第6章二次型
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
线性代数(慕课版)第六章 二次型
3
5
5 5
A 3
5
2
3
0
2
3 5
2 1 1 2
3 2 0
1 2 0
3 5 3 3
0 5 5
2 5
1 5
2 1
3
0 3
0 0
1
0
2
3 2
0
0 5 5
2 5
1 5
6 0
2
0 3
0 0
1
0
2
3
2 0
0 5 5
2 5
1 5
6 0
2
0
0
1
2 3 2
解 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 2x22 2x32 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 A 1 2 1 1 2 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 2 1 1 0 3 3 0 0 0
A 的秩为2.
A的特征值.
16
利用正交变换法化二次型为标准形
例1 求正交变换X PY，把二次型f (x1, x2, x3) 2x12 3x22 3x32 4x2x3 化为标准形.ຫໍສະໝຸດ ，其中1，2，，n
为A
的n
个特征值.
n
定理5.4推论 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
PT AP .
定理6.1 任给实二次型f X T AX，总存在正交变换X PY，使得
f (x1, x2 , , xn ) X T AX 1 y12 2 y22 n yn2，其中1, , n为f 的矩阵
, xn ) x12 x22
x
2 p
第六章 二次型总结
第六章 二次型（一般无大题）基本概念1. 二次型: n 个变量12,,,n x x x L 的二次齐次函数212111121213131122222232322(,,,)222222n n nn n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x=++++++++++L L L L称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则()21211112121313112212122223232221122331112112122221212(,,,)2n n nn nn n n n n n nn nn n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax=+++++++++++++++⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=L L L L LL L L LL L L L M L因此，二次型也记AX X f T=,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作R （f ）=R （A ）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1）2.合同矩阵的定义及性质2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得TC AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ≅.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数)合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =；（2）对称性，即若T B C AC =，则有()11TA C BC --=；（3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212TA C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2 合同矩阵的性质性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关.例2 设,A B 均为数域F 上的n 阶矩阵,若,A B 合同，则()()r A r B =,反之，若()()r A r B =,问在F 上是否合同？证 若A 与B 合同，即存在可逆矩阵C ，使T B C AC =.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A 与B 有相同的秩.反之，若()()r A r B =，则A 与B 在F 上不一定合同.例如，方阵A =1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，B =1101⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. 例3 设=A 1200A A ⎛⎫⎪⎝⎭，B =1200B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.证 由于1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，故存在满秩矩阵1C ，2C ，使得1111T B C A C =，2222T B C A C =，于是令1200C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有T B C AC =，即A 与B 合同.2．3 合同矩阵的判定定理1 两复数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 定理2 两实数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 2.4矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A ，B 既相似又合同. 定理2 若n 阶矩阵A ，B 中有一个是正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同.定理3 若A 与B 相似且合同，C 与D 相似且合同，则00A C ⎛⎫⎪⎝⎭与00BD ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似且合同. 例5 已知A =400040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =410041000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C =220220002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A ，B ，C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？分析 矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了.解 A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同.又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同.所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同.3.二次型的标准型, 规范性 标准型: 二次型12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换x Cy =化为21rT T T i i i f x Ax y C ACy d y ====∑称为f 的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由()r A 唯一确定)规范形: 任一实二次型f 都可经合同变换化为规范形22222121p p r f z z z z z +=+++---L L ,其中r 为A 的秩, p 为正惯性指数，n p -为负惯性指数，且规范型唯一。
第6章 二次型
X QY
2 1 y12 2 y2
2 n yn ,
其中1，2， ，n是 A的全部特征值 . 即任意实对称矩阵 A 都存在正交矩阵 Q， 使得Q T AQ diag (1 ， 2 ， ， n ).
正交变换的特点是保持向量的长度不变 . 这是因为Q为 正交矩阵，当X QY 时，必有 (X， X ) (QY ， QY ) (QY )T (QY ) Y T Q T QY Y T EY Y TY (Y ， Y )， 故 | X |2 | Y |2 ， | X || Y | .
定理 对于任一 n 元二次型 f ( x1 ， x2 ， ， xn ) X T AX ( A AT ) 都存在非退化的线性替换 X CY，使之成为
2 f ( x1 ， x2 ， ， xn ) d1 y12 d 2 y2 2 d n yn .
推论 任意 n 阶对称矩阵都与对角矩阵合同.
线性空间
定义 设 V 是一个非空集合， P是一个数域， 定义两种运算 1.加法 任意a， b V ， a b V ； 2.数乘 任意k P ， a V ， ka V . 则称V 是数域 P上的线性空间， V 中的元素称为向量. 若V 的一个非空子集W 也满足：任意 a， b W ， a b W； 任意k P ， a W ， ka W ， 则称W 是V 的子空间. 常见的线性空间: P n1 ， P 1n ， P s n .
X CY 2 2 y1 y2 2 y2 y p p 1
yr2 .
称为 f 的规范型， 且规范型是唯一的.
定义 设 A 为 n 阶实对称矩阵， 如果二次型 f X T AX 正 定， 则称 A 为正定矩阵.
