数值分析模拟试卷(三)
数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案数值分析习题集及答案篇一：数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx 的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()()则得有5位有效数字，其误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2），相对误差限满足，而解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=,是 3位有数数字。
5.计算四个选项：取，利用：式计算误差最小。
第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。
线性插值时，用及两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用，，三点，作二次Newton 插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次，函数表的步长h插值法求的近似值，要使误差不超过应取多少? 解：用误差估计式（），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若的值，这里p≤n+1.解：可知当而当P＝n＋1时于是得有互异，求，由均差对称性5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f()的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式()当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=+()+()() 由此可得f() N3()= 由余项表达式()可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表篇二：数值分析试题1参考答案参考答案 1 一、1．22．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,f(xn)(n?0,1,?) ?f(xn)25 7(k?1)15(k)x2x11336. ? ,1(k?1)x2??x1(k?1)1220?2003??10?2?4二、(1) L?0?13?00?1??(2)1?0?120??,U??0100?5??4000?23100??0?? 3??4?1??l65?a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);u55u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)三、先造差分表如下：（1）选x1?,x2?,x3?,x4?为节点，构造三次向前Newton插值多项式2y1?3y1N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!将x1和h代入上式，则有N3(?)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)由??解得t?,所以f()?N()?(2) 选x3?,x4?,x5?为节点，构造二次向前Newton插值式N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)2!将x3和h代入上式，则有N2(?)?20?t?t(t?1) 由+=解得t=,所以 f()?N2()?（3）由f(?)3ht(t?1)(t?2)3!(,0?t?2)R2(x0?th)?f(?)3600有R（2(xi?)?(t?1)(t?2)?**maxt(t?1)(t?2)0?t?23!3!可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。
数值分析模拟试题
数值分析模拟试题1、⽅程组中，，则求解⽅程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。
2、，则A 的LDL T 分解中，。
3、，则__________，_______________.4、已知，则⽤复合梯形公式计算求得，⽤三点式求得____________. 5、，则_________，三点⾼斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有________位有效数字。
7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。
8 求⽅程()x f x =根的⽜顿迭代格式是__________________。
9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。
10.⽜顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k C ==∑__________________。
11.⽤⼆次拉格朗⽇插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
12.⽤⼆分法求⽅程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在区间内的⼀个根，误差限210ε-=。
13.⽤列主元消去法解线性⽅程组1231231232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=?14. 确定求积公式012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++?。
中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量⾼；并指出此时求积公式的代数精度。
15、试求使求积公式的代数精度尽量⾼，并求其代数精度。
16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
数值分析试题及答案..(优选)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---()12x L x -=-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
数值分析试卷及答案
二1求A的LU分解，并利用分解结果求解由紧凑格式故从而故2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。
现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。
若A有LU分解，则故，而，显然不能同时成立。
这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，，4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。
5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）（3）由事后误差估计式，右端为而左端这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。
因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。
6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。
如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。
对高斯-赛德尔法，迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛。
因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。
8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。
