理论力学总复习(Hong)2---华南理工大学理论力学课件

FOy
（2分） 1 1 = mg − ml α = mg （方向分别如图） 2 4
28
② OA转至铅直时，角速度为ω，由动能定理
T1 = 0,
1 1 2 2 T2 = ( ml )ω （1分） 2 3
B
O
∑W
(F )
i
mgl = 2
（1分） （2分）
ω
mg
T2 − T1 = ∑ Wi ( F )
mgl 1 1 2 2 ( ml )ω − 0 = 2 3 2
（1分）
′ 3 2 FD − (1.5a + r )G + rFT − 3aF = 0 (2)
（2分）
研究CD杆+滑轮＋重物+AB杆
∑ F = 0, ∑ M = 0, M
y A
′ Fx = 0, 6qa + FAx − FD sin 45o = 0 (3) （1分） ∑
′ FAy + FD cos 45o − G + F = 0 (4) （1分）
ωOC
ve u = = OA 2l
（逆时针） （1分）
2 vr = va cos ϕ = u 2
（方向如图） （1分）
19
•动点：AB上A点， •动系：固连OC
r rt rn r r [aa = ae + ae + ar + aC ]ξ
0 = −a + aC
t e
a
t e
ar
C
u
（1分）
α OA
O
ω1 ω2
vC aC
•系统动能 （2分＋1分） 1 1 1 2 2 2 T1 = 0, T2 = J1ω1 + m2 vC + J Cω2 （2分） 2 2 2 其中，
ω1 =
vC v ,ω2 = C , R1 R2
J1 = m1 R12 , J C =
1 2 m2 R2 2
（2分）
vC vC 1 1 1 2 2 2 ,ω2 = , T1 = 0, T2 = J1ω1 + m2 vC + J Cω2 , ω1 = R1 R2 2 2 2
1 2 = J Oα = ml α 3
•由动静法：
∑ M O = 0, M IO
3g α= 2l
l − mg = 0, 2
M IO
r FIO
O
（2分） （2分）
r FOx
∑F ∑F
x
= 0 , FOx = 0
r FOy
α
r mg r rt aC = aC
A
y
= 0, FOy + FIO − mg = 0,
2 2 = a⋅ rω0 ⋅ tgβ = rω0 ⋅ tgβ a 2
ωO =
1
vO1 R
=
rω 0 tgβ（逆时针） （1分） R
22
t aBA
B
A为基点，
a
n BA
a
α
r rn rt rt rn [aB = a A + a A + aBA + aBA ] AB
其中，a = a
t A n BA
n A
∑M
E
′ ( F ) = 0,−( r + r1 )FsD − ( r1 − r )F = 0
′ FsD = −
r1 − r F = −0.5 F（负号表明与所设反向 ） r1 + r
（5）假设线圈架沿顺时针方向又滚又滑；
∑M
D
( F ) = 0, ( r + r1 )FsE + 2rF = 0
2r FsE = − F = −0.5 F（负号表明与所设反向 ） r1 + r
联立(1)～(4)解得
F = (M cot2θ) / a
（2分）
静力平衡问题类型 求约束力； 求平衡位置； 求平衡时两个主动力之间的关系
5
（1分）
•练习 已知: Q=5000N，杆重不计。求SDE，SFG和C点的反力。 解：研究整体，受力如图
∑m
C
= 0, S FG ⋅ sin 45° ×1 − Q × 2 = 0
FCy
FCx
7
习题5-2均质杆OC 长4ｍ，重500Ｎ；轮重300Ｎ，与 杆OC 及水平面接触处的摩擦系数分别为f AS ＝0.4， f BS ＝0.2。设滚动摩擦不计，求拉动圆轮所需的F 的最小值。
解：线圈架临界状态有3种可能的运动趋势： （1）线圈架接触处D和E均发生水平向右滑动； （2）沿接触点E滚而不滑； （3）沿接触点D滚而不滑；
理论力学总复习
•理论力学复习提纲（见附件1） • 理论力学三大类问题基本解法（见附件2） • 静力平衡问题求解范例 •运动学问题求解范例 •动力学问题求解范例
1
• 静力平衡问题求解范例
2
3-12 求A、E处的约束力。（15分）
•解：DE为二力杆
FE = FD (1)
研究CD杆+滑轮+重物
∑M
C
= 0, （2分）