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
代数第6章
第6章二次型▪主要内容2.3.1.正交变化法化二次型为标准型；合同；正定.一、二次型及其矩阵表示()[]()1212,,,.,,,,,,.T n TTn Tn f x x x x Ax A A A x x x x f A A r A f x Ax ====元二次型其中是二次型的矩阵二次型与是一一对应的对称阵的秩称为二次型的秩.2221122n nd x d x d x +++若二次型中只有平方项,没有交叉项,即形如的二次型称为标准形；若二次型的标准形中平方项的系数只是1,-1,0,则称为规范性.()()()222123123122312312311,,26____.1232,,,,456____.789T f x x x x x x x x x x A f x x x x x x A =++-+=⎡⎤⎣⎦⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭例（）二次型的矩阵（）二次型的矩阵二、合同变换11111221111212211222221222112212,,,,,.n n n n n n n n n nn n n n nn x c y c y c y c c c x c y c y c y c c c x Cy C x c y c y c y c c c x Cy C =+++⎧⎡⎤⎪⎢⎥=+++⎪⎢⎥==⎨⎢⎥⎪⎢⎥⎪=+++⎩⎣⎦=若令即，其中可逆,则称称为坐标变换,若是正交矩阵则称为正交变换1.坐标变换,,.TC C AC B A B AB =若存在可逆矩阵，使得称合同于记为2.合同()()(),,,...TTTTTTTTTTTT TTTx Ax x Cy x Ax Cy A Cy y C ACy y By B C AC B C AC C AC B x x Ax x Cy y y By x Ax y By =========二次型经坐标变换有其中且以为变量的二次型经坐标变换变成了以为变量的二次型二次型合同于二次型1,,,,.T x Cy C AC C AC B -===特别地若是正交变换则此时即经正交变换二次型矩阵不但合同而且相似三、用正交变换化二次型为标准形2221122+:,.Tn nTx Ax x Cy d y d y d yA C C AC =++=Λ定理1：任何二次型都可以通过（配方法）坐标变换化为标准形用矩阵语言描述是任何实对称矩阵一定存在可逆矩阵使得22211221:,.Tn nTx Ax x Qy y y y A Q Q AQ Q AQ λλλ-=+++==Λ定理2：任何二次型都可以正交变换化为标准形用矩阵语言描述是任何实对称矩阵一定存在正交矩阵使得,,,,.p q p q ⎡⎤⎣⎦定理3惯性定理：用坐标变换化二次型为标准形所作的坐标变换不唯一对应的标准形也不唯一但标准形中正平方项的个数负平方项的个数都是不变的称为正惯性指数,称为负惯性指数.1213232,222x Qy f x x x x x x ==-++⎡⎤⎣⎦例求一个正交变换化二次型为标准形.四、正定()[]1212,,,,,,,0,0,,.TTn n n f x x x x Ax x x x x x Ax f A ==≠>元二次型若对任意的均有则称为正定二次型对应的矩阵称为正定矩阵1.定义0,0,,,00TTTTi n f x Ax x x Ax f p n AE C C AC E D A D DA A λ=⇔≠>⇔=⇔=⇔=⇔⇔元二次型正定对任意的均有的正惯性指数即存在可逆使得存在可逆使得的特征值全大于的全部顺序主子式大于2.正定的充要条件1020ii a A >>（）；（）3.正定的必要条件3,423122122301221212210021311224202112A B C D ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦例下列矩阵中正定的是，，，()()()()2221231223324,,,1,.f x x x x ax x bx x cx abc f =-+-+-⎡⎤⎣⎦≠例设其中证明是正定二次型()15,,,,0,T kA A A A A kA k *-⇒>⎡⎤⎣⎦例正定及他们之间的正系数线性组合仍正定.6,.B n E n E B λλ⎡⎤⎣⎦例设是阶反对称阵是阶单位阵,>0,证明:-是正定矩阵五、等价、相似、合同2101231232007120,456,035,021.:003330050101234A B C D t t A A B A C A D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦例设问取何值（）正定；（）与等价；（）与相似；（）与合同.()()1A E E A -→可行列变换混用的情形：求行列式，求秩.只能用行变换的情形：求逆，线性表出，解方程，求特征向量.。
线性代数第六章
1 2 1
1 2 1
对
A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
，所以二次型的秩为
3．
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2
设
A
1 2 0
3
4
，写出矩阵
A
所对应的二次型．
4
2
解： f (x1 ，x2 ，x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 ．
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ，y2 ，L ，yn 到 x1 ，x2 ，L ，xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn
，
1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn
，
2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ，
（6-3）
c11 c12 L
解：由于
f
中没有平方项，但有
x1
x2
项，由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
， ，即
x3
y3 ，
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2
，
x3 0 0 1 y3
得
f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ，j 1
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型及其标准形 §6.2 正定二次型 §6.3 曲面及其方程 §6.4 二次曲面
1
§6.1 二次型及其标准形
1. 二次型及其矩阵 定义1.1 含有n 个变量x1 , x2 ,, xn且系数属于数域F的
二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn a x +2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
5
2 2 例 写出二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵。 解 a11 1，a22 2，a33 3,
1 2 0 a12 a21 2，a13 a31 0， A 2 2 -3 。 0 -3 -3 a23 a32 3 。 1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 3 x2 X T AX 0 3 3 x 3 2 2 例 写出二次型 g ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 3x3 的矩阵。 1 0 0 解 A = 0 2 0 ， 0 0 -3 1 0 0 x1
T T T 2 1 1
2 n
证 二次型f ( x1 , x2 ,, xn )的矩阵 A为实对称矩阵， 由第五章的定理3.6知，存在正交矩阵C，使 C AC C AC diag (1 , 2 ,, n )
1 T
15
其中 1 , 2 ,, n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征 值；正交矩阵C 的 n 个列向量是 A 的对应于特 征值1 , 2 ,, n 的n 个单位正交特征向量。
第六章 二次型
则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi
于是可将二次型（4）写成
6.1 二次型及其矩阵表示
或写成 其中
f (x1, x2 , , xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
)
，
nn
x
x2 x
（3） （4）
6.1 二次型及其矩阵表示
因为当i j 时有aij a j，i 所以 A 为对称矩阵. 称（4）式为二次型f(x ) f
(x1,x 2, ,x n ) 的矩阵表示式，对称矩阵A则称为二次型 f (x) 的矩阵.
容易看出，a
ii
是
x
2 i
项的系数，aij
a ji（当 i
B CT AC
则称矩阵 A 与B是合同的.
6.2 二次型的标准形
合同是矩阵之间的关系，容易看出，合同关系具有以下性质：
（i）反身性：每个方阵与自己合同.
（ii）对称性：如果矩阵A与 B 合同，则矩阵B与A也合同.
（iii）传递性：如果矩阵A与B 合同，且B与C合同，则矩阵A与 C 合同.
事实上，（i）因为有 A ET AE，所以反身性成立.
6.1 二次型及其矩阵表示
6.1.1 二次型的定义
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax2 2bxy cy 2 1
（1）
的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin
y
x s in
yc
os
把方程化为标准方程
1x2 2 y2 1
从而判定曲线的类型，研究曲线的性质.
