甘肃省白银市会宁一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)

甘肃省白银市会宁一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述
为如图所示，我们教材中利用该图作为“()”的几何解释．
A. 如果a>b，b>c，那么a>c
B. 如果a>b>0，那么a2>b2
C. 对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
D. 如果a>b，c>0那么ac>bc
2.在△ABC中，b=2，A=π
3，B=π
4
，则a的值为()
A. √3
B. √6
C. 2√3
D. √6
2
3.在△ABC中，已知b=c=√2
2
a，则A等于()
A. π
4B. π
3
C. π
2
D. 2π
3
4.ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=√2，c=4.且acosB=3bcosA，则ΔABC的
面积为()
A. 3√2
B. 4
C. 3
D. 2
5.《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四
升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列).问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为()
A. 7
4B. 37
33
C. 67
66
D. 10
11
6.在Rt△ABC中，角C=90°，且角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a+b=cx，则实数x的
取值范围是()
A. (0,1]
B. (0,2]
C. (1,√2]
D. (1,2)
7.已知数列{a n}是等差数列，若a5+a6+a7=6，则S11=()
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
8.已知等差数列{a n}，S n是其前n项的和，若S3=2a3，则S2015
a2015
的值为()
A. 2015
B. 2016
C. 1024
D. 1008
9.在等差数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，若S11=11，则a6=()
A. 1
B. 3
C. 6
D. 9
10.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n+n，前n项和为S n，则S6等于()
A. 282
B. 147
C. 45
D. 70
11.已知2x+y=2，则9x+3y的最小值为()
A. 2√2
B. 4
C. 12
D. 6
12.设x>0，则x+4
x
的最小值为()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设x，y满足约束条件{x+y−7≤0,
x−3y+1≤0,
3x−y−5≥0,
则z=2x−y的最大值为________．
14.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=3S n−3S n−1+S n−2+2(n≥3)，且a1=3，a2=8，a3=
15，则a n=________．
15.已知数列{a n}满足a n+1·a n=a n−1，a1=2，则a2019=________．
16.已知x>2，函数y=4
x−2
+x的最小值是_______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.解关于x的不等式x2+(2−a)x−2a<0(a∈R)．
18.在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosB
cosC =−b
2a+c
．
(1)求∠B的大小；
(2)若a=2，S=√3，求b，c的值．
19.已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．
(Ⅰ)求{a n}的通项公式；
(Ⅱ)若b n=2n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n．
20.已知函数f(x)=ax2−(a2+1)x+a．
(1)若当a>0时f(x)<0在x∈(1,2)上恒成立，求a范围;
(2)解不等式f(x)>0．
21.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．
(1)证明：a1，a5，a41成等比数列；
(2)求数列{a n⋅3n}的前n项和T n．
=2√2，22.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−√2bc=a2，c
b
(1)求角A；
(2)求tan B的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2=a2+b2)，
则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，
对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
故选：C．
可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2=a2+b2)，可得外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．
2.答案：B
解析：解：∵b=2，A=π
3，B=π
4
，
∴由正弦定理可得：a=bsinA
sinB =2×
√3
2
√2
2
=√6．
故选：B．
由已知利用正弦定理即可解得a的值．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：C
解析：
【分析】
本题考查余弦定理的运用，属于基础题．
利用三边的关系，直接代入余弦定理中即可求解．
【解答】
解：由于b=c=√2
2
a，
所以，
由于A∈(0,π)，
所以，
故选C．
解析： 【分析】
由已知利用余弦定理可求a ，利用余弦定理求得cos C 的值，根据同角三角函数基本关系式求得sin C 的值，利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 【解答】
解：△ABC 中，∵acosB =3bcosA ， ∴可得：a ·
a 2+c 2−
b 2
2ac
=3b ·
b 2+
c 2−a 2
2bc
，整理可得：2a 2=2b 2+c 2，
∵b =√2，c =4，
∴解得：a =√10，可得：cosC =a 2+b 2−c 2
2ab
=2×
√10×√
2
=−√5
5
， ∴sinC =√1−cos 2C =
2√5
5
， ∴S △ABC =1
2absinC =1
2×√10×√2×2√55=2．
故选：D ．
5.答案：C
解析： 【分析】
本题考查了等差数列通项公式及等差数列求和公式与等差数列的应用，属于基础题目．
根据题意题意设九节竹自下而上各节的容量分别为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，解可得首项和公差，计算可得a 5的值． 【解答】
解：根据题意，九节竹的每一节容量变化均匀，即其每一节的容量成等差数列， 设自下而上各节的容量分别为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ， 分析可得{a 1+a 2+a 3=4
a 6+a 7+a 8+a 9=3， 解得a 1=95
66,d =−7
66，
所以该竹子中间一节的容量为a 5=a 1+4d =95
66−
7×466
=67
66．
6.答案：C
解析：
【分析】
本题考查正弦定理，三角函数求值域，是中档题．由正弦定理表示a，b，再用三角函数化简求值域．【解答】
解：因为C=90°，所以sin C=1，所以由正弦定理得a
sin A =b
sin B
=c
sin C
=c，
所以a=csin A，b=csin B，所以a+b=csin A+csin B=cx，即sin A+sin B=x．
又A+B=90°，即B=90°−A，
所以sin B=sin(90°−A)=cos A，
则x=sin A+sin B=sin A+cos A=√2(√2
2sin A+√2
2
cos A)=√2sin(A+π
4
)．
因为π
4<A+π
4
<3π
4
，所以sin (A+π
4
)∈(√2
2
,1],
所以√2sin(A+π
4
)∈(1,√2]，则x∈(1,√2].
