非线性动力学——LORENZ方程实验报告

非线性动力学实验报告

Lorenz方程

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一、实验目的

绘制Lorenz方程，并研究相关特性，进一步理解非线性系统。

二、实验内容

1、用计算机绘制Lorenz方程；

2、研究Lorenz方程的相关特性：

1)方程的整体特性以及对特征根的讨论；

2)方程对参数的依赖；

3)混沌状态的特性；

4)方程对初始条件的敏感。

三、概念介绍

1963年美国麻省理工学院的气象学家E. Lorenz在对天气预报动力学模型进行数值计算时发现了一个由非线性微分方程组描述的著名的Lorenz方程，这就是混沌现象的第一个奇怪吸引子Lorenz 吸引子。由于在天气、对流、

斜波等现象及水轮机、发电机、激光机等真实物理系统中发现，Lorenz方程可以作为许多现实混沌运动的精确模型，因此对Lorenz方程的特性的研究受到许多学者的关注。

1、Lorenz方程

()

{

其中，，是随时间变化的物理量，是时间变量；，，是正的参数，当参数不同时，方程的状态就不同。

2、Lorenz方程的基本特性

(1)稳定性分析

令Lorenz方程：

0，0，0

得到平衡点：

O(0,0,0),F1(√ ( ),√ ( )1),F2( √ ( )(),1)取0,28,83

⁄，到三个平衡点：

O(0,0,0), F1(6√2,6√2,27), F2( 6√2, 6√2,27)

1)对于平衡点O(0,0,0)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是：

J0[

1][

10100

28 10

0083⁄

]

令|λi J0|0的对应于平衡点O的特征值：

λ1 22.8277，λ211.8277，λ3 2.6667这里λ2是正实数，λ1，λ3是负实数，所以O是鞍点，故平衡点O是不稳定点。

2)对于平衡点F1(6√2,6√2,27)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是：

J1[

1][

10100

1 1 6√2

6√26√283⁄

]

令|λi J1|0的对应于平衡点F1的特征值：

λ1 13.8546，λ20.09410.1945i，λ30.09410.1945i

这里λ1是负实数，λ2，λ3是一对具有正实部的共轭复数，所以F1是鞍式焦点，故平衡点F1是不稳定点。

3)对于平衡点F2( 6√2, 6√2,27)，将Lorenz方程线性化，其雅可比矩阵是：

J2[

1][

10100

1 1 6√2

6√2 6√283⁄

]

令|λi J2|0的对应于平衡点F2的特征值：

λ1 13.8546，λ20.09410.1945i，λ30.09410.1945i

这里λ1是负实数，λ2，λ3是一对具有正实部的共轭复数，所以F2也是鞍式

焦点，故平衡点F2也是不稳定点。

综述所述：Lorenz方程的平衡点都是鞍式焦点。

四、程序实现

实验平台：MATLAB R2010a

实验环境：Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU T8100 主频2.10GHz，内存：2GB

1、方程对参数依赖

1963年洛仑兹研究Lorenz方程时3个参数的取值为：10，83⁄，28，这组参数值通常称标准情形(canonical case)。当年洛仑兹就是在这一组参数值下，采用计算机数值计算，发现了奇怪吸引子。

对于Lorenz方程，不同参数的设置可以得到不同的状态。一般固定参数和，单独考察当变化时，系统行为的变化。这与非线性动力系统相对应，可以认为是不同的系统函数对最终状态的结果有很大影响。

令初始值2，3，4

⁄，10时，得到下边的结果：吸引子也表现为不动的

1)当σ10，83

固定点。

⁄，20时，得到下边的结果：轨线绕一点旋转，吸引2)当σ10，83

子表现为不动的固定点。

⁄，28时，得到下边的结果：系统出现蝴蝶状的混沌3)当10，83

吸引子。

2、系统的混沌状态特性

⁄，10，轨道就集中在形式非在( , , )空间中取参数σ10，83

常复杂的一个吸引子上。这个Lorenz吸引子包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成，如下图：

图(1) t=10 图(2) t=20

图(3) t=100 图(4) t=500 可以看出：当初始条件和参数不变时，随着计算次数的增加，相空间曲线并未趋近于某一固定值，而是在一定范围之内变化，此时方程进入混沌状态。即使迭代次数很大，系统依然处于混沌状态。

五、讨论

Lorenz方程是非线性微分方程，没有解析解，只有数值解。方程的解对参数具有依赖性，参数选择不同，解有可能渐近稳定，也有可能产生混沌。当产生混沌时，Lorenz方程对初始值具有一定的敏感性。

10，83⁄，28是经典的混沌取法，但是系统的稳定是系统的基本要求，为了使Lorenz方程不稳定平衡点成为稳定平衡点，利用反馈控制方法给Lorenz方程中的第二个方程施加一个简单的线性反馈项k 。

取10，83

⁄，28，则

{10()

28 k 8

3

其中k为待定常数。

通过对该方程平衡点特征根的计算，确定K值使得平衡点稳定，就能保证最后系统的稳定收敛于固定点。用该方法验证一下计算得到k取值-36，得到的相空间曲线如下：

即：利用反馈控制方法的确使Lorenz方程达到了稳定。