§_5_定积分习题与答案
定积分习题与答案
第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==与横轴所围成的图形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： 3．估计下列各积分的值4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x⎰10)2与⎰+10)1(dx x5．计算下列各导数 6．计算下列极限7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？8．计算下列各积分⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： 10.计算下列定积分11.利用函数的奇偶性计算下列积分12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx x x14．计算下列定积分15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。
1）⎰∞+14xdx2）⎰+∞-0dx e ax ()0>a3）dx ee x x ⎰∞+-+014）⎰+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt5）⎰-121x xdx 6）⎰-211x xdx7）⎰∞+∞-++222x x dx8）()⎰-e x x dx 12ln 1 (B)1．填空： 1）________)12111(lim =++++++∞→nn n n n 。
2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤⎰ππx dx。
3）运用积分中值定理可得：⎰-→xa a x x f dt t f a x )(()(1lim 是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>⎰+∞→a dx xxa n n n 。
定积分试题及答案大学
定积分试题及答案大学# 定积分试题及答案试题1：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
答案：首先，我们需要找到函数 \(f(x) = x^2\) 的原函数。
对于这个函数，原函数是 \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\)。
然后，我们计算在区间 \([0, 1]\) 上的定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3}(1)^3 -\frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\]试题2：求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
答案：函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 的原函数是自然对数函数\(F(x) = \ln|x|\)。
计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = F(2) - F(1) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]试题3：计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx\)。
答案：函数 \(f(x) = \sin(x)\) 的原函数是 \(-\cos(x)\)。
计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]试题4：求定积分 \(\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx\)。
答案：函数 \(f(x) = x^2 - 1\) 的原函数是 \(F(x) =\frac{1}{3}x^3 - x\)。
计算定积分：\[\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = F(1) - F(-1) =\left(\frac{1}{3}(1)^3 - 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)\right) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \]试题5：计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。
定积分典型例题及习题答案
04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径 为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积 分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两 个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示 为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、 近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一 个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每 个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这 些点的近似值，然后将这些近似值进行求和， 最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。
定积分题目及答案
定积分题目及答案定积分（DefiniteIntegral）是求解一定范围内函数值的积分，也就是说获得一定范围內函数的总和。
定积分可以用于计算曲线围成的面积，这就是经典地定积分公式，即：∫a b f(x)dx = F(b) - F(a)这里F(x)表示从x = a 到 x = b 的函数f(x)在任意取值时f(x)的积分，从数学上讲就是函数F(x)的反函数，叫做反积分，是微积分领域里最重要的概念之一。
解定积分问题，就要先根据函数的特性和定积分区间确定积分的类型，然后用定积分的几何形式和数学形式来求解。
一、几何形式法几何形式法在求由直线交织而成的函数的积分时特别有用，常见的几何形式有落圆式，锐角式，三角式，折线式，对称折线式等。
求几何形式法的定积分可以根据公式：∫a b f(x)dx = (b-a)hf(i)公式中，i表示定积分区间的分割点，h表示该分割点的步长，即f(i)表示该分割点处的函数值。
二、数学形式法将定积分的问题转化成数学形式，然后求得结果，就是用数学形式法求定积分。
数学形式法主要分三步：1）先要得到积分函数函数原函数 F（x）的易解形式；2）再利用这个易解形式，求出F（x）在指定范围内的积分 F（b）-F（a）；3）最后返回结果。
例题1：求函数f ( x )=3x3-2x2-x+（1）在区间［2,6］内的定积分解：F(x)=x^4-x^3-0.5*x^2+CF(6)-F(2)=1093/2-21+C∫2 6f ( x )dx=1093/2-21+C例题2：求函数 f ( x )=2x2-3x2+（1）在区间［0,1］内的定积分解：F(x)=-x^3+x^2+CF(1)-F(0)=-1+C∫0 1f ( x )dx=-1+C。
第五章 定积分 - 答案