别 地 ， 如 果 矩 阵C 为 正 交 矩 阵 ， 则 （ 1 ） 式 就 称 为 正 交 的 线 性 替 换 .
第6章 二次型及其标准形
问： 在二次型 f = x T Ax 中,如不限制 A对称 A唯一吗 对称, 唯一吗? 如不限制 对称 唯一吗
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
k1 x1 M O = [ x1 ,L , x n ] kn xn
目标： 目标：
1. 正交变换法（重点） 正交变换法（重点） 2. 配方法
T
二次型 f = X AX
↓
可逆线性变换 X = CY
标准形 f = Y T (C T AC )Y
2 = k 1 y12 + k 2 y 22 + L + k n y n
= Y ΛY
T
问题转化为： 问题转化为： 求可逆矩阵 C ，使得 C T AC 为对角矩阵
解（1）写出二次型 f 的矩阵
求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (2) 求出 的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P= 1 1 3 − 2
2 1 P = − 2 2 3 1
1 1 P = 2 3 3 2
非退化线性变换（可逆线性变换） 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记 是可逆矩阵时, 当C 是可逆矩阵时, 称 为可逆线性变换。 可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 主要问题 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 可逆的线性变换 即二次型
第六章 二次型
解： （1）写出二次型的矩阵
理学院田宝玉
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第六章
二次型
⎛ 1 − 2 − 4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 4 − 2⎟ ⎜− 4 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ λ1 ⎜ ⎜ T （2）求正交矩阵 P ，使得 P AP = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎟ ⎠
易验证，这是一个可逆线性变换，其逆变换为
⎛1 ⎜ ⎜0 ，记 P = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
1 −1 1 1 0 1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎠
2 2 2 则二次型经过可逆变换 x = Py ，有 f = y12 − 2 y2 − y3 − y4 .
例 2．用配方法化二次型
f = −2 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 2 x 2 x3 为标准形，并写出所用变换矩阵.
f ( x1 , x2 ,
, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 +
2 a22 x2 +
+ 2a1n x1 xn + + 2a2 n x2 xn +
2 + ann xn
（6.1.1）
称为含变量 x1 , x 2 ,
, x n 的二次型， aij (i < j ) 为常数.
2 如： f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + 3x 2 + 2 x1 x 2 + 5 x1 x3（未出现交叉项 x 2 x3 ，可以认为其系
数为 0，不能有一次项和常数项） 为研究方便，引进矩阵来表示二次型. 令 aij = a ji ，则 2aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ， （6.1.1）可写为
第6章二次型及其标准型
推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Pz，使 f(Pz) 为规范形.
黄凤英 二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 写出二次型 f 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
对 2 = 3= 5,
对 1= 4,
4 2 4 由A 5 E 2 1 2 4 2 4
黄凤英 二次型
1 r 0 0
1 1 2 0 0 , 0 0
1 0 得 : 2 2 , 3 2 , 0 1 1 2 2 2 , 正交化得： 0 4 1 3 2 5 5
2 2 2
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形.
二次型的秩的意义： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
黄凤英 二次型
合同矩阵
定义 3 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
可逆矩阵C称为合同变化矩阵.
二次型及其标准形
主要内容
二次型的概念
合同矩阵
化二次型为标准型
黄凤英 二次型
二、二次型的概念
定义 1 称 n 个变量的二次齐次多项式
f(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · · · + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an-1,nxn-1xn 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成
第六章 二次型
第六章 二次型·矩阵的合同§1 二次型和它的标准形二次型是二次曲线和二次曲面概念的推广。
如22341x xy y -+= 代表平面内的一条二次曲线；22244841x y z xy xz yz ++---= 代表三维空间内的一张二次曲面。
它们都有一个共同的特点: 就是除了常数项外，其余各 项的次数都是2，都是二次项。
一般地，将变元的个数从2个、3个推广到n 个就有1. 二次型的定义 系数在数域K 中取值的n 个变元12,,,n x x x 的一个二次齐次多项式，称为数域K 上的一个元二次型。
它的一般形式是2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++2222223232222.n n nn n a x a x x a x x a x ++++++ （1）2. 二次型的矩阵 （1）式可以写成如下形式 2121111212131311(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++22121222232322n n a x x a x a x x a x x ++++++2112233n n n n n n nn n a x x a x x a x x a x +++++11nnij i j i j a x x ===∑∑，（2）其中 ,1,.ji ij a a i j n =≤≤把（2）式中的系数排成一个n 阶矩阵A （注意ji ij a a =）：1112112222122n n nsn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 称A 为二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的矩阵。
二次型的矩阵是一个对称矩阵，它由二次型唯一决定：它的主对角元依次是22212,,,n x x x 的系数；它的(,)i j 元素是i j x x 的系数的一半，其中i j ≠。
线性代数第六章二次型试的题目及问题详解
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211nn x d x d x d f +++= 称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
线性代数第六章
(x1 , x2 , x3 )
T
= (k ,−k ,0 )
T.
例10（1991）考虑二次型 （ ）
f = x + 4 x + 4 x + 2λx1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
+ 2 a n − 1, n x n − 1 x n 称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 A T = A . A 称 为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A 的二次型 , 对 称阵 A 的秩称为二次型 f的秩 .
二次型与它的矩阵是一一对应的． 二次型与它的矩阵是一一对应的．
提示： 提示：f = X T 1 (A* )T X = X T 1 A* X = X T A−1 X
A A
合同， 由于 A 与 A−1合同，所以 g ( X ) = X T AX 与
f ( X ) = X T A−1 X 具有相同的规范形 具有相同的规范形.
