§_5_定积分习题与答案
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第五章 定积分
(A)
1．利用定积分定义计算由抛物线12
+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所
围成的图形的面积。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⎰
=1
12)1xdx 4
1)
21
2π
=
-⎰
dx x
⎰-
=π
π0sin )
3xdx ⎰⎰
-
=2
2
20
cos 2cos )4π
ππ
xdx xdx
3．估计下列各积分的值 ⎰
33
1arctan )
1xdx x dx e
x
x ⎰-0
2
2)2
4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小
⎰2
1
ln )1xdx 与dx x ⎰2
1
2)(ln dx e x
⎰10)2与⎰+1
)1(dx x
5．计算下列各导数
dt t dx d x ⎰+20
2
1)1 ⎰+32
41)2x x t dt dx d
⎰x
x
dt t dx d cos sin 2)cos()3π
6．计算下列极限
x
dt t x
x ⎰→0
20
cos lim
)1 x
dt t x
x cos 1)sin 1ln(lim
)20
-+⎰→
2
2
20
)1(lim )3x x
t x xe
dt e t ⎰
+→
7．当x 为何值时，函数⎰
-=x
t dt te x I 0
2
)(有极值？
8．计算下列各积分 dx x
x )1
()12
1
42⎰
+
dx x x )1()294+⎰
⎰
--212
12)
1()3x dx ⎰
+a
x a dx
30
2
2)
4
⎰---+2
11)5e x
dx
⎰π20sin )6dx x
dx x x ⎰
-π
3sin sin )7
⎰
2
)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪
⎨⎧+=22
11)(x x x f
1
1>≤x x
9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题：
⎰-
=π
π
0cos )1kxdx πππ
=⎰-kxdx 2cos )2
⎰-
=⋅π
π
0sin cos )3lxdx kx ⎰-=π
π
0sin sin )4lxdx kx
10.计算下列定积分 ⎰
-π
θθ0
3
)sin 1()1d ⎰26
2cos )2π
πudu
dx x
x ⎰
-12
1221)3 dx x a x a 2202)4-⎰ ⎰
+3
1
2
2
1)5x
x
dx dx x ⎰
-21
3
2)
1(1)
6
⎰
-22
21
)7x x dx ⎰
--1
1
45)
8x
xdx
⎰
-a
x
a xdx 20
2
2
3)9 dt te
t ⎰
-
102
2)10
⎰-++0
2222)11x x dx
⎰-
22
2cos cos )12π
πxdx x
⎰-
-22
3cos cos )13π
π
dx x x ⎰
-++2
221)(cos )14x
dx
x x x ⎰
+π
2cos 1)
15dx x
11.利用函数的奇偶性计算下列积分
⎰-22
4
cos 4)1π
πθθd dx x
x ⎰
--212
12
2
1)(arcsin )2
dx x x x
x ⎰-++5
524
231
2sin )3
12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰
⎰-+=b
a
b
a
dx x b a f dx x f )()(
13．证明：)0(111
121
2
>+=+⎰⎰x x dx x dx x x
14．计算下列定积分