第五章 定积分 答案 一、填空题 1.23 2. 316π3. 8/3π4. π295. 2π6.π2．7.29π. 8.2π 9. π10. )1(21x + 11. e 12.21 13.52- 14.2ln 15.10<<k． 16.4017. 38/3 18.⎰+21241dx x x 19. θθθβαd r r s )()(22'+=⎰.二、单项选择题1. C2. D3. B4. A5. A6. D7. C8. D9. D 10. C 11. B 12. C 13. C 14. B 15. B16. C 17. C18. C 三/计算题1.解：原式230ln(1)2lim sin x x x x→+=3302l i m 2.x x x →== 2.解：原式3220()2lim (sin )x x x x x x +→⋅=-330022lim lim(sin )sin x x x x x x x x x x++→→⋅==-- 2200266lim lim11cos 2x x x x x x ++→→==-12=． 3.解: 原式=22lim x dt e xt x ⎰-→ cos 1xxexx 2sin lim2cos 0⋅-=-→ )2/(1e -=.4.解：111limlim 11xat axa x x e dte e x →→==-⎰ 11lim 111[]x axax a ax a e dx e e e e aa a→-∞-∞-∞==-=⎰1a a e e a∴=, 解得1a =.5.解：设t x =-1，则21121222102(1)d ()d (1)d d 121(1).2t t f x x f t tt t e te e ----==++==-⎰⎰⎰⎰6.解：令 1-=x u ，⎰⎰-=-1120)()1(du u f dx x f ⎰⎰++-=-10111du uudu u 100123)1ln ()1(32u u u +-+--=- 2ln 3124-+=． 7.解:⎰⎰-=--112)(1)1(dt t f t x dx x f ⎰⎰++=--10111dt tdt te tdt e te t tt ⎰----+-+=010110)1ln( 12ln 2ln 01-=-=-- -te e .8.解：dt t f dx x f tx )()2(3225⎰⎰-=-=-13221(1)tt dt e dt -=++⎰⎰316|t e =+ 36e e =+-9.解：设t x =-1，则21010111110(1)d ()d d d d 11.t tttf x x f t te t te t e t e e te e e e e e ---==+=+=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰10.解：dx x f )2(4-⎰t x =-2⎰⎰⎰+=--2122122)(dt te dt t dt t f t ．()3)2(131313123122=--==--⎰t dt t ．⎰⎰=2121)(t t e td dt te =dt e te t t ⎰-2121=2122t e e e --=222)(2e e e e e =---，原式=23e +．11.解： 令dx x f I )(1⎰=，则==⎰dx x f I )(10x d x I dx x x ⎰⎰++12101I x 21)1l n (21102++=I 212ln 21+=, 解得 2ln =I ，所以2ln 1)(2x x xx f ++=. 12.解: 记,)(1⎰=dx x f A 则2()32f x x Ax =-,10()A f x dx =⎰13201x Ax A ⎡⎤=-=-⎣⎦, 所以 21A =, 2()3f x x x =-. 21111223011(1)()(3)2322f x dx f t dt t t dt t dt t ---==-===⎰⎰⎰⎰.四/应用题1.解：求出交点为)2,4(,ππ840==⎰xdx V x .2.解：πππππ58522111411=-=-=⎰⎰--dx x dx V x ,ππ2110==⎰ydy V y .3.解：设曲线上过点00(,)A x y 的切线方程为 000()x x y e e x x -=-，又曲线过原点，求出01x =，0y e =，故(1,)A e . 所求面积01()x x A e dx e ex dx -∞=+-⎰⎰1021(1)2.2xxe e e e e e -∞=+-=+--=4.解：设曲线上过点00(,)A x y 的切线方程为 000()x x y e e x x ---=--，又曲线过原点，求出01x =-，0y e =，故(1,)A e-.所求面积01()x A e ex dx --=+⎰.(1)21.2e e e =--=-5.解：(1) 设切点坐标为),(00y x , 则,200x y = 切线方程为 ,2200x x x y -= 令y = 0 得切线的x 截距021x , 则面积 ,1214131)21(2130200300002x x x x y x x dx x A x =⋅-=⋅--=⎰ 由以知条件得 ,10=x 因此切点为A (1, 1). 切线方程为.12-=x y (2)dx x dx x V 212/12210)12()(--=⎰⎰ππ.301)12(615112/13105πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x x6.解：设切点为0(x做切线0)y x x -,将(1,0)代入得03x =，切线为1122y x =-，切点(3,1).（1）120[(2)(21)]dy A y y =+-+⎰=3210[]3y y y -+ 13=（2）33221211()22V x dx dx ππ=--⎰⎰6π=. 7. 解： （1）设切点为),(00x e x ，由x e y ='，可得切线方程为 )(000x x e e y x x -=-， 由切线过原点可得 10=x ，故切线方程为 ex y =， 所求图形的面积为12)2()(1021-=-=-=⎰e ex e dx ex e S xx ； （2）该图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为⎰⎰-=1212)()(dx ex dx e V x ππ6)3(32213212-=-=e x e e xπππ．8.解: 由题意得94)(12=+⎰dx bx ax ，即 9423=+b a ，又旋转体的体积 ⎰⎰+==11222)(dx bx ax dx y V x ππ)312151()2(222231042b ab a dx x b abx x a ++=++=⎰ππ，将 b a 2334-=代入上式得, )3263(902+-=b b V x ππ， (或, 将 a b 3298-=代入上式得, )243648141352(2++=a a V x π 类似可得结果) 由题意，当0=dbdV x，即2=b 时，x V 在唯一驻点处取得极小值，也是最小值，此时35-=a ．因此，当2,35=-=b a 时，所得旋转体体积最小．9.解：取x 为积分变量, ],,0[a x ∈压力微元 ,adx x dP γ=dx a x P aγ=⎰0.212132a a a γγ=⋅=10.解：在水池上沿任取一点作为坐标原点，铅直向下引x 轴, 水中厚度为dx 的一层水的重力2000dF g Sdx gdx ρρ==， 抽出深度为x 处的一层水，需克服重力做功：2000dW x dF gxdx ρ==，[1,4]x ∈ 41200015000(J )W g x d x g ρρ==⎰ 11. 解：根据如图所示建立的坐标系，距离原点x 米处取一小的薄片，则克服重力需要做的功为22()5dW Gx mgx x dx g x ρπ===所以1010102300024()525dW x g xdx g x dx ρπρπ==⎰⎰⎰400g ρπ= (J).12.解: 在水池上沿任取一点作为坐标原点，铅直向下引x 轴, 水中厚度为dx 的一层水的重力 2000dF g Sdx gdx ρρ==， 抽出深度为x 处的一层水，需克服重力做功：2000dW x dF gxdx ρ==，[1,4]x ∈ 41200015000(J)W g x d x g ρρ==⎰13. 解: 以母线左底面这端为原点，水平向右为x 轴正向建立坐标系，坐标x 的值表示活塞的位置，在恒温下气体的压强p 与体积V 的乘积为常数，即k pV =，故ππ800008010102=⋅⋅==pV k .又xS V =，所以xS k p =，作用在活塞上是气体压力为xkpS F ==， 现设活塞从位置x 压缩到dx x +，这时气体压力所作的功元素为dx xkFdx dW -=-=，于是使气体体积缩小到原体积的1/3, 要克服气体压力所作功为3ln ln 3/80803/80803/8080k x k dx xk dW W =-=-=-=⎰⎰, )(3ln 800)(3ln 80000J cm N ππ=⋅= . 即要克服气体压力作的功为)(3ln 800J π.14.