( x)dx 0.
a
性质5的推论：（定积分不等式性质）
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则
b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx.
(a b)
证明 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
(a b)
即
b
g( x)dx
b
f ( x)dx 0,
a
a
于是
b
a f ( x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
b
a 1 dx a
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
证明 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
前
积取负号．
a
y f (x)
b
b
特别，当 f (x) 1 时，有a 1 dx (b a)1 b a .
《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
《数学定积分的应用》课件
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差 的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和 或求差。
区间可加性
定积分具有区间可加性，即对于任意两个不重叠 的区间[a, b]和[b, c]，有 ∫(a,c)f(x)dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(b,c)f(x)dx。
积分中值定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么至少存在 一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a,b)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。
电路中的电流和电压
要点一
总结词
定积分在电路分析中用于计算电流和电压，通过求解电路 中的微分方程，可以得到电流和电压的分布。
要点二
详细描述
在电路分析中，电流和电压的变化规律通常由微分方程描 述。通过应用定积分，可以将电路中的电压和电流表示为 时间的函数。然后通过求解这个微分方程，可以得到电流 和电压在整个电路中的分布情况。
详细描述
对于曲线形构件，其质量可以通过定积分计算。首先，确定构件的材料密度分 布，然后对密度函数在构件的体积上进行积分，得到构件的总质量。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度
详细描述
在引力场中，物体受到的引力大小与物体质 量成正比，与物体之间的距离的平方成反比 。通过定积分计算在某一空间区域内的引力 场强度，即在该区域内所有物体产生的引力 对该点的合力。具体地，将引力函数在空间 区域上进行积分，得到该区域内的引力场强 度。
dx进行计算。
功和压力
总结词
定积分可以用于计算变力做功和压力。
详细描述
对于一个质点在力F(x)=f(x)*dx的作用下沿直线运动 ，力F所做的功可以通过计算定积分得出，公式为 ∫(b a) f(x) dx。
《高中定积分的应用》课件
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
《定积分及其应用》课件
在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积， 我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的 价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流 ，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用，特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
定积分的应用ppt课件共37页PPT
例 连接坐标原点O 及点 P(h, r )的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr 3
2
.
三、定积分在医学中的应用举例
如果函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
yx4
y2 2x
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
特别地,当曲边梯形的曲边由参数方程
x(t) y(t), (T1 t T2)
给出时,则此曲边梯形的面积为:
A T2(t)(t)dt T1
其中T1和T2是对应于曲线的起点及终点的 参数值.
x (y)、直线y c、y d及y轴所围
成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [(y)]2dy c
d
x(y)
cox源自例 4 证 明 底 半 径 为 r , 高 为 h 的 圆 锥 的 体 积 公 式 .
定积分及其应用概要精品PPT课件
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限
为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi } 0
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1 ],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
《定积分及其应用》课件
性质
1 线性性质
定积分的线性性质使得我们能够对函数的和、差、乘以常数进行积分。
2 区间可加性
在一个区间上的积分等于在多个子区间上的积分之和。
3 保号性质
当函数在一个区间上不改变符号时，其定积分保持正负性质。
计算方法
换元法
通过变量代换，将原本复杂的积分转化为简单 的积分。
分部积分法
将原本难以求解的函数积分转换成两个易于求 解的函数之积分。
定积分的应用
通过物理、经济学相关实例展示定积分在实际中 的应用价值。
总结与回顾
在本课件中，我们深入学习了定积分的定义、性质、计算方法以及应用。希 望这些知识能够帮助你更好地理解和应用定积分，在解决实际问题中发挥重 要作用。
《定积分及其应用》PPT 课件
欢迎大家来到本次关于《定积分及其应用》的PPT课件，本课件将带领你深 入探索定积分的世界，揭示其定义、性质、计算方法以及广泛的应用。让我 们开始这个精彩的学习之旅吧！
定义
定积分代表曲线和x轴之间的面积，可以看作是无穷多个微小的面积的累加。
区别。
应用
几何意义
定积分可以计算曲线和x轴之间的面积，可以应用于计算图形的面积、弧长、体积等。
物理应用
定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量等问题的求解。
经济学应用
定积分可以应用于经济学中的边际效应、总收益、总成本等的分析和计算。
综合实例展示
曲线的定积分
通过实际例子展示如何计算曲线和x轴之间的定 积分。
定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
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10.3 定积分及其应用
知识梳理
t
p
1 2
5730
1.定积分的有关概念：
把 nlimin1bnaf(i)叫做函数f(x)在区间
b
[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx ,即
bf( x ) d x
a
n lim in 1bn a f(i) a.其中a与b分
别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]
4.位于x轴下方的曲边梯形的面积， 等于相应定积分的相反数.一般地，由直 线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的曲边梯形的面积
b
S |f(x)|dx a
5.由直线x＝a，x＝b(a＜b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的
b
面积 S |f(x) g(x)|d x a
0
0
求k的取值范围.