例5（2003）设二次型 （ ）
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = X T AX = ax12 + 2 x2 − 2 x3 + 2bx1 x3 (b > 0),
3） 个系数全为负。 （3） f 的标准形的n个系数全为负。 （4） f 的负惯性指数为 n 。 ） ，（或 （5） A 与负单位矩阵 E 合同，（或- E 为 A 的规范 ） 与负单位矩阵- 合同，（ 形） （6）存在可逆 矩阵 P ，使 A = − P P ）
T
（7）对称矩阵A为负定的充分必要条件是 : 奇数阶主子 ）
( 2 )任给实二次型 f = ∑ a ij x i x j ( a ij = a ji ), 总
第六章 二次型
6.3 基本内容6.3.1 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数n n n x x x x x x x x x x f 1131132112211121222),,,(αααα++++=ΛΛ2222x α+ n n x x x x 22322322αα+++ΛΛ+2n nn x α+j i n i nj ijx x ∑∑===11α(其中∈=ij ji ij αααR )，称为n 个变量n x x x ,,,21Λ的二次型。
注 若0=ij α（n j i j i ,,2,1,,Λ=≠）则称f 为标准型。
(1) 矩阵形式Ax x x T=)(f其中[]n n ij Tn A x x x ⨯==)(,,,,21αΛx ，这里ji ij αα=，即A 为实对称矩阵。
注1 实对阵矩阵A 成为二次型f 的矩阵，而A 的秩称为该二次型的秩。
注 2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。
注3标准型的矩阵是对角阵。
6.3.2 与二次型的标准型有关的概念 (1) 满秩线形变换设[][]n n ij Tn Tn p y y y x x x ⨯===)(,,,,,,,,2121P y x ΛΛ可逆，则称x=Py 为由n x x x ,,,21Λ到n y y y ,,,21Λ的满秩线形变换。
注 若P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。
(2) 合同矩阵设A ，B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵C ，使 B AC C T=则A 合同与B ，C 为合同变换阵。
注1 若C 为正交阵，满足B AC C T=，A 与B 既合同，又相似。
注2 合同矩阵秩相等。
注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。
(3) 对任一个二次型Ax x Tf =，总可以通过满秩线形变换x=Py 化为 2222211r r y d y d y d f +++==ΛAy P y TT成为f 的标准型。
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第6章 二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线221ax bxy cy ++=的几何性质，可以作适当的坐标旋转变换{cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-''=+ 代入上式，则化成标准形式221mx ny ''+=标准方程便于画图和研究方程的性质.二次齐次多项式的化简具有重要意义性，在许多理论问题与实际问题中常会遇到．现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次齐次多项式的化简问题．第1节 二次型及其矩阵定义6．1 含有n 个变量12,,,n x x x ⋅⋅⋅的二次齐次函数222212111222333(,,,)n nn n f f x x x a x a x a x a x =⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+121213131123232211222222,n nn nn n n na x x a x x a x x a x x a x x a x x --+++++++++称为n 元二次型（其中2ii i a x 称为平方项，()ij i j a x x i j ≠称为混乘项）．若取ij ji a a =，则2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+，于是上式可以写成21111212131311n n f a x a x x a x x a x x =+++⋅⋅⋅+221212222323222112233n nn n n n n n nn na x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x +++++++++++1111122133122112222332()()n n n n x a x a x a x a x x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，11223311()()n n n n nn n n nij i j i j x a x a x a x a x a x x ==++++⋅⋅⋅+∆∑∑1111221331211222233212112233(,,,)n n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a x +++⋅⋅⋅+⎛⎫ ⎪+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪+++⋅⋅⋅+⎝⎭1112112122221212(,,,)n n n n n n nn a a a x a a a x x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.T x Ax ∆其中，12n x x x x ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．称()T f f x x Ax ==为二次型的矩阵形式．由ij ji a a =，故A 为对称矩阵，即TA A =．称对称矩阵A 为该二次型的矩阵．二次型f 称为对称矩阵A 的二次型．对称矩阵A 的秩()r A 称为二次型的秩．在这种情况下，二次型f 与对称矩阵A 之间通过()Tf x x Ax =就建立起一一对应关系，故往往用对称矩阵A 的性质来讨论二次型f 的性质．当ij a 为复数时, f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型． 例6.1 设2221121323223f x x x x x x x =+++-，求f 的矩阵，并求f 的秩． 解 2221121323223T f x Ax x x x x x x x ==+++-对应的对称矩阵是111111111111130021012012101012021005r A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()3r A =，所以二次型f 的秩为3． 对于二次型11()nnTij iji j f x Ax a x x ====∑∑，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换x Cy = 即11111221221122221122n nn n nn n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y=++⋅⋅⋅+⎧⎪=++⋅⋅⋅+⎨⎪=++⋅⋅⋅+⎩使二次型()Tf x x Ax =化成只含有平方项，不含有混乘项的形式，即2221122n n f k y k y k y =++⋅⋅⋅+．这种只含有平方项的二次型，称为标准二次型，或称为二次型的标准形．对于实二次形，再若标准形的系数12,,,n k k k ⋅⋅⋅只在0,1,1-中选取，则将这种二次型称为规范二次型，即222211p p r f y y y y +=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-，（其中()r n ≤为二次型的秩） 下面讨论一下合同矩阵．对于二次型T f x Ax =而言，经可逆线性变换x Cy =，将其化成()()()T T T T f x Ax Cy A Cy y C AC y ===．若记TB C AC = 则T f y By =．由于()()T T T T T T T T B C AC C A C C AC B ====，故B 为对称矩阵，故Tf y By =为 关于12,,,n y y y ⋅⋅⋅的二次型．关于A 与TB C AC =的关系，我们给出以下矩阵合同的定义．定义6.2 设A ，B 为两个n 阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使得TC AC B =，则称矩阵A 合同于矩阵B ，或称A 与B 为合同矩阵．