解：以圆柱中心轴为x 轴，方向向下，离水面10m 的高处为原点建立坐标系如图，设x 为圆柱中心轴水位坐标位置, 则]16,10[ ∈x , 取小区间],[dx x x +, 则将这区间对应的一薄层水抽出到指定高度所作的功元素为 x d x g dW 23⋅=πρ从而将桶中水全部抽出到指定高度所作的功为x d xg W 216103⋅=⎰πρ)(7022916102J g x g πρπρ==)(1016.27J ⨯≈ (注:取水密度1=ρ,2/8.9s m g =,14.3=π.如不作近似计算,答案为πρg 702,也不扣分)15.解 t at y t at x sin ,cos ='='dt y x s ⎰'+'=π22)()( dt t at t at ⎰+=π22)sin ()cos (dt at ⎰=π22202ππa at ==．16.解: 由对称性, 面积=A ⎰πθθ 02)(212d r ⎰+=πθθ 022)cos 1(d a dtt a t 2202)2cos 1(22+=⎰πθ⎰=2042cos 8πθθd a223a π=. 五/证明题1.证明：设()a b a x t +-=，则1dx dt b a=-.当0x =时，t=a ，1x =时，t=b . 所以，右边=⎰b adt t f )(. 结论得到证明2.证明：()f x 在[,]a b 上连续，所以任意[],x a b ∈，有))(()()(a x f a f x f -'=-ξ，()[()()]b baaf x dx f x f a dx =-⎰⎰⎰-'=badx a x f ))((ξ⎰-≤ba dx a x M )(2)(2a b M-=, 结论得到证明.3.证明：设 ⎰⎰-=b tta dx x f dx x f t F )(1)()(， 则)(t F 在],[b a 上可导，且⎰<-=b adx x f a F 0)(1)(，⎰>=b a dx x f b F 0)()(.由零点定理可知， 在),(b a 内至少有一个ξ， 使0)(=ξF ， 又0)(1)()(>+='t f t f t F ，因而在),(b a 内有唯一的ξ，使 ⎰⎰=badx x f dx x f ξξ)(1)(． 4.证明: （1）由已知可得 )(x F 在区间],[b a 内可导，且2)(1)()(≥+='x f x f x F , （2）因],[)(b a C x F ∈，且 ⎰<=abdt t f a F 0)(1)(，⎰>=b a dt t f b F 0)()(.所以由连续函数的零点定理知，方程0)(=x F 在区间],[b a 内至少有一个根． 又由0)(>'x F ，即)(x F 单调，故方程0)(=x F 在],[b a 内有且仅有一个根． 5.解：因)(x f 在闭区间[0，1]上连续，且21212()(1)t f t dt f =⎰，从而由积分中值定理得，存在一点]1,2/1[∈η，使2()(1)f f ηη=.做辅助函数2()()F x x f x =，则()(1)F F η=. 从而由Rolle 定理得，存在一点)1,0(),0(⊂∈ηξ，使0)(='ξF ，即 2()2()0f f ξξξξ'⋅+⋅= 而0ξ≠，故得()2()f f ξξξ'=-.6. 解：因为)(x f 在[0,1]上连续，由积分中值定理，在]1,0[k内存在ξ使得⎰=kf dx x f 101)()(ξ，于是⎰=⋅=k f dx x f k f 10)1()()(ξ.又)(x f 在]1,[ξ上连续，)1,(ξ内可导，且)1()(f f =ξ，因此，由罗尔定理，)1,0()1,(⊂∈∃ξc ，使得 0)(='c f . 7.证明：所求ξ对应的两块面积分别是1()()()()aS a f f x dx ξξξξ=--⎰，2()()()()bS f x dx b f ξξξξ=--⎰.令 12()()2()()()()x aS x S x S x x a f x f t dt =-=--⎰2[()()()]bxf t dt b x f x ---⎰，则 =)(a S 2[()()()2[()()]bb aaf t dtb a f a f t f a dx ---=--<⎰⎰; =)(b S dt t f b f a b b a)()()(⎰--0])()([>-=⎰dx x f b f ba.由零点定理，至少存在一点ξ),(b a ∈，使得0)(=ξS . 又当),(b a x ∈时,)()()()()(x f x f a x x f x S -'-+='2[()()()()]f x f x b x f x '--+--(2)()[()()]()0,b x a f x b x b a f x ''=--=-+->， 因此，在),(b a 内方程0)(=x S 至多有一个实根.综上所述，在),(b a 内存在唯一一点ξ，使得123S S =.。
(完整word版)定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n →∞+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n=⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n →∞+++=333112lim ()n n n n nn →∞+++=13034xdx =⎰．例2 2202x x dx -⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -⎰=2π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则222x x dx -⎰=2221sin cos t tdt ππ--⎰=2221sin cos t tdt π-⎰=2202cos tdt π⎰=2π 例3 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解 （1）()f x '=422x x xe e ---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例5 函数11()(3)(0)x F x dt x t =->⎰的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x'=-，令()0F x '<得13x >，解之得109x <<，即1(0,)9为所求． 例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解 由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x -=''===-．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-． 例8 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x→-⋅-x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()f x '-＋－=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9 试求正数a 与b ，使等式2201lim1sin x x t dt x b x a t→=-+⎰成立． 分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t →-+⎰=220lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x→→⋅-+201lim 11cos x x b x a →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2012lim 11cos x x x a a→==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求． 例10 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim()34x x f x x xg x x x →→⋅=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++． 例11 计算21||x dx -⎰．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例12 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ⎰是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a+=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x x dx x-++-⎰．