4微分方程的解及解的稳定性

第四讲 微分方程解的稳定性

上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。

[]δα--=-)

()()()()(1

t k t c t k t k t k []δραα--=-1

)()

()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。

微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。

常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。

偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。 线性方程：方程的形式是线性的。

例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a

是一个二阶线性常微分方程。 又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程：

())()()(t k t k s t k

⋅-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解：

[]δα--=-)

()()()()(1

t k t c t k t k t k []δραα--=-1

)()

()(t k t c t c 一、 一阶微分方程

一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy

= (1.1) 其中，函数R R R f →⨯:是连续可微函数。

最简单的微分方程是

)(x f dx

dy

= (1.2) 它的解可表示为不定积分：

⎰+=c dx x f y )( (1.3)

其中，⎰dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令⎰⎰x

dt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定

积分可表示为

⎰+x

c dt t f y 0)(＝

这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是

⎰+x

y dt t f y 00)(＝ (1.4)

二、 常见的一阶微分方程解法

1． 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的一般形式为

)()(x g y x p dx dy

=+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。

为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以⎰x

dt t p 0)(ex p , 则方程的左边为

dx

dt t p y d y

dt t p x p dt t p dx

dy

x

x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=

⋅+⎰⎰⎰0

00)(exp )(exp )()(exp 所以

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎰⎰x x

dt t p x g dx

dt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2)

方程(2.2)的解为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰c dt t p x g dt t p y x x

x 000)(exp )()(exp (2.3)

2. 可分离变量的微分方程

一个方程是可分离变量的，如果它可以写成下列形式

dy y g dx x f )()(=

这类方程的解只需在方程两边同时积分即可。

⎰⎰=dy y g dx x f )()( (2.4)

3. 可化为可分离变量或线性方程的贝努利方程

方程 )()(x g y y x p dx

dy

n =+ (2.5) 叫做贝努利方程。其中，n 为正整数。

方程(2.5)两边同除以n y

)()(1x g y x p dx

dy

y n n =+-- )()(1111x g y x p dx dy n n n

=+---

n y z -=1

)()(11x g z x p dx

dz

n =+- (2.6)

这样，贝努利方程就转化为线性方程。

4．恰当方程

考虑非线性方程

0),(),(=+dx

dy

y x N y x M (2.7)

或者

0),(),(=+dy y x N dx y x M

如果存在函数),(y x φ 满足

),(),(),(y x d dy y x N dx y x M φ=+

则称方程(2.7)是恰当方程，其解c y x =),(φ。

例1，方程0=+ydy xdx 的解是xy=c.

方程

0)(ln =+dx y dy y

x

的解是c y x =ln . 三、一阶常微分方程的图解法

对于线性常微分方程而言，目前已经有完整的理论，方程的解也可以用明确的解析表达式来表示。但是，对于非线性方程而言，除了个别特殊的形式之外，一般是没有办法获得解析表达式的，甚至根本不存在解析表达式。我们希望在没有明确的解析表达式的情况下，仍然了解方程的解的性质。

例2，索罗－斯旺模型的基本方程

())()()(t k t k s t k

⋅-=δα (3.1) k 表示资本存量，δ表示资本折旧率，α表示资本的收入份额。该方程表示资本存量的净增加等于总储蓄与总折旧之间的差额。

先求稳定点。

令0)(=t k

, 得()0)()(＝t k t k s ⋅-δα可以求得两个解， ()

()

)

1(1*

)(,

0)(αδ-==s t k t k

由于0≥k ,

再判断稳定点稳定性。

()⎪⎩

⎪⎨⎧><==<>⋅-=***

,0,0,0)()()(k k k k k k t k t k s t k δα

根据()0)()(1＝δαα-⋅=-t k s dk

t k d ,可得()())1(1**)(-=ααδs t k , )(t k 在()()

)

1(1**)(-=ααδs t k 有最大值，在()()

)

1(1*

*)(-=ααδs t k 的左边大于0，是k 的增

函数；在()()

)

1(1*

*)(-=ααδs t k 的右边小于0，是k 的减函数。即：

()⎪⎩

⎪⎨⎧><==<>=-⋅=-*

****

*1

,0,0,0)()(k k k k k k t k s dk t k d δαα