由以上定义可以看出，二次型12(,,,)T n f f x x x x Ax =⋅⋅⋅=的矩阵A 与经过可逆线性变换x Cy =得到的二次型的矩阵TB C AC =是合同矩阵．矩阵合同的基本性质：① 自反性 任意方阵A 与其自身合同；因为TE AE A =．② 对称性 若A 与B 合同，则B 与A 合同；因为若A 与B 合同，则存在可逆阵C 使得TC AC B =则11()()T C B C A --=即11()()T C B C A --=即B 与A 合同．③ 传递性 若A 与B 合同，B 与C 合同，则A 合同于C ；因为1122,TTB C AC C C BC == 得 21121212()()()TTTC C C AC C C C A C C == ，故A 与C 合同．定理6.1 若A 为对称矩阵，C 为可逆矩阵，则TB C AC =仍为对称矩阵，且()()r A r B =（请读者自己证明）．从而二次型()Tf x x Ax =经可逆变换x Cy =后，其秩不变，但二次型f 的矩阵A 变为T B C AC =；在本节最后给出矩阵的等价、相似、合同三种关系的逻辑关系：①A 经过若干次行列变换得到B ，则A 与B 等价，即A 与B 等价⇔存在可逆阵,P Q 使PAQ B =成立．②A 与B 相似⇔存在可逆阵P 使1P AP B -=．③A 与B 合同⇔存在可逆阵P 使TP AP B =．通过以上三个定义可以看出，相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵．特别，由上一章实对称矩阵可正交相似对角化知道：实对称矩阵与其相似的对角矩阵既相似又合同. 但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵．习题6.11.写出下列二次型的矩阵，并求其秩.（1）32212322216432x x x x x x x f -+-+=；（2）22212341231243(,,,)346f x x x x x x x x x x x =--+-；（3）()112323364,,427610x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.第2节 化二次型为标准形在第一节中我们讨论了，若二次型12(,,,)n f f x x x =⋅⋅⋅经过可逆线性变换x Cy =化成只含有平方项的形式：()()()()T T T T T f f x x Ax Cy A Cy y C AC y y Dy =====2221122n n k y k y k y =++⋅⋅⋅+即化二次型f 的标准形．其中12n k k D k ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭为对角矩阵.可以证明任意二次型f 都可以化成标准形，即对于任意二次型()Tf x x Ax =．一定存在可逆线性变换x Cy =，使得f 化成标准形2221122n n f k y k y k y =++⋅⋅⋅+．下面我们用三种方法分别讨论二次型的标准化问题：①对称变换法，②拉格朗日配方法，③正交变换法．首先介绍对称变换法化二次型为标准形．设有可逆线性变换x Cy =,它把二次型()Tf x x Ax =化成标准形()T f x x Ax ==()()()T T T Cy A Cy y C AC y =T y Dy =，其中T D C AC =为对角矩阵．求可逆矩阵C ，使对称矩阵A 化成对角矩阵TD C AC =的过程，称为A 合同对角化. 由于C 为可逆矩阵，故C 可以写成若干个初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵12,,,s P P P ，使12s C PP P = ，于是有T D C AC =2112T T Ts s P P P APP P = ．12s C PP P = 12s EPP P =将上面两式合并起来写成分块矩阵的形式，就有211200000T T Ts s A D P P P PP P E C E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即2112000000TTTss P P P A D PP P E E E E C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此可以看出，对由A 与E 竖排而写的2n n ⨯型矩阵2n nA E ⨯⎛⎫⎪⎝⎭作相当于右乘矩阵12,,,s P P P 的列初等变换，再对其中A 所在部分作相当于左乘矩阵12,,,T T P P Ts P的行初等变换，则矩阵A 所在部分变为对角矩阵D ，而单位矩阵E 所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵C .对由A 与E 竖排而写的2n n ⨯型矩阵2n nA E ⨯⎛⎫⎪⎝⎭作一次相当于右乘初等矩阵P 的列初等变换和一次相应的(相当于左乘矩阵00TP E ⎛⎫⎪⎝⎭的)行初等变换合起来称为一次对称变换.即对称变换有如下三种： ①i j c c ↔及相应的i j r r ↔； ②i kc 及相应的i kr ； ③i j c lc +及相应的i j r lr +. 对称矩阵A 合同对角化方法： 对2n nA E ⨯⎛⎫⎪⎝⎭进行对称变换：先作倍列加化A 所在部分的第一个（左上角）对角元素为非零，再作一次相应的行初等变换（这使这个非零对角元素变为2倍，而第一行其余元素只要改成与第一列对称就可以了）；再利用这个非零对角元素的倍数作倍列加化A 所在部分的第一行对角元素后面的所有元素都为零，每次列初等变换都要作一次相应的行初等变换（这只要把A 所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称就可以了）；这样A 所在部分的第一个对角元素就变好了；再对A 所在部分的第二个对角元素，进行上述过程，一直到A 所在部分的每一个对角元素都变好了，就把A 所在部分化成了对角矩阵D ，则E 所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵C 了.因此上述对称变换过程中的化对角元素为非零的两次初等变换可以同时进行，写成一步. 化A 所在部分的对角元素后面的所有元素都为零所作的倍列加，和把A 所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称所作的相应的行初等变换也可以同时进行，写成一步.例6.2 设111122121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，利用对称变换法求可逆矩阵C ，使T C A C D =为对角矩阵. 解 由()111122121100010001A E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213132213231100100011010010001111110010011001001c c c c c c r r r r r r ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，所用可逆矩阵110011001C -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭，对角矩阵111TD C AC ⎛⎫ ⎪== ⎪-⎝⎭． 例6.3求一个可逆线性变换，将二次型121323224f x x x x x x =+-化成标准形． 解 由于二次型f 所对应的矩阵为011102120A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭．利用对称变换法对A 进行合同对角化，即()1212011211102102120120100100010110001001c c A E r r -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213132213231200200012320120121230321200411212112212312112121121001001c c c c c c r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪+---⎪ ⎪---- ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以11221121001C -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭，0C ≠，且21,24TD C AC D ⎛⎫⎪=-=⎪ ⎪⎝⎭. 令x Cy =，即 112321233312212x y y y x y y y x y =-+⎧⎪=+-⎨=⎪⎩，将该可逆线性变换代入原二次型可得其标准形2221231()()()242T T T T T f x Ax Cy A Cy y C AC y y Dy y y y =====-+． 通过以上讨论可以看出，对称变换法化二次型为标准形就相当于利用对称变换把二次型f 所对应的对称矩阵A 合同对角化．下面介绍配方法化二次型为标准形． 