解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。
高斯-赛德尔法的迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。
9设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。
证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。
数值分析练习题及答案
数值分析练习题及答案数值分析练习题及答案数值分析是应用数学的一个分支，它研究如何使用数值方法解决实际问题。
在数值分析的学习过程中，练习题是非常重要的一部分，通过练习题的完成，我们可以更好地理解和掌握数值分析的原理和方法。
本文将给出一些数值分析的练习题及其答案，希望对读者有所帮助。
一、插值与拟合1. 插值是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法推导出在这些数据点之间的函数值。
请问插值的目的是什么？答案：插值的目的是通过已知数据点的函数值，推导出在这些数据点之间的函数值，以便于我们在这些数据点之间进行计算和分析。
2. 拟合是指根据已知数据点的函数值，通过某种方法找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近。
请问拟合的目的是什么？答案：拟合的目的是通过已知数据点的函数值，找到一个函数，使得该函数与这些数据点尽可能接近，以便于我们对数据的趋势和规律进行分析和预测。
二、数值积分1. 数值积分是指通过数值方法计算一个函数在某个区间上的积分值。
请问数值积分的应用领域有哪些？答案：数值积分在科学计算、工程设计、金融分析等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，数值积分可以用来计算物体的质心、重心等重要物理量；在金融分析中，数值积分可以用来计算期权的价格和风险价值等。
2. 辛普森法则是一种常用的数值积分方法，它通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。
请问辛普森法则的原理是什么？答案：辛普森法则的原理是通过将积分区间划分为若干个小区间，并在每个小区间上使用一个二次多项式来逼近被积函数。
然后，通过对这些小区间上的二次多项式进行积分，最后将这些积分值加起来，就可以得到整个积分区间上的积分值。
三、数值微分1. 数值微分是指通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值。
请问数值微分的作用是什么？答案：数值微分的作用是通过数值方法计算一个函数在某个点处的导数值，以便于我们对函数的变化趋势和规律进行分析和预测。
数值分析模拟试题(XAUT)(15套)
模拟试题一一、填空（每小题3分，共30分）1. 设2.40315x *=是真值 2.40194x =的近似值，则x *有 位有效数字。
2. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k c =∑ 。
3 已知 12,()_________01A A ∞⎛⎫== ⎪⎝⎭则条件数cond 。
4 若332x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 220⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =_______, b =______, c =______.5 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n ) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基函 数 为()k l x ( k =0,1,2,…,n )，则 nk k=0kl (x)=_____.∑6 序列{}n n=0y ∞满足递推关系：n n-1y =10y -1,(n =1,2,...)，若0y 有误差, 这个计算过程____________稳定.7 若42f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]=_____. 8 数值求积公式10311f(x)dx f()+f(1)434=⎰的代数精度是____________. 9．当x很大时，为防止损失有效数字，应该使= .10．已知A ＝⎢⎢⎢⎣⎡761 852 ⎥⎥⎥⎦⎤943，x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，则=1Ax . 二、(10分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据x 0 1.0 2.0 3.0 y 0.2 0.5 1.0 1.2三、(10分)2011A =050,b =3,203-1⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用迭代公式(1)()()()(0,1,2,)k k k x x Ax b k α+=+-=求解,Ax b =问取什么实数α可使迭代收敛，什么α可使迭代收敛最快。
四、（10）设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2,,i x x ih i =+=试建立如下数值微分公式''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析模拟试题(XAUT)(15套)
模拟试题一一、填空（每小题3分，共30分）1. 设2.40315x *=是真值 2.40194x =的近似值，则x *有 位有效数字。
2. 牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nn k k c =∑ 。
3 已知 12,()_________01A A ∞⎛⎫== ⎪⎝⎭则条件数cond 。
4 若332x -1x 1S(x)=1(x -1)+a(x -1)+b(x -1)+c 1x 220⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩是三次样条函数，则a =_______, b =______, c =______.5 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n ) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基函 数 为()k l x ( k =0,1,2,…,n )，则 nk k=0kl (x)=_____.∑6 序列{}n n=0y ∞满足递推关系：n n-1y =10y -1,(n =1,2,...)，若0y 有误差, 这个计算过程____________稳定.7 若42f(x)=2x +x -3, 则f[1,2,3,4,5,6]=_____. 8 数值求积公式10311f(x)dx f()+f(1)434=⎰的代数精度是____________. 9．当x很大时，为防止损失有效数字，应该使 .10．已知A ＝⎢⎢⎢⎣⎡761 852 ⎥⎥⎥⎦⎤943，x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，则=1Ax . 二、(10分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据x 0 1.0 2.0 3.0 y 0.2 0.5 1.0 1.2三、(10分)2011A =050,b =3,203-1⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭用迭代公式(1)()()()(0,1,2,)k k k x x Ax b k α+=+-=求解,Ax b =问取什么实数α可使迭代收敛，什么α可使迭代收敛最快。
四、（10）设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2,,i x x ih i =+= 试建立如下数值微分公式''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈并推导该公式的截断误差。