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 2112211x x dx x-++-⎰=211112221111x x dx dx x x--++-+-⎰⎰．由于22211x x+-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011xdx x-=+-⎰, 于是2112211x x dx x -++-⎰=2102411x dx x +-⎰=22120(11)4x x dx x--⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=⎰, 故211122444411x x dx dx xππ-+=-⋅=-+-⎰⎰．例14 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解 由于220()xtf x t dt -⎰=2221()2x f x t dt-⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰， 故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x⋅=2()xf x ．错误解答220()x d tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例15 计算30sin x xdx π⎰．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30s i n x x d x π⎰30(c o s )x d x π=-⎰33[(c o s )](c o s )x x x d x ππ=⋅---⎰ 30cos 6xdx ππ=-+⎰326π=-． 例16 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-． 例17 计算20sin x e xdx π⎰．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解 由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰， （1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰， （2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例18 计算1arcsin x xdx ⎰．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21021421x dx x π=--⎰． （1） 令sin x t =，则2121x dx x-⎰222sin sin 1sin td t tπ=-⎰220sin cos cos ttdt t π=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=． （2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π． 例19设()f x [0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例20 计算243dxx x +∞++⎰． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．。
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定积分测试题及答案班级： 姓名： 分数：一、选择题：（每小题 5 分）1 1-x 2dx （）1.A.0B.1C.D 42(2010 ·山东日照模考 )a ＝ 2xdx ，b ＝ 2e xdx ，c ＝2sinxdx ，则 a 、b 、c的大小关系是 ()A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b3.(2010 山·东理， 由曲线y ＝ 2，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为 ()7) x1 11 7 A. 12B.4C.3D.124．由三条直线 x ＝0、x ＝2、y ＝0 和曲线 y ＝ x 3所围成的图形的面积为()418A ．4B.3C. 5D ．65.(2010 湖·南师大附中 )设点 P 在曲线 y ＝ x 2 上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线 OP ，直线 y ＝x 2 及直线 x ＝2 所围成的面积分别记作 S 1，S 2.如图所示，当 S 1＝S 2 时，点 P 的坐标是 ()4 164 16 4 15 4 13 A.3，9B.5，9C.3，7D.5，76．(2010 ·湖南省考试院调研 )1 -1(sinx ＋1)dx 的值为 ( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线 y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是 ()3πA ．2πB ． 3πC. 2D ．π8．函数 F(x)＝ xt(t －4)dt 在[－1,5]上 ()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－ 32332C ．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值S n ＝2n 2＋n ，函数 f(x)＝ x1 9．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 t dt ，若13，则 x 的取值范围是 ()f(x)<a3－A. 6 ，＋∞B ．(0，e 21)C ．(e 11，e)D ．(0，e 11)10．(2010 ·福建厦门一中 )如图所示，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ＝sinx(0≤x ≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的 )，则所投的点落在阴影部分的概率是 ()123πA. D.4．·吉林质检 函数x ＋2 －2≤x<0的图象与 x 轴所围 ) f(x) ＝π 11 (20102cosx 0≤x ≤2成的图形面积 S 为()31A. 2B ．1C ．4D.212．(2010 ·吉林省调研 )已知正方形四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)，曲线 y ＝x 2(x ≥0)与 x 轴，直线 x ＝1 构成区域 M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M 内的概率是 () 11 1 2A. 2B. 4C.3D.5二、填空题：（每小题 5 分）13.sinxdx= ______________14.物体在力 F(x)=3x+4 的作用下，沿着与 F 相同的方向，从 x=0 处运动到 x=4 处，力 F 所做的功为 ______________21x )dx15. (x______________116. 1e x )dx(e x ______________17.(2010 芜·湖十二中 )已知函数 f(x)＝3x 2 1＋2x ＋1，若 -1 f(x)dx ＝2f(a)成立，则 a ＝________.18．(2010 ·安徽合肥质检 )抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝1 围成的封闭4图形的面积为3，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则 l 的方程为 ______．19．(2010 ·福建福州市 )已知函数 f(x)＝－ x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x 轴与函数图象所围成区域 (图1中阴影部分 )的面积为12，则 a 的值为 ________．20．如图所示，在区间 [0,1] 上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定 t 的值，使图中阴影部分的面积 S1＋S2最小为 ________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10A 11C 12 C 13.2 14.40 15 23 + ln 2 16.e- 1e 17.-1 或31 18.16x-8y+1=0 19.-1 20. 41。