A
FAx
FE
（2分）
MA
′ − (4.5a + r )G − 6aF + 6 2aFD − 6aq ⋅ 3a = 0 (5)（2分） FAx = F − 6qa, FAy = 2 F , M A = 5Fa + 18qa 2 , FE = 2 F
（1分） （1分）
3 （1分）
（1分）
例 求平衡时力F与力偶M的关系。（10分） 解：杆AB、BC、BD是 二力杆。假定AB受拉、 BC、BD受压。 对曲柄OA
17
• 练习 在图13机构中，杆AB以速度u向左匀速运动。求当 角 ϕ = 45 o时，OC杆的角速度和角加速度。（13分）
18
•动点：AB上A点 （1分） •动系：固连OC
va vr
ωOA
O
ve
ϕ
A
C
u
B
（1分）
ϕ
l
r r r va = ve + vr
（2分）
2 ve = va sin ϕ = u 2 （1分）
F sE = f sE ⋅ F NE = 128 .6 N
∑F
x
′ = 0, F − FsD − FsE = 0
′ F = FsD + FsE = 248.6N
（2）当沿接触点E滚而不滑；此时
F sD = f sD ⋅ F ND = 120 N
∑M
E
′ ( F ) = 0, ( r + r1 )FsD − ( r1 − r )F = 0
研究梁AB,
∑M
A
( F ) = 0,3 FND − 2G1 = 0
FND =
2 G1 = 300N 3
再研究线圈架,
∑F
y
′ = 0, FNE − FND − G2 = 0
′ FNE = FND + G2 = 64Biblioteka BaiduN
（1）当线圈架接触处D和E均发生水平向右滑动；
F sD = f sD ⋅ F ND = 120 N
∑ M = 0,
对铰链B
（2分）
F′AB⋅cosθ ⋅ a − M = 0 (1)
（2分） （1分）
∑F ∑F
x
= 0, F BC⋅cos2θ − FBD = 0 (2) = 0,
y
F′BA−F BC⋅sin2θ = 0 (3)
4
（1分）
对滑块D
（1分）
∑F
x
= 0,
′ FBD ⋅ cosθ − F = 0 (4)
（1分）
23
•动力学问题求解范例
24
• 已知：轮O的R1、m1,质量分布在轮缘上; 均质轮C的R2、 m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。 求：轮心C走过路程s时的速度和加速度（15分） •解：系统受力及运动分析如图。 •理想约束。主动力作功
W12 = Mϕ − m2 g sin θ ⋅ s （2分）
S FG = 14140(N)（方向 如图）
∑m
FCy
G
=0 =0
FCy ×1 + Q ×1 = 0 FCx − S FG ⋅ cos 45° = 0
FCy = −5000(N) ↓） （
FCx
∑F
x
FCx = 10000(N) →） （
6
FAy
FAx
由∑ m A = 0 S DE sin 45o ×1 − Q × 2 = 0 ∴ S DE = 14140(N)
1 2 m2 R2 2
2( M − m2 gR1 sin θ ) aC = (2m1 + 3m2 ) R1
（2分）
•练习 图示均质杆OA，长度为l ，质量为m。可绕O轴转动， 今用软绳AB悬挂，①试求：突然剪断绳AB瞬间，OA的角加 速度及O处的反力；②杆OA转至铅直时的角速度。（16分） r
B
M IO
aen
A
aC
（2分）
ξ
B
t ae = aC = 2ωe ⋅ vr
ϕ
l
u 2u = 2× × 2l 2 2u 2 （2分） = 2l
t ae a r
α OC
t ae u2 = = 2 OA 2l
aen
20
A aC
（逆时针） （1分）
ξ
如图16所示机构，曲柄OA=r, AB=a, 圆轮半径为R。OA以 匀角速度ω纯滚动。若α=45º，β为已知，求此瞬时： （1）滑块B的加速度；（2）AB杆的角加速度；（3）圆轮O1 的角速度；（4） 杆O1B 的角速度。
B
a
R
β
O1
α
ω0
A
r
21
P
ω AB杆瞬时平移， AB = 0 （1分）
B
ωO B
1
（2分）
a
v B = v A = rω 0
vO1
vB
β
1
R
α
ω0 r
O1
O1B杆速度瞬心为P点， 1分） （
