北京大学数值分析试题2015

北京大学数值分析试题2015

北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试)

课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设

1222A ⎡⎤

-=⎢

⎥-⎢⎥

⎣

⎦，则A 的奇异值

为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759

T

x

=的近似值，则

x

有 位有效数字。

(3) 设数据1

2

3

,,x x x 的绝对误差为0.002，那么

123

x x x -+的绝对误差约为 ____ _。

(4) )

x (l ,),x (l ),x (l

n 10

是以0

1

,,

,,(2)

n x x x n ≥为节点的

拉格朗日插值基函数，

则 2

0(2)()n

k

k k x

l x =+=

∑ 。

(5) 插值型求积公式22

=≈∑⎰()()

n

k k k x f x dx A f x 的求积系

数之和0

n

k

k A ==∑ 。

其中2

x 为权函数，1≥n 。

（6）已知(3,4)

,(0,1)T

T

x y ==，求Householder 阵H

使Hx ky =，其中k R ∈。

H= 。

(7) 数值求积公式1

1

2()((0)3f x dx f f f -⎡⎤≈

++⎢⎥⎣⎦

⎰的代数精度为___。

(8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。

（输入向量x , 输出S ）

x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n

if x (i)

二、(12分) （1）证明对任何初值 0x R

∈，由迭

代公式1

2

4cos ,0,1,2,...

3

k k x

x k +=+=

所产生的序列{}0

k

k x ∞=都收敛于方程

1232cos 0

x x -+=的根。

（2）证明它具有线性收敛性。

三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分40

x e dx

⎰的

近似值；

（2）若用复化辛浦生公式计算积分40

x e dx

⎰，问

至少应将区间[0，4]多少等分才能保证

计算结果有五位有效数字？

四、（12分） 已知数据表

2102230.5

1

0.5

i i

i

x y w --

（1）构造关于点集和权的正交函数组

01{(),()}

x x ϕϕ；

（2）利用0

1

{(),()}x x ϕϕ拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差2

δ。

五、(12分) 利用Gauss 变换阵，求矩阵

2113113112A ⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥-⎢⎥

-⎣⎦

的LU 分解。（要求写出分解过

程）

六、(10分) 已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式

1

(1)

()

(1)

()1

,

1,2,,i n

k k k k i

i

i ij j

ij j j j i

ii x x b a x

a x i n

a ω

-++===+--=∑∑（）

（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； （2）证明当A 是严格对角占优阵，1ω=时此迭代格式收敛。

七、(10分) 用插值极小化方法求 x

e f -=)x ( 在[1，

2]上的二次插值多项式)x (2

P ，

并在[1，2]上估计误差。

(已知Chebyshev 多项式)(t T 3

的三个零点

8660

0t 0t 86600t 210.,,.==-=)

八、(8分)已知求解常微分方程初值问题

00'()()()y x f x y y x y

=+⎧⎨=⎩

的数值格式为

2

100

()'()[1()]2()n n n n n n n n h y y hf x y f x y f x y y x y +⎧⎪=++++++⎨⎪=⎩

问此数值格式是几阶格式？

北京大学 2014--2015 学年第 一 学期

研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)

课程名称: 数值分析

一、 填空题(每空3分，共24分)

（1） 3 （2）3 （3）

0.006 （4）2

2

x

+

（5） 83 （6）4

34

3--5555343

45

55

5H H ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

或

（7）3

（8）求向量x 的最小值

二、(12分) 记2()4cos 3x x ϕ=+，则2

'()sin 3

x x ϕ=-。 （1）先考虑区间[3，5]，当[3,5]x ∈时，

2

()4cos [3,5]3

x x ϕ=+∈ ，22'()sin 13

3

x x ϕ=-<

< 。故对任意初