定积分习题及答案
(A层次）1. 4.7. 兀f 。
2 s in x cos3 xdx ; r xdx -1✓5-4x ，e 2dx f 1 x ✓l +I n x ;10. f 一冗九x 4s in 汕； 冗13. f f-�dx; 4 Sill X 冗16. f 。
2产co sx dx ;冗第五章定积分2. f 。
a x 2✓a 2—x 2dx; 5.「I✓x dx +l ；8. f -o 2 x 2 + d 2xx + 2 ; 冗11. f� 冗4c os 4xdx ;14. 17. 2f14 Jn X｀dx ;f 。
兀(xsinx)2dx ;冗19. f� ✓cosx-cos 3 xdx;20. f 。
4 smx dx · 1 + S lll . X ， 22. 4If 0 2 xln l +x dx ; l -x25. f +00dx0 (1 + x 2 XI + xa \ (B层次）23. f +oo l +x 2 dx · -oo 1 +X 4' 心(a�o )。
3. 6.9. 厂dx1 X 飞l +x2 r dx｀3 斤言-1;f。
冗✓1+ c os2xdx;3· 212 fs x sm xdx · ·-5 x 4 + 2x 2 + 1' 15. f 。
1 xa rct gxdx ; 18. {es in(lnx 雇21. 24. f 。
冗xs mx dx .1 +C OS 2X 冗f 。
2 ln sin x dx ;d y 1. 求由f 。
:e r dt+f x costd t=O所确定的隐函数对x 的导数odx 2. 当x 为何值时，函数I(x)= f x t e -t 2dt有极值？。
3.d厂cos矿t。
dx si n x(}Ix+l, x�14. 设八x )�{归，X > 1'求l。
勹(x )dx 。
2f x(a rc tg t) 2d t5. lirn 。
定积分习题及答案
定积分习题及答案定积分习题及答案定积分是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握定积分的计算方法和应用是学习微积分的关键。
在本文中，我们将介绍一些常见的定积分习题，并给出详细的解答。
1. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
解答：根据定积分的定义，我们可以先求出x^2的不定积分，然后再进行定积分的计算。
x^2的不定积分为(1/3)x^3，所以∫(0 to 1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0 to1) = (1/3)(1^3 - 0^3) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1 to 2) (2x + 1) dx。
解答：根据定积分的性质，我们可以将定积分拆分为两个部分：∫(1 to 2) 2x dx + ∫(1 to 2) 1 dx。
第一个部分的不定积分为x^2，第二个部分的不定积分为x。
所以∫(1 to 2) (2x + 1) dx = (x^2) |(1 to 2) + (x) |(1 to 2) = (2^2 - 1^2) + (2 - 1)= 4 - 1 + 1 = 4。
3. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
解答：sin(x)的不定积分为-cos(x)，所以∫(0 to π) sin(x) dx = (-cos(x)) |(0 to π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2。
4. 计算定积分∫(0 to 1) e^x dx。
解答：e^x的不定积分为e^x，所以∫(0 to 1) e^x dx = (e^x) |(0 to 1) = e^1 -e^0 = e - 1。
5. 计算定积分∫(0 to 2π) cos(x) dx。
解答：cos(x)的不定积分为sin(x)，所以∫(0 to 2π) cos(x) dx = (sin(x)) |(0 to 2π)= sin(2π) - sin(0) = 0。
(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
定积分练习参考答案
第五章 定积分一．判断题 1.定积分的定义=⎰badx x f )(ini ix x f i ∆∑=→∆)(10lim ξ说明[]b a ,可任意分法，iξ必须是[]i i x x ,1-的端点．（ ⨯ ） 2.定积分的几何意义是相应各曲边梯形的面积之和． （ ⨯ ） 3.xdx x xdx x 2sin 22sin 022⎰⎰=-πππ（ ⨯ ） 4. 定积分的值是一个确定的常数.（ √ ）5 若(),()f x g x 均可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）6. 若()f x 在[],a b 上连续，且2()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上()0f x ≡ （ √ ）7.若[][],,c d a b ⊂，则()()db caf x dx f x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）8. 若()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上有界 （ √ ）9. 21111112-=-=--⎰xdx x ( × )10. ⎰⎰==+ππ20200cos 22cos 1xdx dx x ( × )11.()()1ln 2ln ln 11212---==----⎰x dx x ( × ) 12. 若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分值必为零。
( √ )二．选择题1.下列等式中正确的是(B )(A) ()()x f dx x f dx d ba =⎰ (B) ()()x f dx x f dxd =⎰ (C)()()()xa d f x dx f x f a dx=-⎰ (D) ()()x f dx x f ='⎰ 2.已知()dt t x f x⎰+=222,则()='1f ( A )(A)3- (B)36- (C)3 (D)63- 3.设函数()dt t y x⎰-=1,则y 有( B )(A) 极小值21 (B) 极小值21- (C) 极大值21(D)极大值21- 4.设b a ,为常数,若1sin 1lim 02220=+-⎰→dt ta t x bx x x ,则( B )(A)1,4==b a (B) 1,2==b a (C)0,4==b a (D)1,2==b a 5．1-=⎰（ B ）； A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π6．524x dx -=⎰（ C ）； A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 7．设()f x '连续，则变上限积分()xa f t dt ⎰是（ C ）；A ．()f x '的一个原函数B ．()f x '的全体原函数C ．()f x 的一个原函数D ．()f x 的全体原函数8．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围平面图形的面积为（ C ）；A ．()ba f x dx ⎰ B ．()baf x dx ⎰C ．()baf x dx ⎰D ．()(),f b a a b εε-<<9．定积分()baf x dx ⎰是（ A ）； A 、一个常数 B 、()f x 的的一个原函数 C 、一个函数族 D 、一个非负常数10．下列命题中正确的是（ D ）（其中()f x ，()g x 均为连续函数）。
第五章 定积分 典型例题及习题 答案
二 、证 明不 等式:
1
1
2 6 1 x 三 、求 下列 函数 的导数 ： 3 x dt 1、 F ( x ) x 2 ; 4 1 t
0 n
2
dx
,
(n 2) .