【最新试题库含答案】数值分析习题集及答案_0
数值分析习题集及答案：篇一：数值分析习题集及答案[1]数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论1. 设x 0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: *****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.n************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6. 设Y0?28,按递推公式( n=1,2,…)Y计算到Y100.27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?Yn?Yn?127. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N充分大时,怎样求???N1dx1?x2?29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10. 设误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列S?12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0??1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?计算到612.计算f?1),?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3?? 13.f(x)?ln(x,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大?ln(x???ln(x14. 试用消元法解方程组?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足s??s?a?b?c???.sabc第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令1Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?11证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且x0?xn?1x2x0???nx0?x2?xn2nxn?xn?1?1Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.3.4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.xj6. 设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:i) ii) 7. 设?xl(x)?xkjjj?0nnk(k?0,1,?,n);?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x8a?x?bx8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若yn?2,求?yn及?yn.10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k 阶差分n44?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk. 12. 证明k?0n?1n?1n?1?f?gkk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?013. 证明??j?02yj??yn??y0.n?1n14. 若f(x)?a0?a1x???an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明?f?(x)j?1jnxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.15. 证明n阶均差有下列性质: i)若F(x)?cf(x),则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则?0174f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.20. 设f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.22. 求f(x)?x在?2423. 求f(x)?x在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) ii)2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.i)??f?(x)?dx???S?(x)?dx???f?(x)?S?(x)?dx?2?aaab2b2b2baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx;ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则?baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式.?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的(b)对f(x)?sinx在?马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:0,?/2(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.0,2??的最佳一致逼近多项式.3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.4. 假设f(x)在?5. 选取常数a,使0?x?1maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.6. 求f(x)?sinx在?0,17. 求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.x?1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?8. 如何选取r,使p(x)?x?r在?20,19. 设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.43***T(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x). nn01210. 令,求11. 试证12. 在??T*n(x)?是在?0,1?上带权??的正交多项式.?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.?x?1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln13. 设f(x)?e在?有界,证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).112331541655?(x)?1?x?x?x?x?x?1,1??28243843840,试将?(x)降低到3次多14. 设在上项式并估计误差. 15. 在??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.?a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式16. f(x)是?Fn*(x)?Hn也是奇(偶)函数.?ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.17. 求a、b使?1g(x)?C?a,b?,定义 f(x)18. 