光线追迹

第五章光线追迹

5.1 光线追迹概述

设设和分析光学系统需要计算大量的光线，这一点我们在前面已经强调多次了。在近轴光学中已经讨论了近轴光线追迹和子午面内的光线追迹、光线经过表面后的路径可用折射定律和反射定律求出来，然后利用转面公式，转到下一面的量，继续计算。光学计算经历了一个较长的历史过程。追迹光线最早是用查对数表的办法，速度很慢，不但需要一套追迹光线的公式，还要有相应的校对公式，以便核对所迫迹的光线是否正确，有时候还需要两个人同时追迹同一条光线、以便进一步核对。这样—来，追迹一条通过一个折射表面的子午光线路要3到10分钟。后来出现了台式手摇计算机，追迹光线的速度有所提高，但由于光线的计算量太大，特别是结构比较复杂的光学系统。往往要花费光学设计者大量的时间来进行光学计算。而且那时所追迹的光线基本上仅限于近轴光线和子午光线，因为空间光线计算起来实在太复杂丁。20世纪60年代末期以来，出了计算机的发展和逐步普及，光学计算的速度加快了。由于最初的计算机需要输入二进制的数据，这样就要用穿孔机在条带上穿出成千上万个孔而不许有任何差错，这是件十分困难的事情。后来由于个人计算机的出现和迅速普及，才真正地把光学设计者从繁冗的、单调的光学计算中解脱出来，使光学设计者有足够的精力和时间去考虑光学总体结构和优化设计，从而为提高光学系统购整体质量和性能价格比创造了条件。由于光学计算经历了—个由手算到自动计算的历史演变过程，因此出现了适应于不同阶段的光线追迹公式。我们在这里提供的公式是适合于电子计算机的。因为查阅对数表进行光学计算的时代早已成为历史，相应的适合于用对数表计算光线的公式也就基本上没有实用价值了。

光线追迹要解决的问题是：给定一个光学系统的结构参数，如半径、厚度或间隔、折射率等，再给出入射到光学系统的光线方向和空间位置(也就是目标的位置)，最后求出光线通过该系统后的方向和空间位置。

光线追迹计算通常要经历下面4个步骤。

1) 起始计算：这一步的目的是在给出光学系统结构参数的基础上能够进入系统，给出光线的初始位置和方向。

2) 折射计算：这是光线追迹的关键一步，确定光线经过表面折射(或反射)后的分向和位

置。

3) 转面计算：该步骤完成到下一个表面的数据转换，以便于继续光线追迹。

(4) 终结计算与处理：本步骤确定光线的最后截点长度或高度。有时候还需要计算像差值。

在上述步骤中，折射计算和转而计算是重复使用的，也就是说，对系统的每个表面都要计算—次。而起始和终结计算仅在开始和结束的时候才各计算一次、

近轴光线追迹我们在第二章已经讲述了，这里不再重复，这一章讲述其他光线的追计算。

5.2 轴外邻主光线的细光束的光线计算

我们知道、邻近光轴的光束可用近轴光线的追迹公式来描述，邻近轴外主光线的光束如何来描述呢?通常用邻主光线的子午细光束和弧矢细光束来表征它，可用子午细光束和弧矢细光束的光线追迹公式来求出它们的像点位置。计算的结果用来确定于午细光束和弧矢细光束的场曲和像散。沿着主光线追述子午细光束和弧矢细光束所使用的公式和追迹轴上点的近轴光线所用的公式十分相似，但要牢守记住的是：物距、像距以及表面之间的间距是沿轴外主光线来度量的，而不是沿光轴度量。

在图5.2.1(a) 中，B为目标上的一点，BM1，BM 2是沿轴外上光线BM的子午细光束。BC是一条通过圆心的辅助光轴，子午细光束经表面折射后会聚于B t'点，该点就是子午细光束的焦点。

图5.2.1 轴外线光束的光路计算

如果我们通过B t '点且垂直光轴位置放置一个屏幕，则B 点的子午像为垂直于子午面的一条短线，这条短线叫做子午焦线。如果B s '为目标B 的细光束的弧矢焦点，那么通过B s '点且垂直于光轴放置—个屏幕，则会看到一条垂直于弧矢回的弧矢焦线。子午细光束的焦点B t '和弧矢细光束的焦点B s '之差在光轴上的投影称之为像散。

用t 和s 分别表示轴外物点B 到主光线与表面S 的交点M 的距离，用t'和s'分别表示由仍点到子午像点 (B t ') 和弧矢像点 (B s ') 的距离。其符号规则是：在表面之左为负值，在表面之右为正值。如果B 点无像差，则初始值t ＝s 。

在该图中，Q l Q 2和付N l N 2分别为以B 点和B t '点为圆心，t 和t'为半径做的圆弧。经过一系统列的推导，可以得到下面著名的公式：

22'cos '

cos 'cos 'cos 'p p

p p

n I n I n I n I t t r --= (5.2.1)

用上式，可以由t 求出t'。也可以导出弧矢细光束的物像关系为：

'c o s '

c o s '

'p p n I n I n n

s s r --= (5.2.2)

上两式一起称为杨氏公式。对于轴上点，有'0p p I I ==，这里，上两式变为：

'''n n n n t t r --= '

''n n

n n

s s r --=

上两式完全相同，实际上它们就是单个表面的近轴物像关系公式。

我们注意到：在使用公式 (5.2.1) 和 (5.2.2) 时．必须知道cos ',cos p p I I 。为此，我们必

须先追迹轴外主光线．求出',p p I I ，然后才能利用杨氏公式计算出t'和s'。

我们上面讨论的只是子午和弧矢面内轴外细光束计算公式 (即折射计算)，但要进行轴外细光束的光线追迹，还必须遵循光线追迹的4个步骤，即除了上面的折射计算外，还要给出起始、转面和结束公式。其计算图形如下：

图5.2.2 轴外细光束的光线追迹

其计算细节，我们这里不再详述。

5.3 空间光线的计算

物空间中的一个点源(受照点或自身发光点) 通常可向任何方向辐射光线，这些光线就是广义的空间光线。当然，由于光学系统通光田口径的限制，这些光线的大部分并不参与成像。我们只研究能够进入光学系统的那一部分空间光线的计算。空间光线通常需要用三维坐标来表示，即光线同参考面(可以是物面，折射面，反射面，像面等) 交点的坐标(x, y, z)，以及表征光线进行方向的方向余弦(X，Y，Z)。实际上，以前讨论的子午光线、近铀光线等也都属于空间光线．只是它们可以用两维坐标(z＝0) 表示，使光线计算的过程和算法大为简化，这些光线属于空间光线的特殊情况。在计算机尚未问世的时候，是很少有人追迹空间光线的，因为它所需要的计算量太大，公式的表达也比较复杂。也就是说，那个时候，空间光线的计算很少有人问律。通常只计算近轴光线和子午光线。然而，随着计算机的出现和迅速发展，长期困扰人们的空间光线的庞大的计算量和长的计算时间已经不成问题了。这样一来，空间光线的计算就显得越来越重要了。我们知道，在光学系统质量评价的若干种方法中，有

一些方法是需要大量的光线计算的，比如点列图法，能量集中度法等，计算的光线越多，评