2.、 由 方 程 0 e dt
t
2
y
x
2
sin t t
0
dt 1 ， 确定 y 为 x 的
函数， 求
0
1 2
2
dx
测验题
一 、选择题： n n n 2 2 ( 1、 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 1 0； （ A） （ B） ； 2 （ C） ； （ D） . 4 2 d x 2 ln( t 1 ) dt =（ 2、 ） 0 dx 2 2 （ A） ln( x 1 ) ； （ B） ln( t 1 ) ； 2 2 （ C） 2 x ln( x 1 ) ； （ D） 2 t ln( t 1 ) .
ln 2 .
1
例5
求 [
2 1 2
sin x x 1
8
1
ln (1 x ) ]dx .
2
解
原式 0
2 1 2
ln( 1 x ) dx
1
0
1 ln( 1 x )dx 2
2
ln( 1 x )dx
0
3 2
ln
3
ln . 2 2
1
例6
求 min{
1 1 x , x 0 2 8、 设 f ( x ) ， 则 定 积 分 f ( x 1 ) dx 0 1 , x0 1 e x =（ ） 1 2 2 ln( 1 e ) ln 3 ； （ A ） 1 ln( 1 ) ； （ B） e 1 1 （ C ） 1 ln( 1 ) ln 2 ; （ D） 1 ln( 1 ) . e e
定积分典型例题20例解答
定积分典型例题20例答案例1 求3321lim)n n n →∞+．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n=⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即3321lim)n n n →∞+=31lim )n n n n →∞+=34=⎰．例2 0⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=2π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则⎰=22tdt ππ-⎰=2tdt =2202cos tdt π⎰=2π 例3 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解 （1）()f x '=422x x xe e ---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例5函数1()(3(0)x F x dt x =>⎰的单调递减开区间为_________．解()3F x '=()0F x '<3>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解 由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知(0)(0)1f g =''===．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-． 例8 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x→-⋅-=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例9 试求正数a 与b，使等式201lim1sin x x x b x →=-⎰成立． 分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解2001lim sin x x x b x →-⎰=20x →=20lim 1cos x x x b x →→-2011cos x x b x →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2011cos x x x →=-， 得4a =．即4a =，1b =为所求． 例10 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim()34x x f x x xg x x x →→⋅=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++． 例11 计算21||x dx -⎰．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例12 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ⎰是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a+=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例13 计算21-⎰．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 21-⎰=211--+⎰⎰2是偶函数，而是奇函数，有10-=⎰, 于是21-⎰=214⎰=04⎰=1044dx -⎰⎰由定积分的几何意义可知4π=⎰, 故2114444dx ππ-=-⋅=-⎰⎰．例14 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解 由于220()xtf x t dt -⎰=2221()2x f x t dt-⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰，故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x⋅=2()xf x ．错误解答220()xd tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例15 计算30sin x xdx π⎰．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30sin x xdx π⎰30(cos )xd x π=-⎰330[(cos )](cos )x x x dx ππ=⋅---⎰30cos 6xdx ππ=-+⎰6π=-． 例16 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-． 例17 计算20sin x e xdx π⎰．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解 由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰， （1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰， （2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例18 计算1arcsin x xdx ⎰．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21142π=-⎰． （1） 令sin x t =，则21⎰22sin t π=⎰220sin cos cos ttdt t π=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=． （2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π． 例19设()f x [0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例20 计算2043dxx x +∞++⎰．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．。
定积分练习题(含答案)
sin 2 x 2 sin x cos x = 4 = 2 lim x → 0 sin 2 x sin x
9
10.设 10.设 F ( x ) =
∫
x 0
1 1 1 x dt + ∫ dt ,则 ( 则 2 0 1+ t2 1+ t
).
2 ( C ) F ( x ) ≡ arctan x ( D ) F ( x ) ≡ 2 arctan x
∫
s t 0
f ( tx )dx 与(
(B ) s,t
)有关 有关. 有关 (C ) x , t (D) s
( A ) s,t , x
答案 : D
因为 I = t ( 令 t x= u) ∫ f (tx )dx = t ∫ s = ∫ f ( u)du s 所以， 所以，积分 I = t ∫ t f ( tx )dx 只与 s 有 关 0
10
11.若 11.若
∫
k 0
3 e dx = ,则 k = ( 则 2
2x
).
(A) 1
(B ) 2
( C ) ln 2
1 ln 2 (D) 2
答案: 答案 C .