【解题要点】 求相关定积分值→利用方程或不等式思 想分析参数取值.
考点4 定积分中的函数问题 例6 求函数 f( x ) xs in t( 1c o st) d t
0
的值域.
例7
已知函数
x 2lnt f(x) (1 )dt
1
2t
(x＞1)，试推断函数f(x)是否有零点.
【解题要点】 求积分函数的解析式→据有关原理分析 函数性质.
THANKS
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演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
b
f(x)d x F (b) F (a )
a
拓展延伸
1.用极限逼近原理求曲边梯形面积是 定积分的实际背景，其基本思路是： 分割→近似替代→求和→取极限.
2.定积分是一个特定形式和的极限， 其几何意义是曲边梯形的面积，定积分 的值由被积函数，积分上限和下限所确 定.
3.在实际问题中，定积分可以表示面 积、体积、路程、功等等，求定积分的 值有定义法、几何法、定理法三种，有 时利用定积分的性质进行计算，能简化 解题过程.
【解题要点】 确定被积函数的原函数→对被积函数作 适当变形→将定积分转化为求曲边梯形 的面积.
考点2 利用定积分概念求极限值
例3 求下列极限值：
（1）lim 1 [ s in s in 2 s in ( n 1 )]
n n n n
n
（2）lim (111 1 )
n n 1n 2n 3 2 n
考点6 定积分在物理中的应用
例12 两车站A，B相距7.2km，一辆电 车从A站开往B站，电车开出ts后到达途 中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点 的速度为24m/s.从C点到B点前的D点以等 速行驶，从D点开始刹车，经ts后速度为 (24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，求： （1）A，C两点间的距离； （2）B，D两点间的距离； （3）电车从A站到B站所需的时间.
当t变化时，求曲边四边形ABOD的面积S
的最大值.
y
BA
D
O
x
例11 若过原点的直线l与曲线C： y＝x2－4x(x≥0)所围成图形的面积为36， 求直线l的方程.
【解题要点】 作几何直观图选择面积算法→确定积分 变量、被积函数和积分区间→将非规则 曲边梯形分割或补形为规则曲边梯形→ 对多边形面积直接套公式求解.
3.定积分的物理意义：
（1）以速度v＝v(t)作变速直线运动的 物体，在a≤t≤b时段内行驶的路程
b
s v(t)dt a
（2）如果物体在变力F(x)的作用下做直 线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方 向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，则变力F(x) 所作的功W bF(x)dx
a
4.定积分的运算性质：
考点5 用定积分求平面图形的面积 例8 求直线y＝x＋3与曲线y＝x2－2x
＋3所围成图形的面积.
例9 求直线y＝x－4与曲线y2＝2x所 围成图形的面积.
例10 如图，曲线C1：y＝x2与曲线C2： y＝－x2＋2ax(a＞1)交于点O，A，直线
x＝t(0＜t≤1)与曲线C1、C2分别相交于 点D、B，连结OD，DA，AB.设a为常数，
叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数,
x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.
2.定积分的几何意义：
如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是 一条连续不断的曲线，且f(x)≥0，那么
b
定积分 f(x)dx 表示由直线x＝a，x＝ a
b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积.
【解题要点】 构造特定形式和→确定被积函数和积分 区间→用定积分表示极限.
考点3 定积分中参数的取值问题
例4 (08年山东卷）设函数
f(x) a x2 c (a 0 )，若
1
f(x)dx
0
f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值
为
.
例5 设f(x)＝kx＋b，已知
1
f(x)dx
1，且
1f2(x)dx 4，
考点分析
考点1 定积分的基本运算
例1 计算下列定积分：
2
（1） x(x 1)dx ； 0
（2） 2(e2x 1
1)dx x
；
（3） sin2xdx； 0
（4） 3|x2 1|dx ； 0
（5） e1 lnxdx . 1x
例2 计算下列定积分：
b
（1） (a x)(x b)dx(b＞a)； a
（2） 5(3x34|x|sinx)dx. 5
b
b
（1） k f(x) d x k f(x) d x；
a
a
b
b
b
（2） [ f ( x )g ( x ) ] d x f ( x ) d x g ( x ) d x
a
a
a
c
b
b
（3） f( x ) d x f( x ) d x f( x ) d x .
a
c
a
5.微积分基本定理：
如果f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，并且 F(x) f(x)，则
知识梳理
t
p
1 2
5730
1.定积分的有关概念：
把 nlimin1bnaf(i)叫做函数f(x)在区间
b
[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx ,即
bf( x ) d x
a
n lim in 1bn a f(i) a.其中a与b分
别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]
4.位于x轴下方的曲边梯形的面积， 等于相应定积分的相反数.一般地，由直 线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝ f(x)所围成的曲边梯形的面积
b
S |f(x)|dx a
5.由直线x＝a，x＝b(a＜b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的
b
面积 S |f(x) g(x)|d x a
0
0
求k的取值范围.
