几何不等式

中国计量学院 吴跃生

几何问题中出现的不等式称为几何不等式．证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法．

记号约定：在ABC V 中，,,a b c 表示三边长；,,A B C 表示对应角；s 表示半周长；,,a a a h t m 分别表示a 边上的高、内角平分线长、中线长；R 和r 分别表示ABC V 的外接圆半径和内接圆半径；S 表示ABC V 的面积．设P 是ABC V 内任意一点，记123,,PA R PB R PC R ===；点P 到三边,,BC CA AB 的距离分别记为123,,r r r ；记,,BPC CPA ABC αβγ∠=∠=∠=；,,BPC CPA ABC ∠∠∠的内角平分线长分别记为123,,w w w ．

一、距离不等式与化直法

仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式．

1． 设,,a b c 是ABC V 的边长，求证：

2a b c b c c a a b

++<+++． ２． 已知：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：

PA PB PC a b ++<+． （冷岗松） 加强：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：存在(01)p p λλ<<，使得

(1)[min(,)]p PA PB PC a b a b c λ++<+---． （鱼儿）

3． 设a 是ABC V 的最大边，O 是ABC V 内任意一点，设直线AO BO CO 、、与ABC V 的三边分别交于点P Q R 、、，证明：

OP OQ OR a ++<．

二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用

托勒密定理：在凸四边形ABCD 中，有

AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，

当且仅当四边形ABCD 是圆内接四边形时等号成立．

下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述．

1． 242b c m m a bc ≤+(1993年，陈计)

对偶式：22242449b c m m a b c bc ≥--+．(1992年，陈计)

注：中线长公式

a m = 2． 2c

b a bm cm am +≥．（1996年，吴跃生）

推论 ()()()2220a b c m bc a m ca b m ab c -+-+-≥．

3． ()1232a b c am bm cm R R R a b c

++++≥++．（1995年，吴跃生） 4．

31212332

a b c R R R r h r h r h ++≥+++．（1995年，吴跃生） 三、关于三角形边长、面积的不等式

1． 魏森伯克()Weitzenbock &&不等式： 设,,a b c 是三角形的三边长，S 是三角形的面积，

则有

222

a b c ++≥．

2． 费因斯列尔－哈德维格（-Finsler Hadweiger ）不等式： 设,,a b c 是三角形的三边长，S 是三角形的面积，则有

()()()222222a b c a b b c c a ++≥+-+-+-．

3． 设,,a b c 是ABC V 的三边长，求证： ()()()()()()222222222222b c a c a b a b c b c a c a b a b c +-+-+-≥+-+-+-

4．（Catulan 不等式）： 设,,a b c 是三角形的三边长， 则有

222

()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥． (IMO24)

推广1 ()()()0(2)p p p a b a b b c b c c a c a p -+-+-≥≥；

当0p ≤时，不等号反向．

推广2 设四边形ABCD 有内切圆，且其边长分别为,,,a b c d ，则有 ()2222()()()0a b a b b c b c c d c d d a d a -+-+-+-≥．

四、关于费尔马（Fermat ）点的不等式

费尔马问题：给定平面上的三点,,A B C ，在点,,A B C 所在平面上求一点P ，使得PA PB PC ++最小．PA PB PC ++取最小值时的点P 称为的费尔马点．

结论1 当ABC V 的各内角都小于120o

时，费尔马点P 在ABC V 内部，且有120BPC CPA APB ∠=∠=∠=o ；当ABC V 的最大内角不小于120o 时，费尔马点P 与ABC V 的钝角顶点重合．

结论2 费尔马极值公式：

f PA PB PC =++=． 注 在本节例题和习题中，为证明方便计，仅考虑ABC V 的各内角都小于120o 的情形，但有许多结论对于ABC V 的最大内角不小于120o 时仍然成立．

张角定理 在ABC V ，设D 是BC 上任意一点，则有

sin sin sin BAC BAD CAD AD AC AB

∠∠∠=+． 1． 设P 是ABC V 的费尔马点，过点P 的Ceva 线长分别记为,,a b c f

f f ，则有

（1）2

f ≥，

（2）a b b c c a f f f f f f ++

≥．

（3）)a b c f ++

≤

， (1994年，吴跃生) (4) f ≤

(1994年，吴跃生) (5) 111f f f s

a b c ++≥．(1994年，吴跃生) 2．设P 是ABC V

的费尔马点，则有

312r r r a b c ++≤ (1997年，刘健提出，吴跃生证明) 推广：设P 是ABC V 内任意一点，则有

3121cot cot cot 2222r r r a b c αβγ⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭

． (1999年，吴跃生) 再推广：设P 是凸n 边形12n A A A L 内任意一点，记1i i i A A a +=，1i i i A PA α+∠=，并记点P 到

边1i i A A +的距离分别为i r ，其中12i n =L ，，，，，11n A A +=，则有 111cot 22n

n i i i i i r a α==≤∑∑． (1999年，吴跃生)

五、嵌入不等式

三角形嵌入不等式（简称嵌入不等式）在几何不等式的研究中起者极其重要的作用，是