因为
∫
k 0
1 2x e dx = e 2
2x
k 0
1 2k 3 = (e 1) = 2 2
则 k = ln 2
11
12.积分 12.积分 I = t
则 f ( x ) 有极小值 f (1) =
∫
1 0
( t 1)e t dt = 2 e
7
x x2 8.设 是连续函数, 8.设 f ( x ) 是连续函数 a ≠ 0 , F ( x ) = ∫ a f (t )dt , xa ). 则 lim F ( x ) = (
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第五章 定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰=112)1xdx 41)212π=-⎰dx x⎰-=ππ0sin )3xdx ⎰⎰-=2220cos 2cos )4πππxdx xdx3．估计下列各积分的值 ⎰331arctan )1xdx x dx exx ⎰-022)24．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x⎰10)2与⎰+1)1(dx x5．计算下列各导数dt t dx d x ⎰+2021)1 ⎰+3241)2x x t dt dx d⎰xxdt t dx d cos sin 2)cos()3π6．计算下列极限xdt t xx ⎰→020cos lim)1 xdt t xx cos 1)sin 1ln(lim)20-+⎰→2220)1(lim )3x xt x xedt e t ⎰+→7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？8．计算下列各积分 dx xx )1()12142⎰+dx x x )1()294+⎰⎰--21212)1()3x dx ⎰+ax a dx3022)4⎰---+211)5e xdx⎰π20sin )6dx xdx x x ⎰-π3sin sin )7⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：⎰-=ππ0cos )1kxdx πππ=⎰-kxdx 2cos )2⎰-=⋅ππ0sin cos )3lxdx kx ⎰-=ππ0sin sin )4lxdx kx10.计算下列定积分 ⎰-πθθ03)sin 1()1d ⎰262cos )2ππududx xx ⎰-121221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰+31221)5xxdx dx x ⎰-2132)1(1)6⎰-2221)7x x dx ⎰--1145)8xxdx⎰-axa xdx 20223)9 dt tet ⎰-1022)10⎰-++02222)11x x dx⎰-222cos cos )12ππxdx x⎰--223cos cos )13ππdx x x ⎰-++2221)(cos )14xdxx x x ⎰+π2cos 1)15dx x11.利用函数的奇偶性计算下列积分⎰-224cos 4)1ππθθd dx xx ⎰--2121221)(arcsin )2dx x x xx ⎰-++55242312sin )312．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx x x14．计算下列定积分⎰-10)1dx xe x⎰342sin )2ππdx x xdx xx⎰41ln )3 ⎰10arctan )4xdx x⎰202cos )5πxdx e xdx x x ⎰π2)sin ()6⎰edx x 1)sin(ln )7 dx x ee⎰1ln )815.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。
1）⎰∞+14xdx 2）⎰+∞-0dx e ax()0>a 3）dx ee x x ⎰∞+-+014）⎰+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt 5）⎰-121x xdx 6）⎰-211x xdx7）⎰∞+∞-++222x x dx8）()⎰-e x x dx 12ln 1(B)1．填空： 1）________)12111(lim =++++++∞→nn n n n Λ。
2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤⎰ππx dx。
3）运用积分中值定理可得：⎰-→xa ax x f dt t f ax )(()(1lim是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>⎰+∞→a dx xxan nn 。
4）_______sin lim 32=⎰-→xdt t x x 。
5）设dt t x F x ⎰=2)(2sin )(ϕ，其中)(x ϕ为可导函数，则_____________)(='x F 。
6）设)(x f 为连续函数，且满足⎰-=13,)(x x dt t f 则______)7(=f 。
7）已知,612ln 2π=-⎰axe dx 则___________=a 。
8)________sin 12sin 2282423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⎰-dx x x x x x ππ。
9)若[],0)1(,1)()(1=='+⎰f dx e x f x f x则________)0(=f 。
10)广义积分⎰∞+2)(ln kx x dx，当______k 时收敛，广义积分⎰-baka x dx)(当_______k 时收敛。
2．汽车以每小时36km 速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度2/5s m a -=刹车，问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？3．计算下列极限： 1）10222cos lim xdtt x x x ⎰-→ 2）)1ln(cos lim22x tdtx x +⎰→3）⎰⎰→xtxt x dttedt e 02222)(lim4）1)(arctan lim22+⎰+∞→x dt t xx4．求下列由参数方程给出或隐函数方程所决定的y 对x 的导数dxdy 1）⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰tt udu y udu x 00cos sin 1） 由⎰⎰=+yxt tdt dt e 00cos 所决定的隐函数)(x y y =。
5．设⎪⎩⎪⎨⎧=0sin 21)(xx f ππ><≤≤x x x 或00，求⎰=Φx dt t f x 0)()(在),(+∞-∞内的表达式。
6．设[]b a x f ,)(在上连续，在),(b a 内可导，且0)(≤'x f ， ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(，证明在),(b a 内有0)(≤'x F 。
7．证明：⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x mn nm 。