、2?2(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb问它们是否构成内积?1x6?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11.???span?1,x?,?2?span?x100,x101?,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.?1?span?1,x2,x4?f(x)?x?1,1??22. 在上,求在上的最佳平方逼近.sin(n?1)arccosxun(x)?23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系un?1?x??2xun?x??un?1?x?.24. 将近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.f(x)?sin1x??1,1?2在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼?1,1?上展成切比雪夫级数.25. 把f(x)?arccosx在?26.y?a?bx.227.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录?xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱?Ck?(k?0,1,?,7).第四章数值积分与数值微分篇二：数值分析习题解答1第一章引论（习题）2．证明：x的相对误差约等于x的相对误差的1/2.证明记 f(x)?Er(f)?x ，则 ?x?x*x(x?x)*x?x*x?x?x*1??Er(x).□ *x2x?xx3．设实数a的t位?进制浮点机器数表示为fl(a). 试证明fl(a?b)?(a?b)/(1??),|?|?其中的记号*表示+、-、?、/ 中一种运算.证明：令： ??11?t?， 2(a?b)?fl(a?b) fl(a?b)c?1可估计： |fl(a?b)|??故： |?|? （c为a?b阶码）， 1c?tc?111?t???? 22于是：fl(a?b)?(a?b)(1??). □4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）（2）（3） 11?x?,1?2x1?xx?1?xx?1,x对|x|??1; 对x??1; 1?cosx,x 2对x?0,|x|??1. 解 (1) 2x(2) (1?x)(1?2x). . x(x?x?x?x)1?cosxsin2xsinx?? (3) . □ xx(1?cosx)1?cosx6．设a?0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差. 对于f(x)??x，估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差.解 a的相对误差：由于|E(x)|?x?a?1x?a, ?10?3. Er(x)?2x11Er(x)?10?2??10?2.（Th1） 2?918f(a)对于f(x)的误差和相对误差. |E(f)|?|?x??a|=a?x?x??a??3???1022?0.25=10?3 |Er(f)|?10?3?a?4?10?3.□9．序列{yn}满足递推关系：yn?1?100.01yn?yn?1. 取y0?1,y1?0.01及y0?1?10?5,定的. y1?0.01，试分别计算y5，从而说明该递推公式对于计算是不稳解递推关系： yn?1?100.01yn?yn?1(1) 取初值 y0?1， y1?0.01 计算可得： y2?100.01?10?6?2?1?1.0001?1?10?4 ?8y3?10 ， y4?10(2) 取初值 0?1?10记： ?n?yn?n, ?5 ， y5?10?2?10 ，…， 1?10,序列 ??n? ，满足递推关系，且?0??10?5 ， ?1?0?n?1?100.01?n??n?1, 于是： ?2?10?5,?3?100.01?10?5, ?4?(100.01)2?10?5?10?5,?5?(100.01)?103?5?200.02?10?5,n?2 可见随着 ?n 的主项 (100.01)?10?5 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.篇三：《数值分析》习题1习题11．以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
数值分析练习题
数值分析练习题一、数值逼近1.1 利用泰勒公式求函数f(x) = e^x在x=0处的二阶近似表达式。
1.2 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上，用插值法求三次多项式插值函数。
1.3 设已知点(0, 1)，(1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求通过这四个点的拉格朗日插值多项式。
x: 0, 1, 2, 3, 4y: 1, 3, 7, 11, 171.5 对于函数f(x) = e^(x^2)，在区间[1, 1]上，求最佳平方逼近多项式。
二、数值积分与数值微分2.1 利用梯形公式计算定积分I = ∫(0, 1) e^x dx。
2.2 给定函数f(x) = x^3 3x，使用辛普森公式计算定积分I =∫(0, 2) f(x) dx。
2.3 对函数f(x) = 1/(1+x^2)，在区间[5, 5]上，使用高斯勒让德求积公式计算定积分。
2.4 利用数值微分公式求函数f(x) = sin(x)在x=π/4处的导数。
2.5 给定数据点(x, y)，其中x = 0, 1, 2, 3, 4, y = 1, 3, 7, 11, 17，求y在x=2处的导数。
三、常微分方程数值解法3.1 用欧拉法求解初值问题y' = x + y，y(0) = 1，步长h=0.1，计算y(0.5)的近似值。
3.2 对于初值问题y' = y + x^2，y(0) = 1，使用改进的欧拉法（梯形法）求解y(1)。
3.3 利用龙格库塔方法求解初值问题y' = 2xy，y(0) = 1，计算y(0.5)的近似值。
3.4 给定边值问题y'' + 4y = 0，y(0) = 0，y(π) = 1，使用有限差分法求解。
四、线性方程组数值解法4.1 利用高斯消元法求解线性方程组：3x + 4y z = 72x 3y + 5z = 8x + 2y + 3z = 35x + 2y z = 102x 6y + 3z = 4x + 0.5y + 4z = 74.3 给定矩阵A，使用共轭梯度法求解线性方程组Ax = b，其中：A = [[4, 1, 0], [1, 4, 1], [0, 1, 4]]b = [12, 9, 3]A = [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]]b = [1, 0, 1]五、非线性方程数值解法5.1 使用二分法求解方程f(x) = x^3 2x 5 = 0在区间[2, 3]内的根。
数值分析试题库与答案解析
y1
y0
h( 2
k1
k2)
2 0. 1 ( 0. 5 0. 5 7 1 4 2 9 )
2. 1 0 7 1 4 2 9
33 5 3 解 设3 5 9
5 9 17
1
d1
1 l21 l31
l21 1
d2
1 l32
l31 l32 1
d3
1
利用矩阵乘法可求得
2
5
d1 3 ， d 2 2 ， d3
， l 21 1 ， l31
7. xk 1 xk xk f (xk ) ; 8. x j ; 9. 1 f (xk)
(B) 1;
10. 1 x3
x2
1 x,
f (4) ( )( x 1)x( x 1)(x 2) / 24
6
6
( 1,2)
二、综合题
1．差商表：
1 15
20
1 15
15
20
7
1 15
22
1
42
8
2 57
30
72
2 57
＝
.
5．解初始值问题
y f ( x, y)
的改进的 Euler 方法是
y(x0) y0
阶方法；
5 x1 3 x2 0.1x3 3
6．求解线性代数方程组
2 x1 6 x2 0.7 x3 2 的高斯—塞德尔迭代公式为
，
x1 2 x2 3.5x3 1
若取 x (0) (1, 1,1) , 则 x(1)
.