故选C．
7.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查了等差数列的概念和性质与等差数列的求和应用，属于基础题；根据{a n}为等差数列，a5+a6+a7=6，得到a6=2，即可得到S11的值．【解答】
解：∵数列{a n}为等差数列，
∴a5+a6+a7=3a6=6，
∴a6=2，
S11=11a6=11×2=22．
故选C．
解析：
【分析】
本题考查等差数列的求和公式，属基础题．
由题意可得公差等于首项，代入求和公式和通项公式化简可得．【解答】
解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵S3=2a3，∴3a1+3×2
2
d=2(a1+2d)，
解得d=a1，
∴S2015
a2015=2015a1+
2015×2014
2
a1
a1+2014a1
=1008．
故选D．
9.答案：A
解析：解：由等差数列的性质可得：S11=11=11(a1+a11)
2
=11a6，解得a6=1．
故选：A．
利用等差数列的通项公式与前n项和公式及其性质即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.答案：B
解析：
【分析】
本题主要考查分组转化求和法.根据数列的通项公式，得S n=(21+22+...+2n)+(1+2+3+...+n)，再用等比数列和等差数列的求和公式，即可求出结果．
【解答】
解：∵a n=2n+n，
∴S n=21+1+22+2+23+3+...+2n+n
=(21+22+...+2n)+(1+2+3+...+n)
=2(1−2n)
1−2
+
n(1+n)
2
=2n+1−2+n2+n
2
，
∴S6=27−2+62+6
2
=147．
故选B．
11.答案：D
解析：解：∵2x+y=2，
∴9x+3y≥2√9x⋅3y=2√32x+y=2×3=6.当且仅当y=2x=1时取等号．故选D．
利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．
12.答案：B
解析：解：∵x>0，
∴x+4
x ≥2√x⋅4
x
=4
当且仅当x=4
x
即x=2时取等号，
故选：B
由基本不等式求最值可得．
本题考查基本不等式求最值，属基础题．
13.答案：8
解析：
【分析】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)，
由z =2x −y 得y =2x −z ， 平移直线y =2x −z ，
由图象可知当直线y =2x −z 经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小， 此时z 最大，
由{x +y −7=0x −3y +1=0，解得{x =5y =2，即A(5,2)， 将A 的坐标代入目标函数z =2x −y ，
得z =2×5−2=8.即z =2x −y 的最大值为8． 故答案为8．
14.答案：n 2+2n
解析： 【分析】
本题考查数列的递推关系，数列的通项公式，等差数列的通项公式，属于中档题．
由S n+1=3S n −3S n−1+S n−2+2(n ≥3)得(a n+1−a n )−(a n −a n −1)=2，故{a n+1−a n }是等差数列，得a n+1−a n =2n +3，由累加法可求a n ． 【解答】
解：因为S n+1=3S n −3S n−1+S n−2+2(n ≥3)， 所以S n+1−S n−2=3S n −3S n−1+2(n ≥3)， 即a n−1+a n +a n+1=3a n +2(n ≥3)， 即(a n+1−a n )−(a n −a n −1)=2(n ≥3)，① 又a 1=3，a 2=8，a 3=15， 所以(a 3−a 2)−(a 2−a 1)=2， 即n =2时，也符合①式；
所以{a n+1−a n }是首项为5，公差为2的等差数列， 所以a n+1−a n =2n +3，
由累加法得a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)
=3+5(n −1)+
(n −1)(n −2)
2
×2
=n 2+2n ． 所以a n =n 2+2n ， 故答案为n 2+2n ．
15.答案：−1
解析：
【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．
利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】
解：数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n−1
a n =1−1
a n
，
可得a2=1
2
，
a3=1−11
2
=−1，
a4=1−1
−1
=2，
…
所以数列的周期为3．
则a2019=a672×3+3=a3=−1．
故答案为−1．
16.答案：6
解析：
【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题目．
拼凑基本不等式的形式，利用基本不等式求出最小值即可．【解答】
解：因为x>2，
所以x−2>0，
则y=4
x−2+x=4
x−2
+(x−2)+2≥2√4
x−2
×(x−2)+2=6，
当且仅当4
x−2
=x−2，即x=4时等号成立．
故答案为6．
17.答案：解：设函数f(x)=x2+(2−a)x−2a，则函数f(x)的图象开口向上，它所对应方程f(x)=0的解为x=a，或x=−2；
由此可得：
当a>−2时，原不等式的解为{x|−2<x<a}；
当a=2时，原不等式的解为空集；
当a<−2时，原不等式的解为{x|a<x<−2}；
解析：求出函数f(x)对应方程f(x)=0的解，由此讨论a 的取值所对应的原不等式的解集．
本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时需要对字母系数进行讨论，是易错题．
18.答案：解：(1)由正弦定理及cosB cosC =−b 2a+c 得：cosB cosC =−sinB 2sinA+sinC ，
∴cosB(2sinA +sinC)=−sinBcosC ，
∴2sinAcosB +cosBsinC =−sinBcosC ，
∴−2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ，
∵sinA ≠0，
∴cosB =−12
， ∵0<B <π，
∴B =2π3，
(2)由a =2,B =2π3,S =12acsinB =√3，解得：c =2， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，①