8．若)(x f 在[]1,0上连续，证明：1）⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f2）⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf , 由此计算：⎰+π2cos 1sin dx xxx9．证明：⎰⎰⎰==2020)(cos 2)(sin 2)(sin πππdx x f dx x f dx x f并计算：⎰+π2sin 11dx x10．若)(t f 是连续函数且为奇函数，证明⎰xdt t f 0)(是偶函数；若)(t f 是连续函数且为偶函数，证明⎰xdt t f 0)(是奇函数。
11．计算下列定积分： 1)dx x x x e⎰+12)ln 1(ln 2)dx x x x ⎰++20cos 1sin π3)⎰+40)tan 1ln(πdx x 4)⎰-+axa x dx 0225)dx x ⎰-202sin 1π 6)⎰+202cos 1πxdx7)设⎪⎩⎪⎨⎧++=1111)(x e xx f 00<≥x x ，求dx x f ⎰-20)1(。
8）dx ex x ⎰-2ln 0329）dx xe x ⎰π2cos10）dx x x ⎰-+102)2()1ln( 11）dx x m⎰-1022)1(（m 为自然数）12）[]{})(()()()(22x f dx x a x f x f x a am ⎰--+-+为连续函数，m 为自然数）13）⎰-+22321dx x x 14）⎰=π0(sin m xdx x I m m 为自然数）12.已知1)(=πf ，且[],3sin )()(0=''+⎰xdx x f x f π其中)(x f ''连续，求)0(f 。
13．当k 为何值时，反常积分⎰∞+2)(ln kx x dx收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值时，这反常积分取得最小值？14．推公式计算反常积分dx e x I x n n -+∞⎰=0(C)1．计算下列极限：1）∑=∞→+n i n n in 111lim 2) )0(21lim 1>++++∞→p n n p p p p n Λ 3) nn nn !lnlim ∞→ 2．设)(x f 在[)+∞,0内连续且0)(>x f ，证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在[)+∞,0内为单调增加函数。
3．设)(x f 在区间[]b a ,上连续，且0)(>x f ，[]⎰⎰∈+=xbx ab a x t f dtdt t f x F ,,)()()(， 证明：1）2)(≥'x F2）方程0)(=x F 在区间()b a ,内有且仅有一个根。
4．设)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，证明：在),(b a 内有且仅有一点ξ使下式⎰⎰=ξξabdx x f dx x f )(1)(成立。
5．计算下列积分： 1）⎰--112),max (dx e e x x2）⎰402tan πxdx n3)dx x x ⎰++1021)1ln(6．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，证明：⎰+la a dx x f )(的值与a 无关。
7．设)(x f 为连续函数，证明：dt du u f dt t x t f xxt))(())((000⎰⎰⎰=-8．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上均连续，证明：1）⎰⎰⎰⋅≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()())()((2222) []≤+⎰212))()((badx x g x f ⎰⎰+babadx x g dx x f 212212))(())((9．设)(x f 在区间[]b a ,上连续，)(x g 在区间[]b a ,上连续且不变号， 证明至少存在一点[]b a ,∈ξ，使下列等式成立⎰badx x g x f )()(＝⎰badx x g f )()(ξ（积分第一中值定理）第五章 定积分答案 习 题 答 案（A ）1．)()(3133a b a b -+-3．1）≤9π⎰331arctan xdx x π32≤ 2）≤-22e dx e xx ⎰-022412--≤e4．1）⎰>21ln xdx dx x ⎰212)(ln dx e x⎰1)2>⎰+1)1(dx x5．1）x x 214⋅+ 2）81221213xx xx +-+3）)sin cos()cos (sin 2x x x π⋅- 6．1）1 2）1 3）17．当0=x 时8．1）8522）6145 3）3π4）a3π 5）－1 6）4 7）1 8）3810．1）34-π 2)836-π 3)41π- 4)π164a 5)3322-6)33 7)12π 8)61 9)a )13(- 10)211--e11)2π12)3213)3414)22 11．1）π232）3243π 3）012．提示：令x b a t -+= 13．提示：令xt 1=14．1）1－e22）23ln 21)9341(+-π 3))12ln 2(4- 4)214-π5))2(51-πe 6）463ππ- 7))11cos 1sin (21+-e e 8))11(2e- 15．1）31 2）a 1 3）4π4）22ωω+p5）1 6）3227）π 8）2π(B)1．填空：1）原式＝⎰=+102ln 11dx x 2）18sin 121342ππππ≤+≤⎰x dx 3）)(a f ，0 4）32- 5）)())((sin 2x x ϕϕ'⋅- 6）1217）0 8）384105π9）－1 10）1,1<>k k 2．)(10m s =3．1）10222cos limx dtt x x x ⎰-→＝940102cos 2lim x x x x x ⋅-→＝8405cos 1lim x x x -→＝1012）原式＝22cos limx tdt x x ⎰→＝xx x x 2cos 2lim 20⋅→＝1 3）原式＝222202limx xxt x ex e dt e ⋅⋅⎰→＝24）原式＝122)(arctan lim 22++∞→x x x x ＝162π4．1）t t t dtdx dt dydx dy csc sin cos ===2）对方程两边同时求x 的导数得：y exy cos -=' 5． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==Φ⎰⎰π001sin 21)cos 1(21sin 210)(xdx x xdx x x ππ>≤<≤x x x 006．提示：2)()())(()(a x dtt f a x x f x F xa---='⎰＝2)())(())((a x a x f a x x f ----ξ ＝ax f x f --)()(ξ )(x a <<ξ7．提示：令t x =-1，利用定积分的换元法8．1）令x t -=2π2）令x t -=π9．提示：令⎰π)(sin dx x f ＝⎰20)(sin πdx x f ⎰+ππ2)(sin dx x f对⎰ππ2)(sin dx x f ，令x t -=2π，利用换元法得结果。