7．求方程 x f ( x) 根的牛顿迭代格式是
， l 32 2
3
3
解方程组
1
y1
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
数值分析模拟试卷1,2,3
数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________.2 设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x xx f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f ,（1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()1(b Axa xxk k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
数值分析试卷及答案
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设，，则= .，= ______.3．已知y=f(x)的均差（差商），，，, 那么均差= .4．已知n=4时Newton－Cotes求积公式的系数分别是：则＝ .5．解初始值问题的改进的Euler方法是阶方法；6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，若取, 则 .7．求方程根的牛顿迭代格式是 .8．是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则= .9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是 .10．设，则的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为.二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，，.2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton法求方程在区间内的根, 要求.4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组.6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式，其中.三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足的任意，迭代格式均收敛于的根.参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3. ； 4. ； 5. 二；6. , (0.02，0.22，0.1543)7. ; 8. ; 9. ;10.二、综合题1．差商表：1 1 12 2151515575720204272152230781其他方法：设令，，求出a和b.2．取，令公式准确成立，得：, , ,.时，公式左右；时，公式左, 公式右∴公式的代数精度.3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
设则，，Newton法迭代公式为，取，得。
4．，，.解方程组，其中，解得：所以， .5．解设由矩阵乘法可求出和解下三角方程组有，，，.再解上三角方程组得原方程组的解为，，，.6 解 初值问题等价于如下形式，取，有，利用辛卜森求积公式可得.三、证明题证明将写成，由于，所以所以迭代格式均收敛于的根.模 拟 试 卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分）1．分别用2.718281和2.718282作数的近似值，则其有效位数分别有位和位；2．设，，则= ________，= .3．对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是=________.4．设，则差商=__________，=_______.5．已知, 则条件数_________.6．为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=__________， =__________7．解初始值问题近似解的梯形公式是8．求方程根的弦截法迭代公式是9. 计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是，用辛卜生公式计算的结果是10．任一非奇异矩阵的条件数＝ ，其一定大于等于二、综合题（每题10分，共60分）1 证明方程在区间有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过近似解，问要迭代多少次？2 已知常微分方程的初值问题：试用改进的Euler方法计算的近似值，取步长.3 用矩阵的分解法解方程组 .4 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合.x 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 设方程组，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代法的收敛性。
数值分析试题