拉格朗日配方法的规则：① 按平方项的顺序配方，即若二次型含有i x 的平方项，则先将所有含有i x 项集中在一起,按下列公式22224()ii i b b ax bx a x a a+=+- ，其中a 为系数，b 中不含有i x配成完全平方，再对其余的变量重复上述过程直到所有变量配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形．② 若二次型中不含有平方项，只含有混乘项．若0()ij a i j ≠≠，则可以先作一个可逆线性变换(0,1,,,)i i j j i j kk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=⋅⋅⋅≠⎨⎪=⎩且 化二次型f 为含有平方项的二次型，然后再按①中方法配方．注意：配方法是一种可逆线性变换，其标准形中平方项的系数只与配方的方法有关，与A 的特征值无关．由于二次型f 与对称矩阵A 一一对应，而任一二次型f 经配方法一定可以标准化，即存在可逆线性变换x Cy =使得()()()()T T T T f f x x Ax Cy A Cy y C AC y ====为标准形． 即T C AC D ==12n k k k ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭为对角矩阵．至此，我们已经分别用对称变换法和配方法证明了以下定理：定理6.2 对于任一对称矩阵A ，存在可逆矩阵C ，使TC ACD =为对角矩阵，即任一对称矩阵都与一个对角矩阵合同．从而二次型f 可以经过可逆线性变换x Cy =变成标准形，即TD C AC =为对角矩阵．亦即()()()T T T T T f x Ax Cy A Cy y C AC y y Dy ====2221122n n k y k y k y =++⋅⋅⋅+；注：①在该定理中，A 的合同对角矩阵D =12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭的对角线元素12,,,n k k k ⋅⋅⋅只与对称变换法或配方法的过程有关，不一定是A 的n 个特征值．②由于对称变换法或配方法的过程中我们只需用到加减乘除四则运算，因此，对于实二次形化标准形所用的可逆线性变换一定可以为实的，对于实对称矩阵合同对角化时所用的合同变换矩阵也一定可以是实的.例6.4 设2221121322332224f x x x x x x x x x =+++++，试将二次型f 化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．解 由222112132233222123122332222123232233221232232221232332224((22))24(()())24()(2)()()f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=++-++++=++++=++++- 令112322333y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩， 即11222333x y y x y y x y =-⎧⎪=-⎨=⎪⎩． 则f 的标准形为222123y y y +-．此时也为f 的规范形．所用的可逆线性变换为11222333x y y x y y x y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．即 x Cy =，110011001C -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭．在上例中，由于()Tf x x Ax =的对称矩阵111122121A ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，且将f 化成标准形所需的可逆线性变换系数矩阵110011001C -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭，则必有111TC ACD ⎛⎫ ⎪== ⎪-⎝⎭．即A 与对角阵111D ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭合同．由此可见，要把二次型f 化成标准形，关键在于求出一个可逆线性变换系数矩阵C ，使得TC ACD =为对角矩阵．例6.5 化二次型22211222332322f x x x x x x x =++++为标准形． 解 方法① 由2222221122223323(2)(2)f x x x x x x x x x x =+++++++2222122323()()x x x x x x =+++++．由于原二次型为三元二次型，配方完成后出现了四个平方项，即平方项的项数大于二次型的元数，这是错误的．即二次型标准化的过程中，标准形中的平方项数小于等于二次型的元数．怎样才能避免以上错误呢？方法就是按平方项的顺序完全配方，即遵循拉格朗日配方法的第①准则．方法② 222211222233(2)(22)2f x x x x x x x x =+++++222122233313()2()42x x x x x x x =+++++2221223313()2()22x x x x x =++++ 222123322y y y =++其中，令1122233313y x x y x x y x ⎧=+⎪=+⎨⎪=⎩， 即 1123223331212x y y yx y y x y ⎧=-+⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩为所用的可逆线性变换，即x Cy =，11120112001C -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎝⎭． 例6.6 化121323226f x x x x x x =+-为标准形，并求所用的可逆线性变换矩阵C ． 解 由于f 中不含有平方项．可以令11222333x y y x y y x y ⎧=+⎪=-⎨⎪=⎩，1x C y = 其中1110011001C ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭代入f ，得1213231223123233221213232262()()2()6()2248f x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y =+-=+-++--=--+． 再配方22113223222133223(24)282()228f y y y y y y y y y y y y =--+=---+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令 113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即 113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨=⎪⎩，亦即2y C z =，其中2101012001C ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭． 则二次型f 化成标准形222123226f z z z =-+．这时112x C y C C z ==，故所用的可逆线性变换矩阵为12110101113011012011001001001C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．上面介绍了利用拉格朗日配方法化二次型为标准形，此方法与二次型的矩阵A 的特征值及特征向量无关．最后介绍正交变换法，此方法只适用于实二次型为标准形，且与实二次型f 的实对称矩阵A 的特征值及特征向量密切相关．由于任一实对称矩阵A 都可以正交相似对角化，即存在正交矩阵P 使得1T P A P P A P -==Λ为由A 的特征值为对角元素的对称矩阵．从而再一次证明了任一实对称矩阵都可以合同对角化，且合同变换矩阵可以是实可逆矩阵．定理6.3 任一实二次型()T f x x Ax =，总存在正交变换x Py =，使Tf x Ax ==()()T Py A Py =()T T y P AP y 为标准形：2221122n n f y y y λλλ=++⋅⋅⋅+．其中12,,,n λλλ⋅⋅⋅恰好为实二次型f 的实对称矩阵A 的n 个特征值．通过以上讨论可得利用正交变换法化实二次型为标准形的基本步骤：① 将实二次型f 写成矩阵形式()Tf x x Ax =，求出实对称矩阵A ；② 求出A 的所有特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅；③ 求出A 的不同特征值对应的线性无关的特征向量12,,,n ξξξ⋅⋅⋅； ④ 将特征向量12,,n ξξξ⋅⋅⋅正交化，再单位化．得：12,,,n p p p ⋅⋅⋅，记12(,,,)n P p p p =⋅⋅⋅；12n λλλ⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭⑤ 作正交变换x Py =，则T f x Ax ==()()T Py A Py =2221122()T T T n n y P AP y y y y y y λλλ=Λ=++⋅⋅⋅+．