将，a =2，c =2，B =2π3代入①，得b =√22+22+2×2×2×12=2√3．
解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
(1)由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：−2sinAcosB =sinA ，结合sinA ≠0，可求cos B ，结合B 的范围可求B 的值．
(2)由利用三角形面积公式、及余弦定理即可求解b 、c 的值．
19.答案：解：(Ⅰ)因为{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2−5x +6=0的根，
所以a 2=2，a 4=3，所以公差为12，所以a n =12n +1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得到b n =2n ⋅a n =2n ⋅(12n +1)=2n−1(n +2)，
所以数列{b n }的前n 项和T n =1×3+21×4+22×5+⋯+2n−2(n +1)+2n−1(n +2)，① 2T n =2×3+22×4+23×5+⋯+2n−1(n +1)+2n (n +2)，②
①−②得，−T n =3+2+22+23+⋯+2n−1−2n (n +2)=3+
2(1−2n−1)1−2−2n (n +2)=1−(n +
1)2n ．
所以T n =(n +1)2n −1．
解析：本题考查了等差数列的通项公式的求法以及错位相减法求数列的和，属于中档题． (Ⅰ)利用{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2−5x +6=0的根，得到a 2，a 4，再求首项和公差，进一步求通项公式．
(Ⅱ)利用错位相减法求和．
20.答案：解：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，
若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，
只需{f(1)≤0f(2)≤0
， 即{a −(a 2+1)+a ≤04a −2(a 2+1)+a ≤0
， 解得a ∈(0,12]∪[2,+∞)
(2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，
当a =0时，得到x <0，
当a >0时，化为(x −1a )(x −a)>0，
当a >1时，得到x <1a 或x >a ，
当a =1时，得到x ≠1，
当0<a <1时，得到x <a 或x >1a ，
当a <0时，化为(x −1a )(x −a)<0，
当−1<a <0时，得到1a <x <a
当a =−1时，得到x ∈ϕ，
当a <−1时，得到a <x <1a ，
综上所述，a <−1时，原不等式的解集为：(a,1a )
a =−1时，原不等式的解集为：⌀，
−1<a <0时，原不等式的解集为：(1a ,a)，
a =0时，原不等式的解集为：(−∞,0)
0<a <1时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(1a ,+∞)，
a >1原不等式的解集为：(−∞,1a )∪(a,+∞)．
解析：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)
上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0
，解得a 的范围； (2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，对a 值进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 21.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由于a 17=33，S 7=49，
则：{a 1+16d =337a 1+21d =49
，
解得：a 1=1，d =2，
所以：a n =2n −1． 则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，
即：a 52=a 1⋅a 41．
所以：a 1，a 5，a 41成等比数列．
(2)解：由(1)得：a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，
则：T n =1⋅31+3⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n ①，
则：3T n =1⋅32+3⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n+1②
①−②得：−2T n =3+2(32−3n+11−3)−(2n −1)⋅3n+1，
整理得：T n =(n −1)⋅3n+1+3．
故数列的前n 项和为：T n =(n −1)⋅3n+1+3
解析：(1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a 1，a 5，a 41成等比数列．
(2)利用(1)的结论，进一步求出a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． 22.答案：解：(1)∵b 2+c 2−√2bc =a 2，即b 2+c 2−a 2=√2bc ，
∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =√22
， ∵A 为三角形内角，
∴A =π4；
(2)将c b =2√2，利用正弦定理化简得：sinC sinB
=2√2，即sinC =2√2sinB ， ∴sin(3π4−B)=2√2sinB ，即√22cosB +√22sinB =2√2sinB ， 整理得：3√22
sinB =√22cosB ， 则tanB =13．
解析：本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
(1)由余弦定理表示出cos A ，将已知等式变形后代入求出cos A 的值，即可确定出A 的度数；
(2)已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，由A 的度数及内角和定理表示出C ，代入关系式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后即可确定出tan B 的值．。