数值分析试题一、选择题1.数值分析的目的是：– A. 提供数值计算的方法和技巧– B. 解决数值计算中的实际问题– C. 研究数值计算的理论基础– D. 分析和验证已有的数值计算方法2.数值分析中的舍入误差是由以下哪个原因引起的？– A. 人为输入错误– B. 计算机运算精度限制– C. 近似计算方法的局限性– D. 数值计算方法的选择问题3.在数值分析中，下面哪个方法适用于求解非线性方程的根？– A. 二分法– B. 直接法– C. 迭代法– D. 插值法4.数值逼近的基本思想是：– A. 将数值计算转化为代数运算– B. 通过逼近函数来计算数值– C. 求解数值问题的方法– D. 对数值计算进行近似处理5.下列哪个方法不属于数值微分的计算方法？– A. 差商法– B. 导数法– C. 插值法– D. 积分法二、判断题1.数值方法与符号计算方法是相互独立的。
–正确 / 错误2.数值计算方法可以得到精确的数值解。
–正确 / 错误3.数值分析只研究数值计算的精确性，不关注计算效率。
–正确 / 错误4.数值积分是求解定积分近似值的方法。
–正确 / 错误5.数值微分是求解函数导数的近似值的方法。
–正确 / 错误三、简答题1.解释数值分析的基本原理及其应用。
2.什么是舍入误差？其产生的原因有哪些？3.简述求解非线性方程根的迭代法的基本思想。
4.数值逼近的方法有哪些？各自的优缺点是什么？5.分析数值微分方法的优缺点，并举例说明其应用场景。
四、计算题1.使用二分法求方程 f(x) = x^3 - x^2 - 1 的一个实根，给出计算过程和结果。
2.使用差分法求函数 f(x) = x^2 在点 x = 1 处的一阶导数近似值，给出计算过程和结果。
3.使用拉格朗日插值法在已知数据点 (0, 0), (1, 1), (2, 4) 的基础上，求出 f(x) = x^2 的一个三次插值多项式，并计算插值多项式在 x = 1.5 处的近似值。
数值分析模拟试卷3
数值分析模拟试卷（三）一、填空题 (每小题4分, 共20分)1、方程组中，，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel迭代均收敛的a 的范围是___________。
2、，则A 的LDL T 分解中，。
3、，则__________，_______________.4、已知，则用复合梯形公式计算求得，用三点式求得____________.5、，则_________，三点高斯求积公式______________.二、单项选择题（每小题2分, 共10分）1、 在近似计算中，要注意以下原则：（1）计算速度快 （2）避免大数“吃掉”小数， （3）防止溢出 （4）减少计算次数 列主元消元法解方程组是（ ）.A ．(1)和(2) B.(2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 2、 已知，在[0, 1]内，有一位整数，用复合梯形求积公式计算要保证有3位有效数字，至少应将[0, 1]（ ）等分。
得分 评卷人得分 评卷人A. 4B. 5C. 6D. 73、 求解常微分方程的二阶R-K 方法的局部截断误差为( ). A. B.C.D.4、是给定的互异节点，是以它们为插值节点的插值多项式，则是一个( ).A. n +1次多项式B. n 次多项式C. 次数小于n 的多项式D. 次数不超过n 的多项式 5、 求解方程在(1, 2)内根的下列迭代法 (1)(2)(3)(4)中，收敛的迭代法是（ ）.A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)三、是非题（每小题2分，共10分)1、 已知观察值()，用最小二乘法求得的拟合多项式其次数为小于n 。
（ ）2、 求解一阶常微分方程初值问题的R-K 方法为单步法。
（ ）3、是超定方程组的最小二乘解的充分必要条件是是方程组的解。
( ).4、 一个近似数的有效数位越多，误差限越小。
( )5、 舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。
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3、数值微分中，已知等距节点的函数值 ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ，则由三点的求导公式， 有 f ( x1 ) _______________ ； 4、求方程 x x 1.25 0 的近似根，用迭代公式 x
1
………5 分
C) A
故 R A 1 C A ，则有
R A
A 1 C ．
………10 分
5 a 3 5 a 5 1 1 x ， (3 a ) (3 a ) 3 0 ， 6 3 6 3 6 3 2
………10 分
故此迭代格式是线性收敛的． 2、证明： （1）因 R 1 ，所以 I–R 非奇异， 又因 I–R=CA，所以 C，A 都是非奇异矩阵． （2）R= I–CA ( A
1 ( ( x) 3x) ( x) 2
1 ( ( x) 3) 2 1 1 ( x) ( x) 3 1 2 2 1 故 xk 1 ( xk ) [ ( xk ) 3xk ], k 0,1,2 收敛． 2
3、分别将 f ( x) 1, x, x , x , x , x 代入数值求积公式，得到方程组
9、O（h） ； 10、 a (
1 2
,
1 2
)．
二、1、(1)先求二次拉格朗日（Lagrange）插值多项式
9 1 9 1 ( x 1)( x ) ( x )( x 3) ( x )( x 1) 27 4 1 4 4 1 4 p 2 ( x) 1 1 9 8 1 9 9 1 9 8 ( 1)( ) (1 )(1 3) ( )( 1) 4 4 4 4 4 4 4 4
2
x 1.25 ，取初始值 x0 1 ，
那么 x1= _________ ； 5、解初始值问题
y f ( x, y ) 近似解的梯形公式是 yk+1 = _________ ； y ( x0 ) y 0
6、 A
1 1 ，则 A 的谱半径 ( A) ______ ，cond (A)＝______ ； 5 1