例6.7 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---利用正交变换x Cy =化成标准形．解 ① 二次型f 对应的实对称矩阵172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭② 求A 的特征值3223221722172217222144214421442414018180018(18)(271708)(18)(9)0E A r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλ----=---------=--+-=--=得1239,18λλλ===； ③ 求A 的特征向量 对19λ=，由(9)E A -=121332321131318222542011012219254000000011512245099011000r r r r r r r r r r r r r r +-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+↔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+得(9)0E A x -=的基础解系为11211ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，对2318λλ==，由21211221222182440002244000r r E A r r ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得(18)0E A x -=的基础解系为2210ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，3201ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭④ 正交化单位化正交化.令111211αξ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭；22210αξ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，[][]233322225,45,1αξαξααα⎛⎫- ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.再单位化.令111132323p αα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22225150p αα-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，333235435535p αα⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 令123(,,)P p p p =，即为所求的正交变换矩阵，所求的正交变换为x Py =．且在正交变换x Py =下原二次型化成标准形22212391818f y y y =++．在本节最后再讨论一下二次型的规范形．在以上的讨论过程中我们可以看出：任意二次型都可以标准化.虽然标准形的形式并不唯一，但是对于实二次型，在标准形中，正，负平方项的项数及0项的项数是唯一确定的，即正平方项的项数等于f 对应的对称矩阵A 的正特征值的个数，负平方项的项数等于A 的负特征值的个数，0项的项数等于A 的特征值为0的个数（其中重根按重数计算）．在此基础上，如有必要我们可以重新安排变量的次序，使平方项的顺序分别为正平方项，负平方项和0项．则秩为r 的二次型f 的标准形可以化成2222211221100p p p p r r f d x d x d x d x d x ++=++⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+其中0i d >，1,2,,i r =⋅⋅⋅，()r r A =为f 的秩． 进而化成22222112211()()()()()p p p p r r f d x d x d x d x d x ++=++⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-，若再作可逆线性变换（这个变换通常称为开方变换）：11122211r r r r r nn y d x y d x y d x y x y x++⎧=⎪=⎪⎪⎨=⎪=⎪⎪=⎩ 则222211p p r f y y y y +=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-，即二次型f 最终可化成以上形式的标准形（此种标准形是一种特殊的规范形）．因此我们有以下定理．定理6.4 任何实二次型都可以通过实可逆线性变换化成规范形且规范形是由二次型本身唯一确定（即1,1+-系数的项数及0项的项数是唯一确定的），与所作的可逆线性变换无关．通常将实二次型f 的规范形的正项个数p 称为f 的正惯性指数，负项个数r p q -≅称为负惯性指数，s p q =-称为f 的符号差，p q r +=正好为f 的秩，也为f 对应的矩阵A 的秩()r A ．同时也可以看出：二次型f 的正惯性指数等于f 对应的矩阵A 的正特征值的个数，负惯性指数q r p =-为A 的负特征值的个数（其中重根按重数计算）．例6.8 化实二次型22211223243f x x x x x =+++为规范形，并求其正、负惯性指数． 解 由22221122232(2)3f x x x x x x =++-+ 222122322212232()32()(3)x x x x x x x x =+-+⎡⎤=+-+⎣⎦令11223322()3y x x y x y x⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 则222123f y y y =+-为规范形，且正惯性指数2p =，负惯性指数 1q =．习题6.21. 求二次型12212122(,)222f x x x x x x =-+ 的标准形与规范形.并求得到标准形和规范形分别所用的可逆线性变换.【建议用三种不同的方法求其标准形以及所用的可逆线性变换】 2. 将下列二次型化为标准形,并求所用的可逆线性变换矩阵.（1）32312123222162252x x x x x x x x x f +++++=（2）22212312133524f x x x x x x x =+++- （3）122322f x x x x =+第3节 正定二次型实二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含正负平方项的项数是确定的，即正，负惯性指数是确定的．故对于任意实二次型，若不考虑项的前后顺序则其规范形是唯一，故我们有以下定理．定理6.5 设实二次型()T f x x Ax =，()r A r =．若实可逆线性变换x Cy =及x Pz =使2221122(0,1,2,,)r r i f k y k y k y k i r =+⋅⋅⋅+≠=⋅⋅⋅ ，及2221122(0,1,2,,)r r i f z z z i r λλλλ=++⋅⋅⋅+≠=⋅⋅⋅，则12,,r k k k ⋅⋅⋅中正数的个数与12,,r λλλ⋅⋅⋅中正数的个数是相等的．从而其中负数的个数也是相同的．这个定理称为惯性定理（证明略）． 由以上惯性定理很容易推出以下结论：推论6.1 设实二次型()Tf x x Ax =的秩为r ，则其规范形一定可以表示为2222212100p p r f y y y y y +=++⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+．定义6.3 设有二次型()Tf x x Ax =，A 为实对称矩阵，① 如果对任何0x ≠都有()0Tf x x Ax =>成立，则称()Tf x x Ax =为正定二次型，矩阵A 称为正定矩阵．记作0f >及0A >．② 如果对于任何0x ≠都有()0Tf x x Ax =<成立，则称()Tf x x Ax =为负定二次型，矩阵A 称为负定矩阵．记作0f <及0A <．例6.9 设2221122322f x x x x x =+++，判断f 的正定性． 解 由2222221223123()f x x x x y y y =+++∆++得，对于任意1230x x x x ⎛⎫⎪=≠ ⎪⎪⎝⎭有11222330y x x y y x y x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故0f >，即f 为正定二次型．定理6.6 n 元实二次型()T f x x Ax =为正定二次型的充分必要条件是：它的标准形的n 个系数全为正，即它的正惯性指数p n =，亦即它的规范形的n 个系数全为1．证 设有实可逆线性变换x Cy =使二次型()T f x x Ax =化成标准形2221122()()n n f f x f Cy k y k y k y ===++⋅⋅⋅+．