高考数学一轮复习 基本不等式课件

4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2
且c2＝d2且ab＝cd.
1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
求证：(11)(11)(11)≥8. abc
证明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，
(11)(11)(11) abc
当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号.
1.利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件 缺一不可.
三、算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
，几何平均
数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数 .
四、利用基本不等式求最值
设x，y都是正数. (1)如果积xy是定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有
最小值
.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时积xy有最大
x 1 (x1) 1;1=3 答案：C
4.已知
＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是
.
解析：2＝
，所以xy≥15，当且仅当
时等号成立.所以xy的最小值是15.
答案：15
5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费
4.基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它 的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
2ab≤ ab≤ ab≤ a2b2(a0,b0).
ab
2
2
求下列各题的最值. (1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝ (2)x＞0，求f(x)＝ ＋3x的最小值. (3)x＜3，求f(x)＝ ＋x的最大值.
与总存储费用之和最小，则x＝
.
解析：每年购买次数为 ∴总费用 ＝·4＋4x≥2
. ＝160，
当且仅当 答案：20
＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况， 其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不 等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是 “由因导果”.
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该 厂利用此优惠条件，每x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支 付的总费用为y2，则
y2＝ (3x2＋3x＋300)＋200×1.8×0.85
＝ ＋3x＋309(x≥25). ∵y2′＝ －＋3， ∴当x≥25时，y2′ ＞0，即函数y2在[25，＋∞)上是增函数， ∴当x＝25时，y2取得最小值为396.而396＜423， ∴该厂可以接受此优惠条件.
3.经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车
的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系
y＝
(v 0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？
最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的
平均速度应控制在什么范围内？
解：(1)y=
当散 v
(2009·湖北高考) 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩 形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙 要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口， 如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180 元/米.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围 墙的总费用为y(单位：元).
＝3－x，即x＝1时，等号成立.
故f(x)的最大值为－1.
2.解下列问题：
(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；
(2)已知x＞2，求x＋ 的最小值；
(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求
的最小值.
解：(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，
∴1＝4a＋ b ≥2
当且仅当4a＝
即v＝40(千米/小时)时，车流量最大，最大
值为11.08(千辆/小量).
(2)根题意有
≥ 10,
化简得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内.
从近几年的高考试题看，基本不等式 的应用一直是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答 题中都有可能出现，它的应用范围涉及高中数学的很多章 节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求 最值、求取值范围等.2009年湖北卷第17题考查了基本不等 式的实际应用，代表了一个重要的高考方向.
根据已知条件建立“购买天数x”与“平均每天 支付的总费用”之间的函数关系式，然后利用 基本不等式或函数的单调性解决.
【解】 (1)设该厂每x(x∈N*)天购买一次饲料，平均每 天支付的总费用为y1. ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x天饲料的保管与其他费用共是 6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2＋3x(元). 从而有y1＝ (3x2＋3x＋300)＋200×1.8 ＝ ＋3x＋363≥423. 当且仅当 ＝3x，即x＝10时，y1有最小值. 即每10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.
当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立.
(2)∵x＞0， ∴f(x)＝ 12 3 x ≥ 2
x 等号成立的条件是 ＝3x，即x＝2，
∴f(x)的最小值是12.
(3)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0，
∴f(x)＝ ＋x＝＋
(x－3)＋3
＝－[ ＋(3－x)]＋3
≤－2
＋3＝－1，
当且仅当
值
.
1.下列函数中，最小值为4的函数是
()
A.y＝x＋
B.y＝sinx＋ (0＜x＜π)
C.y＝ex＋4e－x
D.y＝log3x＋logx81
答案：C
2.设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：(
)2
≤
，则p是q成立的
()
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
第四节 基本不等式
一、基本不等式 基本不等式
不等式成立的条件 等号成立的条件
a＞0，b＞0
a＝b
二、常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)
(2)Ab ≤ (
)2(a，b∈R)
(3)
≥(
)2(a，b∈R)
(4)
＋≥ 2(a，b同号且不为零)
上述四个不等式等号成立的条件是什么？ 提示：上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.
解析：命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，
p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件.
答案：B
3.当x＞1时，关于函数f(x)＝x＋ ，下列叙述正确的是
()
A.函数f(x)有最小值2
B.函数f(x)有最大值2
C.函数f(x)有最小值3
D.函数f(x)有最大值3
解析：∵x＞1，∴x－1＞0，
(1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求 出最小总费用.
[解] (1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝
所以y＝225x＋ －360(x＞0).
∵x＞0 ∴225x＋ 3602≥ 2225360210800
x (2)∴y＝225x＋ －360≥10440.当且仅当225x＝
时，
等号成立.
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是
10440元.
2009年很多考生解答本题时做对了答案却没有得满分，主要 原因是解题步骤不规范，造成失分，主要体现在以下几点. (1)列出函数解析式后没有注明函数的定义域. (2)利用基本不等式求出最值后没有注明等号成立的条件. (3)没有对结论进行总结.
的最小值.
(1)由条件lgx＋lgy＝1得定值xy＝10，故可用基本
不等式.
(2)由x＞0， ·3x＝36是常数，故可直接利用基
本不等式.
(3)因
·x不是常数，故需变形.
f(x)＝ ＋x－3＋3，又x－3＜0，故需变号.
【解】 (1)由已知条件lgx＋lgy＝1， 可得xy＝10.
则
＝2.
∴(
)min＝2.
2.合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在 于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或 和为定值.
3.当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等 号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错， 因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件 不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一 种方法.
2.证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注 意每次等号是否都成立.同时也要注意应用基本不等式的变 形形式.
(1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： (2)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.
＋≥4.
(1)利用a＋b＝1将要证不等式中的1代换，即 可得证. (2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证.但需两 次利用不等式，注意等号成立的条件.
即x＝4时，等号成立.
所以x＋
的最小值为6.
(3)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，
4
9
(x
4 y)(
9) 13 4y
9x
xy
xy
xy
≥132
当且仅当
时等号成立，
由