2 3 4 5
………10 分 ………15 分
4 A BC 0 A (a ) 0 Ca 16 2 2 3 Aa 0 Ca 0 Aa 3 0 Ca 3
解出
………5 分
AC
4
10 16 12 ,B ,a ， 9 9 5
xn 1
f ( x, y( x))dx
三、1、证明： （1）因 f ( x) ( x a) ，故 f ( x) 6 x ( x a)
3 2 2 3
由 Newton 迭代公式： x n 1 x n
f ( xn ) ，n=0,1,… f ( x n )
………5 分
1 0 a 10、设 A 0 1 a ，当 a ____________时，必有分解式 A=LLT，其中 L 为下三角阵． a a 1
二、计算题（共 60 分，每题 15 分）
3
1、 （1）设 f ( x) x 2 , x0
1 9 1 9 , x1 1, x2 , 试求 f(x)在 , 上的三次 Hermite 插值多 4 4 4 4
R A
A 1 C
三：一、填空题（共 20 分，每题 2 分）
1、2.3150；
5 (3) f [ x 2 , x3 ] f [ x1 , x 2 ] 2 11 2、 f [ x1 , x 2 , x3 ] ； x3 x1 4 1 6
4、1.5； 5、 y k
数值分析模拟试卷（三）
班级 学号 姓名
一、填空题（共 20 分，每题 2 分） 1、设 x*=2.3149578…，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x=_______________ ；. 2、设一阶差商 f [ x1 , x 2 ]
f ( x2 ) f ( x1 ) 1 4 3 ， x2 x1 2 1
2
7、设 f ( x) 3x 2, xk kh, k 0,1,2,，则 f [ xn , xn1 , xn 2 ] ______ ，
f [ xn , xn1 , xn2 , xn3 ] ______ ；
8、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞 德尔迭代都_______ ； 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_____
得 x n 1
3 ( xn a) 2 5x a xn 2 3 n 2 ，n=0,1,… 6 6 x n ( x n a) 6 xn
（2）因迭代函数 ( x)
5 a 5x a 2 ，而 ( x) x 3 ， 6 3 6 6x
又 x 3 a ，则 ( x)
h 1 4 y n yn 1 ) y n 1 y n 1 ( y n 3
三、证明题（共 20 分，每题 10 分） 1、设 f ( x) ( x a) ，
3 2
（1）写出解 f(x)=0 的 Newton 迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的． 2、设 R=I－CA，如果 R 1 ，证明： （1）A、C 都是非奇异的矩阵； （2）
项式 H ( x) 使满足 H ( xi ) f ( xi ), i 0,1,2, H ( x1 ) f ( x1 ) ；
（2）写出余项 R( x) f ( x) H ( x) 的表达式． 2、已知 x ( x) ，满足 ( x) 3 1 ，试问如何利用 ( x) 构造一个收敛的简单迭代 函数 ( x) ，使 xk 1 ( xk ), k 0,1,2 … 收敛？
3、
1 ( y2 y0 ) ； 2h
h [ f ( xk , y k ) f ( xk 1 , y k 1 )] ； 2
6、 ( A) 8、收敛；
6 ; cond ( A) 6 ； 7、 f [ xn , xn1 , xn2 ] 3 ， f [ xn , xn1 , xn2 , xn3 ] 0 ；
1 4
………10 分
1 9 2 1 9 1 9 ( x )( x 1) 2 ( x ), ( x) ( , ) ． 4! 16 4 4 4 4
5
………15 分 ………5 分
2、由 x ( x) ，可得 x 3x ( x) 3x ， x 因 ( x)
………5 分
9 4 3 14 由于 H ( x1 ) f ( x1 ) ，解出 A 2 225 14 3 263 2 233 1 所以 H ( x) x x x 225 450 450 25
又设 H ( x) p 2 ( x) A( x )( x 1)( x ) （2）余项 R(x)=
5
………10 分
又将 f ( x) x , x 代入该数值求积公式，等式成立， 将 f ( x) x 代入该数值求积公式，等式不成立，
6
所以该数值求积公式具有 5 次代数精确度，是 Gauss 型的数值求积公式． 4、利用数值积分方法构造该数值解公式对方程 y f ( x, y) 在区间 得
………15 分 上积分， ………5 分
y( xn1 ) y( xn1 )
xn 1 xn 1
f ( x, y( x))dx
记步长为 h，对积分
xn 1 xn 1
f ( x, y( x))dx 用 Simpson 求积公式得
2h h 1 4 y n yn 1 ) [ f ( xn 1 ) 4 f ( xn ) f ( xn1 )] ( y n xn 1 6 3 h 1 4 y n yn 1 ) ． 所以得数值解公式： y n 1 y n 1 ( y n ………15 分 3
3、试确定常数 A，B，C 和 a，使得数值积分公式
2 2
f ( x)dx Af (a) Bf (0) Cf (a)
有尽可能高的代数精度．所得的数值积分公式代数精度是多少？是否为 Gauss 型的？ 4、推导常微分方程的初值问题
y f ( x, y ) 的数值解公式： y ( x0 ) y 0