充分性 设0(1,2,,)i k i n >=⋅⋅⋅，任给0x ≠，则10y C x -=≠故22211220n n f k y k y k y =++⋅⋅⋅+>即f 正定．必要性 （利用反证法） 假设有0s k ≤则令s y e =（单位坐标向量）， 则()0s s f f Ce k ==≤，再由0s Ce ≠，这与f 为正定二次型矛盾．由以上定理立即得到以下推论：推论6.2 二次型()Tf x x Ax =正定的充分必要条件是二次型()()Tf x x A x -=-负定． 推论 6.3 n 元实二次型()Tf x x Ax =为负定二次型的充分必要条件是它的标准形的n 个系数全为负数，即它的负惯性指数q n =，亦即它的规范形中的n 个系数全为1-． 推论6.4 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正数． 推论6.5 对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：A 的特征值全为负数．定理6.7 ① 实对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶顺序主子式都为正， 即 110a >，111221220a a a a >，⋅⋅⋅ ，11110nn nna a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅② 实对称矩阵A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶顺序主子式都为负，偶数阶顺序主子式都为正，即1111(1)0(1,2,,)nii iia a i n a a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>=⋅⋅⋅⋅⋅⋅．这个定理称为赫尔维茨定理（这里不予证明）．例6.10 判断实二次型22256444f x y z xy xz =---++的正定性．解 由实二次型22256444f x y z xy xz =---++的矩阵522260204A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭的顺序主子式：一阶1150a =-<，二阶5230426026-=-=>-，三阶522260800204A -=-=-<-．根据赫尔维茨定理可知A 为负定矩阵．故f 为负定二次型．注：若给出实二次型f ，判断其正定性，一般是利用赫尔维茨定理来判断f 对应的矩阵A 的正定性，进而判断f 的正定性，这是一种方便有效的方法，请同学们牢记．例6.11 当λ何值时，实二次型2221121322332426f x x x x x x x x x λ=+++++为正定二次型．解 由于实二次型f 的矩阵11212323A λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故由赫尔维茨定理可知，f 正定的充分必要条件是：11110a ==>，11122122111012a a a a ==>，21323111211211212301101150223014005r r A r r r r λλλλ-=-=->---．即5λ>．故当5λ>时，f 为正定二次型．关于正定矩阵的性质，我们不加证明的给出如下几个结论： ① 设A 为正定矩阵，则1(0),,,mkA k A A A -*>也是正定矩阵； ② 设A ,B 为正定矩阵，则00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也是正定矩阵；③ 实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 与单位矩阵E 合同且合同变换矩阵为实可逆矩阵；④ 实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 具有分解TA U U =,其中U 为实可逆矩阵．习题6.31.指出下列二次型哪些是正定二次型；哪些是负定二次型：（1）312322213214542),,(x x x x x x x x f -++=； （2）22212312133524x x x x x x x +++-；(3) 32312123222148455x x x x x x x x x f --+++=；(4) 22256444f x y z xy xz =---++； （5）323121622x x x x x x f -+=.答案：（1）正定；（2）不定；（3）正定；(4)负定；（5））不定. 2. 设B A ,正定,求证B A +正定.3. 设实对称矩阵A 满足0232=+-E A A ，证明A 为正定矩阵.4.设A 为n 阶实对称矩阵，且满足O E A A A =-+-611623，证明A 是正定矩阵.5. 已知二次型 f(321,,x x x )=312123222122)1(2x x x kx x k x x ++-++正定，求k 的取值范围. 答案：()10,k ∈-.6. 求k 的取值范围，使实二次型222123121323105242x x x x x kx x kx x +++-+正定.答案：k 11(,)∈-.总习题6第一部分（客观题）1.二次型22212312312132355266(,,)f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2，则c =（ ）.A ．4 ；B ．3 ；C ．2 ；D ．1 .2.设,A B 均为n 阶矩阵，且,A B 合同，则（ ）A ．,AB 相似 ；B ．A B = ；C ．()()r A r B =； D.,A B 有相同的特征值. 3.下列矩阵（ ）与矩阵1252(,,)A diag =-合同. A ．513(,,)diag --；B ．331(,,)diag ；C ．201(,,)diag -；D. 741(,,)diag -.4.矩阵722281213A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭不是 （ ） .可逆矩阵 ； B.正定矩阵；C.正交矩阵；D.实对称矩阵 .5.(2007.3.4）设矩阵211121112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，100010000B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 与B (（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似6.实对称矩阵A 与003010300B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型Tx Ax 的规范形为（ ）.A ．222123y y y ++；B ．222123y y y -- ；C ．222123y y y -+ ；D ．2223y y -+. 7. n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是（ ）. A ．二次型Tx Ax 的负惯性指数为零；B ．A 没有负特征值； C ．存在n 阶矩阵使得TA C C =； D ．A 与n 阶单位矩阵合同.8.若二次型222123123121323222(,,)()f x x x x x x x x x x x x λ=++++-正定，则λ的取值范围是（ ）.A ．2(,)-∞ ；B ．22(,)-；C ．2(,)+∞；D ．11(,)-.第二部分（解答题）1.求一个正交变换Py x =，将二次型121314232434222222f x x x x x x x x x x x x =+--++化为标准形.2. 证明2>l 时，实二次型 22232245x xy xz y yz z +-+++l 正定.3. 证明：对称矩阵A 正定的充要条件是存在可逆矩阵U ,使得TA U U =， 即矩阵A 与单位矩阵E 合同.4.二次曲面2222224x ay z bxy xz yz +++++=可经正交变换x y P z ξης⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱面方程2244ης+=，求,a b 的值与正交阵P.5.设二次型 2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.若二次型 123(,,)f x x x 的规范形为 2212y y +，求a 的值. 6.设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2R A =.（1）求A 的全部特征值.（2）当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 7.设A 是n 阶正定矩阵，证明： 22nA E +>.8.二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . 9.设A 为n 阶实对称矩阵，且323A A A E ++=,求证：A 为正定矩阵.10.设A ，B 为n 阶正定矩阵，求证：AB 正定的充要条件是：A 与B 为可交换矩阵.。