ωO B =
1
ωO
A
O
D
vA
2rω0 vB = tgβ (顺时针） （1分） PB a
vO1 = O1 P ⋅ ωO1B
结论，若D、E处摩擦力均达最大值 时，摩擦力均水平向左。
•运动学问题求解范例
14
• 8-18 图示平面机构中，导杆与AB杆固结，套筒C可在 导杆上滑动，O1A ＝ O2B ＝ O3C ＝ r ，AB ＝ O1O2 ， ω3 为常量。图示位置时，ϕ = θ = 45o ，求此时杆 O1 A 的角速度 ω1 和角加速度 α1 。 (15分)
ar
（2分）
（2分）
ξ
a
n e
t aa cos 45o = ae cos 45o − aen cos 45o
aa a t
e
t ae = aa + aen
其中，aa = rω
2 3
α1
n aA
n aen = a A = rω32
a tA
t ae = aa + aen = 2rω32（2分）
t ae α1 = = 2ω32 （顺时针） （1分） r
A
（1分）
3g ω= l
（1分）
29
•12-综-8 图示均质杆AB，长度为l ，质量为m。其两端悬 挂在两条平行绳上，杆处于水平位置。试求：突然剪断绳 BE瞬间，AD绳的张力FA。 •解：研究AB杆，剪断BD杆瞬间 受力和运动分析如图。建立 图示坐标系。 刚体平面运动微分方程
maCx = 0 maCy = mg − FA ml 2 l α = FA 12 2 (1) (2) (3)
•由质点系动能定理 （2分） v J (2m1 + 3m2 ) − 0 = Mϕ − m2 g sin θ ⋅ s
2 C
ω1 ω2
vC aC
4
ϕ=
s R1
vC = 2
( M − m2 gR1 sin θ ) ⋅ s (2m1 + 3m2 ) R1
对t求一阶导数
（2分）
J1 = m1 R12 , J C =
15
解：
•动点：O3C上C点 （2分）
vr
ϕ
va ve
•动系：固连ABC, ABC平移
r r r va = ve + vr
ve = va = rω3
（2分）
ω1
vA
（2分）
v A ve ω1 = = = ω3 （2分） r r
16
•动点：O3C上C点， •动系：固连ABC, ABC平移
r rt rn r [aa = ae + ae + ar ]ξ
FIO
O
r FOx
A
O
r FOy
α
r mg r rt aC = aC
（2分）
A
•解：研究OA杆。受力与运动分析如图。 ① 惯性力系向O点简化 1 2 1 FIO = ma C = ml α , M IO = J Oα = ml α 2 3
27
（2分）
FIO
1 = ma C = ml α , 2
M IO
′ F = 2 FsD = 240N
（3）沿接触点D滚而不滑；此时
F sE = f sE ⋅ F NE = 128 .6 N
∑M
综上
D
( F ) = 0,2rF − ( r + r1 )FsE = 0
F = 2 FsE = 257.2N
Fmin = 240N
讨论： （4）假设线圈架沿逆时针方向又滚又滑；
x
α AB
ω0 r
aB a
R O1 β
=0
（2分）
A
a
n 2 aB = a A = rω0 (↓)
n A
O
（2分） （2分）
（2分）
r rn rt [aB = a A + aBA ]x
n 2 a tAB = − a A / cos α = − 2rω0
α AB
2 t 2rω0 aBA = =− （逆时针） a a
(5)
aA = 0
aCy = a
t CA
l = α 2
(6)
联立(2),(3),(6)
mg FA = 4
31
•综-21 图示圆盘和滑块的质量均为m，圆盘的半径为r，且可 视为均质。杆OA平行于斜面，质量不计。斜面的倾斜角为 θ ，圆盘、滑块与斜面间的摩擦因数均为f，圆盘在斜面上作 无滑动滚动。试求（1）O点的加速度；（2）OA杆内力。 •解：研究系统，受力和运动分析如图。
a tA
30
以A为基点
r rt r n rt rn aC = a A + a A + aCA + aCA (4)
A点为AB杆的 加速度瞬心
其中
2 vA l l n n t aA = = 0, aCA = ω 2 = 0, aCA = α AD 2 2
a tA
代入(4)并分别 向x，y轴投影
a tA = aCx = 0