【解题要点】 求相关定积分值→利用方程或不等式思 想分析参数取值.
考点4 定积分中的函数问题 例6 求函数 f( x ) xs in t( 1c o st) d t
0
的值域.
例7
已知函数
x 2lnt f(x) (1 )dt
1
2t
(x＞1)，试推断函数f(x)是否有零点.
【解题要点】 求积分函数的解析式→据有关原理分析 函数性质.
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b
f(x)d x F (b) F (a )
a
拓展延伸
1.用极限逼近原理求曲边梯形面积是 定积分的实际背景，其基本思路是： 分割→近似替代→求和→取极限.
2.定积分是一个特定形式和的极限， 其几何意义是曲边梯形的面积，定积分 的值由被积函数，积分上限和下限所确 定.
3.在实际问题中，定积分可以表示面 积、体积、路程、功等等，求定积分的 值有定义法、几何法、定理法三种，有 时利用定积分的性质进行计算，能简化 解题过程.
【解题要点】 确定被积函数的原函数→对被积函数作 适当变形→将定积分转化为求曲边梯形 的面积.
考点2 利用定积分概念求极限值
例3 求下列极限值：
（1）lim 1 [ s in s in 2 s in ( n 1 )]
n n n n
n
（2）lim (111 1 )
n n 1n 2n 3 2 n
考点6 定积分在物理中的应用
例12 两车站A，B相距7.2km，一辆电 车从A站开往B站，电车开出ts后到达途 中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点 的速度为24m/s.从C点到B点前的D点以等 速行驶，从D点开始刹车，经ts后速度为 (24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，求： （1）A，C两点间的距离； （2）B，D两点间的距离； （3）电车从A站到B站所需的时间.
当t变化时，求曲边四边形ABOD的面积S
的最大值.
y
BA
D
O
x
例11 若过原点的直线l与曲线C： y＝x2－4x(x≥0)所围成图形的面积为36， 求直线l的方程.
【解题要点】 作几何直观图选择面积算法→确定积分 变量、被积函数和积分区间→将非规则 曲边梯形分割或补形为规则曲边梯形→ 对多边形面积直接套公式求解.
3.定积分的物理意义：
（1）以速度v＝v(t)作变速直线运动的 物体，在a≤t≤b时段内行驶的路程
b
s v(t)dt a
（2）如果物体在变力F(x)的作用下做直 线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方 向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，则变力F(x) 所作的功W bF(x)dx
a
4.定积分的运算性质：
考点5 用定积分求平面图形的面积 例8 求直线y＝x＋3与曲线y＝x2－2x
＋3所围成图形的面积.
例9 求直线y＝x－4与曲线y2＝2x所 围成图形的面积.
例10 如图，曲线C1：y＝x2与曲线C2： y＝－x2＋2ax(a＞1)交于点O，A，直线
x＝t(0＜t≤1)与曲线C1、C2分别相交于 点D、B，连结OD，DA，AB.设a为常数，
叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数,
x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.
2.定积分的几何意义：
如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是 一条连续不断的曲线，且f(x)≥0，那么
b
定积分 f(x)dx 表示由直线x＝a，x＝ a
b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积.
【解题要点】 构造特定形式和→确定被积函数和积分 区间→用定积分表示极限.
考点3 定积分中参数的取值问题
例4 (08年山东卷）设函数
f(x) a x2 c (a 0 )，若
1
f(x)dx
0
f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值
为
.
例5 设f(x)＝kx＋b，已知
1
f(x)dx
1，且
1f2(x)dx 4，
考点分析
考点1 定积分的基本运算
例1 计算下列定积分：
2
（1） x(x 1)dx ； 0
（2） 2(e2x 1
1)dx x
；
（3） sin2xdx； 0
（4） 3|x2 1|dx ； 0
（5） e1 lnxdx . 1x
例2 计算下列定积分：
b
（1） (a x)(x b)dx(b＞a)； a
（2） 5(3x34|x|sinx)dx. 5
b
b
（1） k f(x) d x k f(x) d x；
a
a
b
b
b
（2） [ f ( x )g ( x ) ] d x f ( x ) d x g ( x ) d x
a
a
a
c
b
b
（3） f( x ) d x f( x ) d x f( x ) d x .
a
c
a
5.微积分基本定理：
如果f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，并且 F(x) f(x)，则